Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1 1 Khái niệm phương trình tích phân 4 1 2 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1 3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến 9 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂ[.]
Mục lục MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm phương trình tích phân 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến 4 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT 2.1 Phương pháp liên tiếp 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 2.3 Các định lý Fredholm 2.4 Cấu trúc nhân giải 14 14 17 21 29 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN 3.1 Một số tính chất nhân Hermitian 3.2 Các giá trị riêng nhân Hermitian 3.3 Các hàm riêng nhân Hermitian 3.4 Định lý Hilbert-Schmidt KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 34 34 36 44 51 64 65 MỞ ĐẦU Các phương trình tích phân xuất tự nhiên ta nghiên cứu toán lý thuyết toán xuất phát từ vật lý, học, · · · Hai loại phương trình tích phân quan trọng nghiên cứu phát triển vào đầu kỉ 20 phương trình tích phân Fredholm phương trình tích phân Volterra Trong luận văn ta xét phương trình tích phân Fredholm Ta nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai phương pháp giải cụ thể số trường hợp Luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương cung cấp sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm định nghĩa phương trình tích phân phân loại dạng phương trình tích phân Sau số tính chất kí hiệu liên quan đến phương trình tích phân Fredholm loại hai Thứ ba định lý Fredholm trường hợp nhân có dạng tách biến Chương Phương trình tích phân Fredholm loại hai nhân tổng quát Mục đích chương trình bày phương trình tích phân Fredholm loại hai, đưa số phương pháp giải phương pháp liên tiếp, phương pháp xấp xỉ liên tiếp số ví dụ minh họa Sau ta kết hợp hai phương pháp để chứng minh định lý Fredholm trường hợp nhân tổng quát xây dựng toán tử giải Chương Phương trình tích phân Fredholm loại hai nhân Hermitian Chương đưa khái niệm hạt Hermitian, số tính chất hạt nhân tốn tử Hermitian Sau chứng minh định lý Hilbert-Schmidt đưa công thức nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân Hermitian Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [9] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình học tập tơi Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 03 năm 2014 Tác giả luận văn Đào Thị Thanh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân phương trình mà hàm cần tìm xuất dấu tích phân Xét phương trình tích phân tuyến tính có dạng Z b λϕ(x) − K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), (1.1) a • f (x) hàm cho trước, có giá trị phức liên tục đoạn [a, b]; • K(x, t) hàm cho trước, liên tục [a, b] × [a, b], có giá trị phức gọi nhân; • λ số phức cho trước; • ϕ(x) hàm cần tìm, ln giả thiết khả tích theo nghĩa Riemann Ta phân loại sau: Nếu hệ số λ = ta phương trình Z b K(x, t)ϕ(t)dt = f (x) a Phương trình gọi phương trình Fredholm loại Nếu hệ số λ 6= phương trình gọi phương trình tích phân Fredholm loại hai Nếu nhân K(x, t) có tính chất K(x, t) ≡ với t > x phương trình (1.1) trở thành: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nếu λ 6= ta phương trình Z x λϕ(x) − K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), a gọi phương trình tích phân Volterra loại hai Nếu λ = ta phương trình Z x K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), a gọi phương trình tích phân Volterra loại Trong luận văn này, xét với phương trình Fredholm loại hai Bằng phép biến đổi, ta viết phương trình tích phân Fredholm loại hai dạng Z b ϕ(x) = f (x) + λ K(x, t)ϕ(t)dt (1.2) a 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị Kí hiệu: Q[a, b] = [a, b] × [a, b], C[a, b] = f : [a, b] → C : f liên tục [a, b] , C (Q[a, b]) = f : Q[a, b] → C : f liên tục Q[a, b] , R[a, b] tập hợp hàm giá trị phức khả tích [a, b], R2 [a, b] tập hợp hàm bình phương khả tích [a, b] Với f ∈ C[a, b], ta kí hiệu b Z kf k1 = |f (x)|dx a Z !1/2 b |f (x)|2 dx kf k2 = a Với K(x, t) ∈ C (Q[a, b]), ta kí hiệu Z bZ kKk2 = a !1/2 b |K(x, t)|2 dxdt a Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho f g hai hàm thuộc C[a, b] ta định nghĩa tích vơ hướng Z b hf, gi = f (x)g(x)dx a Nếu hf, gi = ta nói f g trực giao Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Z ! Z ! Z b b b ! Z ! Z b b b |Km (x, t)|2 dt |f (t)|2 dt Km (x, t)f (t)dt ≤ a a a ≤ κm (x) kf k22 ≤ κ1 (x) kf k22 kKk2m−2 Do số hạng tổng σn (x) đánh giá bất đẳng thức Z p b κ1 (x) kf k2 m Km (x, t)f (t)dt ... trình tích phân Fredholm phương trình tích phân Volterra Trong luận văn ta xét phương trình tích phân Fredholm Ta nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai phương pháp giải. .. giả luận văn Đào Thị Thanh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân phương trình mà hàm cần tìm xuất dấu tích phân Xét phương trình tích. .. đích chương trình bày phương trình tích phân Fredholm loại hai, đưa số phương pháp giải phương pháp liên tiếp, phương pháp xấp xỉ liên tiếp số ví dụ minh họa Sau ta kết hợp hai phương pháp để chứng