Lê Nhất Duy - Lớp 11A8
11 HỆ PHƯƠNGTRÌNH HAY
1 Giải hệphương trình:
x
3
− y
3
= 35
2x
2
+ 3y
2
= 4x − 9y
Lời giải
Phân tích: Đây có lẽ là bài quen thuộc đối với nhiều bạn, để giải hệ này ta phải quan sát các hạng
tử của 2 phương trình. Phươngtrình ban đầu là bậc 3, phươngtrình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó
ta lien tưởng đến hằng đẳng thức (a + b)
3
, vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phươngtrình 1
hoặc phươngtrình 2 để khi cộng hoặc trừ 2 vế ta sẽ ra hằng đẳng thức đó.
Giải:
Ta nhân phươngtrình (2) cho 3. Khi đó ta có hệ mới là:
x
3
− y
3
= 35
6x
2
+ 9y
2
= 12x − 27y
Ta lấy phươngtrình (1) trừ đi phươngtrình (2), ta được:
x
3
− y
3
− 35 − 6x
2
− 9y
2
+ 12x − 27y = 0
⇔ (x
3
− 6x
2
+ 12x − 8) − (y
3
+ 9y
2
+ 27y + 3) = 0
⇔ (x − 2)
3
= (y + 3)
3
⇔ x = y + 5
Thay x = y + 5 vào một trong 2 phươngtrình ban đầu ta sẽ tìm được nghiệm
Đáp số: (x; y) = (3; −2); (2; −3)
Vậy ý tưởng giải quyết bài dạng này là tìm 1 hệ số α nhân vào phươngtrình chứa bậc 2 và bậc 1 để
khi cộng trừ 2 vế phươngtrình ta sẽ thu được hằng đẳng thức (a + b)
3
.
(1) + (2).α ⇔ (x + a)
3
= (y + b)
3
Sau đây là một số bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm:
1)
x
3
+ y
3
= 91
4x
2
+ 3y
2
= 16x + 9y
Đáp số: (x; y) = (3; 4); (4; 3)
2)
x
3
+ y
3
= 9
x
2
+ 2y
2
= x + 4y
Đáp số: (x; y) = (2; 1); (1; 2)
3)
x
3
+ 3xy
2
= −49
x
2
− 8xy + y
2
= 8y − 17x
Đáp số: (x; y) = (−1; −4); (−1; 4)
2 Giải hệphương trình:
−x
3
+ 3x + 4 = y
2y
3
− 6y − 2 = x
Lời giải
Phân tích: Thoạt nhìn bài này, có nhiều bạn sẽ cố gắng dùng các phương pháp thế hoặc tìm hệ
số nhân cho 1 phươngtrình nào đó để biến đổi, nhưng các cách đó sẽ rất phức tạp hoặc khó khăn
trong việc xoay sở và tìm kiếm. Vì thế ta liên tưởng đến việc dùng phương pháp đánh giá để tìm
nghiệm hệphương trình. (nếu bạn nào nhanh mắt có thể đoán nghiệm của phươngtrình rồi cố gắng
tách để so sánh với nghiệm đó để biện luận nghiệm duy nhất)
Giải:
Ta có hệphươngtrình đã cho tương đương với:
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 1
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8
−(x
3
− 3x − 2) = y − 2
2(y
3
− 3y − 2) = x − 2
⇔
−(x + 1)
2
(x − 2) = y − 2 (1)
2(y + 1)
2
(y − 2) = x − 2 (2)
Từ đó, ta xét: Nếu x > 2 thì từ phươngtrình (1) ta suy ra y < 2, nhưng y < 2 thì sẽ không thỏa
phương trình (2) vì thế ta loại. Tương tự nếu x < 2 ta cũng loại.
Vậy x = 2 ,suy ra y = 2. Thử lại ta thấy đó là nghiệm của hệ.
Đáp số: (x; y) = (2; 2).
3 Giải hệphương trình:
x
4
+ y
2
=
698
81
x
2
+ y
2
+ xy − 3x − 4y + 4 = 0
Lời giải
Phân tích: Các bạn sẽ rất khó giải nếu cứ chú ý tới phươngtrình 1, vì nó là một cái bậc 4 và 1
cái bậc 2 không liên quan gì nhau. Hãy quan sát phươngtrình 2 ta thấy đó là phươngtrình bậc cao
nhất là bậc 2 đối với các hạng tử.Vì thế ta sẽ phân tích tích nghiệm của phươngtrình 2 theo ẩn x
và theo ẩn y. Một là nếu ∆ là số chính phương thì ta có thể phân tích thành nhân tử rồi kết hợp với
phương trình 1 tìm nghiệm,hai là ta có thể tìm điều kiện của x và y để biện luận phương trình.
Giải:
Từ phươngtrình (2) ta có:
x
2
+ (y − 3)x + (y −2)
2
= 0
Để phươngtrình có nghiệm thì:
∆ = (y − 3)
2
− 4(y − 2)
2
≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
7
3
Tương tự ta viết phươngtrình (2) thành:
y
2
+ (x − 4)y + x
2
− 3x + 4 = 0
Để phươngtrình có nghiệm thì:
∆ = (x − 4)
2
− 4(x
2
− 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
4
3
Từ đó ta suy ra:
x
4
+ y
2
≤
256
81
+
49
9
=
687
81
<
698
81
Vậy hệphươngtrình đã cho vô nghiệm.
4 Giải hệphương trình:
4
y
2
x
3
− 6x
2
y
2
+ 81 + 3 +
2012
x
2
y
2
− 9y
2
x +
18x
2
y
2
= y
2
x(x
4
+ y
4
) = y
6
(1 + y
4
)
Lời giải
Xét y = 0 không là nghiệm của hệphương trình,
ta chia 2 vế của phươngtrình (2) cho y
5
Từ phương trìnnh thứ 2, ta có:
x
5
y
5
+
x
y
= y
5
+ y
Xét hàm f(t) = t
5
+ t, f
(t) = 5t
4
+ 1 > 0∀t. ⇔ x = y
2
Thay vào phươngtrình (1) ta được:
4
√
x
4
− 6x
3
+ 81 +
2012
√
x
3
− 9x
2
+ 18x = x − 3
Đặt
4
√
x
4
− 6x
3
+ 81 = a,
2012
√
x
3
− 9x
2
+ 18x = b (a, b > 0). Ta có:
2 Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh - tỉnh Đồng Tháp
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8
a + b = x − 3
a
4
− 6b
2012
= (x − 3)
4
⇒ (a + b)
4
= a
4
− 6b
2012
⇒ b = 0
⇒ x = 6 hoặc x = 3 (nghiệm x = 0 loại)
Đáp số: (x; y) =
3; ±
√
3
;
6; ±
√
6
5 Giải hệphương trình:
x + 6
√
xy − y = 6 (1)
x +
6(x
3
+ y
3
)
x
2
+ xy + y
2
−
2(x
2
+ y
2
) = 3 (2)
Lời giải
Phân tích: Dùng bất đẳng thức đề đánh giá nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
xy ≥ 0
x
2
+ xy + y
2
= 0
Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệphươngtrình vô nghiệm
Nếu x ≤ 0, y ≤ 0(x, y không đồng thời bằng 0) thì VT của (2) âm, PT (2) không thỏa mãn. Do đó
x > 0, y > 0. Vì 2
√
xy ≤ x + y nên PT (1) suy ra:
6 = x +
√
xy − y ≤ x + 3(x + y) − y = 4x + 2y ⇒ 2x + y ≥ 3 (3).
Mặt khác, ta có:
xy ≤
x
2
+ y
2
2
⇒ x
2
+ xy + y
2
≤
3(x
2
+ y
2
)
2
⇒
3(x
3
+ y
3
)
x
2
+ xy + y
2
≥
2(x
3
+ y
3
)
x
2
+ y
2
(4)
Ta chứng minh rằng:
2(x
3
+ y
3
)
x
2
+ y
2
≥
2(x
2
+ y
2
) (5)
Thật vậy BDT (5) tương đương với:
2(x
3
+ y
3
)
2
≥ (x
2
+ y
2
)
3
⇔ x
6
+ y
6
+ 4x
3
y
3
≥ 3x
4
y
2
+ 3x
2
y
4
(6)
Áp dụng BDT Cauchy ta có:
x
6
+ x
3
y
3
+ x
3
y
3
≥ 3
3
x
1
2y
6
= 3x
4
y
2
y
6
+ x
3
y
3
+ x
3
y
3
geq
3
x
6
y
1
2 = 3x
2
y
4
Cộng vế theo vế ta được BDT (6) , suy ra BDT (5) đúng.
Từ (4) và (5) suy ra
3(x
3
+ y
3
)
x
2
+ xy + y
2
≥
2(x
2
+ y
2
)
Kết hợp với PT (2) và lưu ý rằng:
2(x
2
+ y
2
) ≥ x + y , ta được :
3 = x +
6(x
3
+ y
3
)
x
2
+ xy + y
2
−
2(x
2
+ y
2
) ≥ x +
2(x
2
+ y
2
) ≥ x + (x + y) = 2x + y (7)
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y. Ta được x = y = 1 ( thỏa mản điều kiện).
Đáp số: (x; y) = (1; 1).
6 Giải hệphương trình:
x + y
1 + xy
=
1 − 2y
2 − y
x − y
1 − xy
=
1 − 3x
3 − x
Lời giải
Phân tích: Bài này nhìn vào rất phức tạp, không biết định hướng đi từ đâu, vì thế phãi cố gắng
tìm cách đặt ẩn đề đưa về một phươngtrình đơn giản hơn.
Giải:
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 3
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8
Đặt: x =
u − 1
u + 1
, y =
v − 1
v + 1
,
u − v
u + v
=
2 − u
u + 2
(1)
uv − 1
uv + 1
=
3 − v
3 + v
(2)
Từ phươngtrình (1) ta có
u − v
u + v
=
2 − u
u + 2
=
2 − v
2 + v + 2u
=
2 + v − 2u
2 − v
⇒ (2 − v)
2
= (2 + v)
2
− 4u
2
⇒ u
2
= 2v
Từ phươngtrình (2) ta có :
uv − 1
uv + 1
=
3 − v
3 + v
=
3u − uv
3u + uv
=
3u − 1
3u + 1 + 2uv
=
3u + 1 − 2uv
3u − 1
⇒ (3u − 1)
2
= (3u + 1)
2
− 4u
2
v
2
⇔ u
2
v
2
= 3u
Vậy ta có hệ:
u
2
= 2v
u
2
v
2
= 3u
(3)
Xét u = 0 ⇒ v = 0 ⇒ x = y = −1 ⇒ xy = 1 (loại do 1 −xy = 0)
Như vậy (3) tương đương:
u
2
= 2v
uv
2
= 3
Từ hệ trên suy ra u > 0 ⇒ u
2
v
4
= 9 ⇒ 2v.v
4
= 9 ⇒ v =
5
9
2
⇒ u
2
=
5
√
144 ⇒ u =
5
√
12 (do u > 0)
Đáp số: (x; y) =
5
√
12 − 1
5
√
12 + 1
;
5
9
2
− 1
5
9
2
+ 1
7 Giải hệphương trình:
xy + (x − y)(
√
xy − 2) +
√
x = y +
√
y
(x + 1)
y +
√
xy + x(1 − x)
= 4
Lời giải
Phân tích: Ta thử và dự đoán hệphươngtrình sẽ có nghiệm x = y. Vì thế ta sẽ tìm cách để phân
tích thành phươngtrình tích xuất hiện (x −y)(. . . ). Từ đó ta quan sát và thấy phươngtrình (1) là
khả thi nhất.
Giải:
Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0 Phươngtrình (1) tương đương:
⇔
xy + (x − y)(
√
xy − 2) − y + (
√
x −
√
y) = 0
⇔
y(x − y) + (x − y)(
√
xy − 2)
xy + (x − y)(
√
xy − 2) + y
+
x − y
√
x +
√
y
= 0
⇔ (x − y)
y +
√
xy − 2
xy + (x − y)(
√
xy − 2) + y
+
1
√
x +
√
y
= 0
Từ PT (2) suy ra :
y +
√
xy =
4
x + 1
− x(1 − x) =
4
x + 1
+ (x + 1) + (x − 1)
2
− 2 ≥ 2.
4
x + 1
.(x + 1) + (x − 1)
2
− 2 ≥ 2
Từ đó ta suy ra x = y. Thay x = y vào phươngtrình (2). Ta có:
x
3
− 2x
2
− 3x + 4 = 0 ⇔ (x − 1)(x
2
− x − 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x
2
− x − 1 = 0
Xét x = 1 ⇔ y = 1
Xét x
2
− x − 1 = 0. x =
1 +
√
5
2
⇔ y =
1 +
√
5
2
, x =
1 −
√
5
2
(loại vì x ≥ 0)
Đáp số: (x; y) = (1; 1),
1 +
√
5
2
;
1 +
√
5
2
4 Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh - tỉnh Đồng Tháp
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8
8 Giải hệphương trình:
x
2
− y
2
= xy (x + 3)
x
2
(1 − 4xy
2
) = y
2
(1 + 8x
2
)
Lời giải
Phân tích: Ta chú ý rằng: Phươngtrình (2) biến đổi một chút ta được :
x
2
− 4x
3
y
4
= y
2
+ 8x
2
y
2
⇐⇒ x
2
− y
2
= 4x
3
y
4
+ 8x
2
y
2
Phương trình (1) sau khi điều kiện ta bình phương hai vế cũng thu được :
x
2
− y
2
= x
2
y
2
(x + 3)
2
Tới đây ta sẽ nghỉ đến phép thế và bắt nhân tử chung ngay nên việc còn lại chỉ là giải các phương
trình cơ bản.
Giải:
Từ phươngtrình (1) ta biến đổi :
x
2
− y
2
= xy(x + 3) ⇐⇒
xy(x + 3) ≥ 0
x
2
− y
2
= x
2
y
2
(x + 3)
2
(3)
Ta lại có phươngtrình (2) ta biến đổi thành :
x
2
− 4x
3
y
4
= y
2
+ 8x
2
y
2
⇐⇒ x
2
− y
2
= 4x
3
y
4
+ 8x
2
y
2
Thế vào (3) ta được hệphươngtrình :
xy(x + 3) ≥ 0
4x
3
y
4
+ 8x
2
y
2
= x
2
y
2
(x + 3)
2
⇐⇒
xy(x + 3) ≥ 0
x
2
y
2
(x + 1)
2
= 0
⇐⇒
xy(x + 3) ≥ 0
x = 0
y = 0
x = −1
(4)
Với :
) x = 0 =⇒ y = 0
) y = 0 =⇒ x = 0
) x = −1 =⇒ y = ±
√
5
5
Đáp số: (x; y) = (0; 0),
−1; ±
√
5
5
9 Giải hệphương trình:
x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
2
− 3 = 3(1 + y
2
)
Lời giải
Phân tích: Nếu bài này ta làm như bình thường là thế thì sẽ là rất khó khăn trong việc xử lý.
Nên ta sẽ tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp thế vào một hệ số nào đó của 1 phương trình
bằng 1 phươngtrình trong hệ để tạo sự đồng bậc giữa 2 phương trình.
Giải:
Hệ đã cho tương đương với:
x
3
− y
3
= 2(4x + y)
x
2
− 3y
2
= 6
⇐⇒
3(x
3
− y
3
) = 6(4x + y)
x
2
− 3y
2
= 6
Thế x
2
− 3y
2
= 6 vào phươngtrình (1) khi đã nhân 3, ta được:
3(x
3
− y
3
) = (x
2
− 3y
2
)(4x + y) ⇐⇒ x
3
+ x
2
y − 12xy
2
= 0 (∗)
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 5
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8
Xét y = 0 không là nghiệm của hệ, ta chia y
2
cho 2 vế của phươngtrình (∗), ta được:
(∗) ⇐⇒
x
3
y
3
+
x
2
y
2
−
12x
y
= 0
Đặt t =
x
y
, suy ra:
(∗) ⇐⇒ t
3
+ t
2
− 12t = 0 ⇐⇒ t(t
2
+ t − 12) = 0
Xétt = 0 ⇐⇒ x = 0 ( không là nghiệm)
Xét t = 3 ⇐⇒ x = 3y
Xét t = −4 ⇐⇒ x = −4y
Thay lần lượt vào 1 trong hai phươngtrình ban đầu ta giải ra nghiệm.
Đáp số: (x; y) = (3; 1), (−3; −1),
−4
6
13
;
6
13
,
4
6
13
, −
6
13
Sau đây là một bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm:
1) Giải hệphương trình:
x
3
+ 4y = y
3
+ 16x
1 + y
2
= 5(1 + x
2
)
Đáp số: (x; y) = (−1; 3), (1; −3), (0; 2), (0; −2)
10 Giải hệphương trình:
(x − 3y) (6x + 18y + 5) = 4x
(x
2
+ 2xy + 4y
2
) (8x − 16y − 9) + 9x
2
+ 4x = 78y − 18xy + 26
Lời giải
Phân tích: Do 2 phươngtrình của hệ đều có phươngtrình tích nên ta sẽ phân phối và rút gọn cho
bớt cồng kềnh. Sau đó sẽ dùng các biện pháp để giải.
Giải:
Ta có:
(x − 3y)(6x + 18y + 5) = 4x ⇐⇒ 6x
2
+ x = 54y
2
+ 15y
(x
2
+ 2xy + 4y
2
)(8x − 16y − 9) + 9x
2
+ 4x = 78y − 18xy + 26 ⇐⇒ 8x
3
+ 4x = 64y
3
+ 36y
2
+ 78y + 26
Như vậy ta viết hệ thành:
6x
2
+ x = 54y
2
+ 15y
8y
3
+ 4x = 64y
3
+ 36y
2
+ 78y + 26
Ta nhân phươngtrình thứ nhất với 2 rồi cộng với phươngtrình thứ hai thì thu được:
(2x + 1)
3
= (4y + 3)
3
.
Từ đây ta có: x = 2y + 1. Tới đây các bạn thế vào (1) hoặc (2) giải sẽ ra nghiệm.
Đáp số: (x; y) =
12
5
;
7
10
,
1
3
; −
1
3
11 Giải hệphương trình:
(x +
√
x
2
+ 1)(y +
y
2
+ 1) = 1
y +
1
√
5x
2
− 1
+
−3
2
= 0
Lời giải
Phân tích: Ta biến đổi bằng cách dùng biểu thức liên hợp từ phươngtrình đầu .
Giải:
Từ phươngtrình đầu ta có :
(x +
√
x
2
+ 1)(x −
√
x
2
+ 1)(y +
y
2
+ 1) = x −
√
x
2
+ 1 ⇐⇒ y +
y
2
+ 1 =
√
x
2
+ 1 − x
Tương tự ta cũng có:
x +
√
x
2
+ 1 =
y
2
+ 1 − y
6 Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh - tỉnh Đồng Tháp
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8
Cộng vế theo vế ta được x + y = 0 Thay vào phươngtrình 2 ta được :
y +
1
5y
2
− 1
−
3
2
= 0
Ta chuyển vế sau đó bình phương , ta được:
(y − 1)(2y + 1)(10y
2
− 25y + 13) = 0
Ta chỉ nhận các nghiệm : y = 1, y = −
1
2
, y =
5 −
21
5
4
, Từ đó ta suy ra nghiệm của hệ.
Đáp số: (x; y) = (−1; 1),
1
2
; −
1
2
,
−5 +
21
5
4
;
5 −
21
5
4
.
Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 7
. Duy - Lớp 11A8 11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY 1 Giải hệ phương trình: x 3 − y 3 = 35 2x 2 + 3y 2 = 4x − 9y Lời giải Phân tích: Đây có lẽ là bài quen thuộc đối với nhiều bạn, để giải hệ này ta phải. tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp thế vào một hệ số nào đó của 1 phương trình bằng 1 phương trình trong hệ để tạo sự đồng bậc giữa 2 phương trình. Giải: Hệ đã cho tương đương với: x 3 −. của 2 phương trình. Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó ta lien tưởng đến hằng đẳng thức (a + b) 3 , vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phương trình