HE PHUONG TRINH HAY VÀ KHÓ

I PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ & PHÉP THẾ Nguyễn Trung Sỹ- THPT Lý Tự Trọng Đặc điểm chung dạng hệ sử dụng kỹ biến đổi đồng nhất, đặc biệt kỹ phân tích nhằm đưa phương trình hệ dạng đơn giản vào phương trình lại hệ CÁC KỸ THUẬT THƯỜNG SỬ DỤNG: • Rút ẩn hay nhóm ẩn… từ phương trình vào phương trình lại hệ • Phân tích phương trình hệ phương trình tích • Đưa PT hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn lại coi tham số • Cộng trừ vế với vế, nhân số thích hợp vào phương trình sau cộng trừ vế với vế Mục đích: Tạo phương trình hỗ trợ cho việc giải hệ cho như: Phương trình ẩn, phương trình bậc hai ẩn, phương trình tích, phương trình đẳng cấp…  x + x y + x y = x + ( 1) Ví dụ : (KB 2008) Giải hệ phương trình  ( 2)  x + xy = x + HD: Hệ cho tương đương với ( x + xy ) = x +   x2  ⇒  x + 3x + − ÷ = x +  x2 2   xy = x + −  ⇔ x ( x + 4) = Ta thấy x = không thỏa mãn hệ   KQ: Hệ có nghiệm là:  −4; 17  ÷ 4 Ví dụ 2: (THTT 2009) Giải hệ phương trình  x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + ( 1)  ( 2)  xy + x + = x x2 − HD: Ta thấy x = không thỏa mãn hệ ⇒ x ≠ Từ PT (2) ta có y + = vào x ( ) PT (1) ta PT: x ( x − 1) x + x − =   5 2 KQ: Hệ có nghiệm là: ( 1; −1) ,  −2; − ÷  x + y = y + 16 x Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  2 1 + y = ( + x )  x − y = ( x − y ) ( 1) HD: Hệ PT tương đương với:  2 ( 2)  y − x = Thế y − x = vào PT (1) ta phương trình đẳng cấp bậc KQ: Hệ có nghiệm : ( 0; ±2 ) , ( 1; −3) , ( −1;3) Ví dụ 4: ( THTT 2011) Giải hệ phương trình  xy ( x + y ) − = 3xy − ( x + y )  2  x y − xy − y + ( x + y ) = HD: ( xy + 1) ( x + y − 1) = Hệ cho tương đương với  2  x y − xy − y + ( x + y ) = 1 = x + y 1 = − xy ⇔ Hoặc  3 x y − xy − y + x + y = ( )  x y − xy − y + ( x + y ) =    −1   ;− ; ÷,  ÷ 2  2  KQ: Hệ có nghiệm: ( 1; −1) , ( −1;1) ,  Ví dụ 5: (THTT 2009) Giải hệ phương trình  y − x − xy + 16 x − y + 16 =   y = ( x + ) ( − x ) ( 1) ( 2) HD: Ta coi PT (1) PT bậc hai ẩn y, tham số x PT (1) ⇔ y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 = Ta có Δ = ( 3x ) 2  y = 5x + ⇒ y = 4− x     KQ: Hệ có nghiệm là: ( 0;4 ) , ( 4;0 ) ,  − ;0 ÷  x − y = 35 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  2 2 x + y = x − y  x − y = 35 ( 1) HD: Hệ PT tương đương với  2 6 x + y = 12 x − 27 y ( ) ⇒ x − x + 12 x − = y + y + 27 y + 27 ⇔ ( x − ) = ( y + 3) 3 ⇔ x = y+5 KQ: Hệ có hai nghiệm ( 3; −2 ) , ( 2; −3 ) BÀI TẬP CÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG TỰ Bài Giải hệ phương trình: ( PP Thế) 2 x y + 3xy = x + y a)  7 y + = x + x ( x − 1) + ( x − 1) y + y = 20 b)  2  x + ( y + 1) = HD: Thế x + y = − y vào PT (1) rút y = x+9 vào PT (2) 3x − KQ: Hệ có nghiệm ( −1; −1) Bài Giải hệ phương trình: (Tạo PT đẳng cấp)  xy + = 3 8( x − y ) + 9( x − y ) =  y − x2 = a)  3 2 x − y = y − x b)   x + x = y (3 x + xy ) c)  2  y − xy = 3( x − 1)  x − x = y + y d)  2  x − = ( y + 1) 3  x + y = e)  5 2  x + y = x + y 2 x − y = ( x − y ) ( xy + 3) f)  2  x − xy + y =  x − y = g)   xy ( x − y ) =  x + y = h)  2  x y + xy + y =  x + y − xy = i)  4 2 x + y − x − y = k)   x x − y y = x + y  x − y =  x + y − xy = n)  4  x + y = x + y Bài Giải hệ phương trình: ( phân tích pt thành PT tích) xy  2 x + y + = 16  x + y a)   x3 + x x + y − =  xy  2 x + y + =1  x + y b)   x + y = x2 − y   xy ( x + y ) + = ( x + y ) c)  2 5 x y − xy + y − ( x + y ) =  x2 + y2 + =  xy x + y xy  d)   x2 + y2 − = − x2 + 2x +  x+ y Bài Giải hệ phương trình: ( phân tích pt thành PT tích)  xy + x + y = x − y a)   x y − y x − = x − y  x + xy + y = y + x b)   y x − y + + x =  xy − y − x + = c)  2  x − y − x − y + 22 =  x + y + x + 12 y = d)  xy + x + y = −   xy + x − = e)  ( KD 2012) 2 2 x − x y + x + y − xy − y =  Bài Giải hệ phương trình: ( PP Cộng đại số)  x + y = a)  2  x + y = x + y  x + y = 91 b)  2 4 x + y = 16 x + y  x + y − 3x + y = c)  2 3 x − y − x − y =    x +   ÷= x + y    d)  2 y 1 −  =  ÷   x+ y    12  x −   ÷= x + y    e)   y 1 +  =   3x + y ÷     x +   ÷= 42 x + y    f)     2y 3−  ÷=  42 x + y    II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng phát ẩn phụ u = f ( x; y ) , v = g ( x; y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức bản, chuyển vế, phép chia cho biểu thức khác 0, phép đồng … MỤC ĐÍCH: Tạo hệ phương trình đơn giản hay hệ phương trình có phương pháp giải như: - Hệ gồm phương trình bậc thấp phương trình bậc cao - Hệ đối xứng loại I - Hệ đối xứng loại II - Hệ đẳng cấp - … Lưu ý: Trong toán hệ phương trình có chứa tham số, đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện đủ cho ẩn phụ 2  x − x y + x y = Ví dụ Giải hệ phương trình  x y − x + xy = −  ( x − xy ) + x3 y =  HD: Hệ cho tương đương với   x y − ( x − xy ) = −1 u + v = Đặt: u = x − xy; v = x y Hệ PT trở thành:  v − u = −1 KQ: Hệ cho có nghiệm:  2 xy + x + y + = 13 ( )  ( x + y)  Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x + =1  x+ y 2  x − y + x + y + = 13 ( ) ( )  ( x + y)  HD: Hệ cho tương đương với  ( x − y ) + ( x + y ) + =  x+ y    3 ( x − y ) + ( x + y ) +  = 23 x + y ( )   ⇔    x − y + x + y + ( ) ( )   =1  x + y ( )    Đặt: u = x − y; v = ( x + y ) + x+ y 3u + 5v = 23 Hệ PT trở thành:  … u + v =  KQ: Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1)  xy + x + = y ( 1) Ví dụ ( ĐH-KB-2009 ) Giải hệ phương trình  2 x y + xy + = 13 y ( )  Hướng dẫn Nhận xét : y=0 không nghiệm (1) vô lý , ta chia hai vế phương trình (1) (2) hệ cho y ≠ 0; y ≠ Ta được:  x   x + x + y + y =   ⇔    x + x + = 13    x + y y2  Đặt u = x + 1 x ÷+ = y y 1 x ÷ − = 13 y y x ;v= Khi hệ trở thành: y y u + v = …  u − v = 13   1  3 KQ: Hệ cho có nghiệm: 1; ÷, ( 3;1)  x + y + xy + = y Ví dụ Giải hệ phương trình  2 y ( x + y ) = x + y +  HD: Ta thấy y = không thỏa mãn hệ ⇒ y ≠  y ( x + y ) + ( x + 1) = y  Hệ cho tương đương với  2  y ( x + y ) − ( x + 1) = y  x2 + ( x + y ) + y =  ⇔ ( x + 1)  =7 ( x + y ) − y  x2 + Đặt: u = x + y; v = Khi hệ phương trình trở thành y u + v =  u − 2v = 8 x y + 27 = 18 y Ví dụ Giải hệ phương trình  x y + x = y  HD: Ta thấy y = không thỏa mãn hệ ⇒ y ≠  3  27 8 x + y = 18 ( x ) +  y ÷ = 18     ⇔ Nên hệ cho tương đương với   3   4x + 6x = x x + ÷ ÷=   y y y y    Đặt u = x; v = Hệ phương trình trở thành: y u + v = 18 …  u.v ( u + v ) =  11x − y − y − x = Ví dụ Giải hệ phương trình  7 y − x + y − 26 x = Hướng dẫn y − x ta cần phải biểu diễn y − 26 x thông Ý tưởng : Đặt u = 11x − y , v = qua u v a = −2 y − 26 x = a 11 x − y + b y − x PP: Đồng nhất: ( ) ( ) ta  b =  11x − y − y − x = Do hệ cho tương đương với  7 y − x − ( 11x − y ) + ( y − x ) = u − v = Khi hệ PT trở thành:  2 7v − 2u + 4v = …  x + y = ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình  x + 16 + y + 16 = 10 ( )  Hướng dẫn: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ Lấy (1) ± (2) ta hệ phương trình ( ( (        ⇔   Đặt: u = ( ) 3x − 3y − 16 3y + + ) ( y + 16 ) x + x + 16 ( ) y + 16 ) = −4 y + 16 ) = 16 y + y + 16 = 16 3x + ( 3x + 3x + 16 ; v = ) ( x + 16 ) + ( x + 16 ) + ( x + x + 16 + 3y + 16 y + y + 16 ) =4 u + v = 16 u =  ⇔ Hệ phương trình trở thành  4 v = + =   u v KQ: Hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 3;3) BÀI TẬP CÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG TỰ Bài Giải hệ phương trình sau:  x + y + x y + x y + xy = −  a)   x + y + xy ( + x ) = −   2 xy + x + y + =7 ( )  ( x + y)  b)  2 x + =  x+ y  x ( x + y − 1) =  c)  x + y − +1 = ( )  x2   y + xy = x ( 1) d)  2 1 + x y = x ( )  x + + y ( x + y ) = y e)  ( x + 1) ( y + x − ) = y    ( x + y ) 1 + ÷ = 18   xy  f)   x + y 1 +  = 208 )  x2 y2 ÷ (    ( 1) ( 2)  27 x y + 125 = y g)  2 45 x y + 75 x = y  y + xy = −6 x h)  3 1 + x y = 19 x Bài Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + y = a)  ( HGS QG 2001 )  x + y + x − y =  x + y + x + y = c)   x + y + x − y + =  x + y + x + y = b)   x + y + x + y = −2  x + y + x + y = d)  12 x + y + x − y = 35 Bài Giải hệ phương trình sau:  x + y =  x − + y + = a)  ( HSG BRVT 2010) b)   x + + y + =  x − + y =  x − + y − =  x + y = c)  d)   x + + y + =  x + + y + = Bài Tìm tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực  x + + y + = m + (KQ: m ≥ )   x − + y − = m − Bài ( KD 2011) Tìm tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực 2 x − ( y + ) x + xy = m   x + x − y = − 2m  u.v = m  u + v = − 2m HD: Đặt u = x − x, u ≥ − ; v = x − y Hệ cho trở thành:  III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ phương trình giải phương pháp hàm số ta thường gặp hai dạng : - Một phương trình hệ có dạng : f(x)=f(y), phương trình lại giúp ta giới hạn x , y thuộc tập D để hàm số f đơn điệu - Một phương trình hệ có dạng ( đưa dạng ) f(x)=0 f hàm số đơn điệu Một số ví dụ:  x − x = y − y Ví dụ Giải hệ phương trình   x + y = ( 1) ( 2) Lời giải: Từ PT (2) ta có x ≤ 1; y ≤ ⇔ x ≤ 1; y ≤ Xét hàm số f ( t ) = t − 5t ; t ∈ [ −1;1] Ta có f ' ( t ) = 3t − < 0; ∀t ∈ [ −1;1] f(t) nghịch biến (-1;1) Mà PT (1) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y thay vào PT (2) ta PT : x8 + x − = Đặt a = x giải phương trình ta a = Vậy hệ có nghiêm phân biệt là: −1 + −1 + ⇒ y = x = ±4 2  −1 + −1 +   −1 + −1 +  4 4  ÷  − ÷ ; ;−  ÷  ÷ 2 2     Ví dụ ( ĐH KA 2012) Giải hệ phương trình :  x − x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =   ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) ( 1)  2 HD : Hệ cho tương đương với :  1  1 ( 2)  x − ÷ +  y + ÷ = 2      1   − ≤ x − ≤ − ≤ x − ≤   2 ⇔ Từ (2) ⇒  −1 ≤ y + ≤ − ≤ y + ≤   2  3 ( ) Xét hàm số f ( t ) = t − 12t  − ;  , ta có f ' ( t ) = t − < , suy f ( t )  2 nghịch biến Do (1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − Thay vào (2), ta x = 1 2 x = 2 KQ : Hệ có nghiệm  ; − 3 3 1 ÷,  ; − ÷ 2 2 2 • Bình luận :Ngoài việc đưa phương trình hệ có dạng f(x)=f(y) , ta phải giới hạn x,y thuộc tập D (từ phương trình thứ hai) để để hàm f đơn điệu  x − y + y − x − = Ví dụ Tìm m để hệ phương trình  2  x + − x − y − y + m = có nghiệm thực Lời giải: −1 ≤ x ≤ 0 ≤ x + ≤ 1 − x ≥ ⇔ ⇔ ĐKXĐ:   ≤ y ≤ 2 y − y ≥  0 ≤ y ≤  Ta có (1) ⇔ x − y + y − 3x − = ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) = y − y ( *) 3 2 Xét hàm số f ( t ) = t − 3t [ 0;2] ta có f ' ( u ) = 3u − 6u ≤ 0, ∀u ∈ [ 0;2 ] suy f ( u ) nghịch biến đoạn [0; 2] nên: ( 1) ⇔ y = x + Khi x + − x − y − y + m = ⇔ x − − x + m = Đặt v = − x ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − = m Xét hàm số g(v) = v2 + 2v − với v∈[0; 1] ta có g ' ( v ) = 2v + > ∀v ∈ [ 0;1] g(v) liên tục trên[0; 1] g (v) = g ( ) = −1; Max g (v) = g ( 1) = Suy Min [0;1] [0;1] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi: −1 ≤ m ≤  x + x − x + = y −1 + Ví dụ Giải hệ phương trình  x −1  y + y − y + = + ( x; y ∈ ¡ ) Lời giải: u + u + = 3v  Đặt u = x -1; v = y -1 ta hệ  v + v + = 3u ( 1) ( 2) Trừ vế với vế PT ta : u + u + + 3u = v + v + + 3v (*) Xét hàm số : f ( t ) = t + t + + ; f ' ( t ) = Vì t t2 +1 + t t2 +1 + 3t ln t + > t ≥ −t ⇒ t + + t > ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t hàm số f(t) đồng biến R Nên PT (*) ⇔ u = v thay vào PT (1) ta u + u + = 3u (3) ( ) Theo nhận xét u + u + > nên PT (4) ⇔ ln u + u + − u ln = (lấy ln hai vế) Xét hàm số ( ) g ( u ) = ln u + u + − u ln 3; g' ( u ) = u +1 − ln < − ln < 0, ∀u ∈ R hay hàm g(u) nghịch biến R PT (3) có nghiệm u = nên PT (3) có nghiệm nhất: u = Từ ta nghiệm hệ cho : ( x; y ) = ( 1;1) *Bình luận: Để giải hệ phương trình ta phải nhận dạng hệ hệ đối xứng loại hai để trừ hai phương trình cho ta với có hàm số đặc trưng Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x - x + x -1 = x ( − y ) − y    x + = 14 − x − y + HD: ĐKXĐ x ≥ −2, y ≤ ( 1) ( 2) Ta thấy x = không thỏa mãn hệ nên  1  1 PT ( 1) ⇔ 1 − ÷ +  − ÷ =  x  x ( − 2y) + − y (*) Xét hàm số f ( t ) = t + t ta có f ' ( t ) > ∀t ∈ ¡ , nên f ( t ) đồng biến R ⇒ PT (*) ⇔ − y = − ⇔ ⇔ ( ) ( x + −3 − x−7 + x+2 +3 , thay vào (2) ta x ) 15 − x − = x−7 x + = 15 − x + ( 15 − x ) + 15 − x +  111  ÷  98  Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  7; Ví dụ Giải hệ phương trình  x + x + ln ( x + 1) = y ( 1)   y + y + ln ( y + 1) = x ( ) =0⇔ x=7⇒ y = 111 98 Lời giải: Điều kiện : x > − ; y > − Lấy ( 1) − ( ) ta được: x + x + ln ( x + 1) = y + y + ln ( y + 1)   ( *)   Xét hàm số f ( t ) = t + 4t + ln ( 2t + 1)  − ; +∞ ÷ Ta có: f ' ( t ) = 2t + +   > 0, ∀t ∈  − ; +∞ ÷ nên f ( t ) hàm số đồng biến 2t +      − ; +∞ ÷ ( *) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y    x = y  x + x + ln ( x + 1) = Vậy hệ phương trình cho ⇔      Xét hàm số f ( x ) = x + x + ln ( x + 1)  − ; +∞ ÷ Ta có: f ' ( x ) = x + +   > 0, ∀x ∈  − ; +∞ ÷ 2x +       Suy f ( x ) hàm số đồng biến  − ; +∞ ÷ Mà f ( ) = nên f ( x ) = ⇔ x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( 0;0 ) Ví dụ Giải hệ phương trình  x ( y + ) = 64   x ( y + 1) ( y + y + ) = 12 + x ( x, y ∈ ¡ ) Lời giải: Ta thấy x = không thỏa mãn hệ Nên hệ cho tương đương với 64  y + =  x3  ( y + 1) ( y + y + ) = 12 +  x Đặt t = hệ trở thành x 3 y + = t  ( y + 1) ( y + y + ) = 3t + 3 ( y + ) + = t ( 1)  ⇔  ( y + ) − 1 ( y + ) + ( y + ) + 1 = 3t + ( ) Cộng theo vế hai pt ta ( y + ) + + ( y + ) − 1 ( y + ) + ( y + ) + 1 = t + 3t +   ⇔ ( y + ) + ( y + ) = t + 3t ( *) 3 Xét hàm số f ( u ) = u + 3u ¡ ta có f ' ( u ) = 3u + > 0, ∀u , suy f ( u ) đồng biến t =  t = −1 Nên pt ( *) ⇔ y + = t , thay vào pt (1) ta t − 3t − = ⇔  + Với t = ⇒ x = 2; y = + Với t = −1 ⇒ x = −4; y = −3 Vậy hệ pt cho có nghiệm: ( 2;0 ) ; ( −4; −3) Ví dụ Giải hệ phương trình ( )  y x + − = − y ( x + 2)    y ( x + 1) = Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ −1 Ta thấy y = không thỏa mãn hệ ⇒ y ≠ nên hệ cho tương đương với  ( x + ) + x + − ( x + 1) − = ( 1) x + − = − x + ( )  y   ⇔  2 x + = ( ) ( x + 1) =  y   y + Xét hàm số f ( x ) = ( x + ) + x + − ( x + 1) − [ −1, +∞ ) Ta có f ' ( x ) = ( x + ) − ( x + 1) + 2 1 = x + 10 x + 10 + x +1 x +1 = ( x + 1) + ( x + ) + + ⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x > −1 f ( x ) x +1 liên tục [ −1, +∞ ) , suy f ( x ) đồng biến [ −1, +∞ ) Do f ( ) = ⇒ x = nghiệm phương trình (1) Với x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1)  x + xy = y10 + y Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x + + − y + y − = y + HD: • Với y = ⇒ x = thỏa mãn hệ, suy hệ có nghiệm ( 0;0 ) x x 5 • Với y ≠ PT (1) ⇔  ÷ + = y + y (3) Xét hàm số g ( t ) = t + t  y y Ta có g’(t) = 5t4 + > ∀ t∈R, nên hàm số y = g(t) đồng biến R x x = g ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y2 ÷ y  y Mà phương trình (3) ⇔ g  Thay y = x vào PT (2) ta x + + − x + x − = x + (*) (HSG Nghệ An 2011) Với điều kiện −1 ≤ x ≤ Ta thấy x = x = hai nghiệm phương trình (*) Xét f ( x) = x − x − f '( x) = x − − x + − − x khoảng (-1;2), ta có 1 + ; x +1 2 − x f '( x) = ⇔ 2(2 x − 1) ( x + 1)(2 − x) − − x + x + = ⇔ 2[( x + + − x ) ( x + 1)(2 − x) + 1]( x + − − x ) = ⇔ ( x +1 − − x) = ⇔ x = Bảng biến thiên x -1 f'(x) 2 - + f(x) Suy PT(*) có hai nghiệm x = x = Vậy hệ cho có ba nghiệm ( 0;0 ) , ( 1;1) , ( 1; −1) BÀI TẬP CÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG TỰ Bài Giải hệ phương trình sau:  x + xy = y10 + y a)   x + + y + =  x − − y = − x b)  ( x − 1) = y 8 x − y − y = y − x + c)   x + y + + x = ( x + 1) x + ( y − 3) − y = d)  4 x + y + − x = 2 x − y = ( y − x ) ( xy + ) e)  2  x + y =  x − y = y − x f)  ln ( x + x + 1) + y + y = 1  x − − y − = −  x −1 y −1 g)   x + y = 30   x 2013 − 2012 y = y 2013 − 2012 x h)   y − 15 x + 78 y = y − + 141 Bài Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm  x − 12 x − y + y − 16 =  2 4 x + − x − y − y + m = ( x, y ∈ ¡ ) (HSG Nghệ An 2012) Bài Giải hệ phương trình sau: 2 x + x = + y a)  y 2 + y = + x  x3 + = ( x − x + y )  b)   y + = ( y − y + x )  + x + x = + y c)   + y + y = + x  x + 91 = y − + y d)   y + 91 = x − + x  x3 + 3x + 3x + − − y =  e)  y + y + y + − − z =   z + z + z + − − x =  x − x + 6.log ( − y ) = x   f)  y − y + 6.log ( − z ) = y   z − z + 6.log ( − x ) = z IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Trong phương pháp này, cần lưu ý phát biểu thức không âm nắm vững, vận dụng tốt BĐT  x2 + y2 x + xy + y + = x + y ( 1)  Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x + y = ( 2)  HD: Ta có: 1 1 2 2 ( x + y ) + ( x2 + y2 ) ≥ ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y ) 2 4 2 2 x +y x + xy + y 1 2 ⇒ + ≥ ( x + y) + ( x + y) = x + y ≥ x + y 4 Dấu “=” xảy khi: x = y ≥ , hay PT (1) xảy x = y ≥ 2 Thay y = x vào PT (2) ta được: x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 3) = ⇔ x = (t/m) Vậy hệ cho có nghiệm ( 1;1) x + xy + y = 2 x − − y − = ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình   x + x + y = 13 ( ) Lời giải: ĐK: x ≥ 4, y ≥ Từ PT (1), ta có: x − − = y −1 −1 ( x − 5) y−2 ⇔ = x + +1 y −1 +1 • Xét x > ⇒ y > Khi đó: VT2 = x + x + y > + 64 = 13 • Xét x < ⇒ y < Khi đó: VT2 = x + x + y < + 64 = 13 Do x = 5; y = , Thử lại thỏa mãn hệ Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 5;2 )  x + y = ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình   x + 16 + y + 16 = 10 ( ) r r r r u x ;4 v y ;4 u Lời giải: Xét ta có + v = x + y ;8 r r r r Mà: u + v ≥ u + v ⇔ x + 16 + y + 16 ≥ 10 r r Suy hệ xảy u = k v ( k > ) ⇒ x = y Thay x = y vào PT (1) ta x = Vậy hệ cho có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 3;3) xy  x + = x +y  x − 2x +  Ví dụ Giải hệ phương trình  xy y + = y2 + x  y2 − y + ( ) ( ) ( LG: • Ta có : ( x; y ) = ( 0;0 ) nghiệm hệ • Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : xy x2 − 2x + + xy y2 − y + = x + y (*) x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ VT( *) ≤ xy + xy = xy Ta có : Mà VP( *) = x + y ≥ xy 2 VT( *) = xy x = ⇔ ⇔ Suy PT(*) xảy   VP = xy y =1  ( *) Vậy hệ cho có nghiệm ( 0;0 ) , ( 1;1) Ví dụ Giải hệ phương trình 1  + =  + xy  + 2x2 + y2   x − 2x + y − y = ) ( )  (  ≤ x ≤  LG: Điều kiện  0 ≤ y ≤  Ta chứng minh bất đẳng thức: ) 1 + 2x2 + + y2 ≤ (*) + xy Thật vậy, theo BĐT Bunhiacopxki, ta có:    1 1   ÷ ≤ 2 + + 2 ÷ ( ) ÷  + 2x2 + x + y 1+ 2y     Dấu “=” xảy ⇔ + x = + y ⇔ x = y ( x, y ≥ ) Ta lại có: ( y − x ) ( xy − 1) 1 + − = ≤0 + x + y + xy ( + x ) ( + y ) ( + xy ) 1 + ≤ + x + y + xy Dấu “=” xảy x = y ⇒ ( 2) Từ (1) (2) ta có BĐT (*) Dấu “=” xảy x = y  − 73 x = y  x = y =  36 Do hệ cho trở thành  2⇔  + 73  x ( − x ) + x ( − x ) = x = y = 36  Vậy hệ cho có hai nghiệm là:  − 73 − 73   + 73 + 73  ; ; ÷,  ÷W 36 36 36 36     ( x; y ) =   y = − x + 3x + Ví dụ Giải hệ phương trình   x = y − y − Hướng dẫn ( y − ) = − ( x + 1) ( x − ) ( 1) Hệ cho tương đương  ( x − ) = ( y + 1) ( y − ) ( ) • Nếu y > từ (1) ⇒ x < , suy hệ vô nghiệm PT (2) không xảy • Nếu y < từ (1) ⇒ x > , suy hệ vô nghiệm PT (2) không xảy Vậy hệ có nghiệm : ( x; y ) = ( 2;2 ) BÀI TẬP CÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG TỰ Bài Giải hệ phương trình sau:  + =  1+ x 1+ y  + xy   2  + − x = x + − y ( ) Bài Giải hệ phương trình sau: ( + x ) ( + x ) ( + x ) = + y   ( + y ) ( + y ) ( + y ) = + x Bài Giải hệ phương trình : 2 x − − y − =   x + 12 x + y = 19 Bài Giải hệ phương trình:  x + y =   x + + y + = Bài Giải hệ phương trình sau:  x2 + y2 x + xy + y + = x+ y     x xy + x + = xy − x − Bài Giải hệ phương trình:  x + y − xy =   x + + y + = Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực  x + 2012 + y + = m    x y + y + 2012 = 2012 − x − m [...]... > 0, ∀t do đó hàm số f(t) đồng biến trên R Nên PT (*) ⇔ u = v thay vào PT (1) ta được u + u 2 + 1 = 3u (3) ( ) Theo nhận xét trên thì u + u 2 + 1 > 0 nên PT (4) ⇔ ln u + u + 1 − u ln 3 = 0 (lấy 2 ln hai vế) Xét hàm số ( ) g ( u ) = ln u + u 2 + 1 − u ln 3; g' ( u ) = 1 u +1 2 − ln 3 < 1 − ln 3 < 0, ∀u ∈ R hay hàm g(u) nghịch biến trên R và do PT (3) có nghiệm u = 0 nên PT (3) có nghiệm duy nhất: u =... y + 2 ) + ( y + 2 ) + 1 = 3t + 1 ( 2 ) Cộng theo vế của hai pt trên ta được 3 ( y + 2 ) + 2 + ( y + 2 ) − 1 ( y + 2 ) + ( y + 2 ) + 1 = t 3 + 3t + 1   2 ⇔ ( y + 2 ) + 3 ( y + 2 ) = t 3 + 3t ( *) 3 3 2 Xét hàm số f ( u ) = u + 3u trên ¡ ta có f ' ( u ) = 3u + 3 > 0, ∀u , suy ra f ( u ) đồng biến t = 2  t = −1 Nên pt ( *) ⇔ y + 2 = t , thay vào pt (1) ta được t − 3t − 2 = 0 ⇔  3 + Với t... Ta có g’(t) = 5t4 + 1 > 0 ∀ t∈R, nên hàm số y = g(t) đồng biến trên R x x = g ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y2 ÷ y  y Mà phương trình (3) ⇔ g  Thay y 2 = x vào PT (2) ta được x + 1 + 2 − x + x − 1 = x 2 + 2 (*) (HSG Nghệ An 2011) Với điều kiện −1 ≤ x ≤ 2 Ta thấy x = 0 và x = 1 là hai nghiệm của phương trình (*) Xét f ( x) = x 2 − x − f '( x) = 2 x − 1 − x + 1 − 2 − x trên khoảng (-1;2), ta có 1 1 + ; 2 x... âm và nắm vững, vận dụng tốt các BĐT cơ bản  x2 + y2 x 2 + xy + y 2 + = x + y ( 1)  Ví dụ 1 Giải hệ phương trình  2 3 2 x 2 + y 3 = 3 ( 2)  HD: Ta có: 1 1 1 1 3 2 2 2 2 ( x + y ) + ( x2 + y2 ) ≥ ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y ) 2 2 2 4 4 2 2 2 2 x +y x + xy + y 1 1 2 2 ⇒ + ≥ ( x + y) + ( x + y) = x + y ≥ x + y 2 3 4 4 Dấu “=” xảy ra khi: x = y ≥ 0 , hay PT (1) xảy ra khi x = y ≥ 0 3 2 2 Thay...  3 x + 3 y = 6 ( 1) Ví dụ 3 Giải hệ phương trình   3 x + 16 + 3 y + 16 = 10 ( 2 ) r r r r u 3 x ;4 v 3 y ;4 u Lời giải: Xét và ta có + v = 3 x + 3 y ;8 r r r r Mà: u + v ≥ u + v ⇔ 3 x + 16 + 3 y + 16 ≥ 10 r r Suy ra hệ xảy ra khi u = k v ( k > 0 ) ⇒ x = y Thay x = y vào PT (1) ta được x = 3 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: ( x; y ) = ( 3;3) 2 xy  2 x + = x +y  3 2 x − 2x + 9  Ví dụ 4 Giải... vậy, theo BĐT Bunhiacopxki, ta có: 2    1 1 1 1   ÷ ≤ 2 + + 1 2 2 ÷ ( ) 2 ÷  1 + 2x2 1 + 2 x 1 + 2 y 1+ 2y     Dấu “=” xảy ra ⇔ 1 + 2 x 2 = 1 + 2 y 2 ⇔ x = y ( do x, y ≥ 0 ) Ta lại có: 2 ( y − x ) ( 2 xy − 1) 1 1 2 + − = ≤0 1 + 2 x 2 1 + 2 y 2 1 + 2 xy ( 1 + 2 x 2 ) ( 1 + 2 y 2 ) ( 1 + 2 xy ) 2 1 1 2 + ≤ 1 + 2 x 2 1 + 2 y 2 1 + 2 xy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y ⇒ ( 2) Từ (1) và (2)...  1 − ÷ =  x  x ( 3 − 2y) 3 + 3 − 2 y (*) 3 Xét hàm số f ( t ) = t + t ta có f ' ( t ) > 0 ∀t ∈ ¡ , nên f ( t ) đồng biến trên R ⇒ PT (*) ⇔ 3 − 2 y = 1 − ⇔ ⇔ ( ) ( x + 2 −3 − x−7 + x+2 +3 3 1 , thay vào (2) ta được x ) 15 − x − 2 = 0 x−7 3 x + 2 = 3 15 − x + 1 ( 15 − x ) 2 + 2 3 15 − x + 4  111  ÷  98  Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) =  7; Ví dụ 6 Giải hệ phương trình  x 2 + 3 x + ln ( 2... Đặt v = 1 − x 2 ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − 1 = m Xét hàm số g(v) = v2 + 2v − 1 với v∈[0; 1] ta có g ' ( v ) = 2v + 2 > 0 ∀v ∈ [ 0;1] và g(v) liên tục trên[0; 1] g (v) = g ( 0 ) = −1; Max g (v) = g ( 1) = 2 Suy ra Min [0;1] [0;1] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: −1 ≤ m ≤ 2  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 Ví dụ 4 Giải hệ phương trình  2 x −1  y + y − 2 y + 2 = 3 + 1 ( x; y ∈ ¡ ) ... 1 ≤ 1 − 1 ≤ y + 1 ≤ 3   2 2 2  3 3 ( ) 3 Xét hàm số f ( t ) = t − 12t trên  − ;  , ta có f ' ( t ) = 3 t − 4 < 0 , suy ra f ( t )  2 2 2 nghịch biến Do đó (1) ⇔ x − 1 = y + 1 ⇔ y = x − 2 Thay vào (2), ta được x = 1 2 1 3 hoặc x = 2 2 KQ : Hệ có nghiệm là  ; − 3 3 1 ÷,  ; − ÷ 2 2 2 • Bình luận :Ngoài việc đưa một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , ta còn phải giới hạn x,y... x + 2 ) + 3 x + 1 − ( x + 1) − 8 trên [ −1, +∞ ) Ta có f ' ( x ) = 3 ( x + 2 ) − 2 ( x + 1) + 2 2 1 1 = 3 x 2 + 10 x + 10 + 2 x +1 2 x +1 = 3 ( x + 1) + ( 4 x + 4 ) + 3 + 2 1 ⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x > −1 và f ( x ) 2 x +1 liên tục trên [ −1, +∞ ) , suy ra f ( x ) là đồng biến trên [ −1, +∞ ) Do f ( 0 ) = 0 ⇒ x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) Với x = 0 ⇒ y = 1 Vậy hệ phương trình đã cho có ... t ) > 0, ∀t hàm số f(t) đồng biến R Nên PT (*) ⇔ u = v thay vào PT (1) ta u + u + = 3u (3) ( ) Theo nhận xét u + u + > nên PT (4) ⇔ ln u + u + − u ln = (lấy ln hai vế) Xét hàm số ( ) g ( u ) =... = 3t + 3 ( y + ) + = t ( 1)  ⇔  ( y + ) − 1 ( y + ) + ( y + ) + 1 = 3t + ( ) Cộng theo vế hai pt ta ( y + ) + + ( y + ) − 1 ( y + ) + ( y + ) + 1 = t + 3t +   ⇔ ( y + ) +... LG: Điều kiện  0 ≤ y ≤  Ta chứng minh bất đẳng thức: ) 1 + 2x2 + + y2 ≤ (*) + xy Thật vậy, theo BĐT Bunhiacopxki, ta có:    1 1   ÷ ≤ 2 + + 2 ÷ ( ) ÷  + 2x2 + x + y 1+ 2y     Dấu