013_Đề Hsg Toán 9_Hà Nội_21-22.Docx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021 2022 Môn TOÁN Ngày thi 24 tháng 3 năm 2022 Thời gian làm bài 150 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Giải ph[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021-2022 Mơn : TỐN Ngày thi : 24 tháng năm 2022 Thời gian làm : 150 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Giải phương trình : x   3x  x  2 2 2) Cho a, b, c số thực khác 0, thỏa mãn a  ab c  bc a  ac b  bc  a  b c  K           b  c  a  Tính giá trị biểu thức Bài II (5,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn  2022 n 3 2) Tìm tất số nguyên tố p để phương trình x  y  3xy   p có nghiệm nguyên dương m Bài III (2,0 điểm) Với số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c 1 a  b  c 2, tìm ab bc ca P    ab  bc  ca giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  , nội tiếp đường tròn  O  Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC đồng quy trực tâm H Gọi K , Q giao điểm đường thẳng EF với hai đường thẳng AH , AO 1) Chứng minh AQE 90 2) Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE IK ID 3) Gọi R, J trung điểm BE , CF Chứng minh JR vng góc với QD Bài V (2,0 điểm)   lập phương 1) Tìm tất số nguyên a, b cho số  số nguyên tố 2) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 gồm 2022 chữ số Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngồi bên trái 2, biến đổi chữ số chọn theo quy tắc: chữ số đổi thành chữ số chữ số đổi thành chữ số a) Chứng minh cách thực phải dừng lại sau số bước hữu hạn bước a  b b3  a b) Giả sử sau thực n bước khơng thể thực thêm bước Chứng minh n số lẻ ĐÁP ÁN Bài I (5,0 điểm) 3) Giải phương trình : ĐKXĐ:  x 7 x  x   3x  x  3 Phương trình cho đưa    x   x   3x  0  x  2 0    x 1(tmdk )  x  2 2 2 4) Cho a, b, c số thực khác 0, thỏa mãn a  ab c  bc a  ac b  bc  a  b  c  K           b  c  a  Tính giá trị biểu thức     x 3   Từ giả thiết suy 3x    a  a  b  c  b  c  ; a  a  c  b  b  c   b c c a a b   a b c Th1: a  b  c 0  a  b  c; b  c  a; c  a  b Do 1 a a b  c b a c b c a b   ;1   ;1    P   b b b c c a a b c a Th2: a  b  c 0  b c ca a b a b c a b c a b c 1  1  1     a b c a b c a b c  a  b  c  P          8  b  c  a  Suy Bài II (5,0 điểm) 3) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn  2022 n m Giả sử m, n hai số tự nhiên thỏa mãn  2022 n Th1: m 0 (loại) n 30  2022 2023 khơng phải số phương m Th : m 1: n 31  2022 2025 452  n 45 m Th3: m 2 Khi n 3  20223  n3 m Dẫn tới n 9 hay  20229 m Điều vơ lý 9, 2022 khơng chia hết cho Vậy m 1, n 45 3 4) Tìm tất số nguyên tố p để phương trình x  y  3xy   p có nghiệm nguyên dương Biến đổi p  x  y  3xy   x  y  1  x  y   xy  x  y  Nhận xét p số nguyên tố , x  y 1  nên dẫn tới 2 x  y   xy  x  y 1   x  y    x  1   y  1 2  y 0 Th1: x 1    y  2    p 4(ktm)  y 2 th2 : y 1  x 2  p 4(ktm)  x  1  y  1 1 th3 : x  1, y     x  y 2  p 5  x  y  0 Vậy số nguyên tố p cần tìm p 5 Bài III (2,0 điểm) Với số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c 1 a  b  c 2, tìm ab bc ca P    ab  bc  ca giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tìm giá trị lớn Ta có : 3 P  1 9     ab  bc  ca  ab  bc  ca   a  b  c   3 12 12  P   Min P   a b c  13 13 Tìm giá trị nhỏ Khơng tính tổng qt, giả sử a b c 0 Vì a, b, c 1 nên  a  1  b  1 0  ab  a  b  a b b c c a   3 Chứng minh tương tự : ab  bc 1 ca 1 Từ 2  P  a b  c a b c a b c   ab  bc  ca  a b 1 ab  27 13 a b  a b c  c 1       3  a  b  c 5  3  bc   ab  bc  ca   3 P   P  2 Nên ta có : MinP   a b 1, c 0 Vậy Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  , nội tiếp đường tròn  O  Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC đồng quy trực tâm H Gọi K , Q giao điểm đường thẳng EF với hai đường thẳng AH , AO A S E I F B K H R Q O J C D T 4) Chứng minh AQE 90 Dễ chứng minh AEF ∽ ABC (c.g.c)  AEF ABC Kẻ đường kính AP (O) Dễ chứng minh tứ giác BHCP hình bình hành nên BH CP Ta có BHD ∽ ACD  g g  BD BH CP    ABD ∽ APC (c.g.c) Suy AD AC AC Điều chứng tỏ BAD CAP  AEF  CAP ABC  BAD 90  AQE 90 5) Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE IK ID Xét tam giác AEH vng E có IE IA IH nên tam giác AIE cân I Suy IEA IAE Tương tự MEC MCE  IEA  MEC IAE  MCE 90  IEM 90 Từ IE IF , ME MF  MI đường trung trực EF , dẫn đến MI  EF N giao điểm EF , MI  IE IN IM INK ∽ IDM  g g   IN IK  ID IM Mặt khác Suy IN IM IK ID  IE IK ID 6) Gọi R, J trung điểm BE , CF Chứng minh JR vng góc với QD Gọi S điểm đối xứng với F qua Q, gọi T điểm đối xứng với C qua D Chứng minh TAF CAS , dẫn tới TAF CAS (c.g.c )  FT CS Mặt khác , theo tính chất đường trung bình 1 JQ  SC JD  FT  JD JQ 2 Chứng minh tương tự ta có RD RC , suy JR đường trung trực DQ  JR  QD Bài V (2,0 điểm) a  b   b3  a  3) Tìm tất số nguyên a, b cho số  lập phương số nguyên tố a  b   b3  a   p Giả sử a, b hai số nguyên dương thỏa mãn  với p số nguyên p  a  a  tố Rõ ràng a b a b vơ lý p số ngun tố 3 Không tổng quát, giả sử a  b  a  b  b  a p  Với ý Ư a  b  p   1; p; p ; p   b3  a  p  p  ab  Vì a  p  b3   p  b3   b  p  b  b p  b  b  1  b  1  b  1  b  1 p Ta có p  b  b   b   b  Do cịn trường hợp  b 1   b 1p Th1: b 1  a   a  1  a 2, p 3 b b3  a    b  1 p  ab  1p Th2: b  1p Rõ ràng  (Vơ lý  ab   p)  a 2; b 1; p 3  Kết luận  a 1; b 2; p 3 4) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 gồm 2022 chữ số Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngồi bên trái 2, biến đổi chữ số chọn theo quy tắc: chữ số đổi thành chữ số chữ số đổi thành chữ số c) Chứng minh cách thực phải dừng lại sau số bước hữu hạn bước Sau bước, số thu giảm số nguyên dương đơn vị Mặt khác số thu số khơng âm Vì trình phải dừng lại sau hữu hạn bước d) Giả sử sau thực n bước thực thêm bước Chứng minh n số lẻ Đếm từ phải sang trái, ta đánh dấu chữ số có thứ tự bội 22 Như có 91 chữ số đánh dấu vị trí 22, 44, 66, , 2002 tính từ phải sang trái Gọi S số chữ số chữ số đánh dấu Ban đầu S = 91, số lẻ Trong 22 chữ số liên tiếp ln có chữ số đánh dấu, bước S tăng giảm 1, tức bước S thay đổi tính chẵn lẻ Cụ thể là, sau số lẻ bước thay S chuyển từ lẻ thành chẵn; sau số chẵn bước thay S chuyển từ chẵn thành lẻ Nếu S > 0, tồn dãy 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngồi bên trái 2, tức ta cịn thực bước Do để ta thực bước S = Từ số bước thực đến lúc dừng lại phải lẻ, hay n lẻ