037_Đề HSG Toán 9_Hà Giang_2017-2018

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu a Cho x     Tính A   x4  x3  x  x  1 2017 b Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: A   a  b  b  c   c  a bình phương số hữu tỉ Câu a Giải phương trình: 2x 13x   x  5x  x  x  b Cho P( x)  x2  ax  b với a, b  N Biết P 1  2017 Tính P  3  P  1 Câu Tìm số nguyên dương n cho n4  n3  số phương Câu Cho a, b, c  Chúng minh rằng: b2  c c  a a  b2    2a  b  c a b c Câu Cho ABC vuông cân A Gọi D trung điểm BC Lấy M cạnh AD ,  M  A, D  Gọi N , P theo thứ tự hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC H hình chiếu N xuống đường thẳng PD a Chứng mính AH  BH b Đường thẳng qua B , song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H , N , I thẳng hàng …………HẾT………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Ta có: x        1    1   x  Vậy A  b Ta có: 1        a b bc c a  1 2       2  a  b   b  c   c  a   a  b  b  c   b  c  c  a   c  a  a  b     a  b    a  b b  c    b  c  c  a   c  a  2c  a  a  b  b  c  a  b  b  c  Câu a ĐKXĐ: x  1; x  Xét x  không nghiệm Xét x  , phương trình cho tương đương với 2x   x  13 2x 1 x 6 x Đặt x    t ta 13    2t  7t     2t  1 t    t t 6  t    t  4  x  Với t   x      x x  Với t  4  x    4  x2  x   vơ nghiệm x Vậy phương trình có tập nghiệm S   ; 2 4  b Vì P 1  2017  2017   a  b  a  b  2016 Do P  3  P  1    3a  b   1  a  b   10   a  b   4042 Câu Đặt A  n4  n3  Với n  A  không thỏa mãn Với n  ta có A  4n4  4n3  Xét A   2n2  n  1  3n2  2n    A   2n2  n  1 2 Xét A   2n2  n    n2   A   2n2  n  2 Vậy A   2n2  n   n  2 Với n  A  25 thỏa mãn toán Câu Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có b2  c c  a a  b2  bc ca ab     2    a b c c   a b  bc ca   ca ab   ab bc                a  b  c c   c a   a b   b Dấu xảy a  b  c Câu C E D H P A M B N I a Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia PD E Ta có BE  PC  BN suy BEN vuông cân B Do NBE  NHE  900 nên B, H thuộc đường trịn đường khính NE Suy NHB  NEB  450 (1) Tương tự hai điểm A, H thuộc đường trịn đường kính PN suy AHN  APN  450 (2) Từ (1) (2) suy AHB  900 hay AH  BH b Từ giả thiết suy AIB  900 nên I điểm cung AIB đường trịn đường kính AB Mặt khác, theo kết câu a tia HN tia phân giác AHB AHB góc nội tiếp chắn cung AIB đường trịn đường kính AB nên HN phải qua I Do ba điểm H , N , I thẳng hàng  ...   2n2  n    n2   A   2n2  n  2 Vậy A   2n2  n   n  2 Với n  A  25 thỏa mãn toán Câu Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có b2  c c  a a  b2  bc ca ab     2    a b