003_Đề Hsg Toán 9_Anh Sơn_21-22.Docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (4,0 điểm) 1 Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 1 x A x x x          với 6 2 5[.]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN Câu (4,0 điểm)  x  A   : x   x  với x 6   x1 Tính giá trị biểu thức sin x  , với x góc nhọn Tính giá trị biểu thức sau : Cho B 18cos x  9sin x  3cos x  6sin x Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x    x 3  2 P 1    3 4 n  2n  b) Cho n   * Hỏi P có số hữu tỉ khơng ? Vì ? Câu (4,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn y  xy  x  0 b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh a 1 a  b 1 b  c 1 c  Câu (6,5 điểm ) Cho tam giác ABC có AB  AC; BAC 45 , vẽ đường cao BM , CN a) Chứng minh AM AC  AN AB 2 b) Chứng minh BC 2MN c) Từ A kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường thẳng BC Q Chứng 1   minh AQ AC AB Câu (1,5 điểm) Bên hình vng có cạnh 1cm lấy 51 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng, chứng minh tồn điểm 51 điểm tạo thành tam giác có diện tích bé 0, 04cm ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm)  x  A   : x   x  với x 6   x1 Tính giá trị biểu thức  x  x 0   A     : x   x   x 1   x1  x   x1  x 1  x 6   x 1  x x1  1  x  1  A  5 sin x  , với x góc nhọn Tính giá trị biểu thức sau : Cho B 18cos x  9sin x  3cos x  6sin x 5 sin x   sin x   cos x   cos x  9 2  B 18cos x  9sin x  3cos x  6sin x 5 18    18  9 3 Câu (4,0 điểm) c) Giải phương trình x    x 3   x 6  Đặt x  t ,  x u  t , u 0  Ta có hệ :   t 2  x 5(tmdk )  u  t  u 3 t  u 3    2   t 1 tu  t  u      x 2  tmdk    u 2 P  2 1    3 4 n  2n  d) Cho n   * Hỏi P có số hữu tỉ khơng ? Vì ? P  2 1    3 4 2n  2n  2 3 n  2n     1 1 1       2n  2n     2n      2n     2n sô huu ti  2n  Câu (4,0 điểm) c) Tìm x, y nguyên thỏa mãn y  xy  3x  0 y  xy  3x  0  x  xy  y  x  x    x  y   x  1  x    * VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải  x  0   có số  x  0  x   y 1  x   y 2  Vậy  x; y     1;1 ;   2;   d) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh a  a2 b   c  b2  c2 AB   A  B  Áp dụng :   a ab  bc  ca  a  a  b   a  c  a   a2  a  a  b  a  c  a a 1 a a       1 a b a c  a b a c  Tương tự : b 1 b b  c 1 c c          2 ;   3 2 bc ba   c a c b  1 b 1 c  1 ,   ,  3 Từ ta có : a 1 a b a c b c           a2  b2  c2  a  b b  a a  c c  a b  c c  b  a b c 3 Min     a b c  2 2 1 a 1 b 1 c Vậy  b  c Câu (6,5 điểm ) Cho tam giác ABC có AB  AC ; BAC 45 , vẽ đường cao BM , CN A P N Q M B C d) Chứng minh AM AC  AN AB Xét AMB & ANC có : AMB ANC 90 , MAB CAN 45 AM AB   AM AC  AN AB AN AC 2 e) Chứng minh BC 2MN AN AM   ANM &  ACB Xét có : AC AB (Vì AM AC  AN AB) ; NAM BAC  45  AN MN  ANM ∽ ACB (c.g c)   AC BC AN cos A  AC Xét ANC vuông N có AN AN MN  cos 45      AC AC BC 2  BC  2MN  BC 2MN f) Từ A kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường thẳng BC Q  AMB ∽ ANC ( g.g )  1   Chứng minh AQ AC AB Ta có: MB / / AQ( gt ), MB  AC  AQ  AC  QAC 90  QAB QAC  BAC 90  45 45  QAB BAC 45  AB phân giác tam giác vuông QAC Từ B kẻ BP  AQ P Xét tứ giác APBM có APB PAM AMB 90  APBM hình chữ nhật Mà AB phân giác PAM  APBM hình vng Suy BM BP  AB Xét AQC có BP / / AC  AQ  BP QB   1 AC QC AQC có BM / / AQ vng góc với Từ (1), (2)  AC  BM BC   2 AQ QC BP BM QB BC QB  BC QC      1 AC AQ QC QC QC QC AB AB   1  AC AQ AB AB 1  1    AC AQ AB AC AQ Câu (1,5 điểm) Bên hình vng có cạnh 1cm lấy 51 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng, chứng minh tồn điểm 51 điểm tạo thành tam giác có diện tích bé 0, 04cm Diện tích hình vng 1cm Ta chia hình vng cạnh 1cm thành 25 hình vng nhỏ cạnh 0, 2cm Khi 51 điểm nằm 25 hình vng nhỏ cạnh 0, 2cm Mà 51 25.2  nên theo nguyên lý Dirichlet tồn điểm nằm hình vng cạnh 0, 2cm , ta chứng minh tam giác có đỉnh điểm thỏa mãn điều kiện đề Thật vậy, ta gọi điểm A, B, C nằm hình vng MNPQ Vẽ hình chữ nhật GHIK có cạnh song song với cạnh hình vng MNPQ có A, B, C nằm cạnh Khi : 1 S ABC  SGHIK  S MNPQ 0, 04  cm  2