PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (4,0 điểm) 1 Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 1 x A x x x với 6 2 5[.]
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN Câu (4,0 điểm) x A : x x với x 6 x1 Tính giá trị biểu thức sin x , với x góc nhọn Tính giá trị biểu thức sau : Cho B 18cos x 9sin x 3cos x 6sin x Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x x 3 2 P 1 3 4 n 2n b) Cho n * Hỏi P có số hữu tỉ khơng ? Vì ? Câu (4,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn y xy x 0 b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh a 1 a b 1 b c 1 c Câu (6,5 điểm ) Cho tam giác ABC có AB AC; BAC 45 , vẽ đường cao BM , CN a) Chứng minh AM AC AN AB 2 b) Chứng minh BC 2MN c) Từ A kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường thẳng BC Q Chứng 1 minh AQ AC AB Câu (1,5 điểm) Bên hình vng có cạnh 1cm lấy 51 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng, chứng minh tồn điểm 51 điểm tạo thành tam giác có diện tích bé 0, 04cm ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) x A : x x với x 6 x1 Tính giá trị biểu thức x x 0 A : x x x 1 x1 x x1 x 1 x 6 x 1 x x1 1 x 1 A 5 sin x , với x góc nhọn Tính giá trị biểu thức sau : Cho B 18cos x 9sin x 3cos x 6sin x 5 sin x sin x cos x cos x 9 2 B 18cos x 9sin x 3cos x 6sin x 5 18 18 9 3 Câu (4,0 điểm) c) Giải phương trình x x 3 x 6 Đặt x t , x u t , u 0 Ta có hệ : t 2 x 5(tmdk ) u t u 3 t u 3 2 t 1 tu t u x 2 tmdk u 2 P 2 1 3 4 n 2n d) Cho n * Hỏi P có số hữu tỉ khơng ? Vì ? P 2 1 3 4 2n 2n 2 3 n 2n 1 1 1 2n 2n 2n 2n 2n sô huu ti 2n Câu (4,0 điểm) c) Tìm x, y nguyên thỏa mãn y xy 3x 0 y xy 3x 0 x xy y x x x y x 1 x * VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải x 0 có số x 0 x y 1 x y 2 Vậy x; y 1;1 ; 2; d) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh a a2 b c b2 c2 AB A B Áp dụng : a ab bc ca a a b a c a a2 a a b a c a a 1 a a 1 a b a c a b a c Tương tự : b 1 b b c 1 c c 2 ; 3 2 bc ba c a c b 1 b 1 c 1 , , 3 Từ ta có : a 1 a b a c b c a2 b2 c2 a b b a a c c a b c c b a b c 3 Min a b c 2 2 1 a 1 b 1 c Vậy b c Câu (6,5 điểm ) Cho tam giác ABC có AB AC ; BAC 45 , vẽ đường cao BM , CN A P N Q M B C d) Chứng minh AM AC AN AB Xét AMB & ANC có : AMB ANC 90 , MAB CAN 45 AM AB AM AC AN AB AN AC 2 e) Chứng minh BC 2MN AN AM ANM & ACB Xét có : AC AB (Vì AM AC AN AB) ; NAM BAC 45 AN MN ANM ∽ ACB (c.g c) AC BC AN cos A AC Xét ANC vuông N có AN AN MN cos 45 AC AC BC 2 BC 2MN BC 2MN f) Từ A kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường thẳng BC Q AMB ∽ ANC ( g.g ) 1 Chứng minh AQ AC AB Ta có: MB / / AQ( gt ), MB AC AQ AC QAC 90 QAB QAC BAC 90 45 45 QAB BAC 45 AB phân giác tam giác vuông QAC Từ B kẻ BP AQ P Xét tứ giác APBM có APB PAM AMB 90 APBM hình chữ nhật Mà AB phân giác PAM APBM hình vng Suy BM BP AB Xét AQC có BP / / AC AQ BP QB 1 AC QC AQC có BM / / AQ vng góc với Từ (1), (2) AC BM BC 2 AQ QC BP BM QB BC QB BC QC 1 AC AQ QC QC QC QC AB AB 1 AC AQ AB AB 1 1 AC AQ AB AC AQ Câu (1,5 điểm) Bên hình vng có cạnh 1cm lấy 51 điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng, chứng minh tồn điểm 51 điểm tạo thành tam giác có diện tích bé 0, 04cm Diện tích hình vng 1cm Ta chia hình vng cạnh 1cm thành 25 hình vng nhỏ cạnh 0, 2cm Khi 51 điểm nằm 25 hình vng nhỏ cạnh 0, 2cm Mà 51 25.2 nên theo nguyên lý Dirichlet tồn điểm nằm hình vng cạnh 0, 2cm , ta chứng minh tam giác có đỉnh điểm thỏa mãn điều kiện đề Thật vậy, ta gọi điểm A, B, C nằm hình vng MNPQ Vẽ hình chữ nhật GHIK có cạnh song song với cạnh hình vng MNPQ có A, B, C nằm cạnh Khi : 1 S ABC SGHIK S MNPQ 0, 04 cm 2