007_Đề Hsg Toán 9_Quảng Nam_21-22.Docx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi Toán Thời gian 150 phút Ngày thi 19/4/2022 Câu 1 (4,0 điểm) a) Cho biểu thức 3 2 2 3 1[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi : Tốn Thời gian: 150 phút Ngày thi: 19/4/2022 Câu (4,0 điểm) x x  x 2 x2 x   x  x  x  với x 0, x 1 a) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A tìm x để A x  x   m   x  m  0 m A b) Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 x1 x2 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình 2 x  3 x 2   x    x   0  x  y   x  y   y 2  2 b) Giải hệ phương trình 4 x  y  x  y  xy  Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, AB 4cm Gọi M , N , I trung điểm đoạn thẳng BC , AC , BN Điểm D thuộc đoạn thẳng AM cho AM 4 AD a) Tính diện tích tam giác DMN b) Chứng minh tam giác DIN vuông cân Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  , nội tiếp đường tròn  O  Dựng đường cao AD, BE , CF tam giác ABC Đường thẳng EF cắt đường tròn  O  M N  M , N nằm cung nhỏ AB, AC ) Gọi I giao điểm BM DF , J giao điểm CN DE a) Chứng minh EB tia phân giác DEM b) Chứng minh AM  AN c) Chứng minh tứ giác MNJI nội tiếp đường tròn Câu (5,0 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên cho tổng số với tổng chữ số 2023 b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá tri nhỏ biểu x3  y3  z3  H   x  y  z y2  z  x z2  x  y thức : ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) A c) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức x x  x 2 x2 x   x x  x  với x 0, x 1 A tìm x để A x    x  x  1  x  x x x  x 2 x x  x  x 2    x x x1 x 1  x2 x   x 4 x 3    x  1  A x   x  x   x  x1  x  3 x 3 x1  A x 1 x  0    x  x  1   x 1  x 1   x 1  x 1 x1 x   x1 x 1 x 1  x  0  x 4(tmdk ) 2 d) Tìm giá trị tham số m để phương trình x   m   x  m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 x1 x2  '  m     m  1 4m  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  '   4m    m    x1 x2 m   Áp dụng hệ thức Vi-et :  x1  x2   m   x1  x2  2(m  2)  (vì m    m      m    0) x1 x2 m2    x1  0, x2  Khi x1  x2  x1 x2   x1  x2  x1 x2  x1 x2  x1  x2 0  m  1(ktm)  m    m   0  m  2m  0    m 3(tm) Vậy m 3 Câu (4,0 điểm) c) Giải phương trình Điều kiện :   x 2 Đặt 2 x  3 x 2 t   x   x  t 0     x    x   0   x    x  t   t  4(ktm) t  t  12 0    t 3(tm) Phương trình cho trở thành :  x 1(tm) x  x  0    x  2(tm) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  2, x 1  x  y   x  y   y 2  2 d) Giải hệ phương trình 4 x  y  x  y  xy  t 3   x   x 3    x    x  2  Cộng vế theo vế hai phương trình ta :  x  y   x  y   4x2  y  2x  y  xy 0   x  y   x  y    x  y   (2 x  y ) 0   x   x  y 0  y  x    y 2   x  y   x  y  1 0     x  1; y 2  3x  x  y  0  y      x  5; y 8  x; y     1;  ,   5;8   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm A, AB 4cm Gọi M , N , I lần Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân lượt trung điểm đoạn thẳng BC , AC , BN Điểm D thuộc đoạn thẳng AM cho AM 4 AD B M I H D A K N C c) Tính diện tích tam giác DMN Gọi H trung điểm AM Suy NH  AM S DMN  NH DM , BC 4  AM 2  cm  1 3 NH  CM  2 2, DM  AM  2   cm  2 4 Ta có : 1 3  S DMN  NH DM    cm  2 2 d) Chứng minh tam giác DIN vuông cân Gọi K trung điểm AN Ta có IM / / KN , IM KN suy MNKI hình bình hành Hơn nữa, IK vng góc KN  MNKI hình chữ nhật AD AK    KD / /CM Lại có AM AC mà CM  AM  CM  KD Suy điểm M , N , K , D, I nằm đường tròn đường kính KM Mà đường trịn đường kính KM đường trịn đường kính IN Suy DN  DI Lại có DIN DMN 45 nên tam giác DIN vuông cân I Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  , nội tiếp đường tròn  O  Dựng đường cao AD, BE , CF tam giác ABC Đường thẳng EF cắt đường tròn  O  M N  M , N nằm cung nhỏ AB, AC ) Gọi I giao điểm BM DF , J giao điểm CN DE J I A N K M F H E O C B D d) Chứng minh EB tia phân giác DEM Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn nên BED BAD Gọi H trực tâm tam giác ABC Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn nên BAD FEH Suy BED FEH hay EB tia phân giác DEM e) Chứng minh AM  AN Gọi K giao điểm OA EF, ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên có AEF ABC  AOC 2OAC  AOC 180  OAC 90  AOC OAC cân O nên Do AEF  OAC 90  OA  MN  AM  AN f) Chứng minh tứ giác MNJI nội tiếp đường tròn Tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn nên AFD  ACB 180 Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn nên BFE  ACB 180 Suy AFD BFE  BFI BFN Lại có MBA NBA (vì chắn hai cung nhau) Do BFI BFN  g.c.g   BI BN , FI FN Suy FB trung trực IN hay AB trung trực IN, AI  AN Câu (5,0 điểm) c) Tìm tất số tự nhiên cho tổng số với tổng chữ số 2023 Gọi số n tự nhiên thỏa đề, S  n  tổng chữ số số n Theo đề ta có n  S  n  2023 Ta có n  0, S  n   ,  n  2023  S  n  28 (Khi n 1999, S  n  1    28) Suy 2023  28 n  2023 hay 1995 n  2023  a 1 n abcd    a 2 Nên n số có chữ số Nếu a 1  n 1bcd  n  S (n) 1000  bcd   b  c  d 2023  101.b  11c  2d  1023 Mà b; c; d 9  b 9,11c  2d 113  c 9, d 7 Suy n 1997 Nếu a 2  n 2bcd  n  S (n) 2000  101b  11c  2d  2023  101b  11c  2d 21  b 0, c  2d 21  c 1, d 5 Suy n 2015 Vậy có hai số thỏa mãn đề 1997 2015 d) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá tri nhỏ biểu thức : H x3  y3  z3    x2  y  z y  z  x z  x  y  x  1  y  z  1   x  y  z x x  y  z x x  y  z  x  y  z 2  x  1  x  x  1  y  z  x3  x3     0 x  y  z x x  y  z x  x2  y  z   x  y  z   x3  x3   x2  y  z x  x  y  z  Tương tự : H Suy Hay H y3  y3  z3  z3   ,  y2  z  x y  x  y  z  z2  x  y z  x  y  z  x3  y3  z3    x x  y  z y  x  y  z z  x  y  z  1 1 2 x y z     x yz x y z 1 1  yz ,  zx,  xy  H  x  y  z  xy  yz  zx   y z x yz Lại có x   x  y    y  z    z  x   0  H  2 x  y  z  Dấu xảy x  y z 1 Vậy Min H 0  x  y  z 1