006_Đề Hsg Toán 9_Nam Đàn_21-22.Docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM ĐÀN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2021 2022 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (3,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức 1 1 4 2 2 x A x x x [.]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2021-2022 Mơn : TỐN Thời gian làm : 150 phút PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM ĐÀN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức b) Cho x 2 A x 1   x x x  với x 0, x 4   13  48 M  x  x  1 2 Tính giá trị biểu thức : 2022 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau : a) x   x  3 b) x  x  2 x  Câu (4,5 điểm) a) Tìm tất số nguyên dương thỏa mãn phương trình : x  y  xy  x  y  0 B  n    36 b) Tìm số tự nhiên n để : số nguyên tố c) Tìm số tự nhiên n để n  3n  1149 Câu (3 điểm) a b c   12 a  1; b  1; c  b  c  a  a) Cho Chứng minh x x số nguyên b) Tìm số thực x để : x  3; x  Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH , trung tuyến AM ( H , M thuộc BC ) Gọi D, E thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh : a) AD AB  AE AC b) AM vng góc với DE 2 2 c) BD  CE BC  AH ĐÁP ÁN Câu (3,5 điểm) c) Rút gọn biểu thức A  x  d) Cho x 2 x     x  x 2  x 2   x x   13  48 x 2 2 M  x  x  1 x 2 x 1   x x x  với x 0, x 4 x 1  x 0      x x x   x 4  x x 2 x   A Tính giá trị biểu thức : 2022   13  48 2 3 5 2 2  1 2  3 5  3  2  2   2 1 1  2   M  12  3.1  1 2022  1 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau : c) x   x  3   x   x    x  1 3   x   3  x  4  x 3(tm) d) x  x  2 x   x 1 1 3  1 1 3  x  x   2 x   x   2   x  x  2 x     x  1 ( x  3) 2   x  1 ( x  3)    2x    x   1 x  1   0 x  1    x  1  x      x  0  x     0   x  1(tmdk ) x  1  Câu (4,5 điểm) d) Tìm tất số nguyên dương thỏa mãn phương trình : x  y  xy  x  y  0  x  y  xy  x  y    x  xy     xy  y    x  y    x  x  y   y  x  y    x  y     x  y    x  y 3    x  y  3  2 x  y      x  y   x  y  1   ;    x  y 1   x  y      x  y    2 x  y  1 Vậy x 1; y 2  x  3; y  2(ktm)  x 1; y 2  e) Tìm số tự nhiên n để : B  n    36  n 2  B  n    36 số nguyên tố  2.n  82  36 n  16n2  100 n  20n  100  36n2 2  n  10    6n   n  6n  10   n2  6n  10   n  6n  10 1; n  6n  10 SNT  2 Vì B số nguyên tố nên  n  6n  10 1; n  6n  10 SNT Mà n    n   n  6n  10  Do đó:  n  6n  10 1  n 3(tmdk )   n  6n  10: SNT f) Tìm số tự nhiên n để n  3n  1149 Giả sử tồn n tự nhiên cho n  3n 11 chia hết cho 49, ta có : n  3n  1149   n  3n  11 49  4n  12n  4449  4n 12n   3549   2n    3549  1 Do 35 49 chia hết suy  2n  3 7 Vì số nguyên tố nên 2n  37 hay  2n  3 49   Từ (1) (2) suy điều giả sử sai Vậy ta có đpcm Câu (3 điểm) c) Cho a  1; b  1; c  Chứng minh a , b, c   a b c   12 b1 c1 a1 a   0; b   0; c   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có : a b c   3 b1 c1 a1  a  a b c 3 b1 c1 a1 0  a  a  0  a 4 Vì Đẳng thức xảy a 4 Tương tự, ta có : b 4; b1  abc   a1  b1  c1 a 4 a1  a1  c 4 c1 a b c   3 4.4.4 12 Vậy b  c  a  Dấu xảy a b c 4 d) Tìm số thực x để : x  3; x  a , b  x  ; c  x  x x  a, b, c   x 2 Từ a x   x a  ; b x   x b    a  b   a   b    a  1 b  a  x số nguyên Nếu a  0  a    b  a3   a, b   a 1 a  0 a  0    b  a  0  Vậy a   x 3  b 4 Với x    a  1, b 4, c  nguyên Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH , trung tuyến AM ( H , M thuộc BC ) Gọi D, E thứ tự hình chiếu H AB, AC Chứng minh : C M H E I A D B d) AD AB  AE AC AHB vuông H có HD  AB D (gt) AHC vng H có HE  AC E (gt) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có : AH  AD AB    AD AB  AC AE AH  AC AE  e) AM vng góc với DE AM MB MC  BC AM đường trung tuyến ABC nên (tính chất đường trung tuyến tam giác vng)  AMB cân M  ABM MAB Gọi AM giao với DE I Tứ giác ADHE hình chữ nhật có O trung điểm AH (gt) nên O trung điểm DE mà DE  AH  OA OD OH OE  AOD cân D nên OAD ODA Mà OAD  B 90  ODA  B 90 , lại có B MAB  MAH  ODA 90  AID vuông I nên AM  DE 2 2 f) BD  CE BC  AH Có : BC  AH  BH  HC   AH BH  HC  BH HC  AH 2 Mà BH HC  AH  BC  AH BH  HC  AH  AH  HD  DB    CE  EH   AH BD  CE   HD  HE   AH BD  CE  DE  AH 2 Mà tứ giác ADHE hình chữ nhật nên DE  AH  DE  AH 2 2 Do : BC  AH BD  CE