ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2021 2022 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (2,0 điểm) 1) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 6a b c và 4a b c Chứng minh rằng 10 5 5 5 5 5 5 a b c a b c[.]
ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2021-2022 MÔN TOÁN Câu (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 6 a b c 4 Chứng minh : a b c a 5 b 5 c 5 10 a 5 b c 5 x3 f x x x Hãy tính giá trị biểu thức sau : 2) Cho 2020 2021 Af f f f 2022 2022 2022 2022 Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : 3x x x7 xy x 7 y 2 2) Giải hệ phương trình : x y xy 13 y Câu (2,0 điểm) 2 2 1) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức x y x y 10 xy 2 2) Cho p, x, y số tự nhiên thỏa mãn px x p 1 y y Chứng minh px py số phương Câu (3,0 điểm) 1) Cho đường trịn tâm O, bán kính R Điểm A nằm bên ngồi đường trịn tâm O Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn B, C tiếp điểm) Gọi M , N trung điểm AB, AC ; H giao điểm AO với BC Lấy điểm E đường tròn ( E khác B C) Qua E vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O, tiếp tuyến cắt đường thẳng MN K a) Chứng minh : MN AH HO b) Chứng minh KA KE 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn O; R Gọi D, E , F giao điểm đường thẳng AO với BC , BO với AC , CO với AB AD BE CF 9R Chứng minh : Câu (1,0 điểm) Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a b2 a c c b a b ab a c ac c b cb ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 3) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 6 a b c 4 Chứng minh : Từ giả thiết ta có : a b c 16 a b c a 5 b 5 c 5 10 a 5 b 5 c 5 ab bc ca 5 a a ab bc ca Suy Tương tự ta có : ca a b a a c b b b ab bc ca b c b a c c ab bc c c Do : a b c a 5 b 5 c 5 a b c a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b ab bc ca 10 a 5 b 5 c a 5 b 5 c a b b c c a Vậy a b c a 5 b 5 c 5 10 a 5 b c 5 x3 f x x x Hãy tính giá trị biểu thức sau : 4) Cho 2020 2021 Af f f f 2022 2022 2022 2022 f x f y 1 x y 1 Trước hết,ta chứng minh : Nếu f x Thật x x3 x f y f 1 f x f y f x f 1 x Suy 1 x x 3 x 1 x x3 x 1 x 1 3 x x 1 x 1011 f f 2022 1 2 A Ta có : f 2022 2021 f 2022 1010 f 2022 1012 f 2022 1011 f 2022 (biểu thức có 1010 dấu ngoặc vng, biểu thức ngoặc vng có giá trị 1) 1 A 1010 f 1010,5 2 Vậy Câu (2,0 điểm) 3x x x7 3) Giải phương trình : Điều kiện xác định : x x 3x x Đặt y 1 x7 x 7 x 1 2 3 x 7 0 y 1 x Từ x 1 y 3 x 1 y y x Ta có : 3 x x y 0 3 y y x 0 y x x y x y 0 x y 3x y 0 y x x x7 73 Th1: y x x x tm x x 4 x 7 69 x Th : y x x x (tm) 3 3 9 x 21x 2 73 69 S ; 6 Vậy tập nghiệm phương trình xy x 7 y 2 x y xy 13 y 4) Giải hệ phương trình : Nhận xét : y 0 khơng thỏa mãn hệ y 0 Chia vế phương trình cho y ta : x x 7 xy x 7 y y y 2 x y xy 13 y x x 13 y2 y x x y y 7 x x 13 y y a 4 a x a b 7 b 7 a y b 3 , 2 a a b 13 a a 20 0 b x y b 12 Đặt ta có : x 4 y x 3 y x 1; y a 4 Th1: b 3 3 y y 0 x 3 x 3; y 1 y x y x 12 a Th : b 12 12 y y 0 x 12 y (hệ vô nghiệm ) 1 , 3;1 x; y 1; Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) 2 2 3) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức x y x y 10 xy 2 2 2 2 Ta có: x y x y 10 xy x xy y 8xy 8x y x y 8 xy xy Do x y 0 với x, y nên xy xy 0 xy 1 Mặt khác x, y xy 0 xy 1 Th1: xy 0 x y 0 x y 1 Th : xy 1 x y Vậy , cặp số nguyên x; y thỏa mãn toán 0;0 , 1; 1 ; 1;1 2 4) Cho p, x, y số tự nhiên thỏa mãn px x p 1 y y Chứng minh px py số phương Ta có : px x p 1 y y p x y x y y x y px py 1 y x y d d x 1; px py 1 d * px py 1 d Đặt x y px py 1 y y d y d x y d x d px py d Vì px py d 1d d 1 px py d Ta có : mà Vậy x y; px py 1 hai số nguyên tố nhau, mà x y px py 1 số phương nên px py số phương Câu (3,0 điểm) 3) Cho đường trịn tâm O, bán kính R Điểm A nằm bên ngồi đường trịn tâm O Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn B, C tiếp điểm) Gọi M , N trung điểm AB, AC ; H giao điểm AO với BC Lấy điểm E đường tròn ( E khác B C) Qua E vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O, tiếp tuyến cắt đường thẳng MN K K B E M A I H O N C c) Chứng minh : MN AH HO Ta có ABC cân A suy AB AC OBC cân O suy OB OC Suy AO đường trung trực BC AO BC trung điểm H BC BC BC AH HO BH Xét ABO vuông B có đường cao BH nên BC MN Vì MN đường trung bình ABC nên BC MN MN AH HO d) Chứng minh KA KE KEO vng E , ta có : KE KO OE KO R 1 Vì MN / / BC , BC AO MN AO Gọi I giao điểm MN AO, ta có : KA2 KI IA2 KO OI IA2 KO AI OI AI OI KO AO OI AI Do MN / / BC , M trung điểm AB I trung điểm AH AI IH OI AI OI IH OH KA2 KO AO.OH KO OB KO R 2 Từ 1 , KE KA KE KA 4) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn O; R Gọi D, E , F giao điểm đường thẳng AO với BC , BO với AC , CO với AB Chứng minh : AD BE CF 9R A E F O B D C OA S AOC S AOB S AOB S AOC AD S S S ABC ADC ABD Ta có : OB S AOB SOBC OC S AOC SOBC ; BE S CF S ABC ABC Tương tự : OA OB OC 1 2 R 2 AD BE CF AD BE CF 1 AD BE CF R AD BE CF AD BE CF Theo bất đẳng thức AM GM ta có : 1 1 3 AD BE CF AD BE CF 3 AD.BE.CF AD BE CF 9R AD BE CF 9 R AD BE CF Dấu xảy ABC Câu (1,0 điểm) Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có : S a b2 a c c b a b ab a c ac c b cb a2 b2 a 1 b2 1 a 1 b2 1 (do a b c 1) a b ab a b a b c ab a b ab ac bc a b ab ac bc Chứng minh tương tự : a2 c2 a2 1 c2 1 2 2 a c ac a c ab ac bc a c ab ac bc b2 c2 b2 1 c2 1 b c bc b c ab ac bc b c ab ac bc a 1 a 1 x a b ab ac bc a c ab ac bc Gọi 1 x a 1 2 a b ab ac bc a c ab ac bc 1 , x; y Áp dụng bất đẳng thức x y x y Ta có : 1 2 2 a b ab ac bc a c ab ac bc 2a b c 2ab 2ac 2bc 1 4 2 2 a b ab ac bc a c ab ac bc a a b c a 1 2 a 1 1 x 4 a b ab ac bc a c ab ac bc a 1 Chứng minh tương tự, ta có : b2 1 b2 1 y 4 a b ab ac bc b c ab ac bc c2 1 c2 1 z 2 2 4 a c ab ac bc b c ab ac bc Suy S x y z 12 Dấu xảy Min S 12 a b c Vậy a b c ... Th1: xy 0 x y 0 x y 1 Th : xy 1 x y Vậy , cặp số nguyên x; y thỏa mãn toán 0;0 , 1; 1 ; 1;1 2 4) Cho p, x, y số tự nhiên thỏa mãn px x p 1 y y