009_Đề Hsg Toán 9_Hải Dương_21-22.Docx

ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2021 2022 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (2,0 điểm) 1) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 6a b c   và 4a b c   Chứng minh rằng       10 5 5 5 5 5 5 a b c a b c[.]

ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2021-2022 MÔN TOÁN Câu (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 6 a  b  c 4 Chứng minh : a b c    a 5 b 5 c 5 10  a  5  b    c  5 x3 f  x   x  x Hãy tính giá trị biểu thức sau : 2) Cho      2020   2021  Af   f     f   f    2022   2022   2022   2022  Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : 3x  x   x7  xy  x  7 y  2 2) Giải hệ phương trình :  x y  xy  13 y Câu (2,0 điểm) 2 2 1) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức x y  x  y 10 xy 2 2) Cho p, x, y số tự nhiên thỏa mãn px  x  p  1 y  y Chứng minh px  py  số phương Câu (3,0 điểm) 1) Cho đường trịn tâm O, bán kính R Điểm A nằm bên ngồi đường trịn tâm O Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn  B, C tiếp điểm) Gọi M , N trung điểm AB, AC ; H giao điểm AO với BC Lấy điểm E đường tròn ( E khác B C) Qua E vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O, tiếp tuyến cắt đường thẳng MN K a) Chứng minh : MN  AH HO b) Chứng minh KA KE 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn  O; R  Gọi D, E , F giao điểm đường thẳng AO với BC , BO với AC , CO với AB AD  BE  CF  9R Chứng minh : Câu (1,0 điểm) Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a  b2  a  c  c  b    a  b  ab a  c  ac c  b  cb ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 3) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 6 a  b  c 4 Chứng minh : Từ giả thiết ta có :  a b c  16  a b c    a 5 b 5 c 5 10  a  5  b  5  c  5 ab  bc  ca 5  a  a  ab  bc  ca  Suy Tương tự ta có :  ca  a b  a  a c   b b  b  ab  bc  ca  b c b a c  c  ab  bc  c c Do : a b c    a 5 b 5 c 5  a b  c   a  b a  c  b  c b  a  c  a c  b a  b  c   b  c  a   c  a  b   ab  bc  ca  10    a  5  b  5  c    a  5  b  5  c    a  b  b  c  c  a Vậy a b c    a 5 b 5 c 5 10  a  5  b    c  5 x3 f  x   x  x Hãy tính giá trị biểu thức sau : 4) Cho      2020   2021  Af   f     f   f    2022   2022   2022   2022  f  x   f  y  1 x  y 1 Trước hết,ta chứng minh : Nếu f  x  Thật x x3    x   f  y  f 1 f  x  f  y   f  x  f 1 x  Suy 1 x x  3 x  1 x  x3 x  1   x  1  3 x x  1 x  1011  f  f  2022  1    2  A   Ta có :   f   2022    2021   f       2022     1010  f   2022   1012   f    2022    1011  f   2022  (biểu thức có 1010 dấu ngoặc vng, biểu thức ngoặc vng có giá trị 1) 1 A 1010  f   1010,5  2 Vậy Câu (2,0 điểm) 3x  x   x7 3) Giải phương trình : Điều kiện xác định :  x   x   3x  x   Đặt y 1  x7 x 7   x  1    2 3 x 7 0   y  1  x  Từ     x  1  y  3  x  1  y    y   x   Ta có :   3 x  x  y  0  3 y  y  x  0  y x   x  y    x  y  0   x  y   3x  y   0    y   x   x  x7 73  Th1: y  x  x     x  tm  x  x    4  x 7  69  x  Th : y   x    x    x (tm) 3 3 9 x  21x   2  73   69   S  ;  6    Vậy tập nghiệm phương trình  xy  x  7 y  2  x y  xy  13 y 4) Giải hệ phương trình : Nhận xét : y 0 khơng thỏa mãn hệ  y 0 Chia vế phương trình cho y ta : x  x   7   xy  x  7 y y y     2  x y  xy  13 y  x   x 13  y2 y x   x  y  y 7    x    x 13   y y    a 4   a  x    a  b 7 b 7  a y  b 3      , 2    a   a  b 13 a  a  20 0 b  x   y  b 12 Đặt ta có :  x  4   y  x 3 y x 1; y  a 4   Th1:      b 3 3 y  y  0  x 3  x 3; y 1  y  x    y  x 12 a   Th :    b 12 12 y  y  0  x 12  y (hệ vô nghiệm ) 1   ,  3;1       x; y    1; Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) 2 2 3) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức x y  x  y 10 xy 2 2 2 2 Ta có: x y  x  y 10 xy  x  xy  y 8xy  8x y   x  y  8 xy   xy  Do  x  y  0 với x, y nên xy   xy  0  xy 1 Mặt khác x, y    xy 0 xy 1 Th1: xy 0  x  y 0  x  y 1 Th : xy 1    x  y  Vậy , cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn toán  0;0  ,   1;  1 ;  1;1 2 4) Cho p, x, y số tự nhiên thỏa mãn px  x  p  1 y  y Chứng minh px  py  số phương Ta có : px  x  p  1 y  y  p  x  y   x  y  y   x  y   px  py  1  y  x  y  d d  x  1; px  py  1  d   *    px  py  1 d Đặt  x  y   px  py 1  y  y d  y d  x  y  d  x d   px  py  d Vì  px  py  d  1d  d 1  px  py   d   Ta có :  mà Vậy x  y; px  py 1 hai số nguyên tố nhau, mà  x  y   px  py  1 số phương nên px  py  số phương Câu (3,0 điểm) 3) Cho đường trịn tâm O, bán kính R Điểm A nằm bên ngồi đường trịn tâm O Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn  B, C tiếp điểm) Gọi M , N trung điểm AB, AC ; H giao điểm AO với BC Lấy điểm E đường tròn ( E khác B C) Qua E vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O, tiếp tuyến cắt đường thẳng MN K K B E M A I H O N C c) Chứng minh : MN  AH HO Ta có ABC cân A suy AB  AC OBC cân O suy OB OC Suy AO đường trung trực BC  AO  BC trung điểm H BC BC  BC  AH HO BH      Xét ABO vuông B có đường cao BH nên BC MN  Vì MN đường trung bình ABC nên BC  MN   MN  AH HO d) Chứng minh KA KE KEO vng E , ta có : KE KO  OE KO  R  1 Vì MN / / BC , BC  AO  MN  AO Gọi I giao điểm MN AO, ta có : KA2 KI  IA2 KO  OI  IA2 KO   AI  OI   AI  OI  KO  AO  OI  AI  Do MN / / BC , M trung điểm AB  I trung điểm AH  AI IH  OI  AI OI  IH OH  KA2 KO  AO.OH KO  OB KO  R   2 Từ  1 ,    KE KA  KE KA 4) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn  O; R  Gọi D, E , F giao điểm đường thẳng AO với BC , BO với AC , CO với AB Chứng minh : AD  BE  CF  9R A E F O B D C OA S AOC S AOB S AOB  S AOC    AD S S S ABC ADC ABD Ta có : OB S AOB  SOBC OC S AOC  SOBC  ;  BE S CF S ABC ABC Tương tự : OA OB OC 1     2  R     2 AD BE CF  AD BE CF  1     AD  BE  CF  R  AD  BE  CF       AD BE CF  Theo bất đẳng thức AM  GM ta có :  1  1      3 AD BE CF AD  BE  CF 3 AD.BE.CF  AD BE CF  9R   AD  BE  CF  9 R  AD  BE  CF  Dấu xảy ABC Câu (1,0 điểm) Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có : S a  b2  a  c  c  b    a  b  ab a  c  ac c  b  cb a2  b2  a 1  b2 1 a 1 b2 1    (do a  b  c 1) a  b  ab  a  b   a  b  c   ab a  b  ab  ac  bc a  b  ab  ac  bc Chứng minh tương tự : a2  c2  a2 1 c2 1  2  2 a  c  ac a  c  ab  ac  bc a  c  ab  ac  bc b2  c2  b2 1 c2 1   b  c  bc b  c  ab  ac  bc b  c  ab  ac  bc a 1 a 1 x  a  b  ab  ac  bc a  c  ab  ac  bc Gọi 1    x  a  1   2   a  b  ab  ac  bc a  c  ab  ac  bc  1   , x; y  Áp dụng bất đẳng thức x y x  y Ta có : 1  2  2 a  b  ab  ac  bc a  c  ab  ac  bc 2a  b  c  2ab  2ac  2bc 1 4   2   2 a  b  ab  ac  bc a  c  ab  ac  bc a   a  b  c  a 1 2  a  1 1  x   4 a  b  ab  ac  bc a  c  ab  ac  bc a 1 Chứng minh tương tự, ta có : b2 1 b2 1 y  4 a  b  ab  ac  bc b  c  ab  ac  bc c2 1 c2 1 z 2  2 4 a  c  ab  ac  bc b  c  ab  ac  bc Suy S  x  y  z 12 Dấu xảy Min S 12  a b c  Vậy a b c  ... Th1: xy 0  x  y 0  x  y 1 Th : xy 1    x  y  Vậy , cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn toán  0;0  ,   1;  1 ;  1;1 2 4) Cho p, x, y số tự nhiên thỏa mãn px  x  p  1 y  y