Trích dẫn đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2023 môn Toán liên trường THPT – Nghệ An: + Hội chợ Xuân ở thành phố Vinh có một dãy gồm 15 gian hàng lưu niệm liên tiếp nhau. Một doanh nghiệp X bốc thăm chọn ngẫu nhiên 4 gian hàng trong 15 gian hàng trên để trưng bày sản phẩm. Xác suất để trong 4 gian hàng chọn được của doanh nghiệp X có đúng 3 gian hàng kề nhau bằng? + Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2, BAC = 60 độ. Điểm S thay đổi thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) (S khác A). Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Đường kính MN thay đổi của mặt cầu (T) ngoại tiếp khối đa diện ABCB1C1 và I là điểm cách tâm mặt cầu (T) một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của IM + IN. + Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(5;–2;0), B(4;5;–2) và C(0;3;2). Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt Q = 2|MA + MB + MC| + 3|MB + MC|. Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng ab trong đó a, b thuộc R và b là số nguyên tố. Tính a + b.
BẢNG ĐÁP ÁN A D B C D D C A B B C B B B C 3 C A C A B 1 B C D B C A C B B C D D D C C C D 4 C C D A B 2 C D A B D B C C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đạo hàm hàm số y = π x B y′ = xπ x −1 ln π A y′ = π x ln π Chọn A Ta có y = π x ⇒ y′ = π x ln π Câu 2: Đồ thị hàm số y = A x = x →( −1) Câu 3: x →( −1) Lời giải πx ln π x−2 có đường tiệm cận đứng x +1 B x = −1 C y = Chọn B D \ {−1} Tập xác định:= Ta có lim + y = lim + C y′ = D y′ = xπ x −1 D y = −2 Lời giải x−2 = −∞; lim − y = +∞ ⇒ x = −1 đường tiệm cận đứng x →( −1) x +1 x ) x ( − x ) Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' (= A B Chọn D C Lời giải D x = Ta có f ' ( x ) =0 ⇔ x ( − x ) =0 ⇔ x = Bảng xét dấu f ′ ( x ) : Vậy hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có bảng xét dấu đạo hàm sau: Khi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng A ( −1; +∞ ) B ( −∞; ) C ( −1; ) D ( −∞; −1) Lời giải Chọn C Từ bảng xét dấu, hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −1; ) Câu 5: Một khối lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h Thể tích khối lăng trụ A Bh B Bh C Lời giải Chọn B Câu 6: ∫ (e Cho F = ( x) x Bh D 3Bh − 1)dx Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A F ( x= ) ex + C B F ( x ) = e x + x + C C F ( x ) = e x − x + C D F ( x ) =−e x + x + C Lời giải Chọn C Ta có F ( x ) = Câu 7: ∫ (e x − 1)dx = e x − x + C ) ( Số tổ hợp chập k , ( k ∈ ) tập hợp có n phần tử n ∈ * , ≤ k ≤ n là: A Cnk = n! k! B Cnk = n! k !( n − k ) ! C Cnk = n! k ( n − k )! D Cnk = n! ( n − k )! Lời giải Chọn B Ta có Cnk = Câu 8: n! k !( n − k ) ! Giá trị nhỏ hàm số y = + x đoạn [1; 2] A B C D −7 Lời giải Chọn C Ta có y=′ x ≥ 0, ∀x ∈ [1; 2] Do hàm số đồng biến [1; 2] Khi = y y= (1) [1;2] Câu 9: y Tập xác định D hàm số = A D = \ {1} B D = ( x − 1) ( −∞;1) −2023 C D = D D= Lời giải Chọn A Điều kiện x − ≠ ⇔ x ≠ Tập xác định hàm số D = \ {1} Câu 10: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? (1; +∞ ) A y = − x4 + x2 + B y = − x3 + 3x + C y =x − x + D y = x − x + Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số có dạng hàm số y = ax + bx + c nên loại phương án B Lại có lim y = −∞ nên a < , loại phương án x →+∞ C x ) x + Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? Câu 11: Cho hàm số f (= f ( x ) dx = A ∫ C ∫ f ( x ) d=x x3 + x+C x3 + C D B ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = x3 + x + C x3 − x + C Lời giải Chọn B Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3x + 1) dx = x3 + x + C Câu 12: Nghiệm phương trình 3x−1 = B x = −3 A x = C x = D x = Lời giải Chọn D Ta có 3x −1 = ⇔ 3x −1 = 32 ⇔ x − = ⇔ x = Câu 13: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1) ≥ A (11; +∞ ) B [1; +∞ ) C [11; +∞ ) D ( −∞;11] Lời giải Chọn C x −1 > Ta có log ( x − 1) ≥ ⇔ ⇔ x ≥ 11 x − ≥ 10 Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho véc tơ OA =−i + j + 2k Khi điểm A có toạ độ A (1; − 1; −2 ) B ( −1;1; −2 ) C ( −1;1; ) Lời giải Chọn C Ta có OA =−i + j + 2k ⇒ OA =( −1;1; ) ⇒ A ( −1;1; ) Câu 15: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 u2 = Tìm công sai d D (1; −1; ) D log ( x + ) < − log x ⇔ log ( x + ) < log ⇔ x+6< 16 x2 x < −2 − 16 ⇔ x + x − 16 < ⇔ x −2 < x < −2 + So với điều kiện ta có < x < −2 + Suy nghiệm nguyên bất phương trình cho x = Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên Câu 23: Cho khối trụ có chiều cao h bán kính đáy thể tích V = 27π Tính chiều cao h khối trụ A h = B h = 3 C h = 3 D h = 3 Lời giải Chọn A Thể tích khối trụ là= V π R= h π= h3 27π suy h = Câu 24: Hình chóp S ABCD có diện tích đáy ABCD a độ dài đường cao 6a Thể tích khối chóp S ABCD A 6a B a C 3a D 2a Lời giải Chọn D Thể tích khối chóp S ABCD V = = a 6a 2a Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( S ) mặt cầu qua hai điểm A ( −1; −2; ) , B ( 2;1; ) có tâm thuộc trục Oz Bán kính mặt cầu ( S ) A R = B R = C R = D R = Lời giải Chọn C Gọi I ( 0;0; z ) ∈ Oz tâm mặt cầu ( S ) Mặt cầu qua hai điểm A ( −1; −2; ) , B ( 2;1; ) nên IA = IB ⇔ 12 + 22 + ( z − ) = 22 + 12 + ( z − ) ⇔ z = 2 Bán kính mặt cầu R = IA = 12 + 22 + 12 = Câu 26: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BDD ' B ') B C A D B' C' A' A a B a D' C 2a D a Lời giải Chọn D Gọi O giao điểm AC BD Ta có AC ⊥ BD a ⇒ AC ⊥ ( BDD ' B ') ⇒ d ( A, ( BDD ' B ') ) = AO = AC ⊥ BB ' Câu 27: Cho hình nón có độ dài đường sinh 6a bán kính đáy a Diện tích xung quanh hình nón cho B 8π a C 6π a D 2π a A 12π a Lời giải Chọn C = S xq π= R.l π a= 6a 6π a Câu 28: Chọn khẳng định sai khẳng định sau: Trong khối đa diện A mặt có cạnh B đỉnh đỉnh chung mặt C cạnh cạnh chung mặt D hai mặt ln có điểm chung Lời giải Chọn D Câu 29: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B 1+ x + x2 + 5x C Lời giải Chọn A Điều kiện D = [ −4; +∞ ) \ {0} 1 + + 1+ x + x x x = ⇒ y = tiệm cận ngang = lim lim x →+∞ x + x x →+∞ 1+ x lim+ x →0 1+ x + 1+ x + = +∞; lim+ = −∞ ⇒ x = tiệm cận đứng x →0 x + 5x x + 5x D Câu 30: Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm hàm số y = ln A y ' = x 1+ x B y ' = 1− x x x ex C y ' = 1+ x x D y ' = x 1− x Lời giải Chọn B y = ln x 1− x = ln x − x ⇒ y ' = − = x e x x Câu 31: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) = A B C Lời giải D Chọn B Phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt Câu 32: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y= A m ≤ B m > Chọn B C m ≥ Lời giải (x + x + m ) có tập xác định D m < Để thoả mãn u cầu tốn x + x + m > 0, ∀x ∈ ⇔ ∆ = − 4m < ⇔ m > Câu 33: Cho hàm số y = x − x + m ( m tham số thực), thỏa mãn y = Mệnh đề [0;2] đúng? A < m < 20 B m > 20 C −10 < m < Lời giải Chọn C Ta có y′ = x − 3; y′ = 0⇔ x= ±1 , ta có x = ∈ ( 0; ) m; y (1) = m − 2; y ( ) = m + Mặt khác: y ( ) = Khi y= m − Do y = nên m − = ⇔ m = [0;2] Vậy −10 < m < [0;2] D m < −10 ( ) x a + b log với ( a; b ∈ ) Câu 34: Biết tổng nghiệm phương trình log x + 48 =+ Tính 2a + b A 2a + b = Chọn C ( B 2a + b = C 2a + b = Lời giải D 2a + b = ) Ta có log x + 48 =x + ⇔ x + 48 =2 x + ⇔ 22 x − 16.2 x + 48 =0 x 2= =4 x 2= x ⇔ x ⇔ ⇔ log 12 log x = x = + 12 = 2 Vậy tổng nghiệm là: + log ⇒ a = 4; b =1 ⇒ 2a + b = Câu 35: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) ( x − 1) Hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng A ( −1; +∞ ) B ( −1;1) C D ( −∞; −1) (1; +∞ ) Chọn B Ta có f ′ ( x ) < ⇔ x − < ⇔ −1 < x < Lời giải Vậy hàm số nghịch biên khoảng ( −1;1) Câu 36: Cho hai hình vng ABCD , ABEF nằm hai mặt phẳng vng góc với M tâm hình vng ABEF Cosin góc hai mặt phẳng ( MCD), ( EFCD) A B 10 10 C 10 10 D Lời giải Chọn C Gọi N , K trung điểm AF , BE Khi ( MCD) ( NKCD) AB , AF ⊥ AB ⇒ AF ⊥ ( ABCD ) ⇒ AF ⊥ CD Do ( ABCD ) ⊥ ( ABEF ) , ( ABCD ) ∩ ( ABEF ) = CD ⊥ ( ADF ) ; ( ADF ) ∩ ( EFCD ) = FD ; ( ADF ) ∩ ( MCD ) = ND ( MCD) ∩ ( EFCD) = CD ; = Suy α ( MCD), ( EFCD) ) (= NDF AB a ( a > ) Tam giác NDF có: NF = Đặt = a a , ND = , DF = a 2 Suy ra: cosα = DF + DN − FN = DN FD 10 Câu 37: Có giá trị nguyên m để phương trình log ( x − 3) + ( 2m + ) log x −3 2= 2m có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < x2 < A B C D Lời giải Chọn B log ( x − 3) + ( 2m + ) log x −3 2= 2m (1) Điều kiện: < x ≠ ( 2) (1) ⇔ log ( x − 3) − m log ( x − 3) + ( 2m + 5) = = Đặt t log ( x − 3) ; x ∈ ( 3;5 ) \ {4} ⇒ t ∈ ( −∞ ;1) \ {0} ( 3) Thay t vào ( ) ta được: t − mt + ( 2m + ) = Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < x2 < ⇔ ( 3) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t1 , t2 ∈ ( −∞ ;1) \ {0} ∆ = m − 8m − 20 > 1 f (1) = m + > ⇔ f ( )= 2m + ≠ , với f ( t ) =t − mt + ( 2m + ) S= m < 2 m ∈ ( −∞ ; − ) ∪ (10; + ∞ ) m ∈ ( −6; − ) ⇔ ⇔ m ∈ ( −6; ) m ≠ − m ≠ − Câu 38: Hội chợ Xuân thành phố Vinh có dãy gồm 15 gian hàng lưu niệm liên tiếp Một doanh nghiệp X bốc thăm chọn ngẫu nhiên gian hàng 15 gian hàng để trưng bày sản phẩm Xác suất để gian hàng chọn doanh nghiệp X có gian hàng kề 44 22 A B C D 55 455 455 33 Lời giải Chọn A Số cách chọn ngẫu nhiên gian hàng 15 gian hàng cho là: C154 ⇒ n ( Ω ) =C154 Gọi A biến cố: “trong gian hàng chọn doanh nghiệp X có gian hàng kề nhau” Ta tính n ( A ) : - TH1: Ba gian hàng kề đầu dãy cuối dãy: Khi đó, chọn ba gian hàng kề có cách, gian hàng cịn lại có 11 cách chọn Suy ra, có 2.11 = 22 cách chọn - TH2: Ba gian hàng kề nhau, khơng có gian hàng nằm đầu dãy cuối dãy: Khi đó, có 11 cách chọn ba gian hàng kề Gian hàng thứ tư chọn phải khác gian hàng(gồm gian hàng kề chọn gian hàng kề ba gian hàng đó), nên có 10 cách chọn gian hàng thứ tư Suy ra, có 11.10 = 110 cách chọn A) Vậy n ( A ) =22 + 110 =132 Suy ra: P (= n ( A ) 132 44 = = n ( Ω ) C154 455 Câu 39: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − x − m đạt số điểm cực trị nhiều nhất? A B C Vô số D Lời giải Chọn B { } Đặt f ( x ) =x − x − m Do: SDCT = f ( x) SDCT { f ( x )} + SNBL { f ( x )} x = nên hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị Mà f ′ ( x ) =3 x − x ⇒ f ′ ( x ) =0 ⇔ x = Để hàm số f ( x ) có nhiều điểm cực trị phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt Khảo sát hàm số f ( x ) ta vẽ được hình ảnh đồ thị hàm số sau: Nên phương trình f ( x ) = có nhiều nghiệm bội lẻ khi: −4 < m < Vậy có giá trị nguyên tham số m để hàm số có nhiều điểm cực trị Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f f ( x ) + 1 + = B C A D Lời giải Chọn C = f ( x) +1 = f ( x) Ta có: f f ( x ) + 1 + =0 ⇔ f f ( x ) + 1 =−2 ⇔ ⇔ f ( x ) =−a − f ( x ) + =a ( a < −1) f ( x ) = Thì phương trình có nghiệm phân biệt f ( x ) =−a − với a < −1 phương trình có nghiệm có nghiệm thực phân biệt Vậy phương trình: f f ( x ) + 1 + = Câu 41: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật với A ' AB = 900 = AB 2= a, BC a Biết AA ' a= 5, CA ' 2a Thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' = A a B 2a C 3a Lời giải D 4a Chọn D B' A' a a D' C' 2a 2a B A a C 2a D CA′ = CD + CB + CC ′ ⇒ CA′ = CD + CB + CC ′ ( ) ⇔ 8a = 4a + a + 5a + 2.a.a cos C ′CB 1 − = cos D′DA ⇒ cos A′AD = Suy cos C ′CB = 5 Gọi H hình chiếu A′ AD Có cos A′AD = AH = ⇒ AH =a nên H ≡ D AA′ ′D.DA 2a Suy AD′ = 2a ; = S ADD′A′ A= Có CD ⊥ DA; CD ⊥ DD′ ⇒ CD ⊥ ( ADD′A′ ) ⇒ VABCD = CD = S ADD′A′ 4a A′B′C ′D ′ Câu 42: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) Hàm số g = ( x ) f ( x + ) có bảng biến thiên bên Tổng tất giá trị nguyên tham số m để tập nghiệm phương trình + mx f f ( x ) − m = có phần tử A B −3 C −1 Lời giải D Chọn C − x3 + x − có BBT Từ gt tìm f ( x ) = Phương trình + mx f ( f ( x ) − m ) = (*) , Đk : + mx ≥ + mx = (1) (*) ⇔ 4 + mx > (2) f ( f ( x ) − m ) = TH1: TH2: 𝑚𝑚 = ⇒ (1) 𝑉𝑉𝑉𝑉 4>0 ⎧ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑚𝑚 = − √3 ⎪ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − √3 → 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ ⎪ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑚𝑚 = (2) ⇔ ⇔ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = → 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ ⎨ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑚𝑚 = + √3 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = + √3 → 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ ⎪ ⎪ ⎩ (2) ⇔ � Yêu cầu toán 𝑚𝑚 > ⇒ (1) 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − √3 + 𝑚𝑚 (3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = + 𝑚𝑚 (4) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = + √3 + 𝑚𝑚 > → 1𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 1 + m > m > ⇔ −2 < − + m < −3 + < m < + ⇒ < m < + ⇒ m =2 TH3: 𝑚𝑚 < 0; (1) ⇔ 𝑥𝑥 = Ðk : + mx > ⇔ x > −4 𝑚𝑚 ⇔ 𝑥𝑥 = ±�− 𝑚𝑚 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − √3 + 𝑚𝑚 (3) (2) ⇔ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = + 𝑚𝑚 (4) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = + √3 + 𝑚𝑚 (5) −4 −2 ⇔ x ∈ ; m −m −m −2 u cầu tốn (2) có nghiệm phân biệt ∈ ; (**) −m −m Nếu + m + ≥ ⇔ m ≥ − 3; m < khơng có số nguyên thỏa mãn ⇒ + m + < Nếu + m + ≤ −2 ⇒ (3), (4), (5), pt nghiệm nghiệm > 3( không thỏa mãn) Nên + m + ∈ (−2; 2) m ∈ {−4; −3; −2; −1} ⇔ −3 − √3 < 𝑚𝑚 < − √3, có +) m =−4 ⇒ (3) ⇔ f ( x) =−3 − có nghiệm >3( khơng tm) (4) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −3 → 1𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ > 3(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾) (5) ⇔ f ( x) = − có nghiệm pb có nghiệm >2(KTM) +) m = −3 (3) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 − √3 → 1𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ > 3)𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾) 𝑥𝑥 = 0(𝑡𝑡𝑡𝑡 ∗∗) (4) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 ⇔ � 𝑥𝑥 = 3(𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗∗) 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ∈ (1 − √3; 0)(𝑡𝑡𝑡𝑡 ∗∗) (5) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √3 − → � 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 ∈ (0; 1)(𝑡𝑡𝑡𝑡 ∗∗) +) m = −2 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 > + √3(𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ∗∗) ⇒ 𝑚𝑚 = −3(𝑡𝑡𝑡𝑡) giá trị m nguyên +) m = −1 (3) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −1 − √3 → 1𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ > 3)𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾) (4) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −1 → 3𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ( 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 𝑡𝑡ℎỏ𝑎𝑎 ∗∗) (5) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √3 − → 3𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ( 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 𝑡𝑡ℎỏ𝑎𝑎 ∗∗) ⇒ 𝑚𝑚 = −2(𝐿𝐿𝐿𝐿ạ𝑖𝑖) (3) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −√3 → 3𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ( 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 𝑡𝑡ℎỏ𝑎𝑎 ∗∗) (4) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = → 3𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ( 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 𝑡𝑡ℎỏ𝑎𝑎 ∗∗) (5) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √3 → 3𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ ⇒ 𝑚𝑚 = −1(𝐿𝐿𝐿𝐿ạ𝑖𝑖) Vậy m = m = −3 , nên tổng giá trị m -1, chọn đáp án C Câu 43: Cho hai khối cầu có tổng diện tích 80π tiếp xúc ngồi tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) hai điểm A, B Tính tổng thể tích hai khối cầu biết AB = A 24 2π B 96 2π C 96π D 192π Lời giải Chọn C Gọi R1 , R2 bán kính ( R1 > R2 ) ; I , J tâm mặt cầu (như hình vẽ) Gọi H hình chiếu J lên IA Theo ra, ta có hệ: ( R1 + R2 )2 = IH + HJ ( R1 + R2 )2 =( R1 − R2 )2 + AB = R1.R2 8= R1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 + R2 = 80π 20 R1 = R2 R1 + R2 = 4π ( R1 + R2 ) = Vậy V= 4 π ( R13 + R23= π 72= 96π ) 3 Câu 44: Trong mặt phẳng ( P ) cho tam giác ABC có AB = , AC = , BAC = 60 Điểm S thay đổi thuộc đường thẳng qua A vng góc với ( P ) , ( S khác A ) Gọi B1 , C1 hình chiếu vng góc A SB , SC Đường kính MN thay đổi mặt cầu (T ) ngoại tiếp khối đa diện ABCB1C1 I điểm cách tâm mặt cầu (T ) khoảng ba lần bán kính Tính giá trị nhỏ IM + IN A B 20 C D 10 Lời giải Chọn C Ta có BC = AB + AC − AB AC.cos A =⇒ BC =3 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : R = BC = 2sin A Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A′ điểm đối xứng A qua J Ta dễ dàng chứng minh được: AC ⊥ A′C , AB ⊥ A′B, AB1 ⊥ A′B1 , AC1 ⊥ A′C1 ⇒ A, B, C , A1 , B1 thuộc mặt cầu tâm J , đường kính AA′= R= 2= MN IM x= , IN y; x, y ∈ [ 2; 4] Đặt = = y x 2,= + Nếu I , J , M , N thẳng hàng ⇒ x2 + y = 20 = y x 4,= + Nếu I , J , M , N khơng thẳng hàng IJ = x + y MN MN − ⇔ x + y = IJ + = ( + 1)= 20 4 Vậy, ta ln có: x + y = 20 Do x, y ∈ [ 2; 4] ⇒ ( x − )( y − ) ≥ ⇔ xy ≥ ( x + y ) − x + y = 20 ⇔ ( x + y ) − 20 = xy ≥ ( x + y ) − ⇒ ( x + y ) − ( x + y ) − 12 ≥ ⇔ x + y ≥ 2 x = ⇒ y = Vậy ( x + y ) =6 ⇔ y = ⇒ x = Câu 45: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Gọi (α ) mặt phẳng qua CD’ tạo Mặt phẳng (α ) chia khối lặp phương thành hai khối đa diện tích V1 , V2 với V1 > V2 Tính V1 với mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) góc ϕ với tan ϕ = A V1 = a 12 Chọn D B V1 = 10 a 17 C V1 = Lời giải a 24 D V1 = 17 a 24 D′I Mặt phẳng (α ) mặt phẳng qua CD’ cắt C ′B′ I ⇒ ( A′B′C ′D′ ) ∩ (α ) = ′ CHC Kẻ C ′H ⊥ DI ⇒ DI ⊥ CH ⇒ ϕ = ′H C ′C.cot = ϕ Ta có ∆CC ′H vng C ′ ⇒ C= 2a 1 = + ⇒ C ′I = 4a ⇒ C ′I = 2a 2 C ′H C ′D′ C ′I Ta thấy với C ′I = 2a CI ∩ B′B = Q nên Q trung điểm BB′ D′I ∩ A′B′ = P nên P trung điểm A′B′ Ta có: Ta có ∆C ′D′I vuông 1 1 7a3 VI CC ′D′ = VI B′PQ + VCD′C ′.QPB′ ⇒ VCD′C ′.QPB′ = VI CC ′D′ − VI B′PQ = 2a a.a − a a.a = = V2 3 24 Vì VABCD A′B′C ′D′ = V1 + V2 = V1 + VCD′C ′.QPB′ ⇒ V1 = VABCD A′B′C ′D′ − VCD′C ′.QPB′ = a − Vậy V1 = a 17 a = 24 24 17 a 24 Câu 46: Cho hàm số y = f ( x) A thỏa mãn B f ( ) = 0, f ( x ) + f ′ ( x ) = 1, ∀x ∈ Chọn B C Lời giải ln Giá trị D ln ⇔ ex f ( x ) + ex f ′ ( x ) = e x ⇔ ( e x f ( x ) )′ = ex Ta có f ( x ) + f ′ ( x ) = Lấy tích phân hai vế cận chạy từ → ln ta được: ln ∫ ln x ⇔ f ( ln ) − f ( ) = ⇒ f ( ln ) = ( e x f ( x ) )′ dx = ∫0 e dx = Câu 47: Có giá trị nguyên tham số m ∈ ( −25;0 ) cho hàm số y = ( x − ) e x − mx − ( m − m ) x + đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) ? A Chọn D B 24 y′ = ( x + x3 − ) e x − 2mx − ( m − m ) C 20 Lời giải D 19 f ( ln ) ( ) Đặt h ( x ) = x + x − e x (x h′ ( x )= ( x h′ ( x )= + x3 + 12 x − ) e x > 0, ∀x > x − > 0, ∀x > + x3 + 12 x − ) e x > 0, ∀x > ⇒ h ( x ) > h ( )= 43e Để hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) điều kiện y′ ≥ 0, ∀x > ⇔ ( x + x3 − ) e x ≥ 2mx + ( m − m ) (1) , ∀x > ( ) Đặt g ( x= ) 2mx + m2 − m ⇒ g ' ( x=) 2m < 0, ∀x > Do m ∈ ( −25;0 ) ⇒ g ( x ) < g ( ) , ∀x > ⇔ g ( x ) < m + 3m, ∀x > Để (1) nghiệm với ∀x > ⇒ 43e > m + 3m ⇔ m + 3m − 43e < ⇔ −19,39 < m < 16,39 m ∈ Do ⇔ m ∈ ( −25;0 ) −19,39 < m < 16,39 ⇔ m ∈ {−19, −18, −17, −16, −15, −14, −13, −12, −11, −10, −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1} Vậy có 19 giá trị m Câu 48: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ ;100] để bất phương trình 42 x − m − 4.23 x − m + 4.2 x − m < nghiệm với ∀x ∈ ( −∞; 4] ? A 99 B 92 C 98 Lời giải D 93 Chọn B 42 x − m − 4.23 x − m + 4.2 x − m < ⇔ 24 x − 4.23 x + 4.2 x.2m < 22 m 2m m 2 ⇔ ( 2m − 22 x )( 2m + 22 x − 4.2 x ) > ⇔ m 2 2m > 22 x > 4.2 x − 22 x < 22 x < 4.2 x − 22 x (1) ( 2) 0 < 22 x ≤ 28 ∀x ∈ ( −∞; 4] ⇒ x 2x −192 ≤ 4.2 − ≤ m 2x 2 > + Giải m (1) x 2x 2 > 4.2 − 2m > 28 Để (1) nghiệm với ∀x ∈ ( −∞; 4] ⇔ m ⇔ m > Do m nguyên thuộc đoạn [ ;100] 2 > nên có 100 − = 92 giá trị m m 2x 2 < + Giải m (2) x 2x 2 < 4.2 − 2m ≤ Để (1) nghiệm với ∀x ∈ ( −∞; 4] ⇔ m giá trị m thỏa mãn 2 < −192 Vậy có 92 giá trị m Câu 49: Cho x y số thực Giá trị nhỏ biểu thức P =( y − 10 x ) 2022 + ( e y − x ln10 ) 2022 A − ln10 C Lời giải B 2022 D Chọn B Ta có P =( y − 10 x ) 2022 + ( e y − x ln10 ) Đặt t = x ln10 , P =( y − et ) 2022 2022 =( y − e x ln10 ) + (ey − t ) 2022 Với y > t , P = ( y − et ) 2022 + (ey − t ) 2022 > ( t − et ) Với y < t , P =( y − et ) 2022 + (ey − t ) 2022 > ( y − ey ) Với y = t , ta có= P ( et − t ) 2022 + ( e y − x ln10 ) =( t − e y ) 2022 2022 + ( et − t ) 2022 2022 + (ey − y ) 2022 + ( et − y ) 2022 = ( et − t ) 2022 2022 =2 ( e y − y ) 2022 2022 Xét hàm số f ( t = ) et − t , ta có f ′ ( t ) = et − = ⇔ t = Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy f ( t ) = et − t ≥ ⇒ P= ( et − t ) 2022 ≥ Đẳng thức xảy y = t = hay x= y= Câu 50: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A ( 5; − 2;0 ) , B ( 4;5; −2 ) C ( 0;3; ) Điểm M di chuyển trục Ox Đặt Q= MA + MB + MC + MB + MC Biết giá trị nhỏ Q có dạng a b a, b ∈ b số nguyên tố Tính a + b A 38 B 23 C 43 Lời giải D 18 Chọn C Ta có Q= MA + MB + MC + MB + MC= 3MG + GA + GB + GC + MI + IB + IC Với G ( 3; 2;0 ) trọng tâm tam giác ABC I ( 2; 4;0 ) trung điểm BC , ta có: Q = 3MG + MI = ( MG + MI ) , Do G I nằm phía so với Ox nên gọi G ' ( 3; −2;0 ) điểm đối xứng G qua Ox Khi Q= 3MG + MI = ( MG + MI )= ( MG '+ MI ) ≥ 6G ' I= 37 Đẳng thức xảy M giao điểm G ' I Ox HẾT ... có dãy gồm 15 gian hàng lưu niệm liên tiếp Một doanh nghiệp X bốc thăm chọn ngẫu nhiên gian hàng 15 gian hàng để trưng bày sản phẩm Xác suất để gian hàng chọn doanh nghiệp X có gian hàng kề 44... chọn ngẫu nhiên gian hàng 15 gian hàng cho là: C154 ⇒ n ( Ω ) =C154 Gọi A biến cố: “trong gian hàng chọn doanh nghiệp X có gian hàng kề nhau” Ta tính n ( A ) : - TH1: Ba gian hàng kề đầu dãy... đó, có 11 cách chọn ba gian hàng kề Gian hàng thứ tư chọn phải khác gian hàng(gồm gian hàng kề chọn gian hàng kề ba gian hàng đó), nên có 10 cách chọn gian hàng thứ tư Suy ra, có 11.10 = 110