ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH HUẾ MỘT TIẾP CẬN CÂN BẰNG TÁCH CHO MÔ HÌNH NASH COURNOT VỚI MỘT RÀNG BUỘC CHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGU[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THÀNH HUẾ MỘT TIẾP CẬN CÂN BẰNG TÁCH CHO MƠ HÌNH NASH - COURNOT VỚI MỘT RÀNG BUỘC CHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THÀNH HUẾ MỘT TIẾP CẬN CÂN BẰNG TÁCH CHO MƠ HÌNH NASH - COURNOT VỚI MỘT RÀNG BUỘC CHUNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN - 2019 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu (trường Đại học Thăng Long Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán, nhà trường phịng chức trường, khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, 10 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thành Huế ii Mục lục Lời cảm ơn i Bảng ký hiệu iii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi hàm lồi không gian Euclid hữu hạn chiều 1.2 Các bổ đề hỗ trợ 19 Chương Một tiếp cận cân tách cho mô hình NashCournot với ràng buộc chung 2.1 Bài tốn chấp nhận lồi tách 21 21 2.2 Một thuật toán giải mơ hình Nash–Cournot có ràng buộc chung 22 2.2.1.Thuật tốn 24 2.2.2.Một mơ hình thực tế 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Bảng ký hiệu Rn+ Góc khơng âm Rn (tập vectơ không âm) R Trục số thực R = R1 R Trục số thực mở rộng (R = R ∪ {−∞, +∞}) xi Tọa độ thứ i x xT Vectơ hàng (chuyển vị x ) ||x|| Chuẩn Euclid x riA Tập hợp điểm tương đối A reA Nón lùi xa (nón hướng vơ hạn) A A∗ Đối cực A f Hàm bao đóng f domf Tập hữu dụng f f∗ Hàm liên hợp f epif Trên đồ thị f ∂f (x) Dưới vi phân f x ∂∈ f (x) ε -dưới vi phân f x ∇f (x) Hoặc đạo hàm f x f (x) Đạo hàm f x f (x, d) Đạo hàm theo hướng d f x Lời nói đầu Bài tốn chấp nhận tách tốn Tìm x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q, C tập lồi đóng khơng gian X, cịn Q tập lồi đóng khơng gian Y A tốn tử tuyến tính từ X vào Y Bài tốn coi mở rộng toán chấp nhận lồi, toán Toán ứng dụng Bài toán chấp nhận tách lần nghiên cứu không gian Euclid hữu hạn chiều Censor Elving năm 1994 tài liệu [2] Trong báo tác giả giới thiệu số ứng dụng tốn chấp nhận tách khơng gian hữu hạn chiều, ứng dụng xạ trị khối u, xử lý tín hiệu v.v Sau cơng trình trên, toán chấp nhận tách nhiều người quan tâm nghiên cứu, tính lý thú mặt tốn học, đặc biệt phạm vi ứng dụng rộng rãi toán Một hướng mở rộng quan tâm nhiều xét trường hợp tập C Q nghiệm toán khác, toán tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân đơn điệu, tập điểm bất động ánh xạ không giãn, tổng quát tập nghiệm tốn cân có tính chất đơn điệu Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết mơ hình Nash–Cournot trường hợp mơ hình có thêm ràng buộc chung, theo cách tiếp cận dựa việc mơ tả mơ hình dạng tốn cân tách Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm liên quan đến đề tài, tập lồi hàm lồi không gian Euclid hữu hạn chiều Chương giới thiệu toán chấp nhận lồi tách, giới thiệu mơ hình Nash–Cournot trình bày thuật tốn giải tốn mơ hình Nash– Cournot có ràng buộc chung theo tiếp cận cân tách 3 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm, tính chất giải tích lồi bổ đề hỗ trợ dùng Chương Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1], [3] 1.1 Tập lồi hàm lồi không gian Euclid hữu hạn chiều Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (vectơ) x1 , , xk x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k j=1 k X λj = j=1 Tương tự, x tổ hợp aphin điểm (vectơ) x1 , , xk x= k X j=1 j λj x , k X λj = j=1 Tập hợp tổ hợp aphin x1 , , xk thường gọi bao aphin điểm 4 Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức tập C lồi ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k X k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ j=1 k X λj xj ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức x= k X j λj x , λj > ∀j = 1, , k j=1 k X λj = j=1 Đặt k−1 X ξ= λj j=1 Khi < ξ < x= k−1 X j k λj x + λk x = ξ j=1 j=1 k−1 X λj j=1 Với λj ξ k−1 X λj ξ ξ x j + λk x k = > với j = 1, , k − 1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm y := k−1 X λj j=1 ξ xj ∈ C Ta có x = ξy + λk xk Do ξ > 0, λk > ξ + λk = k X j=1 λj = 1, nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Định nghĩa 1.2 Một tập C gọi tập aphin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy tập aphin trường hợp riêng tập lồi Ví dụ điển hình tập aphin không gian con, siêu phẳng định nghĩa Định nghĩa 1.3 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có đạng {x ∈ Rn |aT x = α}, a ∈ Rn vectơ khác α ∈ R Vectơ a thường gọi vectơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4 Nửa không gian tập hợp có dạng {x|aT x ≥ α}, a 6= α ∈ R Đây nửa không gian đóng Tập {x| aT x > α} nửa không gian mở Định nghĩa 1.5 Các điểm x0 , x1 , , xk Rn gọi độc lập aphin, bao aphin chúng có thứ nguyên k Định nghĩa 1.6 Một tập hợp gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Theo định nghĩa, tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: D := {x ∈ Rn | aj , x ≤ bj , j = 1, , m} ... số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN - 2019 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu (trường Đại học Thăng Long... cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, 10 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thành Huế ii... tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn, nhà trường phịng chức trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành