Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI H[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà THÁI NGUYÊN - 2020 iii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn T.S Nguyễn Song Hà Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy T.S Nguyễn Song Hà (Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên ), Thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3, bạn học viên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đoàn Thị Hải Ninh iv Mục lục Trang bìa phụ ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Danh sách bảng v vi Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc hình học khơng gian Banach 2 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.3 Ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng 11 16 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tương đối 23 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép 2.2 Phương pháp lặp Halpern-Mann 23 31 2.3 Ví dụ minh họa 38 Kết luận chung đề nghị 44 Tài liệu tham khảo 45 v Danh mục ký hiệu chữ viết tắt E Không gian Banach thực E∗ Không gian đối ngẫu E E ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai E PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C ΠC (x) Phép chiếu suy rộng phần tử x lên tập C Fix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn * x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x kxk Chuẩn phần tử x hx∗ , xi Giá trị x∗ ∈ E ∗ x ∈ E J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E I Ánh xạ đơn vị E SE Mặt cầu đơn vị E lim inf xn Giới hạn dãy {xn } lim sup xn Giới hạn dãy {xn } n→∞ n→∞ vi Danh sách bảng 2.1 Kết tính tốn cho phương pháp (2.14) 40 2.2 Kết tính tốn cho phương pháp (2.15) 42 Mở đầu Luizen Egbertus Jan Brouwer, nhà Toán học người BaLan, người đặt móng cho nghiên cứu lí thuyết điểm bất động Kết quan trọng đầu tiên, "Nguyên lí điểm bất động Brouwer" ơng cơng bố năm 1912 Đó định lý trung tâm lý thuyết điểm bất động nguyên lý giải tích phi tuyến Ngày có năm cách chứng minh khác cho nguyên lý tiếng hàng chục định lý tương đương tìm Trong suốt 100 năm qua, lí thuyết dành quan tâm đặc biệt gắn liền với tên tuổi nhiều nhà Toán học lớn E Picard, L.E.J Brouwer, S Banach, J Schauder, S Kakutani, A.N Tikhonov, Ky Fan, F.E Browder, K Goebel, W.A Kirk, Nó đóng vai trị then chốt nhiều nghiên cứu thuộc lĩnh vực lí thuyết Tốn học khác như: lí thuyết tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, tốn minimax, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, Bên cạnh đó, lí thuyết công cụ hữu hiệu để giải nhiều mơ hình tốn thực tiễn như: kiểm sốt lượng hệ thống mạng viễn thông CDMA, xử lí ảnh, xử lí tín hiệu, mạng giao thơng, y sinh, Mục đích luận văn trình bày lại có hệ thống số phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tương đối không gian Banach lồi trơn Với mục tiêu vậy, lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1, dành để hệ thống lại kiến thức cấu trúc hình học khơng gian Banach, ánh xạ khơng giãn tương đối phép chiếu suy rộng, nhằm phục vụ cho việc cụ thể hóa nội dung chương sau luận văn Chương dùng để trình bày phương pháp chiếu lai ghép phương pháp lặp Halpern-Mann tìm điểm bất động tốn nêu ví dụ số minh họa 2 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành ba phần: Mục 1.1 trình bày lại số khái niệm kết cấu trúc hình học khơng gian Banach Những tính chất cần thiết ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc cụ thể hóa Mục 1.2 Phần cuối chương, Mục 1.3 dành để giới thiệu lớp ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng không gian Banach 1.1 Cấu trúc hình học khơng gian Banach Cho E không gian Banach thực, E ∗ E ∗∗ tương ứng không gian đối ngẫu không gian đối ngẫu thứ hai E Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ E gọi lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Hay nói cách khác, tập C ⊆ E lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D C I B A G J K E H F Hình 1.1 Tập lồi tập khơng lồi (Quan sát hình bên tay phải, ta thấy tập khơng lồi đoạn nối hai điểm I H có chứa phần JK khơng nằm tập đó) 3 Ví dụ 1.1 Những ví dụ đơn giản tập lồi nửa khơng gian đóng hình cầu đóng Dạng biểu diễn giải tích tập hợp là: ∆ := {x ∈ E : hx∗ , xi ≤ α}, S[x0 , r] := {x ∈ E : kx − x0 k ≤ r}, đó, x∗ ∈ E ∗ , x0 ∈ E, α ∈ R số thực r > cố định cho Định nghĩa 1.2 Dãy {xk } ⊂ E gọi i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E lim kxk − x0 k = 0, k→∞ ta kí hiệu xk → x0 ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E lim hxk , x∗ i = hx0 , x∗ i ∀x∗ ∈ E ∗ , k→∞ ta kí hiệu xk * x0 Nhận xét 1.1 Nếu dãy {xk } ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E hội tụ yếu tới x0 ∈ E Khẳng định ngược lại E khơng gian hữu hạn chiều Ví dụ 1.2 Dưới ví dụ dãy hội tụ yếu không hội tụ mạnh Xét E = l2 {xk } dãy l2 xác định xk = (0, 0, 0, , 1, 0, ) k ∈ N, thành phần trừ thành phần vị trí thứ k tương ứng Trước hết, để ý E ∗ = l2 ∀x∗ = (y1 , y2 , , yk , ) ∈ l2 ta có lim hxk , x∗ i = lim yk = k→∞ k→∞ Do đó, xk * k → ∞ Tuy nhiên, {xk } không hội tụ mạnh kxk k = với k ∈ N Nhận xét 1.2 Trong không gian Hilbert, dãy {xk } thỏa mãn xk * x0 kxk k → kx0 k k → ∞ xk → x0 Thật vậy, ta có kxk − x0 k2 = hxk − x0 , xk − x0 i = kxk k2 + kx0 k2 − 2hxk , x0 i Cho k → ∞ ta nhận kxk − x0 k → 4 Mệnh đề 1.1 [1, 3] Cho E không gian Banach thực {xk } ⊂ E Khi đó, xk * x0 {xk } bị chặn kx0 k ≤ lim inf kxk k k→∞ Định nghĩa 1.3 Tập C ⊆ E gọi đóng với dãy {xk } C mà xk → x0 x0 ∈ C Những vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach phần tham khảo chủ yếu tài liệu [1, 3] Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E gọi lồi với < ε ≤ bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thỏa mãn tồn số δ = δ() > cho k(x + y)/2k ≤ − δ D B δ A x A≡ y x+y O Hình 1.2 Minh họa hình cầu đơn vị khơng gian R2 lồi Ví dụ 1.3 Khơng gian Hilbert H khơng gian lồi Thật vậy, từ quy tắc hình bình hành khơng gian Hilbert, ta có kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) − kx − yk2 ∀x, y ∈ H Giả sử với < ε ≤ bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thỏa mãn Khi đó, ta nhận kx + yk2 ≤ − ε2 Điều suy k(x + y)/2k ≤ − δ(ε), p δ(ε) = − − ε2 /4 Định nghĩa 1.5 Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SE , x 6= y k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : kxk = 1} mặt cầu đơn vị E Ví dụ 1.4 Không gian hữu hạn chiều Rn với chuẩn q kxk = x21 + x22 + + x2n , ∀x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn không gian lồi chặt Tuy nhiên, xét với chuẩn kxk = n X |xi |, ∀x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=1 Rn không gian lồi chặt λx + (1 − λ)y y x O Hình 1.3 Minh họa hình cầu đơn vị không gian R2 không lồi chặt (Quan sát hình ta thấy điểm thuộc đoạn thẳng nối hai điểm x y nằm biên hình cầu đơn vị đó.) Tổng qt ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.2 [3] Mọi khơng gian Banach lồi lồi chặt 6 Ví dụ 1.5 Các không gian l1 hay l∞ không lồi chặt Thật vậy, l1 l∞ ta lấy x = (1, 0, 0, , 0) y = (0, 1, 0, , 0) Khi đó, dễ thấy x 6= y, kxk = kyk = k(1 − λ)x + λyk = 1, ∀λ ∈ (0, 1) Nhận xét 1.3 Cho E không gian Banach lồi chặt Nếu kx + yk = kxk + kyk, ∀x, y ∈ E\{0}, tồn α ∈ R+ cho y = αx Thật vậy, với x, y 6= 0, theo Định lí Hahn-Banach, tồn x∗ ∈ E ∗ cho hx + y, x∗ i = kx + yk kx∗ k = Mặt khác, hx, x∗ i ≤ kxkkx∗ k = kxk hy, x∗ i ≤ kykkx∗ k = kyk, nên ta phải có hx, x∗ i = kxk hy, x∗ i = kyk     y x x , x∗ = , x∗ = Ta đặt a = Do đó, ta nhận kxk kyk kxk y b= Khi đó, ta thấy kak = kbk = ha, x∗ i = hb, x∗ i = = kx∗ k Nếu kyk a 6= b với λ ∈ (0, 1), từ tính lồi chặt E ta có kx∗ k = λha, x∗ i + (1 − λ)hb, x∗ i = hλa + (1 − λ)b, x∗ i ≤ kλa + (1 − λ)bkkx∗ k < kx∗ k Mâu thuẫn Điều dẫn đến a = b hay tương đương với x y = Vì thế, kxk kyk đặt α = kyk/kxk ta có điều cần chứng minh Định nghĩa 1.6 Không gian Banach E gọi có tính chất Kadec-Klee với dãy {xk } ⊂ E thỏa mãn xk * x0 kxk k → kx0 k k → ∞ kéo theo xk → x0 Ví dụ 1.6 Khơng gian Hilbert khơng gian có tính chất Kadec-Klee Tổng quát ta có mệnh đề sau 7 Mệnh đề 1.3 [1] Mọi khơng gian Banach lồi có tính chất Kadec-Klee Chứng minh Giả sử E khơng gian Banach lồi dãy {xk } ⊂ E thỏa mãn xk * x0 kxk k → kx0 k Nếu x0 = hiển nhiên ta có xk → Giả sử x0 6= xk x0 Khi đó, ta có x0 xk kxk k kx0 k Do đó, tồn ε > dãy {xki } dãy {xk } cho x x0 ki − ≥ ε kxki k kx0 k Vì E khơng gian lồi nên tồn δ = δ() > cho xki x0 + ≤ − δ kxki k kx0 k Vì xk * x0 kxk k → kx0 k nên x0 xk * kxk k kx0 k Kết hợp điều Mệnh đề 1.1, ta nhận x x0 x ki + ≤ lim inf ≤ − δ, kx0 k k→∞ kxki k kx0 k mâu thuẫn Vì xk → x0 hay E có tính chất Kadec-Klee Định nghĩa 1.7 Hàm δE (ε) : [0, 2] → [0, 1] gọi môđun lồi không gian Banach E x + y n o δE (ε) = inf − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε Chú ý 1.1 Dễ thấy δE (0) = δE (t) ≥ với t ≥ Hơn nữa, môđun lồi không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng đoạn [0, 2] Ví dụ 1.7 Cho H khơng gian Hilbert, mơđun lồi H r ε2 δH (ε) = − − , ε ∈ (0, 2] Đặc trưng tính lồi khơng gian qua môđun lồi phát biểu sau Mệnh đề 1.4 [1] Không gian Banach E lồi δE (ε) > 0, ∀ε > Chứng minh Giả sử E không gian lồi Khi đó, với ε > tồn δ(ε) > cho x + y < δ(ε) ≤ − , ∀x, y ∈ E, kxk ≤ 1, kyk ≤ kx − yk ≥ ε Từ suy δE (ε) > Ngược lại, giả sử E không gian Banach có mơđun lồi δE thỏa mãn δE (ε) > 0, ∀ε ∈ (0, 2] Lấy x, y ∈ E cho kxk = 1, kyk = với kx − yk ≥ ε với ε ∈ (0, 2] Từ định nghĩa δE (ε) ta có x + y < δE (ε) ≤ − Hay tương đương với x + y ≤ − δ(ε), δ(ε) = δE (ε) không phụ thuộc vào x y Vì thế, E không gian lồi Định nghĩa 1.8 Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux điểm x0 ∈ SE với y ∈ SE giới hạn sau kx0 + tyk − kx0 k , t→0 t lim tồn kí hiệu hy, ∇kx0 ki Khi đó, ∇kx0 k gọi gradient chuẩn kxk x = x0 Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux điểm SE Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn tồn theo x ∈ SE Ví dụ 1.8 Trên khơng gian Hilbert H, chuẩn H khả vi Gâteaux x x 6= ∇kxk = Thật vậy, với x ∈ H, x 6= 0, ta có kxk kx + tyk − kxk kx + tyk2 − kxk2 lim = lim t→0 t→0 t(kx + tyk + kxk) t   2thx, yi + t2 kyk2 x = lim = y, t→0 t(kx + tyk + kxk) kxk Định nghĩa 1.9 Không gian Banach E gọi trơn với x ∈ SE tồn phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ cho hx, x∗ i = kxk kx∗ k = Ví dụ 1.9 [1, 3] Các khơng gian lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) không gian Banach trơn Các không gian Banach c0 , l1 , L1 [a, b] l∞ không trơn Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ tính trơn khơng gian tính khả vi Gâteaux chuẩn Mệnh đề 1.5 [1] Không gian Banach E trơn chuẩn E khả vi Gâteaux E\{0} Độ trơn không gian Banach E cịn biểu diễn qua mơđun trơn Định nghĩa 1.10 Cho E không gian Banach Hàm ρE : R+ → R+ gọi môđun trơn E   kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = t ρE (t) = sup   kx + tyk + kx − tyk = sup − : kxk = kyk = , t ≥ Nhận xét 1.4 Từ định nghĩa ρE suy ρE (0) = ρE (t) ≥ với t ≥ Hơn nữa, ρE hàm lồi, tăng liên tục Tính trơn khơng gian Banach định nghĩa thông qua môđun trơn sau Định nghĩa 1.11 Không gian Banach E gọi trơn ρE (t) = t→0 t lim Ví dụ 1.10 Không gian Hilbert H không gian trơn √ ρH (t) + t2 − lim = lim = t→0 t→0 t t Mệnh đề 1.6 [1] Mọi không gian Banach trơn không gian trơn 10 Chứng minh Giả sử E không gian Banach trơn khơng trơn Khi đó, tồn x 6= x∗ 6= y ∗ ∈ E ∗ cho kx∗ k = ky ∗ k = hx, x∗ i = hx, y ∗ i = kxk Lấy y ∈ SE thỏa mãn hy, x∗ − y ∗ i > Với t > ta có < thy, x∗ − y ∗ i = thy, x∗ i − thy, y ∗ i hx + ty, x∗ i + hx − ty, y ∗ i = −1 kx + tyk + kx − tyk ≤ − Điều suy ρE (t) , ∀t > t Mâu thuẫn với tính lồi E Vì thế, E không gian trơn < thy, x∗ − y ∗ i ≤ Mệnh đề cho ta mối liên hệ tính trơn lồi khơng gian Banach E không gian đối ngẫu E ∗ Mệnh đề 1.7 [1] Cho E khơng gian Banach Khi đó, ta có khẳng định sau: i) E ∗ không gian lồi E không gian trơn ii) E không gian lồi E ∗ không gian trơn Chứng minh i) Giả sử E khơng gian trơn Khi đó, ta có   τε ρE (τ ) = sup − δE ∗ (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > (1.1) Nếu E ∗ không không gian lồi ∃ε0 ∈ (0, 2] cho δE ∗ (ε0 ) = Khi đó, từ (1.1) suy τ ε0 − δE ∗ (ε0 ) ≤ ρE (τ ) Điều dẫn đến ε0 ρE (τ ) ≤ τ Mâu thuẫn với giả thiết E khơng gian trơn Vì thế, E ∗ không gian lồi 0< 11 Ngược lại, giả sử E ∗ không gian lồi Khi đó, ta có   τε − δE (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > ρE ∗ (τ ) = sup (1.2) Nếu E không khơng gian trơn ρE (τ ) 6= τ →0 τ ρ0E (0) = lim Giả sử ρE (τ ) = ε, τ →0 τ lim ε > ρE (τn ) = ε Từ (1.2) n→∞ τn Khi đó, tồn dãy {τn } ∈ (0, 1) cho τn → lim dẫn tới tồn dãy {εn } ∈ (0, 2] cho τ n εn ε τn ≤ − δE ∗ (εn ) 2 Hay tương đương với < δE ∗ (εn ) ≤ τn (εn − ε) Vì τn < nên ε < εn Mặt khác, δE ∗ hàm khơng giảm nên ta có δE (ε) ≤ δE (εn ) → Do đó, δE (ε) = 0, điều mâu thuẫn với giả thiết E ∗ khơng gian lồi Vì thế, E không gian trơn ii) Chứng minh tương tự i) cách thay đổi vai trò E E ∗ 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.12 Một ánh xạ J : E ⇒ E ∗ (nói chung đa trị) thỏa mãn điều kiện J(x) = {x∗ ∈ E ∗ : hx, x∗ i = kxkkx∗ k kx∗ k = kxk}, gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E Chú ý 1.2 Ánh xạ J tồn không gian Banach Khẳng định suy hệ trực tiếp Định lí Hahn-Banach (Nhận xét 4.2, trang 25, [3]) Đôi khi, không sợ nhầm lẫn, trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ta kí hiệu j 12 Ví dụ 1.11 Trong không gian Hilbert H ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J H ánh xạ đơn vị I Thật vậy, trước hết để ý H = H ∗ với x ∈ H ta có hx, xi = kxkkxk Do đó, x ∈ J(x) Ngược lại, với y ∈ J(x), từ định nghĩa J ta thấy hx, yi = kxkkyk kyk = kxk Kết hợp điều với tính chất kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi, suy x = y Vì vậy, J(x) = {x} Mệnh đề 1.8 [1] Trong khơng gian Banach E, ta có bất đẳng thức sau kxk2 + 2hy, j(x)i ≤ kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i, với x, y ∈ E Chứng minh Ta có kxk2 − kx + yk2 + 2hy, j(x + y)i = kxk2 − kx + yk2 + 2hx + y − x, j(x + y)i = kxk2 + kx + yk2 − 2hx, j(x + y)i ≥ kxk2 + kx + yk2 − 2kxkkj(x + y)k = kxk2 + kx + yk2 − 2kxkkx + yk = (kxk − kx + yk)2 ≥ Do đó, ta nhận kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i Tiếp theo, để ý kx + yk2 − kxk2 − 2hy, j(x)i = kx + yk2 − kxk2 − 2hy + x − x, j(x)i = kx + yk2 + kxk2 − 2hx + y, j(x)i ≥ kxk2 + kx + yk2 − 2kx + ykkj(x)k = kxk2 + kx + yk2 − 2kxkkx + yk 13 = (kxk − kx + yk)2 ≥ Từ suy kxk2 + 2hy, j(x)i ≤ kx + yk2 Một số tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trình bày mệnh đề Mệnh đề 1.9 [1] Cho E không gian Banach thực J : E ⇒ E ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E Khi đó, ta có khẳng định sau: i) J(0) = {0} ii) Với x ∈ E, J(x) tập lồi đóng bị chặn khác rỗng iii) J(λx) = λJ(x) với x ∈ E λ ∈ R iv) Nếu E ∗ khơng gian lồi chặt J ánh xạ đơn trị Chứng minh i) Hiển nhiên, ta thấy J(0) = {x∗ ∈ E ∗ : h0, x∗ i = kx∗ k = 0} = {0} ii) Nếu x = J(0) = {0} 6= ∅ Nếu x 6= theo Định lí Hahn-Banach, tồn x∗ ∈ E ∗ cho hx, x∗ i = kxk kx∗ k = Bằng cách đặt y ∗ = kxkx∗ ta nhận hx, y ∗ i = kxk2 ky ∗ k = kxk Do đó, y ∗ ∈ J(x) hay suy J(x) khác rỗng với x ∈ E Tiếp theo, giả sử x∗ , y ∗ ∈ J(x) λ ∈ [0, 1] Ta có hx, x∗ i = kxkkx∗ k, kxk = kx∗ k, hx, y ∗ i = kxkky ∗ k, kxk = ky ∗ k, hx, λx∗ + (1 − λ)y ∗ i = kxk(λkx∗ k + (1 − λ)ky ∗ k) = kxk2 Từ đẳng thức ước lượng sau hx, λx∗ + (1 − λ)y ∗ i ≤ kxkkλx∗ + (1 − λ)y ∗ k (1.3) 14 ≤ kxk(λkx∗ k + (1 − λ)ky ∗ k) = kxk2 dẫn đến kxkkλx∗ + (1 − λ)y ∗ k = kxk2 Điều tương đương với kλx∗ + (1 − λ)y ∗ k = kxk (1.4) Kết hợp (1.3) (1.4) ta nhận hx, λx∗ + (1 − λ)y ∗ i = kλx∗ + (1 − λ)y ∗ kkxk (1.5) Vì thế, từ (1.4) (1.5) suy λx∗ + (1 − λ)y ∗ ∈ J(x) hay J(x) tập lồi Cuối cùng, từ định nghĩa J(x), dễ thấy J(x) tập đóng bị chặn iii) Giả sử x∗ ∈ J(λx) xét trường hợp λ 6= (vì λ = hiển nhiên J(0) = {0}) Khi đó, ta có hλx, x∗ i = kλxkkx∗ k = kx∗ k2 , kλxk = kx∗ k Từ suy hx, λ−1 x∗ i = λ−1 hλx, λ−1 x∗ i = λ−2 hλx, x∗ i = λ−2 kλxkkx∗ k = λ−2 kλxk2 = kxk2 Mặt khác, dễ thấy kλ−1 x∗ k = |λ−1 |kx∗ k = |λ−1 |kλxk = kxk Do đó, λ−1 x∗ ∈ J(x) hay x∗ ∈ λJ(x) Vì thế, ta nhận J(λx) ⊆ λJ(x) (1.6) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ λJ(x) hay λ−1 x∗ ∈ J(x) Để ý rằng, từ ước lượng hx, λ−1 x∗ i = kxkkλ−1 x∗ k = kλ−1 x∗ k2 = kxk2 , cho ta hλx, x∗ i = λhx, x∗ i = λ2 hx, λ−1 x∗ i = λ2 kxk2 = kλxk2 Hơn nữa, x∗ = λy ∗ với y ∗ ∈ J(x) nên kx∗ k = kλy ∗ k = |λ|ky ∗ k = |λ|kxk = kλxk  ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã... lớp ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng không gian Banach 1.1 Cấu trúc hình học khơng gian Banach Cho E không gian Banach thực, E ∗ E ∗∗ tương ứng không gian đối ngẫu không gian đối. .. đích luận văn trình bày lại có hệ thống số phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tương đối không gian Banach lồi trơn Với mục tiêu vậy, lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận