Đang tải... (xem toàn văn)
S GD&ĐT NGH ANỞ Ệ LIÊN TR NG THPT TP VINHƯỜ Đ THI GIÁO VIÊN D Y GI I C P Ề Ạ Ỏ Ấ TR NGƯỜ NĂM H C 2018 – Ọ 2019 Môn Toán Th i gian 120ờ phút (Không k th i gian giao để ờ ề) Câu 1 (5 0 đi m)ể ( Ph n chu[.]
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Đề chính thức Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1 (5.0 điểm) ( Phần chung) Câu 2.(5.0 điểm) Cho định lí về tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: '' Cho cấp số nhân (un ) có cơng bội q . Đặt Sn = u1 + u2 + + un Khi đó Sn = u1 − qn ” 1− q (Đại số và Giải tích lớp 11 Tr 102) Anh (chị) hãy thiết kế hai ví dụ khác nhau (kèm hướng dẫn giải), trong đó u cầu ít nhất một ví dụ có nội dung liên hệ thực tiễn để giúp học sinh vận dụng định lí trên trong q trình học. Câu 3. (5.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, BC = a ∆ACD vng cân tại C. Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = a a) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a b) Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên SD và I là trung điểm SC Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ( AHI ) và ( ABCD ) Câu 4.(5.0 điểm) a) Cho phương trình: 23 = − x + x − 10 − 3x Anh (chị) hãy nêu 3 định hướng để giúp học sinh tìm được ba cách giải phương trình trên và hãy đặt các câu hỏi hướng dẫn học sinh giải chi tiết một trong các cách đó b) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab bc ca 4abc + + − 2 (a + b) (b + c) (c + a) (a + b)(b + c)(c + a ) Hết Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn ( gồm 05 trang) Câu (5đ) Nội dung Phần chung Chiết điểm (5đ) Lấy mỗi một ví dụ chính xác, có kèm hướng dẫn giải chi tiết cho 2,5 điểm u cầu về lấy ví dụ : + Chính xác khoa học, có hướng dẫn giải chi tiết đi kèm + Nội dung cần phải áp dụng định lý để giải + Phải có ít nhất một ví dụ có tính liên hệ thực tiễn. Một số dạng ví dụ gợi ý: Cho um và uk bất kì, tính tổng các số hạng của cấp số nhân. Cho u1 (hoặc một uk bất kì) và q, tính tổng các số hạng của cấp số nhân. Cho n, Sn và q, tìm u1 hoặc uk nào đó Cho n, Sn và u1 (hoặc uk nào đó), tìm q Cho m, n và Sm , Sn tìm uk và q Cho Sn và q, u1 Tìm n. … Tính tổng các số hạng của một dãy số có qui luật … Các ví dụ thực tiễn liên quan đến tăng trưởng kinh tế, tỉ lệ tăng dân số, tính tổng,… Một số gợi ý: 1) Cho cấp số nhân (un ) có u9 = 64, q = −2 Tính tổng 2019 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho Lời giải: u9 = u1.q8 � 64 = 256 u1 � u1 = 1 − (−2) 2019 � S2019 = = (1 − 22019 ) 4 1+ 12 2) Cho cấp số nhân (un ) có S10 = 341, q = −2 Tìm u1 Lời giải: Điể m Ta có: u1 − (−2)10 = 341 � −1023u1 = 1023 � u1 = −1 1+ 3) Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 2, q = 3, Sn = 2186 Tìm n Lời giải: Ta có u1 − qn 3n − = 2186 � = 2186 � 3n = 2187 � n = 1− q 4) Cho cấp số nhân (un ) có S3 = 168, S6 = 189 Tìm cơng bội q của cấp số nhân đó Lời giải: S3 = u1 − q3 − q6 − q3 168 1 = 168 ; S6 = u1 = 189 � = � q3 = � q = 3 1− q 1− q (1 − q )(1 + q ) 189 5) Bạn Nam vừa tốt nghiệp đại học đi làm. Năm đầu tiên bạn dành dụm được A triệu đồng. Bạn dự định mỗi năm sẽ dành một số tiền tích lũy theo nguyên tắc số tiền tích lũy năm sau sẽ tăng hơn số tiền tích lũy năm kề trước là 20%. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm đi làm tổng số tiền bạn Nam dự định sẽ tích lũy được là bao nhiêu ? Lời giải: Số tiền năm thứ nhất bạn Nam tích lũy được là A triệu đồng Số tiền năm thứ hai bạn Nam tích lũy được là: A +20%. A = 120%. A = A ( triệu đồng) Số tiền năm thứ ba bạn Nam tích lũy được là: 6 A +20% A = ( ) A ( triệu đồng) 5 … Như vậy số tiền tích lũy hàng năm của Nam lập thành một cấp số nhân có cơng bội q = Sau 5 năm thì số tiền Nam tích lũy được là: S5 = u1 − q5 Thay u1 = A và q = ta được số tiền là: 7,4. A triệu đồng. 1− q 3.a (2,5đ) 0,5 3 a) VS ABCD = 2VS ACD = SA.S∆ACD = .a a a3 = b) Ta có CD = AC = SA = a � AI ⊥ SC (1) 3.b Lại có CD ⊥ SA và CD ⊥ AC � CD ⊥ AI (2) (2,5đ) Từ (1) và (2) � AI ⊥ ( SCD) � AI ⊥ SD SD ⊥ AI � SD ⊥ ( AHI ) SD ⊥ AH SA ⊥ ( ABCD ) � ( ( ABCD );( AHI ) ) = ( SA; SD ) = �ASD ; Ta có: SD ⊥ ( AHI ) AD tan ASD = = SA Ngồi ra có thể giải theo cách xác định góc, cơng thức hình chiếu hoặc tọa độ hóa Câu 4. a) 4.a Định hướng 1: ( Tạo bình phương) . (3,5đ) Hệ thống câu hỏi: Câu 1: Nêu một số định hướng giải phương trình chứa căn? Câu 2: Biến đổi phương trình đã cho và nêu điều kiện có nghiệm của phương trình ? Câu 3: Do trong biểu thức của phương trình xuất hiện tích của hai số hạng (4 − 3x) − x , vậy ta định hướng phương pháp giải nào? Câu 4: Để làm xuất hiện bình phương cần thêm bớt các số hạng như thế nào? Câu 5: Hãy giải chi tiết phương trình đã cho Giải chi tiết Điều kiện có nghiệm: 3x − < � x < (*) 4− x Với đk (*) pt � x − x + = (4 − x) − x � x − 24 x + 28 − 4(4 − 3x) − x = 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 � x − 24 x + 16 − 4(4 − x) − x + 4(4 − x) = x − x + � (4 − x − − x )2 = ( x − 2) � − x = − x (1) − x = 1− x (2) x 11 − 41 − 13 (1) � � x= �x= (2) � 2 x − x −3 = x − 11x + = x Định hướng 2: ( Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn) Điều kiện có nghiệm: 3x − < � x < (*) 4− x Với đk (*) 0,5 pt � x − x + = (4 − x) − x � − x − (4 − 3x) − x + x − x + = 2 Đặt t = − x (t > 0) Ta có pt: t − (4 − x)t + x − x + = ; ∆ = ( x − 2) − x = − 2x Pt có hai nghiệm: t = − x ; t = − x suy ra − x = 1− x … 0,5 ( Cũng có thể đưa về x + (3t − 5) x + t − 4t + = ; ∆ = (t + 1)2 Pt có hai nghiệm: x = − t ; x = 3−t suy ra − x = − 2x − x = 1− x …) Định hướng 3: ( Phương pháp liên hợp không dùng MTBT hỗ trợ) −2 x + x − pt � = 4− x 3x − 3x − < � x < (*) Điều kiện có nghiệm: 4− x Ta biến đổi pt � 0,5 −2 x + x − − (ax + b) = − x − (ax + b) 3x − Để xuất hiện nhân tử chung ta cần tìm a, b sao cho: −2 x + x − − (ax + b)(3x − 4) = k[4 − x − (ax + b) ] (k R) � (3a + 2) x + (3b − 4a − 6) x + − 4b = k[a x + (1 + 2ab)x+b 4] ( k �R) 0,5 ka = 3a + Đồng nhất hệ số ta được: k (1 + 2ab) = 3b − 4a − k (b − 4) = − 4b Thường thì k sẽ bằng 1 hoặc 1. Bài này với k = 1 khi đó chẳng hạn cặp a = 1 và b = 1 thỏa mãn ( cũng có thể chọn k = 1 và cặp a = 2; b =3) Từ đó ta có lời giải như sau: −2 x + x − − (1 − x ) = − x − (1 − x ) 3x − x2 − x − = x2 − x − − x2 + x + pt � = � … 3x − 4 − x + (1 − x ) − x = − 2x Với đk (*) pt � Định hướng 4: ( Phương pháp liên hợp có dùng MTBT hỗ trợ) Điều kiện có nghiệm: 3x − < � x < (*) 4− x Với đk (*) pt � x − x + = (4 − 3x) − x Dùng máy tính bỏ túi ta tìm được 1 nghiệm của pt là: x0 0.5746 Thay x0 = 0.5746 vào − x ta được − x0 1,8508 = −2 x0 + nên ta biến − x − (3 − 2x) ] = −4 x + 11x − đổi phương trình như sau: pt � (4 − 3x ) −4 x + 11x − = −4 x + 11x − � (4 − 3x) = −4 x + 11x − � … − x + − 2x − x = 1− x Định hướng 5: ( Bình phương 2 vế đưa về tích)… Điều kiện có nghiệm: 3x − < � x < (*) 4− x Với đk (*) pt � x − x + = (4 − 3x) − x Bình phương hai vế với đk (*) ta được pt � x + 36 x + 49 − 24 x − 84 x + 28 x = (16 − 24 x + x )(4 − x) � x − 15 x3 + x + 28 x − 15 = Dùng MTBT ta bấm được 4 nghiệm: x1 0.5746, x2 2,1754, x3 −1,30278, x4 2,30278 Ta có: x1 + x2 = 2, 75 = 11 , x1.x2 = 1, 25 = Suy ra x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình : x − 11x + = x3 + x4 = 1, x3 x4 = −3 Suy ra x3 , x4 là hai nghiệm của phương trình : x − x − = Đó là cơ sở để ta phân tích pt � ( x − x − 3)(4 x − 11x + 5) = Giải xong đối chiếu đk có nghiệm… b) Bđt cần chứng minh ab bc ca 4abc � − + − + − − �− 2 (a + b) (b + c) (c + a ) (a + b)(b + c)(c + a ) 4.b 2 (1,5đ) � (a − b) + (b − c) + (c − a ) + 2a 2b 2 2c − �0 ( a + b ) (b + c ) (c + a ) ( a + b ) (c + b) ( a + c ) a −b b−c c−a 2a 2b 2c ;y= ;z = ;1 + y = ;1 + z = Đặt x = . Ta có 1 + x = a+b b+c c+a a+b b+c c+a Nhận xét: (1 + x)(1 + y)(1 + z ) = (1 − x)(1 − y)(1 − z ) ( vì cùng bằng � x + y + z + xyz = 8abc ) (a + b)(b + c)(c + a) Suy ra bđt cần chứng minh x + y + z + 2(1 + x)(1 + y )(1 + z ) − � x + y + z + 2( x + y + z + xyz + xy + yz + xz ) �0 � ( x + y + z ) �0 ( luôn đúng) Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi x=y=z=0, hay a=b=c 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 ...Cán bộ coi? ?thi? ?khơng giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ? ?THI? ?GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC? ?2018? ?–? ?2019? ?Mơn: Tốn ( gồm 05 trang) Câu (5đ) Nội dung Phần chung... 2019 số hạng đầu tiên của? ?cấp? ?số nhân đã cho Lời giải: u9 = u1.q8 � 64 = 256 u1 � u1 = 1 − (−2) 2019 � S2019 = = (1 − 22019 ) 4 1+ 12 2) Cho ? ?cấp? ?số nhân (un ) ? ?có? ? S10 = 341, q = −2 Tìm ... Tính tổng các số hạng của một dãy số? ?có? ?qui luật … Các ví dụ thực tiễn liên quan đến tăng trưởng kinh tế, tỉ lệ tăng dân số, tính tổng,… Một số gợi ý: 1) Cho ? ?cấp? ?số nhân (un ) ? ?có? ? u9 = 64, q = −2 Tính tổng 2019 số hạng đầu