1 TỨ GIÁC A Tóm tắt lý thuyết 1 Tứ giác a) Định nghĩa Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng , , ,AB BC CD DA trong đó bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên 1 đường thẳng Ta có hình a), b),[.]
TỨ GIÁC A Tóm tắt lý thuyết Tứ giác D B B A A C A C A B D a D b c B C C d D a) Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC , CD, DA đoạn thẳng không nằm đường thẳng Ta có hình a), b), c) tứ giác Hình d) khơng tứ giác b) Tứ giác lồi: Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Ta có: Hình a) tứ giác lồi Hình b), c) khơng tứ giác lồi c) Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác D a) Định lý: Tổng góc tứ giác 3600 GT Tứ giác ABCD KL +C +D = A+ B 3600 C A B *) Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn bốn góc tứ giác bốn góc có tổng 3600 - Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > AD - Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi bốn đỉnh tứ giác 3600 Góc ngồi tứ giác: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tính số đo góc hình vẽ tứ giác Cách giải - Sử dụng định lý tổng bốn góc tứ giác - Tổng hai góc kề bù 1800 - Tổng ba góc tam giác 1800 - Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ - Kết hợp kến thức tỷ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau, toán tổng hiệu,… để tính số đo góc Bài 1: Tính x hình vẽ sau B 120° C 800° P x A 110° 65° S Q x x 95° D R Lời giải a) Xét tứ giác ABCD , có: A + B + C + D = 3600 ⇒ 1100 + 1200 + 800 + = x 3600 ⇒ 3100 + = x 3600 ⇒ = x 500 Vậy x = 500 +N +P +Q 3600 ⇒ x + x + 950 + 550 ⇒ 2= = x 2100 ⇒ = x 1050 b) Xét tứ giác MNPQ , có: M Vậy x = 1050 Bài 2: Tính x hình vẽ sau N M Q x P C F x G E 65o H F Lời giải x 60o D 105o E +N +P +Q = 3600 ⇒ 2700 + = x 3600 ⇒ = x 900 Hình a) Ta có: M +F +G +H Hình b) Ta có: E = 3600 ⇒ 650 + 1800 + = x 3600 ⇒ = x 1150 kề bù với 600 nên CDE = 1200 DEF = 750 kề bù với góc 1050 nên DEF Hình c) Ta có: CDE = 900 FCD + CDE + DEF += Mà FCD x 3600 ⇒ 900 + 1200 + 750 + = x 3600 ⇒ = x 750 Bài 3: Tính x hình vẽ sau C M 114° x 71° F D 90° 76° Hình a Q E E 96° 71° N 61° Hình b P x H x F 120° Hình c 120° G Lời giải +E +F Hình a) Ta có: C + D = 3600 ⇒ 1140 + x + 760 + 71= 3600 ⇒ = x 990 = 3600 ⇒ 900 + 710 + P + 61= = 1380 +N +P +Q 3600 ⇒ P Hình b) Ta có: M kề bù với góc x ⇒ x = Mà P 420 kề bù với 1200 nên G = 600 Hình c) Ta có: G +F +G += Mà E x 3600 ⇒ 960 + 1200 + 600 + = x 3600 ⇒ = x 840 Bài 4: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác a) Hãy tính góc ngồi tứ giác hình a) b) Tính tổng góc ngồi tứ giác Hình b) (tại đỉnh tứ giác chọn góc +C +D = ngồi): A1 + B ? 1 c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác? B C 120 A B o o 75 A D D Hình a C Hình b Lời giải = 60o , = 90o , C +C = 180o (hai góc kề bù) nên B 180o (hai góc kề bù) nên C a) B + B1 = 1 A + A1 = 180o (hai góc kề bù) nên A1 = 105o = = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý) ⇒ D 75o +D = = 105o 180o (hai góc kề bù) nên D Ta có: D 1 +C = +D = 180o (hai góc kề bù), D 180o (hai góc kề bù), C 180o (hai góc kề b) Ta có B + B1 = 1 180o (hai góc kề bù) A1 = bù), A + o +B +C +C +D += 4.180 ⇒ A + A1 + B D = 720o 1 +C +D = = A1 + B 360o Mà A + B + C + D 360o (định lý) ⇒ 1 c) Nhận xét: Tổng góc ngồi tứ giác tổng góc tứ giác 360o Bài 5: Tính x, y hình vẽ sau G x K 74 o H y GH/ / IK 59o AD / /BC I Hình a) Hình b) x D A 111o y B C 50o Lời giải Hình a) Ta có: GH / / IK , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: x + 74o = 180o (hai góc phía) o ⇒= x 180o − 74= 106o y + 59o = 180o (hai góc phía) ⇒ y= 180o − 59o= 121o Hình b) Ta có: AD/ / BC , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: y + 111o = 180o (hai góc phía) ⇒ y= 180o − 111o= 69o x = 50o (hai góc đồng vị) Bài 6: 80 = B = , D 1200 Góc ngồi Cho ◊ABCD có đỉnh C 1300 Tính góc A Lời giải ⇒C = Ta có góc ngồi đỉnh C có số đo 130o kề bù với C 50o o = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý) ⇒ A + 800 + 50o + 120= 360o ⇒ A = 110o Dạng 2: Tính góc tứ giác biết mối quan hệ góc Cách giải - Thay liên hệ góc vào hệ thức “Tổng góc tứ giác 3600 ” = m : n : p : q ( m, n, p, q số nguyên dương) - Nếu tứ giác ABCD biết A : B : C : D ⇒ C D +C +D A B A+ B 3600 (tính chât dãy tỷ số nhau) = = = = = m n p q m+n+ p+q m+n+ p+q Từ tính số đo góc A, B , C , D Bài 1: = , B 900 Góc ngồi Cho ◊ABCD= có A 130 D đỉnh C 1200 Tính góc D A 130° 120° B C Lời giải Ta có C2 = 1200 ⇒ C1= 600 = 3600 ⇔ 1300 + 900 + 600 + D = 3600 Xét ◊ABCD , có A + B + C1 + D = ⇒D 800 Bài 2: 70 , H , = E = , F 800 Tính G Cho ◊EFGH có G H −H = biết G 200 F E Lời giải = 700 ; F = 800 ⇒ G +H = 3600 − 1500 = 2100 (1) Theo đầu ta có: E −H = Mà G 200 ( ) 1150= 950 Từ (1)( ) ⇒= G ;H 115 = G = ; H 950 Vậy Bài 3: Cho hình vẽ, tính P ; Q M 70° 2x Q x 80° N P Lời giải Áp dụng định lý tổng bốn góc tứ giác, ta có : +N +P +Q = 3600 ⇔ 1500 + x= 3600 ⇔ x= 2100 ⇔ x= 700 ⇒ P = 700 ; Q = 1400 M 70 = P = ; Q 1400 Vậy Bài 4: = 1: : : Cho ◊ABCD , biết A : B : C : D E a) Tính góc ◊ABCD 72° b) Chứng minh AB / /CD D c) Gọi giao điểm AD BC E Tính 144° 108° C góc ∆CDE 36° A Lời giải A B C a) Theo đầu ta có: = = = +C +D 3600 D A+ B = = = 360 1+ + + 10 A 360 ;= 720 ;= 1080 ;= 1440 ⇒= B C D = 1800 ⇒ AB / / CD b) ⇒ A + D 36 = = ; ECD 720 c) EDC 72° B Bài 5: = : : :1 Cho ◊ABCD , biết A : B : C : D D a) Tính góc ◊ABCD A b) Các tia phân giác góc C D cắt F E E Các đường phân giác góc ngồi ; CFD đỉnh C D cắt F Tính CED B C Lời giải A 144 = = ; B 108 = ; C 72 = ; D 360 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: =1800 − D + 1C =1260 b) Ta có: CED 2 Ta có: DE DF hai tia phân giác hai góc kề bù nên vng góc với =ECF = = ⇒ EDF 900 ⇒ DFC 540 Bài 6: =+ = + 300 ; D A + 150 ; C B A 100 Tính góc ◊ABCD , biết B = Lời giải = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý) + 45o , = 2 Mà B= A + 15o , C =B + 30o =A D A + 10o ⇒ A+ A + 15o + A + 45o + A + 10o = 360o = 103o , D = = 126o 73o , C ⇒ 5 A= 290o ⇒ A= 58o ⇒ B Bài 7: −C = 250 Tính góc ◊ABCD Cho ◊ABCD , biết B = A + 150 ; C = A; D Lời giải = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý) −C = 25o ⇒ D =C + 25o = Mà B= A + 15o , C = A ; D A + 25o o = = 120o , D = 145o 55o , C ⇒ A + A + 15o + A + A + 25o = 360o ⇒ A + 40= 360o ⇒ A= 40o ⇒ B Bài 8: = + 100 ; F = + 300 ; H = Tính góc ◊EFGH E E 2G Cho ◊EFGH , biết G Lời giải +F +G +H = Ta có: E 360o (định lý) = + 10o , F = + 30o , H + 20o = + 10o + E + 30o + E 2= 2E + 20o ⇒ E +E E E Mà G 360o = G + 60o= 360o ⇒ E = 60o ⇒ G = = 90o , H = 140o ⇒ 5E 70o , F Bài 9: + 50 ; M = + 450 ; N =− 400 Tính góc ◊MNPQ Q Q 2Q Cho ◊MNPQ , biết P = Lời giải +N +P +Q = 360o (định lý) Ta có: M − 40o ⇒ Q + 5o , M = + 45o , = 2Q + 45o + 2Q − 40o + Q + 5o + Q = N 360o Q Q Mà P = + 10o = = = = 115o , N = 100o ⇒ 5Q 360o ⇒ Q 70o ⇒ P 75o , M Bài 10: ; D A 700 ;= 800 ; C −= 200 Tính góc C B D Cho ◊ABCD , có = Lời giải = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý) = 20o ⇒ C =D + 20o ⇒ 70o + 80o + D + 20o + D = Mà A = 70o , B = 80o , C − D 360o + 170o = = = ⇒ 2D 360o ⇒ D 95o ⇒ C 115o Bài 11: 2000 ; B += 1800 ; C += 1200 Tính số đo góc tứ giác ◊ABCD C D D Cho ◊ABCD , biết B += Lời giải = 2000 + 1800 + 1200 ⇒ B +C +D = 2500 Từ giả thiết ta có: B + 2C + D = 3600 ⇒ Vì: A + B + C + D A = 1100 ( ) = 2500 − C +D = 2500 − 1200= 1300 B = 2000 − B = 2000 − 130= C 700 = 1200 − C = 1200 − 700= 500 D Dạng 3: Tính độ dài cạnh tứ giác Cách giải: Ta sử dụng kiến thức sau - Sử dụng định lý pytago - Sử dụng cơng thức tính chu vi tam giác, tứ giác Bài 1: Tính độ dài cạnh a, b, c, d tứ giác có chu vi 76cm a : b : c : d = : : : Lời giải a b c Theo đầu ta có: a : b : c : d = : : : ⇒ = = = d a + b + c + d 76 = = =4 + + + 19 ⇒ a = 8; b = 20; c = 16; d = 32 Bài 2: Cho hình vẽ, biết ∆ABC có chu vi 25cm A Tam giác ADC có chu vi 27cm Tứ D giác ABCD có chu vi 32cm Tính AC B C Lời giải Chu vi ∆ABC =25 ⇒ AB + BC + CA =25(1) Chu vi ∆ADC =27 ⇒ AD + DC + CA =27(2) Từ (1)( ) ⇒ AB + BC + CA + AD + DC + CA = 52 ⇔ 32 + AC = 52 ⇒ AC = 10(cm) 10 Dạng 4: Dạng toán chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, song song, vng góc, trung điểm đoạn thẳng Cách giải: Ta cần ý tới kiến thức sau - Dựa vào cặp góc đồng vị, so le trong, phía, … - Hai góc phụ có tổng số đo 900 - Đơi chia tứ giác thành tam giác để sủ dụng bất đẳng thức tam giác Bài 1: Cho ◊ABCD có BAD = BCD = 900 , phân giác A ABC cắt AD E Phân giác ADC cắt BC F Chứng minh α BE / / DF E B β D C Lời giải +) Ta có: ABC + ADC= 1800 ⇒ α + β= 900 (1) +) Xét ∆ABE , có α + E1 = 900 ( ) Từ (1)( ) ⇒ β = E1 ⇒ BE / / DF Bài 2: = Cho ◊ABCD có ABC + BAD 1800 Phân giác A B , CAD cắt E , góc BCD biết CD = DE Chứng minh M ADC = BCD D Lời giải Theo đầu ta có: = 1800 ⇒ C = 900 ⇒ DEC = 900 = 1800 ⇒ C +D +D ABC + BAD 1 11 E C = MC = MD = Gọi M trung điểm CD ⇒ EM CD ⇒ ∆DEM = 600 ⇒ C = 300 ⇒ D = 2C ⇒D 1 Bài 3: + BCD = 1800 ; DA = DC Cho ◊ABCD có BAD B Chứng minh BD phân giác ABC A E C D 1 Lời giải Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = BC =E B = (2) B ⇒ ∆BCD = ∆EAD(cgc) ⇒ (1) ⇒ ∆BED cân D ⇒ E DB = DE Từ (1)(2) ⇒ B1 = B Bài 4: Cho ◊ABCD có BD phân giác ABC , = AD CD, AB < AC Chứng minh E B C + BCD = BAD 1800 A Lời giải Trên cạnh BC lấy điểm E cho BA = BE (1) A1 = E = (2) ∆BED = ∆BAD(cgc) ⇒ AD = ED ⇒ ED = CD ⇒ ∆EDC cân D ⇒ E C CD = AD =E +E = 1800 A1 + C Từ (1)(2) 1 12 D Bài 5: = : :13 :10 Cho ◊ABCD , biết A : B : C : D E a) Tính góc ◊ABCD B b) AB ∩ CD= E; AD ∩ BC= F Phân giác 12 AED AFB cắt O , phân giác C AFB cắt CD AB M N Chứng minh O trung điểm MN O N A Lời giải A 50 = = ; B 80 = ; C 130 = ; D 1000 a) Ta tính = 1800 − A − D ; F = 1800 − A − B = 500 ; EMN = 1800 − F −B = 750 b) E 1 = 1800 − 750 − 300 = 750 ENM ⇒ ∆EMN cân E ⇒ OM =ON ⇒ đpcm 13 D F Dạng : Một số tốn chứng minh, tính số đo góc lien quan đến phân giác góc tứ giác Ta ý : - Tia phân giác góc chia góc thành hai góc - Tia phân giác phân giác ngồi góc vng góc với Bài 1: = Cho tứ giác lồi ◊ABCD , có B + D 1800 A CB = CD Chứng minh AC tia phân giác D BAD B C I Lời giải - Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI = AD (cùng phụ với Ta có: ADC = IBC ABC ) = BIC ; AC = IC AD = BI ; CD = BC ⇒ ∆ADC = ∆IBC ⇒ DAC =BIC =DAC Vậy AC phân giác góc BAD ∆ACI cân C ⇒ BAC Bài 2: Cho tứ giác ◊ABCD , tia phân giác góc B A A B cắt M Các tia phân giác N góc C D cắt N Chứng minh = rằng: AMB + CND 1800 D Lời giải + CDN + DCN = Xét ∆CND có CND 180o (định lý) = Xét ∆AMB có AMB + ABM + BAM 180o (định lý) 14 M C = + + CDN + DCN Do đó: CND AMB + ABM + BAM 360o B ) Mà ABM = (vìa BM tia phân giác B ), CDN = A (vìa AM tia phân giác = C (vì CN tia phân giác C =D BAM A ), DCN 2 ) (vì DN tia phân giác D C B +C +D D A A+ B + + ⇒ CND AMB + + + + = 360o ⇒ CND AMB = 360o − 2 2 + = Mà tứ giác ABCD có A + B + C + D 360o (định lý) ⇒ CND AMB = 180o (đpcm) Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD , hai cạnh AD BC F cắt E , hai cạnh DC AB cắt F Kẻ tia phân giác hai góc CDE A BFC cắt I Tính góc EIF theo góc ABCD D I B E K C Lời giải = EKI + IEK ( EIF góc ngồi ∆IKE ) FI cắt BC K ⇒ K ∈ đoạn BC ⇒ EIF góc ngồi ∆FBK ) + BFK + IEK ( CKF = B = 1800 − B +C ⇒ BFK = 900 − B + C BFC ( ) = 900 − A + B ⇒ IEK AEB = 1800 − A+ B ( ) A+C B + D =B + 900 − B + C + 900 − B + A = Vậy EIF 1800 − = 2 2 Bài 4: Cho tứ giác ABCD , có AC tia phân giác A A, BC CD, AB < CD = 15 E D a) Lấy điểm E cạnh AD cho ABC = AEC AE = AB Chứng minh rằng: = b) Chứng minh: B + D 1800 Lời giải a) Xét ∆ABC ∆AEC có: AB = AE (giả thiết) = EAC (vì AC tia phân giác góc A) BAC AC chung ⇒ ∆ABC = ∆AEC (c − g − c) ⇒ ABC = AEC (đpcm) (1) b) Ta có ∆ABC = ∆AEC (cmt ) CD CE , mà CB = CD (giả thiết) ⇒ CE = ⇒ CB = =D = hay CED CDE ⇒ ∆CED cân C ⇒ CED (2) = +D = Mà AEC + CED 180o (hai góc kề bù), nên từ (1) (2) ⇒ B 180o Bài 5: Cho tứ giác ABCD , phân giác ngồi góc D A B cắt Q Chứng minh rằng: x A A+ B AQB = Q C y B Lời giải o góc ngồi = xAB = 180 − A Ta có AQ tia phân giác xAB A ⇒ QAB 2 yBA 180o − B Ta có BQ tia phân giác yBA góc ngồi B ⇒ QBA = = 2 o o − QBA = 180o − 180 − A − 180 − B = A + B Trong tam giác ABQ có: AQB = 180o − QAB 16 2 Bài 6: Tam giác ABC có A = 76o , tia phân giác góc B góc C cắt I, tia phân B giác góc đỉnh B C cắt K K Tính góc tứ giác BICK A 76 o I C Lời giải Ta có BI tia phân giác góc ABC, BK tia phân giác góc ngồi đỉnh B ABC (1) IBC = ⇒ IB ⊥ BK ⇒ IBK = 90o Ta có CI tia phân giác góc ACB, CK tia phân giác góc ngồi đỉnh C ACB (1) ICB = ⇒ IC ⊥ CK ⇒ ICK = 90o Trong tam giác BIC có: ABC + ACB 180o − A 180o + A o o o BIC =180 − IBC + ICB =180 − =180 − = 2 ( ) = 128o Mà A = 76o , nên BIC + ICK + BKC = 360o ⇒ BKC = 52o + IBK Trong tứ giác IBKC có: BIC 17 Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD, biết có A = 90o , = 90o ; góc B C khác D a) Chứng minh AB / / DC b) Chứng tỏ hai góc B C phải có góc nhọn c) Khi góc C nhọn Chứng minh AB < DC Lời giải = 90o nên: AB ⊥ AD DC ⊥ AD a) Tứ giác ABCD có A = 90o , D ⇒ AB / / DC (từ vuông góc đến song song) = b) Xét tứ giác ABCD có A + B + C + D 360o (định lý) = 90o ⇒ B +C = Mà A = 90o , D 180o (*) Nếu B , C góc tù, tức B > 90o , C > 90o ⇒ B + C > 180o (mâu thuẫn với (*)) Nếu B , C góc nhọn, tức B < 90o , C < 90o ⇒ B + C < 180o (mâu thuẫn với (*)) Vậy hai góc B , C phải có góc nhọn 18 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tổng số đo bốn góc tứ giác a) 900 b) 1800 c) 2700 d) 3600 Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vng A , ta có: BC =2 AB + AC =92 + 122 =225 ⇒ BC =15 ( cm ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: AB = BC.BH ⇔ 92 = 15 BH ⇒ BH = 81 = 5, ( cm ) 15 Ta có: CH =BC − BH =15 − 5, =9, ( cm ) A 78 = = , B 52 = , D 1540 Số đo góc C là: Câu 2: Tứ giác ABCD có a) 750 b) 1280 c) 760 d) 260 Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OEF vuông O , đường cao OI , ta có: +D 1400 Tổng C Câu 3: Cho tứ giác ABCD có A + B = a) 2200 b) 2000 c) 1600 d) 1500 Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OEF vuông O , đường cao OI , ta có: 19 Câu 4: Chọn câu câu sau a) Tứ giác ABCD có bốn góc góc nhọn b) Tứ giác ABCD có bốn góc góc tù c) Tứ giác ABCD có góc vng góc tù d) Tứ giác ABCD có bốn góc góc vng Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: Áp dụng hệ thức lượng tam giác A 80 = = = , B 110 , C 400 Hỏi số đo góc đỉnh D bao Câu 5: Cho ◊ABCD biết nhiêu a) 1500 b) 1300 c) 1200 d) 500 Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuôn Câu 6: Các số đo bốn góc tứ giác a) 800 ;900 ;1100 ;900 b) 1200 ;1000 ;600 ;800 c) 750 ;750 ; 400 ;140 d) 86 ;700 ;800 ;900 Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: Áp dụng hệ thức lượng tam giác Câu 7: Cho ◊ABCD biết B = 500 góc A gấp đơi góc B , góc C gấp đơi góc D Số đo góc tứ giác ABCD là: = = ; B 50 = ; C 140 = ; D 700 a) A 100 A 90 = = ; B 60 = ; C 140 = ; D 700 b) = = ; B 70 = ; C 140 = ; D 700 c) A 80 A 80 = = ; B 50 = ; C 160 = ; D 700 d) Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: 20 ... góc vng góc với Bài 1: = Cho tứ giác lồi ◊ABCD , có B + D 1800 A CB = CD Chứng minh AC tia phân giác D BAD B C I Lời giải - Trên tia đối tia BA lấy điểm I cho BI = AD (cùng phụ với Ta có:... Ta có: M kề bù với góc x ⇒ x = Mà P 420 kề bù với 1200 nên G = 600 Hình c) Ta có: G +F +G += Mà E x 3600 ⇒ 960 + 1200 + 600 + = x 3600 ⇒ = x 840 Bài 4: Góc kề bù với góc tứ giác gọi... đồng vị) Bài 6: 80 = B = , D 1200 Góc ngồi Cho ◊ABCD có đỉnh C 1300 Tính góc A Lời giải ⇒C = Ta có góc ngồi đỉnh C có số đo 130o kề bù với C 50o o = Ta có: A + B + C + D 360o (định