Chương 2 ma trận và định thức

CHƯƠNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ma trận phép tốn tuyến tính Định thức phương pháp tính định thức Nhân ma trận – Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận Bài MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH II Các khái niệm ma trận Khái niệm ma trận Đẳng thức ma trận Ma trận không ma trận đối Các dạng ma trận III Ma trận vuông Ma trận tam giác Ma trận đường chéo ma trận đơn vị Các phép tốn tuyến tính ma trận I IV Định nghĩa phép tốn Các tính chất Các phép biến đổi ma trận Các phép biến đổi sơ cấp Phép chuyển vị ma trận I Các khái niệm ma trận Khái niệm ma trận ĐN: Một bảng số gồm mxn số xếp thành m dòng n cột gọi ma trận cấp mxn, kí hiệu A,B,C… Cụ thể:  a11 a12 a a 22 21  A=  a  m1 am2 a1n  a 2n    amn   a11 a12 a a 22 21  hay A =  a  m1 am2 a1n  a 2n    amn  n aij phần tử nằm dòng i, cột j ma trận A Ký hiệu dạng thu gọn: A = ( aij ) m×n hay A = aij  m×n m I Các khái niệm ma trận Đẳng thức ma trận ĐN: Hai ma trận coi chúng có cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đôi VD:  −2 Cho A =   −1 −4 0  −2  B =  2  −1 −4  −2 C =   −1 −4 0  A = B 2 1  A  C 2 I Các khái niệm ma trận Ma trận không ma trận đối ĐN: Ma trận khơng ma trận có tất phần tử Ký hiệu Omxn hay O 0 0 O m xn =   0       ĐN: Ma trận đối ma trận A ma trận cấp mà phần tử số đối phần tử tương ứng ma trận A Ký hiệu: Ma trận đối A ký hiệu -A Ví dụ: Ma trận đối ma trận  -4  A =  -2    7 4   4 0 làà - A =  -5     -7 -4    II Các dạng ma trận Ma trận vuông ĐN: Ma trận vuông ma trận có số dịng số cột Một ma trận có số dịng số cột n gọi ma trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:  a11 a12 a a22 21  A=  a  n1 an2  -1  VD : A =  -7     5   a1n  a2n    ann  Các phần tử nằm đường chéo ma trận vng cấp 3, 2, phần tử nằm đường chéo II Các dạng ma trận Ma trận tam giác ĐN: Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo  a11 a12 a a22 21   a  n1 an2 a1n  a2n    ann   -1  VD : A =  -2     0 0    a11       a11 a  21  a  n1 a12 a22 0 a22 an2 a1n  a2n    ann  Ma trận tam giác     ann  Ma trận tam giác ma trận tam giác II Các dạng ma trận Ma trận đường chéo ma trận đơn vị ĐN: Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo Ma trận đường chéo cấp n có dạng:  a11  a 22    0      ann   -7 0  VD : A =      0 9   ĐN: Ma trận đơn vị ma trận đường chéo có tất phần tử đường chéo Ma trận đơn vị ký hiệu E Mt đơn vị cấp là:  0 E =  0    0 1       Mt đơn vị  cấp n là: E =     0    III Các phép tốn tuyến tính ma trận Định nghĩa phép toán Cho hai ma trận cấp mxn : A = ( aij )m n ; x B = (bij )m n x Tổng hai ma trận A B ma trận cấp mxn, ký hiệu A + B xác định sau: A +B = ( aij + bij )m n x Tích ma trận A với số α ma trận cấp mxn, ký hiệu α A xác định sau: α A = ( α aij )m n x III Các phép tốn tuyến tính ma trận Định nghĩa phép tốn Ví dụ: Cho ma trận  -2  A= ;   -4  Khi đó:  -6 -4  B=     -3  A +B =   -1 16    -4 10  2A =   -8 14    18 -6 12  (-3)B =    -9 -21 -27   24 -10 22  2A + (-3B) =   -17 -19 -13   II Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp ma trận vuông ĐN: Cho A ma trận vuông cấp n: A = ( aij )nxn Xét ma trận vuông cấp n ký hiệu xác định sau:  A11 A 21 A n1  A  A A 22 n2  A * =  12   Aij phần bù đại số aij A   1n A 2n A nn nxn det(A) Ma trận A* gọi MA TRẬN PHỤ HỢP ma trận A Chú ý: Các phần bù đại số dòng thứ i det(A) xếp cột i ma trận A* II Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp ma trận vng Ví dụ: Lập ma trận phụ hợp ma trận A  A11 A 21 A 31   -4  *   A =  -5  ; Ta có A =  A12 A 22 A 32    A  3  A A 23 33   13   -4 -4 -5 = -18 = -25; A 21 = A11 = A 31 = = -17; -5 6 -4 -4 = 14; A = = -16 = 3; A12 = A 32 = 22 3 A13 = -5 = 33; A 23 = - = -9;  -17 -25 -18   A* =  14 -16     33 -9 -13    A 33 = -5 = -13 II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Định lý: Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo là: d = A  Khi A có ma trận nghịch đảo ma trận nghịch đảo xác định theo cơng thức: A -1 = * A d ĐN: Ma trận vng có định thức khác gọi ma trận khơng suy biến Ma trận có ma trận nghịch đảo gọi ma trận khả nghịch II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Các bước tìm ma trận nghịch đảo ma trận phụ hợp: Bước 1: Tính định thức ma trận A Bước 2: ● Nếu d = A = A khơng có ma trận nghịch đảo; ● Nếu d = A  A có ma trận nghịch đảo; ✓ Lập ma trận phụ hợp A* * -1 ✓ Trả lời : A = A d Ví dụ 1: Xét ma trận  -5  * -1  5  A ; ta có A =  ; A =   A=  -1    3 1 -5   -5  -1  A =  =  1 -1   -1  II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận:  -3  A =1     -1    Giải: ✓ Ta có: -3 A= = 64 + 30 + - (-60 -12 + 8) = 161  -1 II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn công thức tìm ma trận nghịch đảo -3   ✓ Lập ma trận phụ hợp A* A: A =1     -1    -3 -3 = 18 = -5; A 31 = A 21 = A11 = = 19; -1 -1 4 -3 -3 = -15 A 32 = = 31; A 22 = = 11; A12 = 5 A13 = -1 = -21; A 23 = - -1 = 14;  19 -5 18   A * =  11 31 -15     -21 14 14    ✓ M/trận nghịch đảo A là: A 33 = 4 = 14  19 -5 18  1  -1 A = A* = 11 31 -15   A 161  -21 14 14   Bài HẠNG CỦA MA TRẬN I Khái niệm hạng ma trận II Liên hệ hạng ma trận định thức III Khái niệm định thức ma trận Liên hệ hạng ma trận định thức Định thức sở ma trận Các phương pháp tìm hạng ma trận Phương pháp định thức bao quanh Phương pháp biến đổi ma trận I Khái niệm hạng ma trận ĐN: Hạng ma trận hạng hệ vectơ cột Với ma trận A = ( aij )mxn hạng ma trận A ký hiệu r(A)  a11 a12 a a22 21  A=  a  m1 am2 A1c A c2 a1n  a2n    amn  Anc  Rm Theo định nghĩa hạng ma trận, ta có: ( r ( A ) = r A ,A , ,A c c c n )  r ( A )  n (số vectơ hệ)    r ( A )  m (số chiều vectơ) NX: ✓ Với ma trận A = ( aij )mxn , r(A) ≤ {m, n} ✓ Cho A ma trận khác ma trận O r(A) =  A có cột (các dịng) tỉ lệ II Liên hệ hạng ma trận định thức Khái niệm định thức ma trận ( ) Với ma trận A = aij m xn Xét s dòng s cột (1 ≤ s ≤ min{m, n}) Chỉ số s dòng là:  i1 < i2 < < is  m  j1 < j2 < < js  n Chỉ số s cột là: tăng dần Giữ nguyên s dòng s cột trên, dòng cột lại xóa hết, ta thu ma trận vuông cấp s Định thức ma trận gọi định thức cấp s ma trận A ký hiệu là: j1j2 js i1i2 is D NX: Số định thức cấp s, với ≤ s ≤ {m, n}, ma trận cấp mxn là: Cns Cms II Liên hệ hạng ma trận định thức Khái niệm định thức ma trận Ví dụ 1: Xét ma trận  -2  A =  -1     -4    Khi đó, giá trị số định thức A là: 14 13 D = -2 -4 =6 23 12 D = -1 =6 13 23 D = -4 2 Số định thức cấp A là: C3C4 = 3.6 = 18 -2 D124 123 = -4 -1 = 79 -2 D134 = -85 123 = -4 Số định thức cấp A là: C33C34 = 1.4 = = 11 II Liên hệ hạng ma trận định thức Liên hệ hạng ma trận định thức Định lý: Hạng ma trận cấp cao định thức khác ma trận  -2 -3  Ví dụ 2: Tìm hạng ma trận A =  -1     9   -2 -3 Đầu tiên ta có: D12 = -3  12 = Xét định thức cấp bao quanh ta có: -2 -3 D123 123 = -2 -3 -1 = 0; D124 = 123 1 134 234 = D123 = D123 = Vậy hạng ma trận A là: r(A) = II Liên hệ hạng ma trận định thức Liên hệ hạng ma trận định thức Hệ 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng ma trận r ( A ) = r ( A ) Hệ 2: Hạng ma trận hạng hệ vectơ dòng Hệ 3: Điều kiện cần đủ để định thức hệ vectơ dòng (cột) phụ thuộc tuyến tính III Phương pháp biến đổi sơ cấp tìm hạng ma trận NX: Cho ma trận B có dạng:  b11 b12  b 22   B= 0   0    0  b1s b2s bss b1n  b2n    bsn       Trong s ≤ n bii ≠ với i = 1, 2, ,s Rõ ràng ma trận B có hạng s, với định thức sở là: D12 s 12 s = b11b22 bss III Phương pháp biến đổi sơ cấp tìm hạng ma trận Cho A ma trận  b11 b12  b 22   Biến đổi sơ cấp dòng & cột Am n B= 0   0    0  x b1s b2s bss b1n  b2n    bsn       Chú ý phép biến đổi sơ cấp dòng & cột không làm thay đổi hạng ma trận Từ kết biến đổi ta có r(A) = r(B) = s III Phương pháp biến đổi sơ cấp tìm hạng ma trận Ví dụ: Tìm hạng ma trận  -2 -3  A =  -1     9   Thực biến đổi sơ cấp A ta được:  -2  -2 -3  1 1 0 ⎯⎯ →   A = -1 2    0   2     -2  ⎯⎯ →  0  Vậy r(A) = 3  (-3)  211 -3 -3 3 7  0  ... a21 a 22 =a11a 22 - a12a21 Định thức cấp 3: a11 a 12 a13 A = a21 a 22 a23 = (−1) a11 a31 a 32 a33 Định thức cấp n: a 22 a 23 a 32 a 33 + (−1) a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + (−1) a13 a 21 a 22 a 31 a 32 n... Ta tính định thức A cấp theo cách sau: cột cột a11 a 12 a13 A = a21 a 22 a23 a31 a 32 a33 a11 a 12 a21 a 22 a31 a 32 = (a11a 22 a33 + a 12 a23a31 + a13a21a 32 ) − (a13 a 22 a31 + a11a23a 32 + a 12 a21a33 )...Bài MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH II Các khái niệm ma trận Khái niệm ma trận Đẳng thức ma trận Ma trận không ma trận đối Các dạng ma trận III Ma trận vuông Ma trận tam giác Ma trận đường