Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BÀI TẬP
HỌC PHẦN TOÁN RỜI RẠC 2
Trình ñộ ñào tạo
Hệ ñào tạo
:
:
ðại học
Chính quy/Liên thông
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 2
LỜI NÓI ĐẦU
Có thể nói toán học rời rạc là môn tiên quyết và hiệu quả nhất ñể người học
nâng cao tư duy toán học trong phân tích, thiết kế thuật toán và rèn luyện kỹ năng
lập trình với những thuật toán phức tạp. Không những thế nó còn là “cửa ngõ” ñể
người học có thể tiếp cận với rất nhiều modul trong khoa học máy tính (như
Chương trình dịch, lý thuyết tính toán, Trí tuệ nhân tạo, ). Bài tập ñể củng cố
và nâng cao kiến thức trong môn học này
Về nội dung, bám sát với chương trình của nhà trường và hệ thống bài tập
cũng ñược biên soạn theo các chương lý thuyết. Với mỗi chương sẽ ñược chia thành
4 phần:
Phần A. Nhắc lại lý thuyết: tóm tắt các kiến thức cơ bản, các ví dụ và các
lưu ý hữu ích, các kinh nghiệm trong khi lập trình
Phần B. ðề bài tập: ñưa ra các loại bài tập khác nhau, với các mức ñộ khác
nhau.
Phần C. Bài tập mẫu: Hướng dẫn giải một số bài tiêu biểu trong phần B, có
phân tích thuật toán và cài ñặt chương trình.
Phần D. Bài tập tự giải: Người học thực hiện việc giải các bài tập này
Mong rằng tài liệu này ñáp ứng ñược phần nào nhu cầu của học sinh, sinh viên. ðây
là bản ñầu tiên chắc chắn còn rất nhiều sai sót. Nhóm tác giả mong nhận ñược sự
ñóng góp của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và của tất cả những ai quan tâm tới
lĩnh vực này.
Hưng Yên, tháng 7 năm 2010
Bộ môn Công nghệ phần mềm
Khoa Công nghệ thông tin
Trường ñại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 3
MỤC LỤC
Bài 1: Các khái niệm cơ bản của Lý thuyết ñồ thị 5
Mục tiêu 5
a. Nhắc lại lý thuyết 5
b. ðề bài tập 5
c. Hướng dẫn giải 6
d. Bài tập tự giải 7
Bài 2: Biểu diễn ñồ thị trên máy tính 10
Mục tiêu 10
a. Nhắc lại lý thuyết 10
b. ðề bài tập 10
c. Hướng dẫn giải 10
d. Bài tập tự giải 14
Bài 3: ðồ thị Euler 15
Mục tiêu 15
a. Nhắc lại lý thuyết 15
b. ðề bài tập 16
c. Hướng dẫn giải 16
d. Bài tập tự giải 19
Bài 4: ðồ thị hamilton 20
Mục tiêu 20
a. Nhắc lại lý thuyết 20
b. ðề bài tập 20
c. Hướng dẫn giải 20
d. Bài tập tự giải 22
Bài 5: Thảo luận cài ñặt ñồ thị, các thuật toán liệt kê chu trình Euler và Hamilton.
Thảo luận về bài tập lớn 23
Mục tiêu 23
a. Nhắc lại lý thuyết 23
b. ðề bài tập 23
c. Hướng dẫn giải 23
d. Bài tập tự giải 31
Bài 6 Thuật toán tìm kiếm trên ñồ thị và ứng dụng 34
Mục tiêu 34
a. Nhắc lại lý thuyết 34
b. ðề bài tập 34
c. Hướng dẫn giải 34
d. Bài tập tự giải 51
Bài 7: Cây và cây khung 52
Mục tiêu 52
a. Nhắc lại lý thuyết 52
b. ðề bài tập 53
c. Hướng dẫn giải 54
d. Bài tập tự giải 55
Bài 8: Thảo luận về cài ñặt thuật toán tìm cây khung nhỏ nhất trên ñồ thị 58
Mục tiêu 58
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 4
a. Nhắc lại lý thuyết 58
b. ðề bài tập 58
c. Hướng dẫn giải 58
d. Bài tập tự giải 70
Bài 9, 10: Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất 71
Mục tiêu 71
a. Nhắc lại lý thuyết 71
b. ðề bài tập 71
c. Hướng dẫn giải 73
d. Bài tập tự giải 92
Bài 12: Bài toán luồng cực ñại trong mạng 97
Mục tiêu 97
a. Nhắc lại lý thuyết 97
b. ðề bài tập 98
c. Hướng dẫn giải 99
d. Bài tập tự giải 101
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 5
Bài 1: Các khái niệm cơ bản của Lý thuyết ñồ thị
Mục tiêu
- Lưu trữ ñược ñồ thị trên máy tính theo những phương pháp khác nhau.
- Cài ñặt ñược chương trình chuyển ñổi giữa các phương pháp.
- Sinh viên có khả năng tự học.
a. Nhắc lại lý thuyết
- Hai ñỉnh x, y ñược gọi là cặp ñỉnh liên thông , nếu hoặc giữa x và y có ít nhất một
xích nối với nhau, hoặc tồn tại ít nhất một ñường ñi từ y sang x.
- ðồ thị vô hướng G(V,E) ñược gọi là ñồ thị liên thông, nếu mọi cặp ñỉnh của nó
ñều liên thông.
- ðồ thị có hướng G(V,E) ñược gọi là ñồ thị liên thông mạch, nếu mọi cặp ñỉnh của
nó ñều liên thông.
- Biểu diễn dạng hình học: Giả sử có ñồ thị G(V,E).
Biểu diễn ñỉnh: lấy các ñiểm trên mặt phẳng hay trên không gian tương ứng
với các phần tử của tập V và dùng ngay ký hiệu các phần tử này ñẻ ghi trên các
ñiểm tương ứng.
Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai ñỉnh ñầu là x,y thì nó ñược biểu diễn
bằng ñoạn thẳng hay một ñoạn cong nối giữa hai ñiểm x, y và không ñi qua các
ñiểm tương ứng trong không gian.
Biểu diễn cung: nếu cung a có ñỉnh ñầu là x, ñỉnh cuối là y, thì nó ñược biểu
diễn bằng một ñoạn thẳng hoặc ñoạn cong ñược ñịnh hướng ñi từ x sang y và không
qua các ñiểm tương ứng trung gian khác.
Hình nhận ñược gọi là dạng biểu diễn hình học của ñồ thị G(V, E). ðôi khi
người ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là một ñồ thị.
b. ðề bài tập
Bài 1 Cho G ñồ thị gồm 4 phần G1, G2, G3 và G4 như sau:
a. Chỉ ra tập ñỉnh, cạnh(vô hướng,có hướng, khuyên, ) của mỗi ñồ thị ñã cho? Chỉ
loại ñồ thị ñó?
b. ðồ thị G, G1, G2, G3, G4 và G5 có liên thông ko? Nếu ñồ thị ko liên thông hãy
chỉ ra các thành phần liên thông?
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 6
c. ðồ thị G, G1, G2, G3, G4 và G5 có chu trình ko? Chỉ ra các chu trình của ñồ thị
(nếu có)?
c. Hướng dẫn giải
Bài 1
a.
Tên ñồ thị Tập ñỉnh V Tập cạnh E Loại ñồ thị
G1 1,2,3,4 (1,2);(1,4);(2,3);(2,4);(3,4) Vô hướng
G2 5,6,7 (5,6);(5,7);(6,7) Có hướng
G3 8,9 (8,9) Vô hướng
G4 0
G 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0
(1,2);(1,4);(2,3);(2,4);(3,4);
(8,9)
(5,6);(5,7);(6,7)
Hỗn hợp
b.
Tên ñồ thị Tính liên thông Tên thành phần liên thông
G1 Có G1
G2 Có G2
G
1
1
4
3
2
5
7
6
8
9
00
G
2
G
3
G
4
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 7
G3 Có G3
G4 Có G4
G Không G1,G2,G3,G4
c.
Tên ñồ thị Có chu trình? Tên chu trình
G1 Có (1,2,4,1);(1,2,3,4,1);(2,3,4,2)
G2 Không
G3 Không
G4 Không
G Có (1,2,4,1);(1,2,3,4,1);(2,3,4,2)
d. Bài tập tự giải
Bài 1. Một quần ñảo có n( n
) hòn ñảo và hai hòn ñảo bất kì thuộc quần ñảo ñều
có số ñầu mối ñường ngầm tới một trong nhưng hòn ñảo nầy ñều nhỏ hơn n. Chứng
minh rằng từ một hòn ñảo tùy ý thuộc quần ñảo ta có thể ñi ñến một hòn ñảo bất kì
khác của quần ñảo bằng ñường ngầm.
Bài 2 Khi về nghỉ hè mỗi bạn học sinh của lớp 11A trường Lê Hồng Phong ñều
trao ñổi ñịa chỉ với ít nhất một nửa số bạn trong lớp. Chứng minh rằng trong thời
gian nghỉ hè mỗi bạn của lớp 11A ñều có thể báo tin trực tiếp hay gián tiếp cho các
bạn trong lớp.
Bài 3 Trong một cuộc họp có ñúng hai ñại biểu không que nhau và mỗi ñại biểu này
có một số lẻ người que ñến dự. Chứng minh rằng luôn luôn có thể xếp một số ñại
bieetr ngồi chen giữa hai ñại biể nói trên , ñể người ngồi giữa hai người mà anh(
chị) ta quen.
Hướng ñẫn:
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 8
ðể giải ñược bài toán trên trước hết ta xây dựng các ñồ thị tương ứng, sau ñó vận
dụng kết quả của ñịnh lý 4.1, hệ quả 4.1 và ñịnh lý 4.2 mà suy ra kết luận.
Xuây dựng ñồ thị
• ðỉnh: Lấy các ñiểm trong mặt phẳng hay trong không gian tương ứng với các
hòn ñảo thuộc quần ñảo ( các bạn học sinh trong lớp 11A, các ñại biểu ñến
họp).
• Cạnh: Hai ñiểm x, y ñược nối bằng một cạnh khi và chỉ khi hai hòn ñảo x, y
có ñường ngầm trực tiếp với nhau( các bạn x, y trao ñổi ñịa chỉ cho nhau, các
ñại biểu x, y quen nhau)
- ðồ thị nhân ñược ký hiệu bằng G
1
, (G
2
, G
3
)
- ðồ thị G
1
mô tả toàn bộ lưới ñường ngầm trong quần ñảo
- ðồ thị G
2
mô tả toàn bộ quan hệ trao ñổi ñịa chỉ trong lớp 11A
- ðồ thị G
3
mô tả toàn bộ quen biết trong các ñại biểu trong các ñại biểu ñến
dự họp.
Vận dụng kết quả các ñịnh lý ñể suy ra kết luận
- Do hai hòn ñảo bất kì ñều có tổng số ñầu mối ñường ngầm không nhỏ hơn n, nên
hai ñỉnh bất kì của ñồ thị G
1
ñều có tổng bậc không nhỏ hơn n. Bởi vậy theo ñịnh lý
4.1. ñồ thị G
1
liên thông, nên hai hòn ñảo bất kì có ñường hầm nối với nhau.
- Vì mỗi bạn học sinh trong lớp 11A trao ñổi ñịa chỉ với ít nhất một nửa số bạn tron
lớp, nên bậc của mỗi ñỉnh của G
2
không nhỏ hơn một nửa số ñỉnh của ñồ thị. Khi ñó
, theo hệ quả 4.1. ñồ thị G
2
liên thông. Bởi vậy hai ñỉnh x, y ñều có xích nối với
nhau. Khi ñó thông qua các bạn tương ứng với các ñỉnh thuộc xích
, mà bạn tương
ứng với ñỉnh x báo tin ñược cho tương ứng với ñỉnh y và ngược lại.
- Hai ñại biểu không quen nhau, thì hai ñỉnh tương ứng không kề nhau. Mỗi ñại biểu
này lại có một số lẻ người quen ñến họp, nên trong ñồ thị liên thông G
3
có ñúng hai
ñỉnh bậc lẻ và hai ñỉnh này lại không kề nhau. Khi dó, theo ñịnh lý 4.2, hai ñỉnh này
liên thông nên có ít nhất một xich nối giữa hai ñỉnh này. Giả sử
là một trong
những mối xích nối giữa hai bậc lẻ này. Dựa vào
ta sắp xếp các ñại biểu tương
ứng ngồi giữa hai người mà anh chị quen.
Bài 4 Cho G ñồ thị như sau:
Chỉ ra tập ñỉnh, cạnh(vô hướng,có hướng, khuyên, ) của mỗi ñồ thị ñã cho? Chỉ
loại ñồ thị ñó? ðồ thị có liên thông ko? Nếu ñồ thị ko liên thông hãy chỉ ra các
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 9
thành phần liên thông? ðồ thị có chu trình ko? Chỉ ra các chu trình của ñồ thị (nếu
có)?
Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2010
Trang 10
Bài 2: Biểu diễn ñồ thị trên máy tính
Mục tiêu
- Nêu ñược các cách biểu diễn ñồ thị và biểu diễn ñồ thị trên máy tính trên máy tính.
- ðưa ra ñược ma trận kề, danh sách các cạnh, cung tương ứng với 1 ñồ thị cho
trước.
- Lưu trữ ñược ñồ thị trên máy tính theo những phương pháp khác nhau.
- - Phân tích ñược bài toán thực tế tương ứng phần lý thuyết ñã học.
- Sinh viên có khả năng tự học.
a. Nhắc lại lý thuyết
b. ðề bài tập
Bài 1 Cho G ñồ thị gồm 4 phần G1, G2, G3 và G4 như sau:
a. Biểu diễn các ñồ thị G,G1,G2,G3,G4 dưới dạng ma trận kề
b. Biểu diễn các ñồ thị G,G1,G2,G3,G4 dưới dạng danh sách cạnh(cung)
c. Biểu diễn các ñồ thị G,G1,G2,G3,G4 dưới dạng danh sách kề
Bài 2 Cài ñặt chương trình nhập danh sách kề của ñồ thị từ bàn phím và ñưa danh
sách ñó ra màn hình.
c. Hướng dẫn giải
Bài 1
G
1
1
4
3
2
5
7
6
8
9
00
G
2
G
3
G
4
[...].. .Bài t p TOÁN R I R C 2 Tên ñ th B môn Công ngh ph n m m - 20 10 b danh sách a ma tr n k c.danh sách k c nh(cung) 123 4 Danh sách c nh 124 1 0101 12 214 2 1001 14 34 3 0001 23 4 123 4 1110 24 G1 34 G2 567 Danh sách cung 567 5 001 56 67 6 101 57 7 000 67 89 Danh sách c nh 89 8 01 89 98 9 10 123 4567890 Danh sách cung 124 1 0101000000 12 214 2 1001000000 14 34 3 0001000000 21 4 123 4 1110000000 23 567... không có chu trình hay ñư ng ñi Hamilton Trang 21 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 1 5 2 4 3 G4 ð th G4 là ñ th Hamilton, vì có chu trình Hamilton (1,3,5 ,2, 4,1) d Bài t p t gi i Trang 22 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 Bài 5: Th o lu n cài ñ t ñ th , các thu t toán li t kê chu trình Euler và Hamilton Th o lu n v bài t p l n M c tiêu - Lưu tr ñư c ñ th trên máy... writeln(f,Ctr[i,1],’ ‘,Ctr[i ,2] ); Close(f); BEGIN Trang 29 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 Docfile; Timchutrinh; Ghifile; END Bài 2 ð bài : Li t kê t t c các chu trình Hamilton c a ñ th Phân tích bài toán : Thu t toán sau ñây ñư c xây d ng d a trên cơ s thu t toán quay lui cho phép li t kê t t c các chu trình Hamilton c a ñ th Hình dư i ñây mô t cây tìm ki m theo thu t toán v a mô t ð th... bao g m nh ng ñ nh nào? Bài 3 Thu t toán tìm ñư ng ñi theo chi u sâu (thu t toán duy t theo chi u sâu) Bài 4 Thu t toán tìm ñư ng ñi theo chi u r ng (thu t toán duy t theo chi u r ng) c Hư ng d n gi i Bài 1 Dùng cây ñ mô t k t qu duy t chi u sâu và duy t theo chi u r ng trên ñ th sau: Trang 34 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 Duy t r ng Duy t sâu: Bài 2 Thu t toán tìm s thành ph n... 0001000000 21 4 123 4 1110000000 23 567 5 0000001000 24 67 G3 G4 0 0 G 0 Trang 11 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 6 0000101000 32 89 7 0000000000 34 98 8 0000000010 41 0 9 0000000100 42 0 0000000000 43 56 57 67 Bài 2 Chương trình nh p danh sách k c a ñ th t bàn phím và ñưa danh sách ñó ra màn hình Phân tích bài toán : Trong r t nhi u thu t toán làm vi c v i ñ th chúng ta thư ng xuyên... thông, m i thành ph n liên thông bao g m nh ng ñ nh nào? Phân tích bài toán : 3 Trang 35 5 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 8 2 6 3 1 2 2 7 9 2 1 1 3 1 4 1 ð th v i các thành ph n LT ð u vào: a Bi u di n ñ th b ng ma tr n k Dothi.txt Kq.txt 9 So tph cua do thi la:3 011100000 TPLT 1 bao gom cac dinh: 1 2 3 4 101000000 TPLT 2 bao gom cac dinh: 5 8 110100000 TPLT 3 bao gom cac dinh: 6 7... th t ng quát Có th s d ng thu t toán quay lui ñ li t kê chu trình Hamilton b ð bài t p Bài 1: ð th sau có là ñ th n a Hamilton hay ñ th Hamilton ko? Gi i thích? c Hư ng d n gi i Bài 1: ð th sau có là ñ th n a Hamilton hay ñ th Hamilton ko? Gi i thích? Trang 20 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 b c e d a G1 ð th G1 là ñ th Hamilton a b d c G2 ð th G2 là ñ th n a Hamilton a b e d c... Trang 32 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 quát, hãy s p N ngư i ng i chung quanh bàn tròn sao cho m i ngư i ñ u ng i c nh ngư i mình quen Bi t m i ngư i có ít nh t (N + 1) /2 ngư i quen Trang 33 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 Bài 6 Thu t toán tìm ki m trên ñ th và ng d ng M c tiêu - Trình bày ñư c ý tư ng, cách cài ñ t và cài ñ t ñư c thu t toán BFS, DFS -... ke cua dinh ‘,j,’:’); t:=Ke[j]; Trang 13 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 while t^.nextnil do begin write(t^.v:4); t:=t^.next; end; end; readln; End d Bài t p t gi i Trang 14 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 Bài 3: ð th Euler M c tiêu - Ki m tra ñư c m t ñ th b t kỳ có là ñ th euler hay không - Áp d ng ñư c thu t toán tìm chu trình Euler, ñư ng Euler, v i... tích bài toán : ð u vào: ð th G ð u ra: Chu trình Euler (n u có) 2 Thu t toán: Xu t phát t m t ñ nh u b t kỳ, khi ñi qua c nh nào thì xoá c nh ñó kh i ñ th và ghi l i t trái sang ph i Khi th c hi n thu t toán c n lưu ý n u g p c nh b c c u gi a 2 thành ph n liên thông thì ta ph i xoá h t thành ph n liên thông r i m i xoá ñ n c nh b c c u Trang 23 Bài t p TOÁN R I R C 2 B môn Công ngh ph n m m - 20 10 . BÀI TẬP HỌC PHẦN TOÁN RỜI RẠC 2 Trình ñộ ñào tạo Hệ ñào tạo : : ðại học Chính quy/Liên thông Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 20 10 Trang 2 LỜI. b. ðề bài tập 20 c. Hướng dẫn giải 20 d. Bài tập tự giải 22 Bài 5: Thảo luận cài ñặt ñồ thị, các thuật toán liệt kê chu trình Euler và Hamilton. Thảo luận về bài tập lớn 23 Mục tiêu 23 a tiêu 58 Bài tập TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 20 10 Trang 4 a. Nhắc lại lý thuyết 58 b. ðề bài tập 58 c. Hướng dẫn giải 58 d. Bài tập tự giải 70 Bài 9, 10: Bài toán tìm ñường
Ngày đăng: 30/03/2014, 07:20
Xem thêm: BÀI TẬP HỌC PHẦN TOÁN RỜI RẠC 2 docx, BÀI TẬP HỌC PHẦN TOÁN RỜI RẠC 2 docx