ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ THOA ỨNG DỤNG CỦA LUẬT THUẬN NGHỊCH VÀ THẶNG DƯ BẬC HAI THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o————[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ THOA ỨNG DỤNG CỦA LUẬT THUẬN NGHỊCH VÀ THẶNG DƯ BẬC HAI THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ THOA ỨNG DỤNG CỦA LUẬT THUẬN NGHỊCH VÀ THẶNG DƯ BẬC HAI CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định lý Fermat nhỏ định lý Euler 1.2 Sơ lược phương trình đồng dư Ứng dụng luật thuận nghịch thặng dư bậc hai 2.1 2.2 10 Thặng dư bậc hai ứng dụng 10 2.1.1 Phương trình đồng dư bậc hai 10 2.1.2 Thặng dư bậc hai 12 2.1.3 Tiêu chuẩn Euler ký hiệu Legendre 16 2.1.4 Bổ đề Gauss 21 2.1.5 Một số ứng dụng khác 27 Luật thuận nghịch bậc hai ứng dụng 32 2.2.1 Luật thuận nghịch bậc hai 32 2.2.2 Ứng dụng luật thuận nghịch bậc hai 37 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Có thể nói Số học lĩnh vực xuất sớm lịch sử Tốn học, đời từ người bắt đầu làm việc với số Số học phân môn quan trọng tốn học gắn bó với tất xun suốt q trình học tốn từ bậc Tiểu học đến Trung học phổ thơng Sự kì diệu Số học thường tiềm ẩn thử thách sâu sắc để thách thức trí tuệ người Trong thành tựu số học luật thuận nghịch thặng dư bậc hai nội dung quan trọng Đây mảng kiến thức liên quan đến lý thuyết đồng dư có nhiều ứng dụng việc giải tốn số học hay khó liên quan đến tính giải phương trình đồng dư bậc hai Nội dung cho phép ta xác định tính giải phương trình đồng dư bậc hai bất kỳ, nhiên khơng cung cấp phương pháp hiệu để tìm nghiệm Luật thuận nghịch bậc hai (hay gọi luật thuận nghịch thặng dư bậc hai) tiên đoán Euler Legendre lần chứng minh thuyết phục Gauss Gauss gọi "định lý vàng" tự hào đến mức ơng tiếp tục tìm tám chứng minh khác cho cuối đời Đề tài luận văn "Ứng dụng luật thuận nghịch thặng dư bậc hai" có mục đích hệ thống lại mảng kiến thức liên quan đến luật thuận nghịch thặng dư bậc hai, từ trình bày số ví dụ ứng dụng hay chúng nhằm cung cấp tài liệu tốt để dạy học cho giáo viên học sinh phổ thơng trung học Luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận nội dung gồm chương trình bày lại cách hệ thống luật thuận nghịch thặng dư bậc hai số ứng dụng chúng, với bố cục cụ thể sau: Chương Kiến thức chuẩn bị trình bày phát biểu chứng minh định lý Fermat nhỏ, định lý Euler Trình bày khái niệm cách giải phương trình đồng dư tuyến tính, hệ phương trình đồng dư tuyến tính (định lý thặng dư Trung Hoa) Chương Ứng dụng luật thuận nghịch thặng dư bậc hai Chương trình bày định nghĩa tính chất phương trình đồng dư bậc hai, thặng dư bậc hai, cách tính định nghĩa, cách tính thơng qua ký hiệu Legendre, cách tính thơng qua luật thuận nghịch bậc hai Sau ứng dụng thặng dư bậc hai luật thuận nghịch bậc hai để tính tốn giải số tốn chứng minh, tìm ngun thủy, kiểm tra tính ngun tố Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019 Người viết luận văn Đỗ Thị Thoa Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày phát biểu chứng minh định lý Fermat nhỏ, định lý Euler Trình bày khái niệm cách giải phương trình đồng dư tuyến tính, hệ phương trình đồng dư tuyến tính (định lý thặng dư Trung Hoa) Các kiến thức chương giúp việc trình bày chương sau hệ thống dễ theo dõi 1.1 Định lý Fermat nhỏ định lý Euler Mục trình bày hai định lý quan trọng lý thuyết đồng dư định lý Fermat nhỏ định lý Euler Định lý 1.1.1 (Định lý Fermat nhỏ) Cho p số nguyên tố a số nguyên Nếu p - a ap−1 ≡ (mod p) Chứng minh Xét p − số nguyên a, 2a, 3a, , (p − 1)a Chú ý p - ia với i = 1, 2, , p − (vì ngược lại, tồn ≤ i ≤ p − để p | ia, kéo theo p | a p | i; p - a, nên ta có p | i điều mâu thuẫn) Cũng ý hai số p − số nguyên a, 2a, 3a, , (p − 1)a đồng dư modulo p (vì ngược lại, tồn nghịch đảo a0 a modulo p; nên từ ia ≡ ja (mod p) với i 6= j iaa0 ≡ jaa0 (mod p), từ i ≡ j (mod p), điều khơng thể) Do tập số dư phép chia cho p số nguyên a, 2a, 3a, , (p − 1)a phải {1, 2, 3, , p − 1} Khi đó, (a)(2a)(3a) · · · (p − 1)a ≡ (1)(2)(3) · · · (p − 1) (mod p) hay tương đương với ap−1 (p − 1)! ≡ (p − 1)! (mod p) Mặt khác ta thấy (p − 1)! p hai số nguyên tố nhau, nên từ đồng dư bên cho ta thấy ap−1 ≡ (mod p), điều phải chứng minh Ví dụ 1.1.2 Với a = 3, p = suy 34 = 81 ≡ (mod 5) Tương tự, ta tính 910 ≡ (mod 11) Tiếp theo ta trình bày định lý Euler dạng tổng quát hoá định lý Fermat nhỏ Định lý 1.1.3 (Định lý Euler) Nếu m số nguyên dương a số nguyên cho a nguyên tố với m, aφ(m) ≡ (mod m), φ(m) ký hiệu phi hàm Euler (hàm đếm số số nguyên phạm vi từ đến m mà nguyên tố với m) Chứng minh Gọi r1 , r2 , , rφ(m) φ(m) số nguyên dương không lớn m cho (ri , m) = với i = 1, 2, , φ(m) Xét φ(m) số nguyên xác định r1 a, r2 a, , rφ(m) a Chú ý (ri a, m) = với i = 1, 2, , φ(m) (vì ngược lại, tồn i để (ri a, m) > tồn ước nguyên tố p (ri a, m), từ p | ri a p | m Ta có p | ri a kéo theo p | ri p | a; nên ta có p | ri p | m ta có p | a p | m Nhưng p | ri p | m khơng thể (ri , m) = 1; lại p | a p | m khơng thể (a, m) = 1) Ngồi ý khơng có hai số số r1 a, r2 a, , rφ(m) a đồng dư modulo m (vì ngược lại (a, m) = 1, nên tồn nghịch đảo modulo a0 a Do đó, ri a ≡ rj a (mod m) với i 6= j, kéo theo ri aa0 ≡ rj aa0 (mod m), từ ri ≡ rj (mod m), điều khơng thể) Do tập số dư chia cho m số nguyên r1 a, r2 a, , rφ(m) a {r1 , r2 , , rφ(m) } Do đó, ta có (r1 a)(r2 a) · · · (rφ(m) a) ≡ r1 r2 · · · rφ(m) (mod m), hay tương đương với aφ(m) r1 r2 · · · rφ(m) ≡ r1 r2 · · · rφ(m) (mod m) Bây giờ, m | (aφ(m) r1 r2 · · · rφ(m) − r1 r2 · · · rφ(m) ) kéo theo m | (r1 r2 · · · rφ(m) ) × (aφ(m) − 1) Chú ý (ri , m) = với i = 1, 2, , φ(m) nên (r1 r2 rφ(m) , m) = Do ta suy m | (aφ(m) − 1) aφ(m) ≡ (mod m), điều phải chứng minh Định lý Euler tổng quát hóa định lý nhỏ Fermat n = p số nguyên tố φ(p) = p − Định lý sử dụng để dễ dàng giản ước với modulo m lớn Ví dụ 1.1.4 Ví dụ tìm chữ số tận số 7222 Giải Chú ý 10 nguyên tố φ(10) = Bởi 74 ≡ (mod 10) Và ta có 7222 ≡ 74.55+2 72 ≡ 155 72 ≡ 49 ≡ (mod 10) Vậy 7222 có chữ số tận 1.2 Sơ lược phương trình đồng dư Định nghĩa 1.2.1 Phương trình đồng dư đại số bậc n đồng dư thức có dạng f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an ≡ (mod m) (1.1) x ẩn, ∈ Z (với i = 1, 2, , n) a0 6≡ (mod m) Chú ý 1.2.2 (i) Giải phương trình (1.1) tìm tất giá trị nguyên x thoả mãn đồng dư thức (1.1) Nếu x = x0 thoả mãn phương trình (1.1) số x ≡ x0 (mod m) thoả mãn (1.1); trường hợp tập hợp {x ∈ Z | x ≡ x0 (mod m)} gọi nghiệm phương trình đồng dư (1.1), kí hiệu x0 x ≡ x0 (mod m) 6 (ii) Số nghiệm phương trình (1.1) số phần tử hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m mà thỏa mãn (1.1) (iii) Hai phương trình đồng dư gọi tương đương tập hợp số ngun thỏa mãn phương trình trùng Ví dụ 1.2.3 Xét phương trình x2 ≡ (mod 5) Giải Ta thấy số 0, 1, 2, 3, hệ thặng dư không âm bé theo modulo 5, có hai số thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình có hai nghiệm x ≡ (mod 5) x ≡ (mod 5) Ví dụ 1.2.4 Giải phương trình đồng dư x4 + 7x + ≡ (mod 9) Giải Dễ thấy phương trình x4 + 7x + ≡ (mod 3) có nghiệm x ≡ (mod 3) (hay x = 3t + với t ∈ Z) Thay x vào phương trình cần giải bỏ số hạng chia hết cho ta 6t + ≡ (mod 9) ⇔ 2t + ≡ (mod 3) ⇔t≡1 (mod 3) ⇔ t = 3k + Vậy phương trình có nghiệm x = 3(3k + 1) + hay x ≡ (mod 9) Định nghĩa 1.2.5 Phương trình đồng dư ax ≡ b (mod m) gọi phương trình đồng dư tuyến tính với a, b, m số nguyên biết Khi x ≡ x0 (mod m) nghiệm phương trình ax0 ≡ b (mod m) Định lý 1.2.6 ([6]) Phương trình đồng dư tuyến tính ax ≡ b (mod m) có nghiệm d | b, d = (a, m) Nếu d | b phương trình có d nghiệm Hệ 1.2.7 ([6]) Phương trình đồng dư tuyến tính ax ≡ b (mod m) có nghiệm (a, m) = Hệ 1.2.8 ([6]) Cho phương trình đồng dư tuyến tính ax ≡ b (mod m) gọi d = (a, m) Nếu d | b d nghiệm modulo m phương trình (x0 + mt ) d (mod m) với t = 0, 1, 2, , d − x0 số nguyên thỏa mãn phương trình ad x ≡ b d (mod m d ) Ví dụ 1.2.9 Giải phương trình đồng dư 12x ≡ (mod 23) Giải Ta có (12, 23) =1 nên phương trình có nghiệm Phương trình cho tương đương với 12x = 23t + (t ∈ Z) Lấy t = suy x = 14 Vậy nghiệm phương trình cho x ≡ 14 (mod 23) Ví dụ 1.2.10 Giải phương trình đồng dư 17x ≡ 13 (mod 11) Giải Ta có 17 ≡ (mod 11) suy 17x ≡ 6x (mod 11) (1.2) Mặt khác 13 ≡ (mod 11) (1.3) Từ (1.2) (1.3) theo tính chất bắc cầu ta có 6x ≡ (mod 11) Do (2, 11) =1 nên giản ước hai vế cho ta 3x ≡ (mod 11) hay 3x = 11t + Lấy t = suy x = Do (3, 11) = nên phương trình có nghiệm x ≡ (mod 11) Định lý 1.2.11 (Định lý thặng dư Trung Hoa, [5]) Cho m1 , m2 , , mn số nguyên dương đôi nguyên tố cho b1 , b2 , , bn số ngun Khi hệ phương trình đồng dư tuyến tính x ≡ b1 (mod m1 ) x ≡ b2 (mod m2 ) ········· x ≡ bn (mod mn ) có nghiệm modulo m1 m2 · · · mn Chứng minh Đầu tiên ta xây dựng số nguyên thỏa mãn hệ cho Đặt M = m1 m2 · · · mn Với i = 1, 2, , n đặt Mi = M/mi Bây với i = 1, 2, , n ta có (Mi , mi ) = Do theo Hệ 1.2.7, phương trình Mi x ≡ (mod mi ) có nghiệm xi (mod mi ) Đặt x = b1 M1 x1 + b2 M2 x2 + · · · + bn Mn xn ... dư bậc hai, thặng dư bậc hai, cách tính định nghĩa, cách tính thơng qua ký hiệu Legendre, cách tính thơng qua luật thuận nghịch bậc hai Sau ứng dụng thặng dư bậc hai luật thuận nghịch bậc hai để... 27 Luật thuận nghịch bậc hai ứng dụng 32 2.2.1 Luật thuận nghịch bậc hai 32 2.2.2 Ứng dụng luật thuận nghịch bậc hai 37 Kết luận 46 Tài liệu... đồng dư Ứng dụng luật thuận nghịch thặng dư bậc hai 2.1 2.2 10 Thặng dư bậc hai ứng dụng 10 2.1.1 Phương trình đồng dư bậc hai 10 2.1.2 Thặng