Các ký hiệu legendre, jacobi và một vài cách chứng minh của luật thuận nghịch bậc hai

Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun ta lấy ra một đại diện thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ môđun.. Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun ta lấy ra một đại diện không âm

BẬC HAI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 và sự đồng ý của thầy giáo hướng dẫn ThS Đỗ Văn Kiên tôi đã

thực hiện đề tài “Kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và một vài cách

chứng minh của luật thuận nghịch bậc hai”

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn ThS Đỗ Văn Kiên đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất Song, do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Thị Hải Yến

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp là nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn ThS Đỗ Văn Kiên, trên cơ sở một số tài liệu tham khảo

Tôi xin cam đoan kết quả của mình không trùng với bất cứ kết quả của tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Thị Hải Yến

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ 2

1.1 Đồng dư thức 2

1.2 Các tính chất của quan hệ đồng dư 5

1.3 Phương trình đồng dư một ẩn bậc cao 9

CHƯƠNG 2: LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI 18

2.1 Thặng dư bậc hai 18

2.2 Kí hiệu Legendre và kí hiệu Jacobi 21

2.3 Luật thuận nghịch bậc hai 30

2.4 Một số cách chứng minh luật thuận nghịch bậc hai 36

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TẬPVẬN DỤNG LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI 51

3.1 Sử dụng luật thuận nghịch tính kí hiệu Legendre 51

3.2 Sử dụng luật thuận nghịch bậc hai giải bài toán đồng dư 53

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

chọn đề tài “Kí hiệu Jacobi, kí hiệu Legendre và một vài cách chứng

minh luật thuận nghịch bậc hai”

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và luật thuận nghịch bậc hai

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu về kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi dựa trên lý thuyết đồng dư; luật thuận nghịch bậc hai, một vài cách chứng minh luận thuận nghịch bậc hai và bài tập áp dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong khóa luận này, tôi thu thập và đọc các tài liệu tìm được từ nhiều nguồn khác nhau để phân tích, nghiên cứu về kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và luật thuận nghịch bậc hai cùng một số cách chứng minh sau đó ghi lại một cách hệ thống theo cách tôi hiểu

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ

Trong chương này tôi xin trình bày lại một số kiến thức về đồng dư thức: khái niệm và tính chất của đồng dư thức, phương trình đồng dư một ẩn bậc cao

1.1 Đồng dư thức

Định nghĩa 1.1.1 Cho là một số nguyên dương, và là hai số nguyên Ta nói và đồng dư với nhau theo môđun nếu trong phép chia và cho ta được cùng một số dư, nghĩa là có các số nguyên với sao cho

ii chia hết cho (kí hiệu là ( ))

iii Tồn tại số nguyên sao cho

, Chứng tỏ số dư trong phép chia cho cũng

Định nghĩa 1.1.3 Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư môđun

được gọi là các lớp thặng dư môđun

Mệnh đề 1.1.4 Số các lớp thặng dư môđun đúng bằng

Chứng minh Mỗi lớp thặng dư môđun chứa một và chỉ một trong các

số dư 0,1, , thu được khi chia các số nguyên cho Vậy số các

Ví dụ 1.1.5 * ̅ ̅ ̅+ { ̅ ̅ ̅̅̅̅} Các thặng dư không âm

bé nhất của các lớp đồng dư môđun 8 là * +

Định nghĩa 1.1.6 Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun ta lấy ra một đại diện thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ môđun

Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun ta lấy ra một đại diện không âm

bé nhất thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất môđun

Nhận xét 1.1.7 Từ định nghĩa của một hệ thặng dư đầy đủ ta suy ra rằng

một hệ thặng dư đầy đủ môđun là một hệ gồm số nguyên, đôi một không đồng dư môđun

Nếu * + là một hệ thặng dư đầy đủ môđun thì

* + cũng là một hệ thặng dư đầy đủ môđun với mọi

Hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất môđun là * + Còn hệ thặng dư đầy đủ với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất môđun được xác định như sau

bộ một hệ thặng dư đầy đủ nào đó môđun

Chứng minh Ta có ( )khi và chỉ khi

( ) ( )

do ( ) nên điều đó tương đương với ( ) Điều này chứng tỏ khi chạy qua các lớp tương đương khác nhau thì cũng chạy qua các lớp tương đương khác nhau Vậy nếu ( ) và chạy khắp một hệ thặng dư đầy đủ môđun thì cũng chạy khắp

Nhận xét 1.1.10 Từ chứng minh trên ta suy ra hệ quả: nếu ( )

ii Với mọi ( )khi và chỉ khi ( )

iii Với mọi ( ) ( )

( ) với Vậy ( )

ii Từ ( ), ( ) suy ra tồn tại sao cho , Do đó

vi Giả sử ( ) là một đa thức với hệ số nguyên và

( )

Nghĩa là ( ) ( )( )

Đặc biệt, vì ( )( ) nên

( ) ( )( ) Nhưng ( ) ( ) nên ta có ( ) ( ) với mọi

Định lý 1.2.4 Cho là một số nguyên dương và là những số nguyên

Định nghĩa 1.2.6 ( ̅ ) được cho bằng ( ) với một ̅ Khi

( ̅ ) thì lớp ̅ được gọi là một lớp thặng dư nguyên tố với môđun

Ví dụ 1.2.7 Ta có thể tìm số dư trong phép chia chia cho Thật vậy vì ( ) nên ( )

Ví dụ 1.2.8 Giả sử ( √ √ ) √ √ Khi đó

, , nguyên Khi đó chia cho dư , còn , cùng chia hết cho Thật vậy, ta có

√ √ ( √ √ )( √ √ ) Vậy

Từ , suy ra điều cần chứng minh

Định nghĩa 1.2.9 Nếu từ mỗi lớp thặng dư nguyên tố với môđun ta

lấy ra một đại diện thì tập các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư thu gọn môđun

Nhận xét 1.2.10 Thông thường, ta chọn hệ thặng dư thu gọn môđun

từ một hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất * + Vì rằng số các số trong tập * + nguyên tố với là ( )nên

Ví dụ 1.2.11 Hệ thặng dư thu gọn môđun là * + và

Định lý 1.2.13 Nếu và là các số nguyên dương thì mỗi lớp thặng dư

môđun là hợp của đúng lớp thặng dư môđun

Chứng minh Giả sử là một lớp thặng dư môđun với ̅

Ta kiểm tra rằng các lớp thặng dư môđun sau đây: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ với đều là tập con của Điều này chứng tỏ

⋃

Ngược lại, lấy Khi đó có để Biểu diễn với Ta có Vậy ⋃ Do vậy ⋃ Mặt khác , và thì

( )

Điều này chứng tỏ , tức giao của và bằng rỗng Vậy là

1.3 Phương trình đồng dư một ẩn bậc cao

Định nghĩa 1.3.1 Cho là số nguyên dương, là các số nguyên Phương trình đồng dư dạng

( ) { ( ) ( )

Được gọi là phương trình đồng dư bậc

Định nghĩa 1.3.2 Cho phương trình đồng dư ( ) ( ) Số được gọi là một nghiệm đúng của phương trình nếu

Chú ý rằng trong phương trình ( ) ta có thể đưa tất cả các hệ số

về các số không âm, nhỏ hơn Do chỉ có lớp thặng

dư nên số nghiệm của phương trình ( ) là số các phần tử trong một hệ thặng dư đầy đủ theo môđun hay trong hệ * + thỏa mãn

nó Chú ý rằng, nếu là số đủ nhỏ thì ta chỉ cần thử lần lượt các phần tử thuộc * + để tìm nghiệm; còn đối với là số quá lớn thì số phép thử rất nhiều Chẳng hạn, khi giải phương trình đồng dư

( )( ) ( ), ta chỉ cần thử tất cả Tất cả đều thỏa mãn phương trình Vậy mọi đều là nghiệm đúng

Cho là một số nguyên Xét phương trình đồng dư

( ) ( ) ( )

Việc tìm tất cả các giá trị ̅ thỏa mãn ( ) được gọi là giải phương trình đồng dư

Định lý 1.3.4 Giả sử có phân tích chính tắc thành các thừa số nguyên tố Khi đó ( ) tương đương với hệ phương trình đồng dư sau

( ){

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Chứng minh Giả sử ( ) là một nghiệm của ( ) Khi đó

( ) ( )

Vì m là bội của các nên ta cũng có

{

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Như vậy ( ) là một nghiệm của ( )

Ngược lại, giả sử ( ) là một nghiệm của ( ) Khi đó

( ) ( )

Do ( ) chia hết cho các và các là nguyên tố sánh đôi nên ( ) chia hết cho tích hay ( ) ( ), tức

là ( ) có nghiệm ( ) Từ đó suy ra điều phải chứng minh 

Nhận xét 1.3.5 Như vậy việc giải phương trình ( ) được thay bằng giải

hệ ( ) Nếu mỗi phương trình ( ) ( ) ta tìm được nghiệm, chẳng hạn ( ) với mỗi thì ta sẽ giải hệ sau đây

{

( ) ( ) ( )

để tìm nghiệm của ( )

Rõ ràng, để giải phương trình ( ) ta cần phải biết giải các phương trình dạng ( ) ( ) với nguyên tố Theo công thức khai triển Taylor của hàm đa thức bậc tại ta có

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

iii Nếu ( ) chia hết cho và ( ) không chia hết cho thì tất

cả các phần tử của lớp ̅̅̅( ) đều không là nghiệm đúng của ( ), do đó tất cả các lớp đều không là nghiệm của ( )

Chứng minh

Hiển nhiên mỗi nghiệm của ( ) cũng là nghiệm của ( ) Giả sử ( ) là một nghiệm của ( ) Khi đó , thay vào phương trình ( ) ( ) ta có

( ) ( ) Theo công thức khai triển Taylor cho hàm đa thức ở vế trái, ta có

( ) ( ) ( ) Chia hai vế cho ta nhận được

Là nghiệm duy nhất của ( ) trong

Nếu ( ) chia hết cho và ( ) chia hết cho thì ( ) có nghiệm với mọi Do đó tất cả các phần tử của đều là nghiệm của ( )

Nếu ( ) chia hết cho và ( ) không chia hết cho thì rõ ràng ( ) vô nghiệm do đó tất cả các phần tử của lớp ̅̅̅( ) đều

Định lý 1.3.7 Cho hai phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

với là một số nguyên tố và nguyên Khi đó mỗi nghiệm đúng của ( ) cũng là một nghiệm đúng của ( ) Ngược lại giả sử

( )là một nghiệm của ( ) và kí hiệu là tập tất cả các lớp môđun của ̅̅̅( ) Khi đó ta có các khẳng định sau

i Nếu ( ) không chia hết cho thì trong sẽ có đúng một lớp là nghiệm của ( )

ii Nếu ( ) chia hết cho và ( ) chia hết cho thì tất cả các lớp của đều là nghiệm của ( )

iii Nếu ( ) chia hết cho và ( ) không chia hết cho thì tất

cả các phần tử của lớp ̅̅̅̅( ) đều không là nghiệm đúng của ( ), do

đó tất cả các lớp đều không là nghiệm của ( )

Chứng minh Bằng quy nạp một cách hình thức và định ý 1.3.6.i) ta nhận được i)

Trong trường hợp ( ) chia hết cho và ( ) chia hết cho thì phương trình ( ) ( ) liên tiếp nhận ̅̅̅( ) làm tập nghiệm đúng với Do đó ta thu được ii)

Bây giờ ta chứng minh iii) theo định lý 1.3.6.iii) nên tất cả các phần

tử của lớp ̅̅̅( ) đều không là nghiệm đúng của phương trình ( ) ( ) Do đó tất cả các phần tử của lớp ̅̅̅( ) đều không là nghiệm đúng của ( ) Ta có iii) Suy ra điều phải chứng minh 

Ví dụ 1.3.8 Giải phương trình đồng dư

( ) ( ) Giải: Trước tiên xét ( ) Thử trên một hệ thặng dư đầy đủ ta có ( ) và ( ) là nghiệm của phương trình Ta có ( )

Xét nghiệm ( ) ta có ( ) không chia hết cho Đặt

ta có

( ) ( ) ( ) hay ( ) Chia cho ta có ( )

Thay vào phương trình đồng dư

( ) ( )

có hai nghiệm ( ) và ( )

Ví dụ 1.3.9 Giải phương trình đồng dư

( ) ( )

Giải: Xét ( ) Thử trên một hệ thặng dư đầy đủ

ta được ( ) là nghiệm của phương trình

vì khi giải ( ) ( ) ( ) hay ( )

có không chia hết cho Tóm lại phương trình đồng dư

( ) ( ) vô nghiệm

Ví dụ 1.3.10 Giải phương trình đồng dư

( )

Giải: Vì nên theo định lý 2.2.1 phương trình đã cho tương

đương với hệ phương trình đồng dư{ ( ) ( )

( ) ( )Trước tiên ta giải phương trình ( ) Xét ( ) Thử trên một hệ thặng dư đầy đủ ta có

( ) là nghiệm của phương trình Ta viết ,

t nguyên Ta viết ( ) thành

, , Xét ta có ( ) ( ) ( ) hay

( )

 không thỏa mãn phương trình

Xét ta có ( ) ( ) ( )

hay ( ) luôn thỏa mãn với mọi suy ra

luôn là nghiệm đúng của phương trình

Tiếp theo ta giải phương trình ( )

Thử trên một hệ thặng dư đầy đủ ta có ( ) là nghiệm

Đạo hàm ( ) Ta có ( ) , ( ) Vì ( ) không chia hết cho , ta xét

( ) ( ) ( ) hay ( ) ( )

Ta có , vậy ( ) ( ) có nghiệm

( ) với Tóm lại, phương trình đã cho tương đương với ba hệ sau { ( ) ( ) { ( ) ( ) { ( ) ( )Giải các hệ này suy ra phương trình đồng dư

( )

có ba nghiệm là

,

( ) ( ) ( )

CHƯƠNG 2: LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI

( )

hay ( ) ( )

Đặt , ta có phương trình ( ) Cho phương trình ( ) trong đó là một số nguyên tố lẻ và nguyên tố v

Định nghĩa 2.1.1 Số nguyên được gọi là một thặng dư bậc hai theo môđun nếu phương trình đồng dư bậc hai ( ) có nghiệm

Số nguyên được gọi là một bất thặng dư bậc hai môđun hay thặng dư phi toàn phương môđun nếu phương trình đồng dư bậc hai ( ) vô nghiệm

Ví dụ 2.1.3 Xét một vài ví dụ sau

i ( ) có nghiệm ( ) vì ( ) nên làmột thặng dư bậc hai môđun

ii ( ) vô nghiệm vì ( ) nên là một bất thặng

dư bậchai môđun

Mệnh đề 2.1.4 Cho một số nguyên tố lẻ và một số nguyên nguyên

tố với , khi đó

ii Nếu là một bất thặng dư bậc hai môđun thì mọi phần tử thuộc

lớp thặng dư ̅( ) cũng là bất thặng dư bậc hai môđun

Chứng minh

i Giả sử là một thặng dư bậc hai môđun Khi đó tồn tại

để ( ) với ̅ có ( ) và suy ra

( ) Như vậy, cũng là một thặng dư bậc hai môđun

ii Giả sử là một bất thặng dư bậc hai môđun Khi đó không tồn tại số nguyên nào để ( ) Lấy ̅ Nếu có số nguyên

để ( ) thì ( ) ( mâu thuẫn)

Như vậy cũng là một bất thặng dư bậc hai môđun 

Định lý 2.1.4 Nếu là một thặng dư bậc hai môđun thì phương trình ( ) có đúng hai nghiệm

Chứng minh Do là một thặng dư bậc hai môđun nên có để ( ) Vậy phương trình ( ) có nghiệm ( ) do ( ) ( ) nên ( )

cũng là một nghiệm của phương trình đã cho

Giả sử ( ) Khi đó ta có ( ) Vì là một

số nguyên tố lẻ nên ( ) (mâu thuẫn ) Vậy ( ) và ( ) là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho Mà phương trình ( ) không có quá hai nghiệm Do vậy

Ví dụ 2.1.5 Giải phương trình đồng dư ( )

Giải: Phương trình đồng dư bậc hai ( ) được đưa

về phương trình tương đương ( ) hay

( ) ( )

Đặt ta có phương trình ( ) Vì phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm

Định lý 2.1.6 Trong một hệ thặng dư thu gọn môđun có thặng

dư bậc hai tương ứng cùng lớp với các thặng dư . / và có

bất thặng dư bậc hai

Chứng minh Các số . / là những thặng dư bậc hai môđun đôi một không cùng thuộc một lớp thặng dư môđun Thật vậy, phương trình ( ) với có nghiệm ( )

Giả sử ( ) với , khi đó

Do | | nên khi lấy | | ta được ( )

Như vậy cùng với lớp { / } 

Định lý 2.1.7 Cho một số nguyên tố lẻ và một số nguyên nguyên tố

với Khi đó ta có

i Nếu là một thặng dư bậc hai môđun thì ( )

ii Nếu là một thặng dư bậc hai môđun thì ( )

Chứng minh

i Giả sử là một thặng dư bậc hai môđun Khi đó tồn tại với ( ) để ( ) Theo định lý Euler

( )

ii Giả sử là một bất thặng dư bậc hai môđun Vì mỗi thặng dư bậc hai môđun đều nghiệm đúng phương trình ( ) và phương trình này có không quá nghiệm nên trong một hệ thặng dư thu gọn môđun có đúng nghiệm của phương trình này là các thặng dư bậc hai môđun Vậy mọi số không phải là thặng dư bậc hai môđun đều không nghiệm đúng phương trình này Chính vì thế

( ) Điều này có nghĩa là / Vì nguyên

tố với p nên ( ) Như vậy

2.2 Kí hiệu Legendre và kí hiệu Jacobi

Để nghiên cứu phương trình đồng dư bậc hai, Legendre đã đưa ra một kí hiệu có tính chất kĩ thuật để xem xét phương trình

( ) có nghiệm hay không còn gọi là kí hiệu Legendre được

đề cập ngay dưới đây

Định nghĩa 2.2.1 (Kí hiệu Legendre) Cho một số nguyên tố lẻ và một số nguyên nguyên tố với Kí hiệu Legendre /đọc là kí hiệu Legendre trên , được xác định như sau

( * {

Kí hiệu này được đặt tên sau khi nhà toánhọc người Pháp là

Adrien- Legendre (1752- 1833) giới thiệu về việc sử dụng kí hiệu này

Ví dụ 2.2.2 Kí hiệu Legendre . / với có các giá trị sau

Ví dụ 2.2.6 Chứng minh rằng phương trình ( )có nghiệm khi và chỉ khi ( )

Giải: Áp dụng định lí 2.2.5. ( ) có nghiệm khi và chỉ khi

( ) điều này tương đương với ( )

Định lý 2.2.7 Cho là số nguyên tố lẻ và các số nguyên nguyên tố với với mọi Khi đó

Hệ quả 2.2.8 Cho là một số nguyên tố lẻ và hai số nguyên dương

và nguyên tố với Khi đó

4 5 4 5 ( * Chứng minh Từ định lý ta suy ra

Bổ đề 2.2.10 (Bổ đề Gauss) Gọi là số các số trong dãy

, , , a có thặng dư âm trong hệ thặng dư thu gọn môđun với

giá trị tuyệt đối nhỏ nhất Khi đó ta có / ( )

trong đó hoặc và Theo giả thiết trong các

Từ đó suy ra { } * +

Do đó Nhân các vế tương ứng của các đồng dư thức trên ta được

( ) hay ( )