4. Phương pháp nghiên cứu
2.2. Kí hiệuLegendre và kí hiệu Jacobi
Để nghiên cứu phương trình đồng dư bậc hai, Legendre đã đưa ra một kí hiệu có tính chất kĩ thuật để xem xét phương trình
( ) có nghiệm hay không còn gọi là kí hiệu Legendre được đề cập ngay dưới đây
Định nghĩa 2.2.1 (Kí hiệu Legendre). Cho một số nguyên tố lẻ và một số nguyên nguyên tố với . Kí hiệu Legendre . /đọc là kí hiệu Legendre trên , được xác định như sau
( * { Kí hiệu này được đặt tên sau khi nhà toánhọc người Pháp là
Adrien- Legendre (1752- 1833) giới thiệu về việc sử dụng kí hiệu này.
Ví dụ 2.2.2. Kí hiệu Legendre . / với có các giá trị sau ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( *
Định lý 2.2.3. Cho một số nguyên tố lẻ và một số nguyên nguyên tố
với . Khi đó
( * ( )
Chứng minh. Nếu là một thặng dư bậc hai môđun thì
( ) và . / ; còn nếu là một bất thặng dư bậc hai môđun thì ( ) và . / . Vậy
( * ( )
Định lý 2.2.4. Nếu ( ) thì
( * ( *
Chứng minh. Khi ( ) thì và hoặc cùng là thặng dư bậc hai hoặc cùng là bất thặng dư bậc hai môđun . Do đó
( * ( *
Định lý 2.2.5. Ta có
( )
Chứng minh. Ta có vì ( ) luôn có nghiệm ( ).
Ta có ( ) bởi định lý 2.2.3. vì cả hai vế chỉ lấy giá trị hoặc nên
( )
Ví dụ 2.2.6. Chứng minh rằng phương trình ( )có nghiệm khi và chỉ khi ( ).
Giải: Áp dụng định lí 2.2.5. ( ) có nghiệm khi và chỉ khi
( ) điều này tương đương với ( ).
Định lý 2.2.7. Cho là số nguyên tố lẻ và các số nguyên nguyên tố với với mọi . Khi đó
( * ( * ( * ( *
Chứng minh. Vì ( ) , nên ( ) . Theo
định lý 2.2.3.
( * ( ) ( * ( * ( ) Vì cả hai biểu thức ở hai đầu hệ thức chỉ nhận giá trị và là một số nguyên tố lẻ nên ta có
( * ( * ( * ( *
Hệ quả 2.2.8. Cho là một số nguyên tố lẻ và hai số nguyên dương và nguyên tố với . Khi đó
4 5 4 5 ( *
Chứng minh. Từ định lý ta suy ra
4 5 ( * ( * 4 5 4 5 ( * ( *
Từ hệ quả này, ta có thể chuyển việc tính một kí hiệu Legendre về tính những kí hiệu dạng đơn giản . / với số nguyên tố . Cụ thể, khi tính . /, trước tiên ta biểu diễn
Vì ( * ( * ( * ∏ ( *
Ví dụ 2.2.9. Ta có ( * 4 5 ( * và . / . / . /
Bổ đề 2.2.10 (Bổ đề Gauss). Gọi là số các số trong dãy
, , ..., a có thặng dư âm trong hệ thặng dư thu gọn môđun với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất. Khi đó ta có . / ( )
Chứng minh. Đặt . Xét các đồng dư thức sau đây ( )
( )
( )
trong đó hoặc và . Theo giả thiết trong các số sẽ có số bằng ( ) và ( ) số bằng nên ( ) . Ta sẽ chứng minh
( *
Thật vậy, dãy , , lập thành một hệ thặng dư thu gọn môđun . Khi đó các thặng dư thu gọn với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất sẽ là .
Từ đó suy ra { } * +.
Do đó . Nhân các vế tương ứng của các đồng dư thức trên ta được
Lại có ( ) nên ta suy ra ( ). Do đó: ( ) ( ).
Bổ đề 2.2.11. Cho là một số nguyên tố lẻ và một số nguyên nguyên tố với . Khi đó ta có
( * ( ) ( ) ∑ 0 1
Chứng minh. Để chứng minh kết quả nêu trên, theo bổ đề Gauss ta chỉ cần chỉ ra
( ) ∑ [ ]
( ) Thực hiện phép chia cho p ta nhận được
trong đó . Vì có số có thặng dư âm trong hệ thặng dư với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất nên trong số sẽ có số lớn hơn và ta có khi hoặc khi , với các số đã được xác định như trong bổ đề Gauss. Ta có
[ ] ∑ ∑ Do đó ta nhận được ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ [ ] ∑
Đặt ∑ với là tổng các số hạng dương và là tổng các số hạng âm. Khi đó ∑ do vậy ∑ từ đây ta suy ra ∑ [ ] và như thế ( ) ∑ [ ] ( ) vì ( ) nên ta có ( ) ∑ [ ] ( )
Hệ quả 2.2.12. Với mỗi nguyên tố lẻ ta có
( * ( )
Chứng minh. Ta có và 0 1 với mọi nên ( * ( )
Ví dụ 2.2.13. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố lẻ thì phương trình ( ) có nghiệm khi và chỉ khi ( ).
( * ( ) Điều này tương đương với ( ).
Trong phần này chúng ta định nghĩa kí hiệu Jacobi. Kí hiệu này được giới thiệu bởi nhà toán học người Đức tên là Carl Jacobi. Kí hiệu Jacobi là một sự mở rộng của kí hiệu Legendre.
Định nghĩa 2.2.14 (Kí hiệu Jacobi). Giả sử , với là các số nguyên tố lẻ, không nhất thiết khác nhau và là một số nguyên, nguyên tố với . Khi đó kí hiệu Jacobi được xác định như sau
. / ( * ( * ( * trong đó . / với là các kí hiệu Legendre.
Ví dụ 2.2.15. Từ định nghĩa kí hiệu Jacobi, ta thấy rằng
(
* ( * ( * ( * ( )( )
( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( ) (
* ( ) ( ) ( )
Nhận xét 2.2.16. Nếu . / ( )thì tồn tại chỉ số sao cho
. / ( ). Do đó phương trình đồng dư ( ) vô nghiệm. Từ đó suy ra phương trình ( ) vô nghiệm. Tuy nhiên trong trường hợp . / ta không thể suy ra ( )
Ví dụ 2.2.17. . / ( ) vô nghiệm vì ( * (
*
Bổ đề 2.2.18. Giả sử với là các số lẻ. Kí hiệu Khi đó ta có ( ) và ( ). Chứng minh. Ta có ,( )( ) ( ) - , - và ,( )( ) ( ) - , - .
Định lý 2.2.19. Tính chất của kí hiệu Jacobi
Cho là một số nguyên dương, là những số nguyên. Khi đó
i. . / . / . /
ii.Nếu ( ) thì . / . /
iv. . / . / ( )
v.. / ( )
vi. . / ( )
Chứng minh. Suy trực tiếp từ bổ đề và các tính chất của kí hiệu Legendre.
Ví dụ 2.2.20. Tính . /, cho biết là một số nguyên tố lẻ.
Giải: Ta có ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * Nếu xem . / là kí hiệu Jacobi thì ta có
( * ( * ( * ( * ( *