ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2020 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới khoa Tốn - Cơ - Tin Học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội Cảm ơn thầy cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành luận văn cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ em trình học tập Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Hương i Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Bảng thuật ngữ ký hiệu Danh sách hình KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Hình dung ban đầu rẽ nhánh 1.1.1 Ví dụ rẽ nhánh phương trình đại số 1.1.2 Ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân 1.2 Kiến thức chuẩn bị 1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh phương trình sai phân chiều CỦA SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHÂN MỘT CHIỀU 2.1 Thác triển địa phương 2.2 Rẽ nhánh nút-yên ngựa 2.3 Rẽ nhánh dĩa rẽ nhánh xuyên tới hạn 2.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ 2.5 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh 2.5.1 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh nút yên-ngựa 2.5.2 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh xuyên tới hạn 2.5.3 Dạng chuẩn tắc rẽ nhánh dĩa 2.5.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ ii 5 12 SAI 21 21 23 25 26 27 27 28 29 30 RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG 3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích 3.2 Rẽ nhánh ánh xạ bảo toàn diện tích 32 32 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iii LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh khái niệm ngược với ổn định Khái niệm rẽ nhánh lần giới thiệu Henri Poincaré vào năm 1885, sau nhà tốn học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu toán học thay đổi tranh pha nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Rẽ nhánh xảy thay đổi nhỏ giá trị tham số hệ động lực gây thay đổi đột ngột tranh pha Rẽ nhánh chia làm hai loại • Rẽ nhánh địa phương xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha xung quanh điểm cân điểm tuần hồn thay đổi • Rẽ nhánh toàn cục xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha toàn cục thay đổi Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu số rẽ nhánh địa phương sau Rẽ nhánh nút-yên ngựa (saddle-node) Rẽ nhánh xuyên tới hạn (transcritical) Rẽ nhánh dĩa (pitchfork) Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ (period doubling) Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các ví dụ rẽ nhánh phương trình sai phân chiều Trong chương tác giả trình bày lại kiến thức liên quan đến rẽ nhánh phương trình sai phân cụ thể định nghĩa điểm bất động, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm khơng ổn định (đẩy) Sau đó, ví dụ rẽ nhánh nói tính tốn chi tiết minh họa hình học Chương Sự tồn rẽ nhánh phương trình sai phân chiều Mục đích chương trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ Chương Rẽ nhánh hệ phẳng Trong chương tác giả đưa số ví dụ rẽ nhánh hệ hai chiều, nhấn mạnh vào tính co diện tích tính bảo tồn diện tích Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ sách [2] Luận văn xét rẽ nhánh hệ rời rạc, tức phương trình sai phân Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Hương BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU [1] Tài liệu số mục "Tài liệu tham khảo" Tập hợp số tự nhiên Vành số nguyên Trường số hữu tỷ, số thực (tương ứng) Z(M ) Môđun suy biến môđun M saddle-node bifurcation rẽ nhánh nút-yên ngựa pitchfork bifurcation rẽ nhánh dĩa transcritical bifurcation rẽ nhánh xuyên tới hạn period doubling bifurcation rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ N Z Q, R Danh sách hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 Bức tranh pha hệ phương trình vi phân Điểm yên ngựa Sơ đồ bước cầu thang g(x) = 2x(1 − x) (a) a = −1, (b) a = −0.25, (c) a = 0.5 Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = Lược đồ rẽ nhánh (a) ρ = 1, (b) ρ = 1.5, (c) ρ = 2.8 Lược đồ rẽ nhánh (a) a = −2; (b) a = −1; (c) a = Lược đồ rẽ nhánh dĩa 11 12 13 14 15 15 16 18 19 20 20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Đồ thị f với điểm bất động hyperbolic Lược đồ rẽ nhánh nút yên-ngựa Họ đồ có đạo hàm xuyên qua Rẽ nhánh nút-yên ngựa Rẽ nhánh xuyên tới hạn Rẽ nhánh dĩa 22 25 26 28 29 30 3.1 3.2 3.3 Rẽ nhánh nút-yên ngựa hệ phẳng (a) b = −0.9, (b) b = −1.1, (c) a = −1.0 Giá trị riêng phức điểm bất động elliptic 33 39 40 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương nhắc lại kiến thức liên quan đến rẽ nhánh phương trình sai phân Cụ thể ta định nghĩa điểm bất động, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy) điều kiện liên quan phục vụ cho Chương Chương Sau số ví dụ rẽ nhánh tính tốn minh họa cụ thể 1.1 Hình dung ban đầu rẽ nhánh Hiện tượng rẽ nhánh xảy nhiều lĩnh vực khác nhau: toán học, sinh học, vật lý, hóa học, kinh tế, Câu hỏi đầu tiên: Thế tượng rẽ nhánh? Nội dung phần tham khảo từ tài liệu [1] ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... Sự tồn rẽ nhánh phương trình sai phân chiều Mục đích chương trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ Chương Rẽ nhánh hệ phẳng. .. đổi • Rẽ nhánh tồn cục xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha toàn cục thay đổi Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu số rẽ nhánh địa phương sau Rẽ nhánh nút-yên ngựa (saddle-node) Rẽ nhánh