Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2020 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2020 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn - người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Cảm ơn thầy cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành luận văn cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, cổ vũ em q trình học tập Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải i Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Danh sách hình KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Các ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân 1.3 Các ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân NHÁNH CỦA chiều hai chiều 4 14 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 18 2.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa 18 2.2 Rẽ nhánh xuyên tới hạn 21 2.3 Rẽ nhánh dĩa 24 2.4 Rẽ nhánh Hopf 27 SỰ 3.1 3.2 3.3 BẢO TOÀN TÂM LYAPUNOV Tâm Lyapunov Hệ vi phân Hamilton Tâm Lyapunov bảo toàn 33 33 35 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh khái niệm ngược với ổn định Khái niệm rẽ nhánh lần giới thiệu Henri Poincaré vào năm 1885, sau nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu toán học thay đổi tranh pha nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Rẽ nhánh xảy thay đổi nhỏ giá trị tham số hệ động lực gây thay đổi đột ngột tranh pha Rẽ nhánh chia làm hai loại • Rẽ nhánh địa phương xảy thay đổi tham số làm cho tranh pha xung quanh điểm cân điểm tuần hồn thay đổi • Rẽ nhánh tồn cục xảy tranh pha toàn cục thay đổi giá trị tham số thay đổi Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu rẽ nhánh Hopf định lý tâm Lyapunov Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các ví dụ rẽ nhánh phương trình vi phân Trong chương này, ta trình bày lại kiến thức liên quan phục vụ cho việc tìm hiểu rẽ nhánh phương trình vi phân Sau đó, ta tính tốn chi tiết minh họa hình học số loại rẽ nhánh khơng gian chiều không gian hai chiều Chương Sự tồn rẽ nhánh phương trình vi phân Mục đích chương trình bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf Chương Sự bảo toàn tâm Lyapunov Trong chương ta tìm hiểu định nghĩa định lý tồn tâm Lyapunov Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ sách [2] Luận văn xét rẽ nhánh hệ liên tục, tức phương trình vi phân Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải Danh sách hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Điểm yên ngựa (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa không gian chiều (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > Lược đồ rẽ nhánh dĩa không gian chiều (a) a > 0, (b) a = 0, (c) a < Lược đồ rẽ nhánh xuyên tới hạn không gian chiều Bức tranh pha rẽ nhánh nút-yên ngựa không gian hai chiều 1.9 Lược đồ rẽ nhánh Hopf 1.10 (a) a = −0.5, (b) a = 0.5 2.1 2.2 2.3 2.4 ∂ 2f ∂ 2f (x , µ ) (x , µ ) 0 0 ∂x ∂x > 0, (b) − , (b) − , (b) − cho x(t + T ) = x(t) với t Số T nhỏ gọi chu kỳ nghiệm tuần hoàn x(t) Điểm p gọi điểm tuần hoàn hệ (1.2) nằm quỹ đạo tuần hồn γ = x(t) đó, tức tồn t0 cho p = x(t0 ) Với ε > 0, ký hiệu Nε (p) ε-lân cận điểm p, tức Nε (p) = {x ∈ Rm : kx − pk < ε} Định nghĩa 1.1.2 Cho p điểm cân Nếu tồn > cho với x ∈ N (p) mà lim ϕt (x) = p, t→+∞ p gọi điểm hút Nếu tồn > cho với x ∈ N (p) mà lim ϕt (x) = p, t→−∞ p gọi điểm đẩy Nói cách khác, điểm cân p gọi hút điểm gần p hút p tác động dòng ϕt ; điểm cân p gọi đẩy điểm gần p xa p tác động ánh xạ dòng ϕt Do dòng ϕt khả ngược, nên điểm cân p hút dòng ϕt p đẩy dịng ϕ−t Ta có tiêu chuẩn phổ để xác định điểm cân hút hay đẩy, dựa vào giá trị riêng ma trận Jacobi Định nghĩa 1.1.3 Cho f = (f1 , f2 , , fm ) ánh xạ Rm cho p ∈ Rm Ma trận Jacobi f p, ký hiệu Dp f , hay Df (p) ma trận ∂f1 ∂x1 Dp f = Df (p) = (p) · · · ∂fm ∂x1 (p) · · · ∂f1 ∂xm (p) ∂fm ∂xm (p) đạo hàm thành phần p Định lý 1.1.4 Cho p điểm cân phương trình vi phân (1.2) hàm f trơn Khi đó, phát biểu sau (i) Nếu ma trận Dp f có giá trị riêng với phần thực âm Reλ < với λ ∈ σ(Dp f ) p hút (cũng gọi ổn định tiệm cận) (ii) Nếu ma trận Dp f có giá trị riêng với phần thực dương Reλ > với λ ∈ σ(Dp f ) p đẩy Trong khơng gian hai chiều khơng gian có số chiều lớn hơn, tồn điểm cân hỗn hợp (điểm yên ngựa) Điểm yên ngựa trường hợp đặc biệt điểm hyperbolic ... bày định lý tồn rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf Chương Sự bảo toàn tâm Lyapunov Trong chương ta tìm hiểu định nghĩa định lý tồn tâm Lyapunov Nội dung luận. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... thay đổi Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu rẽ nhánh Hopf định lý tâm Lyapunov Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các ví dụ rẽ nhánh phương