ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG TUẤN ĐA THỨC CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ FUETER PÓLYA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG TUẤN ĐA THỨC CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ FUETER-PÓLYA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG TUẤN ĐA THỨC CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ FUETER-PÓLYA Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN DUY TÂN THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức liên quan 1.1 Luật thuận nghịch bậc hai 1.1.1 Thặng dư bậc hai 3 1.1.2 1.1.3 Tiêu chuẩn Euler Ký hiệu Legendre 1.2 Định lý thặng dư Trung hoa 1.3 Định lý Dirichlet số nguyên tố cấp số cộng Chứng minh sơ cấp định lý Fueter-Pólya 10 2.1 Đa thức Cantor 10 2.2 Đa thức xếp khơng thể tuyến tính 12 2.3 2.4 Một số bổ đề 13 Định lý Fueter-Pólya 22 Đa thức Cantor hình quạt 24 3.1 3.2 Bài tốn đa thức Cantor hình quạt 24 Hình quạt vị nhóm 25 3.3 Đa thức xếp hình quạt I(1/s) 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Một hàm đa thức F : R2 → R gọi đa thức xếp N20 F hạn chế xuống N20 cho ta song ánh từ N20 tới N0 Cantor xây dựng tường minh hai đa thức xếp bậc hai Đó (x + y)2 (x + 3y) + , 2 (x + y)2 (3x + y) C2 (x, y) = + 2 C1 (x, y) = Sau Fueter với Pólya dùng phương pháp lý thuyết số giải tích chứng minh F đa thức xếp bậc hai N20 F = C1 F = C2 Mục đích luận văn tìm hiểu chứng minh Vsemirnov dùng luật thuật nghịch bậc hai định lý Dirichlet số nguyên tố cấp số cộng (và số lập tương đối sơ cấp) cho định lý Fueter Pólya Người ta giả thuyết F đa thức xếp (bậc tùy ý) F = C1 F = C2 Giả thuyết đến mở Luận văn có cấu trúc sau: gồm phần Mở đầu, ba Chương nội dung, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Một số kiến thức liên quan Chương phát biểu luật thuận nghịch bậc hai, định lý thặng dư Trung hoa, kèm theo số hệ chúng Chương 2: Chứng minh sơ cấp định lý Fueter-Pólya Chương giới thiệu đa thức xếp Cantor chứng minh đa thức xếp khơng thể tuyến tính, trình bày số kết quả, bổ đề lý thuyết số trình bày chứng minh định lý Fueter-Pólya Chương 3: Đa thức Cantor hình quạt Chương trình bày khái niệm hình quạt vị nhóm, kết Nathanson đa thức bậc hai xếp Cantor số vị nhóm Luận văn thực hồn thành vào tháng năm 2018 trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Duy Tân, người tận tình hướng dẫn suốt q trình làm việc để hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hoàn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K10C, khóa 05/2016 - 05/2018 động viên giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Hàn thuyên, Bắc ninh tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Quang Tuấn Chương Một số kiến thức liên quan Chương phát biểu luật thuận nghịch bậc hai, định lý thặng dư Trung hoa số ví dụ Tài liệu tham khảo sử dụng cho chương tài liệu [1] [4] 1.1 1.1.1 Luật thuận nghịch bậc hai Thặng dư bậc hai Định nghĩa 1.1.1 Cho p số nguyên tố a số nguyên cho p - a Số a gọi thặng dư bậc hai modulo p tồn số nguyên y cho y ≡ a( mod p) Nếu không tồn số nguyên y cho y ≡ a(modp) ta nói a khơng thặng dư bậc hai modulo p Ví dụ Các số 1, 3, thặng dư bậc hai modulo 13, khơng thặng dư bậc hai modulo phương trình y ≡ 2(mod5) vô nghiệm 1.1.2 Tiêu chuẩn Euler Định lý 1.1.2 (Tiêu chuẩn Euler) Cho p số nguyên tố lẻ không ước số nguyên a Khi a thặng dư bậc hai (tương ứng, p−1 không thặng dư bậc hai) modulo p a ≡ 1(modp) (tương ứng, a p−1 ≡ −1(modp)) 4 Ví dụ Ta có 35 = 243 ≡ (mod 11) thặng dư bậc hai modulo 11 Trong 25 = 32 ≡ −1 (mod 11) không thặng dư bậc hai modulo 11 1.1.3 Ký hiệu Legendre Định nghĩa 1.1.3 Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số nguyên a ( a thặng dư bậc hai modulo p a Ta định nghĩa: = p −1 a khơng bình phương modulo p Ký hiệu gọi ký hiệu Legendre (Adrien Legendre (1752 1833) nhà toán học người Pháp) Một số tính chất Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số nguyên a b Khi ta có tính chất sau a2 = 1 p ab a b = p p p a p−1 ≡ a (modp) (Tiêu chuẩn Euler) p a b Nếu a ≡ b (modp) = p p −1 −1 tùy theo p ≡ (mod4) hay p ≡ (mod4) p Khi = p ≡ (mod8) p ≡ (mod8); p = −1 p ≡ (mod8) p ≡ (mod8) p 65 Ví dụ Tính ký hiệu Legendre 47 65 18 Ta có = = = = 47 47 47 47 47 Định lý 1.1.4 (Luật thuận nghịch bậc hai Gauss) Giả sử p q p q số nguyên tố lẻ phân biệt Khi = trừ p ≡ q ≡ q p p q (mod4) =− q p Ví dụ Tính ký hiệu Legendre 12345 331 Lời giải 12345 331 823 = 331 331 331 161 = 331 331 331 23 = 331 331 331 331 331 331 331 331 = (−1) (−1) (−1) 23 =− 23 2 =− 23 1 =− 23 = − (1) (1) (1) (1) =−1 1.2 Định lý thặng dư Trung hoa Định lý Thặng dư Trung Hoa tên người phương Tây đặt cho định lý Người Trung Quốc gọi Bài tốn Hàn Tín điểm binh Tục truyền Hàn Tín điểm qn số, ơng cho qn lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng báo cáo số dư Từ ơng tính xác qn số đến người Trong mục này, chúng tơi trình bày nội dung định lý Thặng dư Trung Hoa số ví dụ Định lý 1.2.1 Giả sử m1 , m2 , , mt số nguyên dương đôi nguyên tố Đặt m = m1 · · · mt Cho a1 , , at ∈ Z số nguyên tùy ý Khi ta có khẳng định sau 6 1) Tồn c ∈ Z thỏa mãn c ≡ a1 (modm1 ), c ≡ a (modm ), 2 c ≡ a (modm ) t t 2) Nếu c nghiệm hệ đồng dư nghiệm tổng quát hệ x = c + ms, s ∈ Z Chứng minh m Vì m = mi ni Chú ý mi (mi , ni ) = 1, ∀i = 1, 2, , t số m1 , m2 , , mt đôi nguyên tố Bởi vậy, với i, phương trình đồng dư 1) Với i = 1, 2, , t đặt ni = ni x ≡ 1(modmi ) giải được; tức là, với i tồn số nguyên bi thỏa mãn ni bi ≡ 1(modmi ) (1.1) Mặt khác j khác i nj bj ≡ 0(modmj ) mi |nj Bây giờ, đặt c := a1 n1 b1 + · · · + at nt bt Khi với i, ta có c ≡ ni bi ≡ (mod mi ) Ta chứng minh xong khẳng định thứ 2) Giả sử d nghiệm khác hệ đồng dư Khi c ≡ d(modmi ) với i (1.2) Suy c ≡ d(modm) Vì d = c + ms với s Ngược lại, d = c + ms với s d ≡ c(modm), với i, d ≡ c ≡ (modm) Điều có nghĩa d nghiệm Ví dụ Giải hệ đồng dư x ≡ 2(mod3) x ≡ 3(mod5) x ≡ 5(mod7) Lời giải Ở ví dụ ví dụ ta dùng ký hiệu Ni−1 để nghiệm bi chứng minh định lý thặng dư Trung Hoa Ta có N1 = 5.7 = 35 ≡ 2(mod3) ⇒ N1−1 = 2, N2 = 3.7 = 21 ≡ 1(mod5) ⇒ N2−1 = 1, N3 = 3.5 = 15 ≡ 1(mod7) ⇒ N3−1 = Từ ta có nghiệm hệ x = 2.35.2 + 1.21.3 + 1.15.5 = 278 ≡ 68(mod105) Ví dụ Giải hệ đồng dư x ≡ 3(mod5) x ≡ 7(mod8) x ≡ 5(mod7) Lời giải Ta có N1 = 8.7 = 56 ≡ 1(mod5) ⇒ N1−1 = 1, N2 = 5.7 = 35 ≡ 3(mod8) ⇒ N2−1 = 3, N3 = 5.8 = 40 ≡ 5(mod7) ⇒ N3−1 = ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG TUẤN ĐA THỨC CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ FUETER- PÓLYA Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Fueter- Pólya Chương giới thiệu đa thức xếp Cantor chứng minh đa thức xếp khơng thể tuyến tính, trình bày số kết quả, bổ đề lý thuyết số trình bày chứng minh định lý Fueter- Pólya Chương 3: Đa thức Cantor. .. 1.2 Định lý thặng dư Trung hoa 1.3 Định lý Dirichlet số nguyên tố cấp số cộng Chứng minh sơ cấp định lý Fueter- Pólya 10 2.1 Đa thức Cantor 10 2.2 Đa thức