Skkn sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM VỀ CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC Người thực : Lê Thị Phương Thảo Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn học THANH HỐ, NĂM 2020 skkn MỤC LỤC Mục Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 2.2 Cơ sở lí luận: Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 18 skkn MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2020 mơn Tốn tiếp tục năm thứ với hình thức thi trắc nghiệm Để làm trắc nghiệm có hiệu giải khơng phải xác mà phải nhanh, yếu tố quan trọng đánh giá nhanh vấn đề nhanh chóng loại bỏ phương án nhiễu Để qua đó, cần kiểm tra đối chiếu đáp án lại với giải Trong số toán số phức kì thi THPT Quốc gia gần tốn: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số phức dạng tốn khó xuất thường xuyên Chẳng hạn, đề thi minh hoạ năm 2018 Bộ giáo dục đào tạo: “Cho số phức thoả mãn Tính đạt giá trị lớn ” làm cho học sinh đau đầu Vì thế, học sinh dễ bình tĩnh, hoang mang khơng biết phải nhận dạng làm tốn cực trị số phức nào, lấy yếu tố điểm quan trọng để phát vấn đề Có nhiều phương pháp để giải tốn Trong q trình trực tiếp giảng dạy chương số phức lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, rút phương pháp giúp học sinh giải vấn đề nhanh xác Và viết thành sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh số toán trắc nghiệm cực trị số phức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu trực quan dạng cực trị số phức; kĩ phán đốn, phân tích nhanh nhạy, xác vấn đề phát triển tư học sinh: tư phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo tạo thói quen cho học sinh giải vấn đề ln ln tìm tịi khám phá điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt để giải vấn đề nhanh, xác 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng chương số phức chương trình giải tích lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trên sở lý thuyết sách giáo khoa, trước câu hỏi trắc nghiệm cực trị số phức, thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ kiến thức học, trình bày số phức nhận dạng có dài, thời gian hay khơng? Có giải vấn đề hay khơng? Có gặp khó khăn khơng? Từ khuyến khích em, phát tìm đặc điểm đặc trưng làm dấu hiệu nhận biết để giải vấn đề xác triệt để Để học sinh tiếp cận vấn đề, tơi đưa tốn đặc trưng từ mở rộng lên toán cực trị số phức thông qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến tốn cụ thể để học sinh hình dung cách trực quan biết cách sử dụng phương pháp hình học vào tốn để đưa phương án trả lời nhanh xác skkn NỘI DUNG: 2.1 Cơ sở lí luận: a)Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn hình học mặt phẳng Oxy điểm Khi đó: +) Mơđun số phức z +) Hai điểm biểu diễn hình học số phức số phức đối xứng qua trục hồnh +) Hai điểm biểu diễn hình học số phức số phức đối xứng qua gốc O Nhận xét 1: (Ý nghĩa hình học môđun phép cộng, phép trừ hai số phức) Cho số phức có điểm biểu diễn hình học Cho số phức có điểm biểu diễn hình học Ta có: +) +) cho tứ giác hình bình hành Nhận xét 2: (Một số kiến thức bổ sung) +) Phương trình đường thẳng: +) Phương trình đưịng trịn: b)Tập hợp điểm biểu diễn số phức z skkn Giả sử M, A, B điểm biểu diễn hình học số phức z, a, b +) | z  a || z  b | MA  MB Khi tập hợp M đường thẳng trung trực đoạn AB +) |MA| = R Khi tập hợp M thuộc đưịng trịn tâm A, bán kính R +) Khi tập hợp M đưịng Elip nhận làm tiêu điểm có độ dài trục lớn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Số phức nội dung quan trọng chương trình tốn lớp 12 khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia Bài toán cực trị số phức phần thể rõ việc nắm kiến thức cách hệ thống bao quát phần thể kĩ nhận dạng tính tốn nhanh nhạy, kĩ tổng hợp kiến thức học sinh thực giải quyếvấn đề Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm cực trị số phức nhìn đơn giản học sinh không nắm dấu hiệu đặc trưng thời gian giải vấn đề lâu, nhiều cơng sức, tạo tâm lí nặng nề, bình tĩnh, tiêu tốn thời gian dành cho câu trắc nghiệm khác Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12 trực tiếp giảng dạy năm học 2019 - 2020 trường THPT Hàm Rồng , kết sau: Năm Lớp Sĩ số Số học sinh trả lời xác 2019- 2020 12B3 47 20 Số học sinh trả lời xác 30s – 1p 10 Đứng trước thực trạng nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức SGK Song song với việc cung cấp tri thức, trọng rèn giũa kỹ phát phân dạng tốn, tính tốn với điểm cực trị, tương giao đồ thị hàm số có hình vẽ, phát triển tư cho học sinh để sở học sinh không học tốt phần mà làm tảng cho phần kiến thức khác 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề: Để làm toán cực trị số phức, học sinh giải phương pháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bất đẳng thức Sau ta xét số tốn cực trị số phức thơng qua phương pháp đại số nói Đây cách thức trước đổi 2.3.1 Các toán cực trị giải phương pháp đai số: Bài toán 1: Cho số phức thỏa mãn , , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z skkn A  B 11  C  D  Hướng dẫn: 2 Gọi z  x  yi;  x   ; y    Ta có: z   2i    x  1   y    Đặt x   sin t; y  2  cos tt;  0; 2  Lúc đó: z    sin tt   2  cos 2     sin tt cos  9  sin  t    ;      z   sin  tz        ;      zmax   đạt z  Chọn đáp án A Bài toán 2: Trong số phức lớn  10   i 5 thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất, Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn z  Đặt w    2i  z   2i Tìm giá trị nhỏ w A B C D Hướng dẫn: Gọi số phức z  a  bi với a , b   Ta có z   a  b   a  b   * Mà số phức w    2i  z   2i  w    2i   a  bi    2i  w   a  2b  1   2a  b   i Giả sử số phức w  x  yi  x, y    Khi  x  a  2b   x   a  2b    y  2a  b   y   2a  b 2 2 Ta có :  x  1   y     a  2b    2a  b    x  1   y    a  4b  4ab  4a  b  4ab 2 2   x  1   y     a  b    x  1   y    20 (theo  * ) 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I  1;  , bán kính R  20  Điểm M điểm biểu diễn số phức w w đạt giá trị nhỏ OM nhỏ Ta có OI   1  22  , IM  R  Mặt khác OM  OI  IM    OM   5 skkn  Vậy chọn đáp án D Bài tốn 3: Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTNN Ví dụ 1: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z   i Tìm số phức có mơđun nhỏ 5 5 B z    i A z   2i C z   i D z  1  2i Hướng dẫn: Giả sử z  x  yi  x, y    z  3i  z   i  x   y  3 i   x     y  1 i  x   y  3   x     y  1 2  y   4x   y 1  4x  y    x  y 1   x  y  2  z  x  y   y  1  y  y  y    y     5 5  Suy z  y    x  5 Vậy z   i 5 2 Chọn đáp án C Bài toán : Trong số phức nhất, lớn 2 thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M  m bằng: A  B  C Hướng dẫn: Gọi z  x  yi với x; y   Ta có  z   z   z   z   z  z  Do M  max z  Mà z   z    x   yi  x   yi   D   x  3  y2   x  3  y2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có   x  3  y   x  3  y2  1  12   x    y   x    y    2    x  y  18    x  y  18   64  x2  y   x2  y   z  Do M  z  Vậy M  m   Chọn đáp án B skkn Nhận xét: Có nhiều tốn cực trị số phức giải phương pháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bất đẳng thức Tuy nhiên cách làm lại gặp khó khăn q nhiều thời gian Vì tơi hướng dẫn học sinh dựa vào vị trí đặc biệt nghiệm hình để cực trị xảy để tìm phương án xác cách nhanh Sau ta xét số dạng toán quen thuộc thêm tốn để thấy rõ tính ưu việt phương pháp hình học giải nhanh toán cực trị số phức Trên sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh phân tích sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa cách giải ngắn gọn Sau toán sau đổi 2.3.2 Các tốn cực trị giải phương pháp hình học: Bài tốn 1: Cho số phức thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn PP giải: , Tập hợp điểm đường tròn có tâm biểu diễn hình học số phức bán kính Khi : Cách tìm tọa độ điểm nhất) + Phương trình đường trịn (tức tìm số phức quỹ tích điểm + Phương trình đường thẳng qua hai điểm Khi đó, giao điểm Giải hệ phương trình: có mơđun nhỏ nhất, lớn biểu diễn số phức hai nghiệm là: tọa độ hai điểm skkn So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm tới , khoảng cách nhỏ điểm ứng với điểm điểm cịn lại điểm Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ là: A Hướng dẫn: Tập hợp điểm B C đường trịn có tâm D bán kính Chọn đáp án C Nhận xét: Như HS biết cơng thức làm vịng 30s xong cịn tính tốn thơng thường lâu mà cịn dễ sai Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn là: A B C Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ ví dụ 1) D Chọn đáp án A Ví dụ 3: Trong số phức thỏa mãn là: A B C Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ ví dụ 1) Phương trình đường thẳng Tọa độ hai điểm nghiệm hệ phương trình: số phức có mơ đun nhỏ D skkn + Số phức có mơđun lớn + Số phức có mơđun nhỏ Vậy chọn đáp án C Ví dụ 4: Nếu số phức thỏa mãn bằng: A B Hướng dẫn: ứng với điểm ứng với điểm C có giá trị lớn D Ta có: Tập hợp điểm đường trịn có tâm Vậy bán kính Chọn đáp án D Ví dụ 5: Nếu số phức thỏa mãn có giá trị nhỏ bằng: A Hướng dẫn: Ta có: Tập hợp điểm B C đường trịn có tâm Vậy bán kính Chọn đáp án B Bài tốn 2: Trong số phức thỏa mãn nhất, lớn PP giải: Gọi điểm biểu diễn Tập hợp điểm bán kính D biểu diễn hình học số phức Tìm giá trị nhỏ đường trịn có tâm skkn Khi đó: Muốn tìm số phức cho ta tìm hai giao điểm đường trịn với đường thẳng Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ lượt A B C D Hướng dẫn: Gọi điểm biểu diễn hình học của lần Ta có Ta có: Chọn đáp án B Ví dụ : Trong số phức thỏa mãn , gọi số phức có đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức A B C D Hướng dẫn: Ta có: Tập hợp điểm đường trịn có tâm bán kính Phương trình đường thẳng là: Tọa độ hai điểm nghiệm hệ phương trình: 10 skkn Khi điểm biểu diễn số phức cần tìm Chọn đáp án A Ví dụ : Cho số phức z thỏa mãn: z   2i  Số phức z  i có mơđun nhỏ là: A  B  C  D  Hướng dẫn: Gọi điểm biểu diễn Ta có Chọn đáp án A Ví dụ : Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z  2i A 26  17 B 26  17 C 26  17 Hướng dẫn: Gọi điểm biểu diễn hình học D 26  17 Ta có Chọn đáp án A Bài toán : Trong số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn PP giải: Gọi điểm biểu diễn hình học Tập hợp điểm kính Tập hợp điểm kính biểu diễn số phức đường trịn có tâm biểu diễn số phức đường trịn có tâm bán bán 11 skkn Khi đó: Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn z   i A 13  B C Hướng dẫn: Gọi điểm biểu diễn D 13  Ta có Chọn đáp án A Ví dụ 2: Biết z   Tìm giá trị lớn mô đun số phức w  z  2i A  B  C  Hướng dẫn: Gọi điểm biểu diễn hình học D  Ta có Chọn đáp án D Bài tốn : Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTNN PP giải: điều kiện thực chất phương trình đường thẳng Nếu ta gọi điểm biểu diễn  , điểm biểu diễn hình học điểm biểu diễn hình học giả thiết tương đương với hay nằm đường trung trực Gọi điểm biểu diễn hình học Vậy nhỏ hình chiếu vng góc Giá trị nhỏ bằng.: 12 skkn I d M1 M Lưu ý: Khơng phải phương trình đường thẳng có dạng , gặp giả thiết lạ, cách tốt để nhận biết giả thiết đường thẳng hay đường tròn gọi thay vào phương trình Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn GTNN là: A B Hướng dẫn:  Gọi Từ C điểm biểu diễn hình học số phức Chọn đáp án A Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn nhỏ Hướng dẫn:  Gọi Vậy M di chuyển (d) Có A D B nhỏ số thực Giá trị C D , ta có Tích có phần ảo Phần ảo (d) Vậy gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z M chạy đường thẳng (d) Gọi điểm biểu diễn Vậy 13 skkn Chọn đáp án D Ví dụ 3:  Biết số phức z thỏa mãn Giá trị nhỏ là: A B Hướng dẫn: Đặt Ta có: số thực C D ta có số thực (d) Chọn đáp án B Ví dụ 4:  Biết số phức z thỏa mãn đạt giá trị nhỏ là: Số phức z cho A B C D Hướng dẫn: Đặt Ta có M(x;y) điểm biểu diễn hình học z thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: Mà với Phương trình đường thẳng qua A, vng góc với d: Khi nhỏ AM nhỏ Khi Tìm Vậy Chọn đáp án C Ví dụ 5:  Gọi z số phức thỏa nhỏ Khi tổng phần thực phần ảo z là: A  B 23 C D  23 Hướng dẫn: với 14 skkn Phương trình đường thẳng  qua A, vng góc với d: Khi nhỏ AM nhỏ Khi Tìm Chọn đáp án A Bài toán : Trong số phức thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn PP giải: Gọi điểm biểu diễn hình học số phức Khi : nhận làm tiêu điểm có độ dài trục lớn Vì chương trình Tốn lớp 10, học elip có hai tiêu điểm nên thường đề cho dạng: nhận làm tiêu điểm có độ dài trục lớn Ví dụ 1: Trong tất số phức thỏa mãn , gọi lượt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Khi đó, giá trị biểu thức A B C D Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức trên, ta có: lần Chọn đáp án D Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M  m A  Hướng dẫn: B  C D  15 skkn Áp dụng cơng thức trên, ta có: Chọn đáp án B Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính M  m ? A M  m  17 B M  m  C M  m  D M  m  Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức trên, ta có: Chọn đáp án D Bài toán : Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTNN PP giải: Nếu ta gọi điểm biểu diễn hình học số phức Gọi điểm biểu diễn hình học , Giả thiết suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm bán kính Cịn giả thiết đường trung trực tương đương với Mà hay nằm Giá trị nhỏ bằng.: I M d N Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 16 skkn z1   5, z2   3i  z2   6i Giá trị nhỏ z1  z2 là: A B C D Hướng dẫn: Gọi điểm biểu diễn hình học số phức , Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm bán kính Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 đường thẳng  : x  y  35  Mà Giá trị nhỏ bằng: Chọn đáp án A Bài toán : Cho số phức z thỏa mãn Tìm GTNN,GTLN PP giải: Nếu ta gọi điểm biểu diễn hình học số phức , Giả thiết suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm bán kính Giả thiết suy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn có tâm bán kính Mà ( Với giả thuyết 2đường trịn ngồi ) M1 M2 A N2 I N1 17 skkn Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   i  , số phức w thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ z  w A 13  B 17  C 17  Hướng dẫn: Gọi điểm biểu diễn hình học số phức D 13  , Ta có M thuộc đường trịn  C1  có tâm I1  1;1 , bán kính R1  N thuộc đường trịn  C2  có tâm I  2; 3 , bán kính R2   Ta có I1 I   1; 4   I1I  17  R1  R2   C1   C2  z  w  I1 I  R1  R2  17  Chọn đáp án B *Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị nhỏ |z| B C D A Bài 2: Biết số phức z = a + bi (a,b  R) thoả mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i| có mơđun nhỏ Tính M = a2 + b2 A M=10 B M= 16 C M= 26 D M=8 Bài 3: Cho số phức z thay đổi thoả mãn |z - + 4i| = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P = |z| A Pmax = 12 B Pmax = C Pmax = D Pmax = Bài 4: Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z - - 4i| = | z - 2i| Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z=-1+i B.z= -2+i C z = 2+2i D z= 3+2i Bài : Cho số phức z thoả mãn số thực Tìm giá trị nhỏ z A B C z=2 D Bài : Trong số phức z thoả mãn điều kiện |z - - 4i| = |z-2i| Tìm số phức z có mơđun bé A z= 2+i B z = 3+I C z = 2+2i D z = 1+3i Bài : Cho số phức Tìm giá trị nhỏ số thực k cho tồn m để |z + 1| ≤ k A B k = C D k = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sau hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học sinh lớp kết sau: 18 skkn Trước thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời Sĩ trả lời xác số xác 30s – 1p Năm Lớp 20192020 12B3 47 20 10 Sau thực đề tài Số học sinh Số học sinh trả lời trả lời xác xác 30s – 1p 42 35 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12B3 trường THPT Hàm Rồng, nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, lại giải loại câu hỏi trắc nghiệm cách đơn giản, dễ hiểu Chính em cảm thấy hứng thú với môn học nên nhận thấy chất lượng mơn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Ngoài em học cách tìm tịi, khám phá tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn, xác hiệu 3.2 Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần số phức hướng dẫn cho học sinh thực trắc nghiệm phần này, nên để ý đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút đặc điểm dấu hiệu nhận biết đặc trưng dạng toán để sử dụng phương pháp phù hợp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 27 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Phương Thảo 19 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Giải tích Giải tích nâng cao 12 [2] Huỳnh Văn Minh(2018), giải toán số phức phương pháp toạ độ [3] Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức tác giả Đặng Việt Đông [4] Rèn luyện kĩ giải tập tự luận trắc nghiệm Giải tích 12 tác giả Lương Mậu Dũng – Nhà xuất Giáo dục 20 skkn DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Phương Thảo Chức vụ đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng TT Tên đề tài SKKN Sử dụng phương pháp khác chứng minh bất Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) Sở giáo dục C 2008-2009 tỉnh Thanh Hóa đẳng thức Nesitt Khai thác phương pháp Sở giáo dục tỉnh Thanh tính khoảng cách từ điểm Hóa đến mặt phẳng cho học C 2014-2015 sinh lớp 11 21 skkn ... tham khảo, rút phương pháp giúp học sinh giải vấn đề nhanh xác Và viết thành sáng kiến kinh nghiệm có tên: ? ?Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh số toán trắc nghiệm cực trị số phức? ?? 1.2 Mục... đặc biệt nghiệm hình để cực trị xảy để tìm phương án xác cách nhanh Sau ta xét số dạng toán quen thuộc thêm tốn để thấy rõ tính ưu việt phương pháp hình học giải nhanh tốn cực trị số phức Trên... có hướng dẫn học sinh phân tích sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa cách giải ngắn gọn Sau toán sau đổi 2.3.2 Các toán cực trị giải phương pháp hình học: Bài tốn 1: Cho số phức thỏa mãn