Skkn kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bìa (Mẫu M1(1)) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2021 skkn MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .1 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .3 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .18 Kết luận, kiến nghị .20 skkn Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Mục tiêu Luật giáo dục 2019: “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển toàn diện người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ nghề nghiệp; có phẩm chất, lực ý thức cơng dân; có lịng u nước, tinh thần dân tộc chủ nghĩa xã hội; phát huy tiềm năng, khả sáng tạo cá nhân; nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầu nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc hội nhập quốc tế” [1] Yêu cầu phương pháp giáo dục Luật giáo dục 2019: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học hợp tác, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” [1] “Làm để phát huy tiềm năng, khả sáng tạo cá nhân?”; “Làm để phát huy tính tích cực, chủ động, tư sáng tạo người học?” Đó câu hỏi băn khoăn, trăn trở trình giảng dạy Vì bên cạnh việc truyền đạt kiến thức việc tìm kiếm kỹ thuật dạy học phù hợp, giúp học sinh hứng thú, chủ động mở rộng, phát triển kiến thức điều mà ý chăm chút Đó lý tơi chọn đề tài: Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Trong đề tài này, tơi xin phép trình bày số hướng phát triển, mở rộng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mô-đun số phức dựa kỹ thuật giải áp dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng 1.2 Mục đích nghiên cứu Với lý mục đích nghiên cứu đề tài giúp học sinh tìm hiểu, xây dựng phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Phân tích ưu, nhược điểm so sánh kỹ thuật với kỹ thuật giải khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức, đặc biệt kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Bên cạnh đối tượng nghiên cứu khác vơ quan trọng em học sinh hai lớp 12A9 12A2 trường THPT Sầm Sơn mà giảng dạy 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Ngồi cịn có phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin skkn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm xây dựng sở kiến thức số phức kết hợp với kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng Các kiến thức số phức bao gồm: + Các định nghĩa số phức + Các phép tốn số phức + Các tính chất mơ-đun số phức + Các tính chất biểu diễn hình học số phức Các kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng bao gồm: + Các kiến thức đường thẳng + Các kiến thức đường tròn + Các kiến thức elip Đặc biệt số tính chất hình học giải tích Oxy áp dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mô-đun số phức: Tính chất 1: Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng điểm Điểm thuộc cho khoảng cách ngắn hình chiếu Lúc đó: Tính chất 2: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn đường tròn Điểm thuộc giao điểm điểm cho khoảng cách với đường tròn 1) Trường hợp: nằm đường tròn: 2) Trường hợp: nằm ngồi đường trịn: Tính chất 3: Trong hệ trục Oxy, cho đường trịn khơng thuộc lớn nhất, nhỏ Lúc đó: , , đường thẳng khơng cắt đường trịn Điểm thuộc , thuộc cho khoảng cách nhỏ giao điểm đưởng thẳng (qua vng góc với đường thẳng ) cắt đường tròn đường thẳng Lúc đó: Tính chất 4: Trong hệ trục Oxy, cho hai đường trịn khơng cắt Hai điểm thuộc hai đường tròn cho khoảng cách lớn nhất, nhỏ giao điểm đưởng thẳng (đường nối tâm hai đường tròn) với hai đường trịn Lúc đó: , skkn Tính chất 5: Trong hệ trục Oxy, cho Elip khoảng cách lớn nhất, nhỏ Lúc đó: độ dài bán trục bé (khi độ dài bán trục lớn (khi Điểm thuộc giao điểm giao điểm giao điểm cho với Elip với Elip), với Elip) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Số phức phần chương trình tốn THPT (được đưa vào chương trình vào cuối năm lớp 12) Đây phần khơng khó, nhiên lạ lâu học sinh quen với tập số thực, với lối tư tập số thực nên nhiều học sinh gặp khó khăn với tốn số phức, đặc biệt tốn khó Bài tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức tốn khó số phức Cách giải thơng thường tốn áp dụng bất đẳng thức.Tuy nhiên, bất đẳng thức phần khó chương trình tốn học phổ thơng, lại học từ năm lớp 10 nên nhiều học sinh quên gặp nhiều khó khăn áp dụng Thêm việc phát triển toán bất đẳng thức không dễ đối tượng học sinh mà giảng dạy Việc áp dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng, toán chuyển sang tốn hình giải tích mặt phẳng nên trực quan hơn, dễ dàng xử lý Đặc biệt, mở rộng, phát triển tốn theo nhiều hướng khác nhau, đa dạng Chúng ta xem xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 1: Trong số phức thỏa mãn , tìm số phức cho nhỏ [2] Giải: Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Giả sử , đó: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki: skkn Dấu ‘=’ xảy Vậy Cách 2: Sử dụng phương pháp hàm Giả sử , đó: Ta có: Xét hàm số (TXĐ: ) Bảng biến thiên: - + Vậy hay Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng Giả sử , đó: Gọi điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng Gọi mặt phẳng phức, điểm biểu diễn cho số phức skkn Khi đó : Để nhỏ hình chiếu Khi đó: Phương trình đường thẳng Tọa : nghiệm hệ Vậy số phức có mơ-đun nhỏ là :  So sánh ba cách giải, thấy cách thứ ba cách trực quan nhất, dễ hiểu Đồng thời phát triển tốn cách phức tạp hóa điều kiện hay biểu thức cực trị cách giải thứ ba dễ phát triển mở rộng 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Với thực trạng trên, phần nghiên cứu giải pháp xây dựng phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài toán sử dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng thường gồm hai bước bản: Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Dựa việc áp dụng tính chất phương pháp tọa độ mặt phẳng vào tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức, phân chia thành dạng sau: Dạng 1: Quy tính khoảng cách nhỏ điểm và điểm thuộc đường thẳng Đặc điểm toán toán dạng tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn yêu cầu toán đường thẳng Khi tốn tìm cực mơ-đun số phức trở thành tốn cực trị hình học Chúng ta bắt đầu với toán sau: skkn Bài toán 1: Trong số phức thỏa mãn mơ-đun nhỏ [2] Giải Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Gọi , tìm số phức có , đó: Gọi điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng mặt phẳng phức, Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có : , nhỏ Khi đó: Phương trình đường thẳng Tọa độ : hình chiếu nghiệm hệ Vậy số phức có mơ-dun nhỏ khi: Mở rộng, phát triển tốn cách phức tạp hóa u cầu tốn, biểu thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán sau: Bài toán 2: Trong số phức thỏa mãn , tìm số phức cho nhỏ [2] Giải Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức skkn Gọi , đó: Gọi điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng mặt phẳng phức, Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có: cho số phức ) Để nhỏ (với hình chiếu Khi đó: Phương trình đường thẳng Tọa độ : điểm biểu diễn nghiệm hệ Vậy khi: Bài toán 3: (Đề tham khảo THPTQG 2017) Cho số phức Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn tính A B C Giải Chọn A Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Gọi thỏa mãn điểm biểu diễn số phức , D skkn Từ thẳng nên ta có thuộc đoạn D A H E N Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có: Để đạt giá trị nhỏ Khi đạt giá trị lớn hình chiếu Khi Vậy Bài tốn 4: (Đề khảo sát chất lượng toán 12 Sở GDĐT Thanh Hóa 2021) Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn biểu thức A B giá trị nhỏ Tính C D Giải Chọn A Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Giả sử Gọi , đó: điểm biểu diễn cho số phức mặt phẳng phức, thuộc miền tính biên hình thoi giới hạn bốn đường thẳng với skkn Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học với Quan sát hình vẽ ta thấy đạt giá trị nhỏ Khi hình chiếu đạt giá trị nhỏ Khi Vậy Dạng 2: Quy tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ điểm diểm thuộc đường tròn Đặc điểm toán toán dạng tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn yêu cầu tốn đường trịn Chúng ta xem xét toán sau: Bài toán 5: Trong số phức thỏa mãn , tìm số phức nhất, nhỏ [3] Giải Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức lớn , đó: Giả sử Gọi có điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường trịn mặt phẳng phức, skkn Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Xét điểm ( nằm hình trịn) Ta có : Để nhỏ giao với đường tròn ( tâm đường trịn) Khi đó: Để lớn giao với đường tròn ( tâm đường tròn) Khi đó: Đường thẳng Tọa độ điểm M nghiệm hệ Vậy với lớn nhỏ nhất, với Bài tốn 6: (Đề tham khảo THPTQG 2018) Cho số phức mãn Tính A B C Giải Chọn B Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Gọi thỏa đạt giá trị lớn D điểm biểu diễn số phức Tập hợp điểm Theo giả thiết ta có: biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính 10 skkn Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Gọi: Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường trịn D Ta có: Vì trung tuyến Mặt khác: Bài toán 7: (Đề thi giao lưu kiến thức thi THPTQG lần Quảng Xương 2021) Giả sử hai số phức ảo Biết , giá trị lớn thỏa mãn A B C Giải Chọn D Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Gọi số , đó: D số ảo  Phần thực Gọi điểm biểu diễn cho số phức bán kính , thuộc đường tròn tâm 11 skkn Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Xét điểm thỏa mãn đó : Gọi trung điểm , ta có: Nên thuộc đường trịn tâm bán kính Dạng 4: Quy tính khoảng cách nhỏ điểm thuộc đường thẳng điểm thuộc đường tròn Nâng cao, phát triển tốn từ tìm số phức sang tìm hai số phức ta toán sau: Bài toán 8: Trong số phức thỏa mãn , số phức cho nhỏ [4] Giải Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Giả sử Gọi , đó: điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường trịn Gọi tìm mặt phẳng phức, , đó: Gọi điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng mặt phẳng phức, 12 skkn Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có : nhỏ giao đường thẳng vng góc với đường trịn thẳng , qua ( tâm đường tròn) giao đường thẳng với đường Khi đó: Trong đó : Đường thẳng qua vng góc với đường thẳng  Phương trình đường thẳng Tọa độ điểm nghiệm hệ cần tìm Tọa độ điểm Vậy với ứng với số phức nghiệm hệ nhỏ 13 skkn Bài tốn 9: (Đề thi thử tốt nghiệp THPT lần năm 2021 Thành Nhân - HCM) số phức thỏa mãn biểu thức A Giá trị nhỏ B C D Giải: Chọn D Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Gọi điểm biểu diễn số phức , nên Đặt đó: nên thuộc đoạn thẳng biểu diễn cho thuộc đường trịn tâm bán kính Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có : nhỏ giao đường thẳng vng góc với đường trịn thẳng qua ( tâm đường tròn) giao đường thẳng với đường Khi đó: Dạng 5: Quy tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ hai điểm thuộc hai đường tròn Vẫn tốn tìm hai số phức, song điều kiện hai số phức thay đổi từ thuộc đường thẳng, đường tròn sang thuộc hai đường tròn ta toán sau 14 skkn Bài toán 10: Trong số phức thỏa mãn , lớn nhất, nhỏ [4] Giải Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Giả sử Gọi , đó: điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường tròn tâm Giả sử Gọi mặt phẳng phức, bán kính , đó: điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường tròn mặt phẳng phức, tâm bán kính Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có Vậy : , : Bài toán 11: Trong số phức thỏa mãn lớn nhất, nhỏ [4] Giải Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Đặt , , 15 skkn Giả sử Gọi , đó: điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường tròn tâm mặt phẳng phức, bán kính Ta có: Giả sử Gọi , đó: điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường trịn tâm mặt phẳng phức, bán kính Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có : , Vậy: Dạng 5: Quy tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ điểm điểm thuộc Elip Đặc điểm toán toán dạng tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn yêu cầu toán Elip Ta đến với toán thứ sáu sau: Bài toán 12: Trong số phức thỏa mãn mô-đun lớn nhất, nhỏ [3] Giải Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Giả sử , điểm biểu diễn cho số phức , tìm số phức có mặt phẳng phức, 16 skkn đó: với thuộc elip có tiêu điểm , độ dài trục lớn  Phương trình Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có: với thuộc Elip nên Nên: tương ứng với tương ứng với Bài toán 13: Cho số phức lớn Tính thỏa mãn: [3] A B C Giải Chọn B Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Giả sử , D điểm biểu diễn cho số phức Khi đó: với thuộc elip có tiêu điểm  Phương trình , độ dài trục lớn 17 skkn Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Ta có: với Dựa vào hình vẽ ta thấy để lớn khi Dạng 6: Một số tốn liên quan tới tính chất đối xứng Bài toán 14: (Đề khảo sát chất lượng chuyên KHTN Hà Nội 2019) Cho số phức thỏa mãn : Giá trị nhỏ biểu thức A B C Giải Chọn A Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Gọi D điểm biểu diễn số phức Ta có: tức biểu diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng B A M' M A' Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Xét điểm phía với đường thẳng Do Dễ thấy nên nhỏ đối xứng với qua đường thẳng nhỏ 18 skkn Bài toán 15: (Đề khảo sát chất lượng THPTQG liên trường Nghệ An 2018) Biết hai số phức , thỏa mãn phần thực phần ảo thỏa mãn Số phức có Giá trị nhỏ A B C Giải Chọn C Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức Gọi , , độ Khi quỹ tích điểm điểm biểu diễn cho số phức , đường trịn ;quỹ tích điểm đường tích điểm đường thẳng D , hệ trục tọa tâm trịn tâm , bán kính , bán kính ; quỹ y I2 I1 O B A I3 M x Bước 2: Chuyển tốn tìm cực trị số phức sang tốn cực trị hình học Gọi có tâm , đường trịn đối xứng với Gọi điểm với , giao điểm đoạn thẳng , , ta có với qua Khi , Khi với , dấu "=" xảy Do Trên số dạng tốn tơi phân chia phát triển theo kinh nghiệm giảng dạy năm qua 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 skkn Để kiểm chứng tính hiệu đề tài, tơi tiến hành triển khai đề tài lớp 12A9, lớp 12A2 khơng (nghĩa lớp 12A2 tơi dạy học sinh tìm giá trị lớn nhất, giả trị nhỏ mô-đun số phức cách sử dụng bất đẳng thức, cịn lớp 12A9 chủ yếu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng) Đây hai lớp mà tơi đánh giá có chất lượng tương đương Sau tơi đánh giá kết kiểm tra trắc nghiệm ngắn (20 phút) sau: ĐỀ KIỂM TRA Câu Cho số phức A thỏa mãn Giá trị nhỏ B Câu Cho số phức A C thỏa mãn D Giá trị lớn B Câu Trong số phức nhỏ A B C thỏa mãn Câu Cho số phức A A thỏa mãn A , biết số phức D Giá trị lớn C thỏa mãn D Giá trị nhỏ B C Câu Cho số phức D C B Câu Cho số phức , số phức có mơ-đun C B D Câu Trong số phức thỏa mãn có mơ-đun nhỏ Khi A thỏa mãn D Giá trị lớn B C Câu Cho số phức Giá trị nhỏ thỏa mãn D 20 skkn A B C Câu Số phức z thỏa mãn Gọi giá trị nhỏ đúng? A Đặt B Câu 10 Cho hai số phức A thỏa mãn giá trị lớn , mệnh đề sau C lớn biểu thức D D Giá trị B C D Kết thu là: Lớp Điểm [0; 3) [3; 5) [5; 7) [7; 9) [9; 10] 12A2 Tần số Tần suất (%) 11,36 10 22,73 18 40,91 15,91 9,09 N = 44 12A9 Tần số Tần suất (%) 4,26 6,81 21 47,73 14 29,79 14,89 N = 47 So sánh kết đạt hai lớp, thấy hiệu đề tài sau triển khai Nhìn chung, nhiều học sinh biết cách làm tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ modun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Học sinh khơng cịn tâm lý “e ngại” gặp phải tốn dạng này, chí phận khơng nhỏ học sinh tiếp cận với tốn khó đề thi trung học phổ thông quốc gia hay đề khảo sát trường Bên cạnh học sinh học hỏi cách tư lô-gic, cách quy lạ quen, cách mở rộng phát triển tốn khơng phần mà cịn phần khác Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trên kinh nghiệm trình dạy học Với tuổi đời tuổi nghề cịn non trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều nên không tránh khỏi 21 skkn thiếu sót Rất mong đồng chí góp ý chia sẻ kinh nghiệm giúp ngày tiến công tác, phát triển chuyên môn nghiệp vụ Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 3.2 Kiến nghị Tôi mong muốn Sở GDĐT, nhà trường cung cấp cho số SKKN Sở, nhà trường đánh giá có chất lượng năm học trước để học hỏi, nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Bích Huệ 22 skkn DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Luật Giáo dục 2019 Nguồn: https://luatvietnam.vn [2] Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn Nguồn: https://toanmath.com [3] Chuyên đề số phức – Nguyễn Chín Em Nguồn: https://toanmath.com [4] Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức chứa modul số phức – Nguyễn Hoàng Việt Nguồn: https://toanmath.com skkn ... giải pháp xây dựng phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài tốn sử dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức phương. .. Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Trong đề tài này, xin phép trình bày số hướng phát triển, mở rộng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mơ -đun số. .. cứu đề tài kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơ -đun số phức, đặc biệt kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Bên cạnh đối tượng nghiên