Phương pháp giải quyết các bài toán thực tế bằng mô hình hóa trong dạy học chủ đề tìm gtln gtnn của hàm số

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải quyết các bài toán thực tế bằng mô hình hóa trong dạy học chủ đề tìm gtln gtnn của hàm số . (Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Sáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệmSáng kiến kinh nghiệm

I PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mục tiêu đổi giáo dục Việt Nam nói chung, đổi dạy học tốn nói riêng nghị Hội nghị Trung ương khóa XI xác định là: Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; tập trung dạy cách học, cách nghĩ, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Hiện nay, phương pháp dạy học có bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học Năng lực mơ hình hố lực mà việc dạy học toán nhắm đến Giảng dạy theo quan điểm mơ hình hóa giúp học sinh thấy liên kết toán học với thực tiễn khoa học khác Các em dần nhận việc học tốn trở nên có ích, hứng thú trước nghĩ mơn học khơ khan, khó hiểu, trừu tượng, khó áp dụng vào thực tế Xây dựng tình dạy học theo cách tiếp cận mơ hình hóa điều quan trọng không dễ dàng Nhiệm vụ người giáo viên giúp học sinh lĩnh hội tri thức áp dụng kiến thức học để giải vấn đề thực tiễn, gắn bó gần gũi sống Trong chủ đề tốn đưa vào giảng dạy thì: Bài tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) loại tốn có nhiều ứng dụng đời sống thực tế, chẳng hạn: làm để quản lí cơng ty cho chi phí, tài nguyên, nguồn lực tiết kiệm mà mang lại hiệu cao hay làm để sản xuất loại thùng inox dạng hình trụ trịn xoay tích cố định mà chiều cao bán kính đáy thùng tiết kiệm vật liệu nhất, … Khi vào đời học sinh buộc phải xử lí nhiều vấn đề thực tiễn đặt Vì vậy, cần có cách giải tối ưu giúp em đạt nhiều thành công sống Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có mặt đủ cấp học, từ cấp tiểu học, trung học sở đến trung học phổ thông cao Đặc biệt, kì thi THPT Quốc gia, kì thi tốt nghiệp năm gần đây, toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thường xuyên xuất đề thi Chính lí ghi nhận mà tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Phương pháp giải tốn thực tế mơ hình hóa dạy học chủ đề tìm GTLN-GTNN hàm số” I MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Tìm hiểu phần thực trạng dạy học chủ đề ứng dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN lớp 12 xây dựng tình dạy học học sinh làm việc với q trình mơ hình hóa, từ tạo điều kiện cho em bồi dưỡng lực mơ hình hóa I.3 NHIỆM VỤ VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU I Nhiệm vụ Đưa quy trình dạy học mơ hình hóa tốn học, đưa tốn thực tế có ứng dụng khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phương pháp mô hình hóa Xây dựng tình dạy học chủ đề ứng dụng khảo sát hàm số để tìm GTLN, GTNN nhằm giúp học sinh tiếp cận quan điểm mơ hình hóa I Phạm vi nghiên cứu Tập trung vào phân tích dạng tốn thực tế có liên quan đến tìm GTLN, GTNN hàm số trong chương trình Tốn 12 kĩ thuật mơ hình hóa vận dụng vào tập cụ thể thực tế đưa thêm có liên quan đến dạng tốn I PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau: *) Nghiên cứu tài liệu PP phân tích tổng hợp lí thuyết: Phân tích chương trình SGK lớp 12, sách tập (SBT), sách giáo viên (SGV) Giải tích 12 viết theo chương trình (CB) hành để tìm hiểu lựa chọn chương trình SGK vấn đề dạy học theo quan điểm mơ hình hóa, qua hình dung phần thực trạng dạy học ảnh hưởng lựa chọn lên kiến thức học sinh *) Nghiên cứu thực tế Xây dựng tình dạy học GTLN, GTNN hàm số theo quan điểm mơ hình hóa tiến Hành thực nghiệm II PHẦN NỘI DUNG II CƠ SỞ LÝ LUẬN Mơ hình hóa tiến trình giải vấn đề thực tiễn cơng cụ toán học, giúp phát triển tư duy, rèn kĩ giải vấn đề cho học sinh Việc đưa mô hình hóa vào dạy học tốn mang lại nhiều lợi ích học sinh tiếp thu kiến thức vận dụng điều học vào thực tiễn Q trình mơ hình hóa thực qua bước bước lặp lại Mơ hình hóa dạy học tốn thể qua dạy học mơ hình hóa dạy học mơ hình hóa Từ lợi ích mà mơ hình hóa mang lại trước đổi phương pháp dạy học, đánh giá học sinh theo lực việc đưa mơ hình hóa vào giảng dạy cần thiết Tơi nhận thấy đưa mơ hình hóa vào dạy học tốn nói chung dạy học chủ đề GTLN, GTNN hàm số nói riêng Vì tơi tiến hành tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề nhìn nhận theo cách tiếp cận mơ hình hóa nước ta Điều thực chương bên cạnh tơi phân tích sách tốn nước ngồi chủ đề để xem tốn học họ có trọng đến mơ hình hóa việc dạy học hay khơng II CƠ SỞ THỰC TIỄN Giúp học sinh hiểu mối liên hệ toán học với thực tiễn với môn khoa học khác Qua việc giải vấn đề thực tế kiến thức toán học, em dần khám phá mối liên hệ toán thực tế với tri thức toán Các vấn đề cần giải liên quan đến mơn khoa học khác vật lý, sinh học, hóa học, … Từ giúp cho học sinh thấy việc học toán trở nên ý nghĩa Giúp học sinh có kĩ giải vấn đề thực tế kiến thức tốn học Trong q trình mơ hình hóa, học sinh trực tiếp tham gia giải vấn đề thực tế dựa vào kiến thức toán học trải qua trình tư bước mơ hình hóa Giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu tri thức Bản thân vấn đề thực tiễn, gần gũi sống có sức hút với người để tìm cách giải Từ kích thích học hỏi tạo ấn ượng cho người học nhớ lâu Việc dạy học mơ hình hóa triển khai mức độ từ tiểu học đến trung học đại học II CƠ SỞ LÝ THUYẾT Để có nhìn tổng quan vị trí, vai trị chủ đề GTLN, GTNN hàm số tổng thể, trước phân tích SGK chương trình CB tơi xem xét chương trình, làm rõ mục đích, yêu cầu đặt cho việc dạy học chủ đề Ngoài ra, để hiểu rõ SGK 12 CB, tơi nhìn sang SGK 12 nâng cao (NC) ví dụ có liên quan đến mơ hình hóa Phân tích SGK lớp 12 chương trình Cơ II.3 Phần lý thuyết Những nội dung GTLN, GTNN đưa vào SGK gồm có: Định nghĩa quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số liên tục đoạn Trước hết, SGK trình bày định nghĩa: Cho hàm số y=f ( x ) xác định tập D a) Số M gọi giá trị lớn hàm số y=f ( x ) tập D f ( x ) ≤ M với x thuộc D tồn x ∈ D cho f ( x ) =M M m ax f ( x) D Kí hiệu: b) Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y=f ( x ) tập D f ( x ) ≥ m với x thuộc D tồn x ∈ D cho f ( x ) =m m m in f ( x ) D Kí hiệu: (SGK 12 CB, tr 19) Ngay sau định nghĩa, SGK 12 CB đưa Ví dụ nhằm củng cố lại định nghĩa cho học sinh: Ví dụ (SGK 12 CB, tr 19): Tìm GTNN GTLN hàm số: y x   x khoảng (0; ) Ở tập (0; ) khoảng, đoạn với hai đầu mút hữu hạn Trong phân tích tơi sau, khoảng hiểu khoảng mở, bao gồm loại: ( a ; b ) , ( a ;+ ∞ ) , (−∞; b ) ,(−∞; +∞ ) với a , b ∈ R Qua lời giải trình bày SGK kĩ thuật sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên hàm số xét D , từ suy GTLN, GTNN Kĩ thuật SGK áp dụng cho kiểu nhiệm vụ tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Còn xét đoạn áp dụng sau SGK có đưa vào quy tắc thực nhanh mà không cần dùng bảng biến thiên Tiếp đến SGK đưa cách tính quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn qua hai hoạt động ví dụ Nội dung lý thuyết tóm gọn lại nhận xét quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn [a ; b] NHẬN XÉT: Nếu đạo hàm f ' (x) giữ nguyên dấu đoạn [a ; b] hàm số đồng biến nghịch biến đoạn Do đó, f ( x) đạt GTLN GTNN đầu mút đoạn Nếu có số hữu hạn điểm x i (x i< x i +1) mà f ' (x) khơng xác định hàm số y=f ( x ) đơn điệu khoảng ( x i ; x i+1 ) Rõ ràng GTLN (GTNN) hàm số đoạn [a ; b] số lớn (số nhỏ nhất) giá trị hàm số hai đầu mút a , b điểm x i nói (SGK 12 CB, tr 21) Quy tắc: Tìm điểm x , x , … , x n khoảng (a ; b), f ' ( x ) f ' ( x ) khơng xác định Tính f ( a ) , f ( x ¿¿ 1), f (x¿ ¿2) , … , f (x ¿¿ n), f (b)¿ ¿ ¿ Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M m ax f ( x) m min f ( x) a ;b    a ;b ; (SGK 12 CB, tr 22) Quy tắc giúp học sinh nhanh chóng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn mà không cần khảo sát bảng biến thiên hay vẽ đồ thị hàm số Nhận thấy SGK đưa hàm số liên tục đoạn SGK 12 CB không đưa quy tắc giải tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng SBT 12 CB (tr 18) có tóm tắt kiến thức cần nhớ đưa cách tìm Hơn nữa, SGV 12 CB có nêu: “Giáo viên nên nhắc cho học sinh biết để tính GTLN, GTNN khoảng, ta khảo sát biến thiên hàm số khoảng từ rút kết luận” SGK 12 CB đưa ví dụ hoạt động, ví dụ có lời giải hoạt động học sinh tự thực hướng dẫn giáo viên Tôi nhận thấy chia vấn đề SGK đưa vào thành dạng: dạng toán túy toán học dạng toán gắn với thực tiễn  Dạng toán túy toán học Trong dạng có kiểu nhiệm vụ đưa vào: Kiểu nhiệm vụ TK (K viết tắt cho “khoảng”): Tìm GTLN, GTNN khoảng hàm số cho công thức Ngồi ví dụ 1, kiểu nhiệm vụ cịn xuất hoạt động 3: f ( x)   x Hoạt động Lập bảng biến thiên hàm số Từ suy GTNN f ( x) tập xác định (SGK 12 CB, tr 23) Tập xác định D=(−∞ ;+ ∞) hàm số f ( x) khoảng Kĩ thuật sử dụng giống với ví dụ Trong đề có yêu cầu lập bảng biến thiên, bước kĩ thuật giải đưa cho kiểu nhiệm vụ Kiểu nhiệm vụ TĐĐ (ĐĐ viết tắt cho “đơn điệu”): Xét tính đơn điệu đoạn [a;b] hàm số cho cơng thức, từ tính GTLN, GTNN Hoạt động 1: (SGK 12 CB, tr 20) Xét tính đồng biến, nghịch biến tính GTLN-GTNN hàm số:   3;0 a) y  x đoạn x 1 y x  đoạn  3;5 b) Kỹ thuật giải học sinh thực cho hoạt động đạo hàm, lập bảng biến thiên xét tính đơn điệu hàm số đoạn, sau dựa vào bảng biến thiên tìm GTLN- GTNN Kiểu nhiệm vụ TĐ (Đ viết tắt cho “đoạn”): Tìm GTLN, GTNN đoạn [a;b] hàm số cho cơng thức Kiểu nhiệm vụ có xuất Hoạt động nói Ngồi cịn diện ví dụ Ví dụ 2: (SGK 12 CB, tr 20) Tính GTNN GTLN hàm số: y sin x   7   ;  a) Trên đoạn  6     ; 2  b) Trên đoạn Kỹ thuật giải SGK đưa cho ví dụ sử dụng đồ thị hàm số y=sin x biết đến lớp 11, kết luận GTLN, GTNN hàm số đoạn cần xét Tuy nhiên ví dụ giải cách đạo hàm, lập bảng biến thiên mà không cần vẽ đồ thị hàm số Kiểu nhiệm vụ T ĐT (ĐT viết tắt cho “đồ thị”): Tìm GTLN, GTNN hàm số biết đồ thị  x  ,  x 1 y   x ,  x 3 Hoạt động (SGK 12 CB, tr 21) Cho hàm số có đồ thị Hình 10 Hãy GTLN GTNN hàm số đoạn [−2; ] nêu cách tính Kĩ thuật sử dụng cho hoạt động tìm điểm đặc biệt – điểm “cao nhất”, “thấp nhất” thuộc đồ thị; giá trị hàm số điểm GTLN GTNN Hàm số cho nhiều công thức, công thức xác định miền cho trước Do để nêu lên cách tính học sinh tìm GTLN, GTNN hàm số miền, so sánh giá trị tính với kết luận Hoạt động “giúp học sinh tự phát quy tắc trường hợp b).” (SGV 12 CB, tr 41) Trường hợp b) mà SGV nhắc đến hàm số khơng đơn điệu đoạn tiến hành tìm GTLN, GTNN theo quy tắc lý thuyết  Dạng toán gắn với thực tiễn TTT (TT viết tắt cho “thực tiễn”) Phương pháp chung để giải dạng tốn gồm bước: Xây dựng mơ hình tốn học tốn (Đặt ẩn, điều kiện ẩn, thiết lập hàm số) Tìm GTLN (hoặc GTNN) hàm số thiết lập Kết luận cho tốn ban đầu Đây dạng tốn có xuất mơ hình hóa Trong SGK 12 CB có ví dụ: “Ví dụ 3: (SGK 12 CB, tr 22) Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gập nhơm lại Hình 11 để hộp khơng nắp Tính cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn nhất.” SGK 12 CB đưa lời giải chi tiết rõ ràng Bài tốn cho ví dụ vấn đề học sinh giải có sử dụng tiến trình mơ hình hóa Ví dụ tình tốn học hóa, kiểu tình nêu sở lí luận, có liên quan đến q trình mơ hình hóa Bước 1: xây dựng mơ hình trung gian vấn đề bị bỏ qua Lời giải Bước 2: xây dựng mô hình tốn học gọi a x (0  x  ) cạnh hình vng bị cắt, thiết lập hàm thể tích V khối hộp a V ( x) x (a  x )2 , (0  x  ) theo là: Bước 3: sử dụng cơng cụ tốn học giải tốn nghĩa tìm GTLN x a a (0; ) (0; ) , Nhận xét V (x) hàm liên tục khoảng hàm V (x) khoảng nhiên SGK không nhắc đến điều kiện lời giải PP sử dụng tìm nghiệm phương trình V '(x) 0 hay nói cách khác tìm điểm cực trị hàm a (0; ) V (x) khoảng Sau tính tốn ta được: V '( x ) 0  x  a Theo quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn bước cần làm tính giá trị hàm số điểm cực trị đầu mút Tuy nhiên hàm V ( x ) ta xét khoảng khơng có giá trị đầu mút đoạn nên quy tắc áp dụng Trong lời giải SGK 12 CB lập bảng biến thiên xét a (0; ) đưa kết luận: khoảng (SGK 12 CB, tr 23) Tới SGK kết thúc lời giải Nhận thấy, câu trả lời cho toán Bước q trình mơ hình hóa, Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết bước ba không thực Thậm chí, lời giải kết luận GTLN hàm V ( x ) chưa đưa đáp án tình ban đầu Tóm lại nhận định, ví dụ có diện mơ hình hóa nội dung lý thuyết “GTLN GTNN hàm số” Tuy nhiên trình lại khơng SGK trọng có tốn thực bước q trình mơ hình hóa Một ví dụ khác SGK 12 NC (Ví dụ 3, tr 20-21) liên quan đến q trình mơ hình hóa sử dụng bảng biến thiên với tốn tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Ví dụ (SGK 12 NC, tr 20) Một hộp không nắp làm từ mảnh tông theo mẫu hình 1.4 Hộp có đáy hình vng cạnh x (cm), chiều cao h (cm) tích 500 cm3 a) Hãy biểu diễn h theo x b) Tìm diện tích S( x ) mảnh tơng theo x c) Tìm giá trị x cho S( x ) nhỏ Ở tình mơ hình tốn, kiểu tình nêu sở lí luận Có thể nhận thấy, câu a), b) gợi ý, dẫn dắt để giải câu c) Câu hỏi ý c) không đặt ngữ cảnh thực tế đề mà yêu cầu tìm x cho S(x ) nhỏ Chính làm tính thực tế ban đầu tình Bước 1: Xây dựng mơ hình trung gian vấn đề q trình mơ hình hóa khơng xuất ví dụ Yêu cầu câu a) b) thực Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học SGK 12 NC đưa lời giải sau: 500 V x h 500(cm )  h  , x  x a) Thể tích hộp là: b) Diện tích mảnh tông dùng làm hộp là: 2000 S ( x) x  4hx x  ,x 0 x (SGK 12 NC, tr 20) Bước 3: Sử dụng cơng cụ tốn học để giải mơ hình thiết lập câu a) b) thực câu c) Công cụ đạo hàm sử dụng bảng biến thiên Sau tính tốn ta có: S' ( x ) =0 ⇔ x=10 Bảng biến thiên S khoảng (0; ) (SGK 12 NC, tr 20) Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết bước ba có xuất ví dụ Câu hỏi c) yêu cầu tìm x để S( x ) nhỏ Tuy nhiên kết luận SGK 12 NC lại đưa thêm kết luận cho toán thực tế ban đầu Tóm lại, nội dung lý thuyết quan điểm mơ hình hóa có xuất hai ví dụ SGK 12 CB NC Tuy nhiên trình giải tốn hai thiếu Bước 1: Xây dựng mơ hình trung gian vấn đề Các ví dụ đưa vào tình THH tình mơ hình tốn Đó dạng toán gắn với thực tiễn người giải vấn đề không thực đầy đủ bước q trình mơ hình hóa II.3 Phần tập Về phần tập, tơi phân tích dạng tốn có liên quan đến tìm GTLN, GTNN hàm số Bài 3: GTLN GTNN hàm số; Ôn tập chương SGK 12 CB SBT 12 CB Trong phân tích dưới, tơi làm rõ kỹ thuật yếu tố lý thuyết nói phần lời giải cho ví dụ đưa tham khảo SGK, SBT Các tập đưa vào chia thành dạng phần lý thuyết: Dạng toán túy toán học Dạng bao gồm kiểu nhiệm vụ T K, TĐ xuất lý thuyết Tuy nhiên kiểu nhiệm vụ TĐ kĩ thuật đưa vào khác với ví dụ hoạt động phân tích lý thuyết Vì SGK đưa quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Kỹ thuật gồm bước: Đạo hàm Nếu đạo hàm giữ nguyên dấu đoạn [ a ; b ] sử dụng “Nhận xét” phần lý thuyết để kết luận GTLN, GTNN Nếu không chuyển sang bước 3 Áp dụng “quy tắc” lý thuyết để tìm GTLN, GTNN  3   0;  y  2sin x  sin x Ví dụ: Tìm GTNN GTLN hàm số: đoạn (Bài 1.34d SBT 12 CB, tr 21, 63) Ngồi phần tập có xuất kiểu nhiệm vụ mới: Kiểu nhiệm vụ TTH (TH viết tắt cho “tốn học”): Tìm GTLN, GTNN đại lượng toán học mà hàm số ứng với chưa cho sẵn Đây kiểu nhiệm vụ có liên quan đến mơ hình hóa tốn túy tốn học, khơng gắn với vấn đề thực tế Kỹ thuật gồm bước: Thiết lập hàm số cần xây dựng (cần vận dụng kiến thức tốn) Tìm GTLN (hoặc GTNN) hàm số thiết lập Kết luận cho toán ban đầu Ví dụ: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng hai số dương cho tích chúng lớn (Bài 1.38 SBT 12 CB, tr 21, 65) Giải: Cho m>0 Đặt x số thứ nhất, 0< x