TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SINH VIÊN TÍNH CHẤT MẠNG TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN Đà Nẵng 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SINH VIÊN[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SINH VIÊN TÍNH CHẤT MẠNG TRÊN SIÊU KHƠNG GIAN Đà Nẵng - 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SINH VIÊN TÍNH CHẤT MẠNG TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN Sinh viên thực hiện: Lê Văn Có Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp, khoa: Khoa Toán - 18ST Năm thứ: 4/4 Ngành học: Sư phạm Toán Người hướng dẫn: Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2022 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn động viên em suốt trình học tập việc hồn thành luận văn Tuy gặp khơng khó khăn thực nhờ giúp đỡ từ q thầy cơ, gia đình bạn bè, em nỗ lực tìm tịi học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho thân hồn thành luận văn Dẫu vậy, giới hạn kiến thức khả lí luận thân cịn nhiều hạn chế, kính mong dẫn đóng góp từ q thầy để luận văn hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Lê Văn Có MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng, bao đóng phần tập hợp 1.3 Một số tiên đề tách 15 1.4 Không gian 16 CHƯƠNG Tính chất mạng siêu không gian 18 2.1 Siêu khơng gian tích đối xứng cấp n 18 2.2 Một số tính chất mạng siêu không gian 29 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1931, K Borsulk S Ulam giới thiệu khái niệm tích đối xứng cấp n khơng gian topo đưa số tính chất quan trọng ([2]) Trong năm gần đây, nhiều tác giả giới quan tâm nhiều đến toán bảo tồn tính chất topo khơng gian metric suy rộng lên tích đối xứng cấp n khơng gian Nhờ đó, tác giả thu nhiều kết thú vị (xem [2]-[9]) Trong [4], C Good S Macías chứng minh khơng gian topo có họ CP, tích đối xứng cấp n có họ CP Sau đó, Z Tang, S Lin F Lin chứng minh nhiều tính chất mạng khơng gian topo X nhiều không gian metric suy rộng X bất biến tích đối xứng cấp n siêu không gian F(X) gồm tập hữu hạn X (xem [7]) Bên cạnh đó, tác giả đặt số toán mở liên quan đến tích đối xứng cấp n siêu khơng gian F(X) Các toán thu hút nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương quan tâm đến chưa có lời giải đáp Gần đây, L Q Tuyển O V Tuyên đưa kết rằng, khơng gian topo có cn-mạng (ck -mạng) có tính chất σ -(P ), tích đối xứng cấp n có cn-mạng (tương ứng, ck -mạng) có tính chất σ -(P ) (xem [8]) Với mong muốn nghiên cứu tính chất topo khơng gian topo X bảo tồn tích đối xứng cấp n, định chọn đề tài: “Tính chất mạng siêu khơng gian” làm luận văn tốt nghiệp cho 2 Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu tính chất mạng khơng gian topo X bảo tồn tích đối xứng Fn (X) siêu không gian F(X) Đưa số kết mở rộng số kết tác giả trước Đối tượng nghiên cứu Các tính chất mạng, tích đối xứng Fn (X), siêu khơng gian F(X) Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bảo tồn số tính chất topo khơng gian topo X tích đối xứng Fn (X) Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến tích đối xứng Fn (X) siêu khơng gian F(X) • Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết mở rộng số kết tác giả trước • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày hai chương Ngồi ra, luận văn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày tính chất topo siêu không gian chia làm mục Mục 2.1, trình bày siêu khơng gian tích đối xứng cấp n Mục dành cho việc trình bày chứng minh chi tiết lại số khái niệm kết liên quan đến siêu không gian tích đối xứng cấp n tác giả trước Mục 2.2, trình bày số tính chất mạng siêu không gian Trong mục này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số kết tác giả trước liên quan đến mạng, họ CP, HCP Sau đó, đưa số kết họ wHCP CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương dành cho việc trình bày số kiến thức topo đại cương Các khái niệm tính chất trình bày chương chúng tơi lấy [3] nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Khơng gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , S Uα ∈ τ ; α∈Λ (c) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 Đối với không gian topo X , khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp mở; (2) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở; (3) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở Ví dụ 1.1.3 (1) Giả sử X tập không rỗng τ1 = {∅, X}, τ2 = P(X) Khi đó, τ1 τ2 topo X Ta nói τ1 topo thô τ2 topo rời rạc X (2) Giả sử X tập hợp vô hạn Ta đặt τ = {U ⊂ X : U = ∅ X \ U hữu hạn} Khi đó, τ topo X gọi topo Zariski topo đối hữu hạn X (3) Giả sử (X, d) không gian metric Ta đặt τ = {U : U mở (X, d)} Khi đó, τ topo X Ta nói τ topo sinh metric d Hơn nữa, X = R d metric thơng thường, d gọi topo tự nhiên hay topo thông thường R Ta đặt {(a, b) : a, b ∈ R, a ≤ b} = {Vα : α ∈ ∆}, τ= S Vα : I ⊂ ∆ α∈I Khi đó, τ topo X topo tự nhiên hay topo thông thường R Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A tập khác rỗng khơng gian topo (X, τ ) Khi 1) Tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x 2) Với x ∈ X , ta gọi B(x) họ tất lận cận mở X Khi đó, {Bx }x∈X gọi hệ lân cận X Bổ đề 1.1.5 Đối với không gian topo (X, τ ), khẳng định sau tương đương (1) U tập hợp mở; (2) U lân cận điểm thuộc nó; (3) Với x ∈ U , tồn lân cận Vx ∈ B(x) x cho x ∈ Vx ⊂ U Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U tập mở x ∈ U Khi đó, ta đặt V = U , rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x X (2) =⇒ (3) Giả sử U lân cận x ∈ U Khi đó, với x ∈ U , ta đặt Vx = U , Vx lân cận x x ∈ Vx = U ⊂ U Do đó, (3) thỏa mãn (3) =⇒ (1) Giả sử với x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Khi đó, Vx lân cận x nên tồn Wx ∈ τ cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U Do đó, ta thu U= S x∈U {x} ⊂ S x∈U Wx ⊂ U , ... 16 CHƯƠNG Tính chất mạng siêu khơng gian 18 2.1 Siêu không gian tích đối xứng cấp n 18 2.2 Một số tính chất mạng siêu khơng gian 29... 1.3.2 Giả sử (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, (1) T2 -không gian =⇒ T1 -không gian; 16 (2) T1 -không gian 6=⇒ T2 -không gian Chứng minh (1) Giả sử (X, τ ) T2 -không gian x, y ∈ X Khi đó, tồn... Do đó, (X, τ ) không T2 -không gian 1.4 Không gian Định nghĩa 1.4.1 Giả sử (X, τ ) không gian topo, Y ⊂ X τY = {Y ∩ U : U ∈ τ } Khi đó, τY topo Y Ta nói (Y, τY ) không gian không gian topo (X,