Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về tích phân ở chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ~~~~~~*~~~~~~ Đề tài: Một số phương pháp giải nhanh tốn trắc nghiệm tích phân chương trình tốn THPT Giảng viên hướng dẫn : ThS.Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Lê Cao Tường Vy Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng năm 2022 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép tơi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn tơi suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, bạn bè, bạn lớp 18ST q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, tháng năm 2022 Sinh viên Lê Cao Tường Vy SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Nguyên hàm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Sự tồn nguyên hàm 1.1.4 Bảng nguyên hàm 1.1.5 Phương pháp tính nguyên hàm 1.2 Tích phân 1.2.1 Khái niệm tích phân 1.2.2 Tính chất 11 1.2.3 Phương pháp tính tích phân 11 1.3 Ứng dụng tích phân 12 1.3.1 Diện tích hình phẳng 12 1.3.2 Thể tích khối trịn xoay 13 1.3.3 Bài toán chuyển động 14 SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 15 2.1 Dạng Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm 15 2.2 Dạng Tích phân hàm hữu tỉ 18 2.3 Dạng Tích phân đổi biến số 21 2.3.1 Tích phân đổi biến số dạng 22 2.3.2 Tích phân đổi biến số dạng 31 2.4 Dạng Tích phân phần 33 2.4.1 Dùng tích phân phần với u – hàm đa thức, dv – lượng giác hàm mũ 34 2.4.2 Dùng tích phân phần với u – Hàm logarit, dv – hàm đa thức 37 2.4.3 Dùng tích phân phần với u – hàm lượng giác, dv – hàm mũ ngược lại 39 b 2.5 Dạng Tích phân chứa giá trị tuyệt đối  f ( x) dx 41 a 2.6 Dạng Ứng dụng tích phân 46 2.6.1 Diện tích hình phẳng 46 2.6.2 Thể tích khối trịn xoay 48 2.6.3 Bài toán chuyển động 50 2.7 Dạng Tích phân hàm ẩn 51 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT MTCT: Máy tính cầm tay SGK: Sách giáo khoa SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đồi, Toán học tàng cho tất ngành khoa học tự nhiên khác Trong chương tình tốn THPT,việc dạy học tích phân đóng vai trị quan trọng việc rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc biệt, năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia chuyển sang hình thức trắc nghiệm khách quan Làm để giúp em giải nhanh toán trắc nghiệm liên quan đến tích phân thời gian vài phút vấn đề trăn trở? Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững tốn trắc nghiệm liên quan đến tích phân cho thân nói riêng sinh viên khoa tốn trường nói chung, tơi chọn đề tài nghiên cứu: “ Một số phương pháp giải nhanh bài tốn trắc nghiệm tích phân chương trình tốn THPT” Mục đích nghiên cứu Đưa số phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm tích phân chương trình THPT nhằm giúp học sinh lĩnh hội sáng tạo học chương tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận - Nghiên cứu phương pháp giải nhanh tốn trắc nghiệm tích phân SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu số tài liệu liên quan tới phương pháp giải toán trắc nghiệm tích phân nhằm hiểu rõ nội dung tích phân để từ rút cách giải nhanh - Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với số giáo viên THPT dạy chương tích phân – Giải tích lớp 12 (SGK hành) để tham khảo kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán trắc nghiệm tích phân Bố cục khóa luận Khóa luận gồm có chương sau: Chương Cơ sở lý luận 1.1 Nguyên hàm 1.2 Tích phân 1.3 Ứng dụng tích phân Chương Một số phương pháp giải nhanh tốn trắc nghiệm tích phân chương trình tốn thpt 2.1 Dạng Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm 2.2 Dạng Tích phân hàm hữu tỉ 2.3 Dạng Tích phân đổi biến số 2.4 Dạng Tích phân phần 2.5 Dạng Tích phân chứa giá trị tuyệt đối 2.6 Dạng Ứng dụng tích phân 2.7 Dạng Tích phân hàm ẩn SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Nguyên hàm 1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K F ( x) = f ( x) với x  K Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) K Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K nguyên hàm f ( x) K có dạng F ( x) + C , với C số 1.1.2 Tính chất Tính chất 1:  f ( x)dx = f ( x) + C Tính chất 2:  kf ( x)dx = k  f ( x)dx Tính chất 3:   f ( x)  g ( x)  dx =  f ( x)dx   g ( x)dx 1.1.3 Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số f ( x) liên tục K có nguyên hàm K 1.1.4 Bảng nguyên hàm  kdx = kx + c   x dx = x +1 +c  +1 (  −1)  x dx = ln x + c SVTH: Lê Cao Tường Vy  +1 ( ax + b ) ax + b dx = ( )  a  +1  +c (  −1)  ax + b dx = a ln ax + b + c Trang Khóa luận tốt nghiệp  e dx = e x x  a dx = x GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy +c e ax +c ln a ax +b dx = eax+b + c a mx + n  a dx = a mx+n +c m.ln a  cos xdx = sin x + c  cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c  sinxdx = − cos x + c  sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c  cos x  sin x 1 1 dx = tan x + c  cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + c dx = − cot x + c  sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + c 1 1.1.5 Phương pháp tính nguyên hàm 1.1.5.1 Phương pháp đổi biến số Nếu  f (u)du = F (u) + C u = u( x) hàm số có đạo hàm liên tục  f (u( x)) u( x)dx = F (u( x) ) + C Với u = ax + b ( a  ) , ta có  f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C 10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác thường gặp ✓ Phép 1: Nếu xuất thức đặt t ✓ Phép 2: Nếu xuất cụm sin xdx đặt cos x = t ✓ Phép 3: Nếu xuất cụm dx đặt tan x = t cos2 x ✓ Phép 4: Nếu xuất cụm dx đặt cot x = t sin x ✓ Phép 5: Nếu xuất cụm đặt ln x = t x ✓ Phép 6: Nếu xuất e x đặt e x = t SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy ✓ Phép 7: Nếu xuất cụm ✓ Phép 8: Nếu xuất cụm dx đặt x = tan t x + a2 x − a đặt x = a sin t (dùng x có mũ chẵn) ✓ Phép 9: Nếu xuất cụm a − x đặt x = a (dùng x có cos t mũ chẵn) ✓ Phép 10: Nếu xuất biểu thức hàm ln,log, e, đặt biểu thức t 1.1.5.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu hai hàm số u = u ( x) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K  u( x)v( x)dx = u( x)v( x) −  u( x)v( x)dx Vì v( x)dx = dv , u( x)dx = du , nên đẳng thức viết dạng  udv = uv −  vdu 1.2 Tích phân 1.2.1 Khái niệm tích phân ✓ Định nghĩa hình thang cong Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không đổi dấu đoạn  a; b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b gọi hình thang cong ✓ Định nghĩa tích phân Cho f ( x) hàm số liên tục đoạn  a; b  Giả sử F ( x) nguyên hàm f ( x) đoạn  a; b  SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Ví dụ 2: Tích phân I =  −2 x2 − x − dx ta kết I = a + b ln + c ln (với a, x −1 b, c số nguyên) Khi giá trị biểu thức T = 2a + 3b − 4c A 19 B 21 C 22 D 20 Trả lời Cách 1: Cách giải thông thường  x = −1 x − x − ( x + 1)( x − ) Xét = =0  x = −1  −2;0 x −1 x −1 x = Ta có bảng xét dấu x x2 − x − x −1 −1 -2 -1 − 0 + −1 x2 − x − 2  x2 − x − 2    I = − dx +  dx = −   x −  dx +   x − dx x −1 x −1  x −1 x −1  −2  −2 −1  −1 −1 0  x2   x2  = −  − 2ln x −  +  − 2ln x −  = + 4ln − 2ln   −2   −1  a = 1, b = 4, c = −2 T = 2a + 3b − 4c = 22 Đáp án C Cách 2: Đẩy trị tuyệt đối  x = −1 x − x − ( x + 1)( x − ) = =0 Xét  x = −1  −2;0 x −1 x −1 x = −1 x2 − x − I=  dx + x − −2 SVTH: Lê Cao Tường Vy x2 − x − −1 x − dx = −1   −2  x − x −  dx +     x − x −  dx −1 Trang 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy −1  x2   x2  =  − 2ln x −  +  − 2ln x −  = + 2ln − 2ln + 2ln −   −2   −1 = + 4ln − 2ln  a = 1, b = 4, c = −2 T = 2a + 3b − 4c = 22 Đáp án C Cách 3: MTCT Nhập  −2 x2 − x − dx vào MTCT lưu kết vào biến A x −1 Khi ln ( ea 2b.3c ) = A  ea 2b.3c = e A  2b.3c = eA ea Để tính 2b.3c ta sử dụng chức TABLE (MODE 7) với hàm f ( X ) = 2b.3c = eA ea Start 1; End 10; Step Quan sát hình xem giá trị f(X) số hữu tỉ nhận Dễ thấy với X = a = 2b.3c = 16 = 24.3−2  b = 4; c = −2 T = 2a + 3b − 4c = 22 Đáp án C SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Dạng Ứng dụng tích phân 2.6 Kiến thức tảng: xem lại mục 1.3 Phương pháp tính nhanh: MTCT casio ✓ Bước 1: Xác định rõ hai hàm y = f ( x), y = g ( x) x = f ( y), x = g ( y) ✓ Bước 2: Xác định rõ cận x = a, x = b y = a, y = b ✓ Bước 3: Lắp vào cơng thức (1) hoăc (2) sử dụng máy tính casio 2.6.1 Diện tích hình phẳng Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x y = x B −4 A C D Trả lời Cách 1: Cách giải thông thường  x = 1 x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 = x5   Ta có S =  x − x dx = −1 0  (x − x ) dx + −1 (x − x ) dx  x4 x6   x4 x6  = −  + −  =   −1   Đáp án C Cách :Bấm x − x5 dx vào MTCT −1 SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Đáp án C Ví dụ (Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017) Cho hình thang cong (H) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = x = ln Đường thẳng x = k (  k  ln ) chia (H) thành hai phần có diện tích S1 , S hình vẽ bên Tìm k để S1 = S A k = ln C k = ln B k = ln D k = ln Trả lời Cách 1: ln Gọi S diện tích hình (H) ta có S =  e x − dx = e x ln =3 k k k 3 Có S1 = 2S2  S1 = S   e x dx =   e x dx =  e x = ek − = 2 20  e k =  k = ln Đáp án D Cách MTCT SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy ln Gọi S diện tích hình (H) ta có S =  e x − dx = k Vì S1 = S mà tổng diện tích  S1 =   e x dx = Thử đáp án ta có k = ln Đáp án D 2.6.2 Thể tích khối trịn xoay Ví dụ Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y = tan x; x = 0; x =  ; y = Gọi V thể tích vật trịn xoay D quay quanh trục hoành Chọn mệnh đề đúng?   A   +     B   −  3    C   +    D   −  2     Trả lời Cách (Cách giải thông thường)   3  sin x V =   tan xdx =   dx cos x 0   − cos x = dx =   − 1dx cos x cos x 0 Cách (MTCT) Nhập   tan xdx , ta kết quả.Thử đáp án, thấy đáp án câu B    =  ( tan x − x ) 03 =   −  3  SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Đáp án B Đáp án B Ví dụ Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đường cong y = e x , trục hoành, trục tung x = ln Đường thẳng x = k (  k  ln ) chia (H) thành hai phần H1 , H Khi quay H1 , H quanh trục hoành ta hai khối trịn xoay tích tương ứng V1 ,V2 Tìm k để V1 = 2V2 2 C k = ln B k = ln11 A k = ln D k = ln11 Trả lời Cách (cách giải thông thường) Gọi V thể tích hình (H) ta có V = ln e 2x Cách MTCT Gọi V diện tích hình (H) ta có S = dx ln e 2x dx = 0 15  Đặt t = e x  dt = e x dx x =  t =  x = ln  t = Đổi cận  Vì V1 = 2V2 t2 15 V =   tdt = =  21 k Có k 3 15 V1 = 2V2  V1 = V    e2 x dx =  2 SVTH: Lê Cao Tường Vy k 3 15  V1 = V    e2 x dx =    e x dx = 2 2 Thử đáp án ta có k = ln11 Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp ek k t2   e dx =   tdt =  GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy ek 2x e2k − = =5 Đáp án B  e2 k = 11  k = ln11 Đáp án B 2.6.3 Bài toán chuyển động Ví dụ Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) = 1, + t2 + (m/s) Quãng đường t +3 vật giây bao nhiêu? (làm tròn kết đến hàng phần trăm) A 18,82 m B 11,81 m C 4,06 m D.7,28 m Trả lời Cách Cách MTCT Quãng đường 4s đầu là:  t2 +  Nhập  1, +  dt t +3  0  t2 +  0 1, + t +  dt 4 13   =  1, + t − +  dt t +   4   t2 = 1, + − 3t + 13ln t +   0 Đáp án B = 0,8 + 13ln − 3ln  18,81m Đáp án B SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Ví dụ Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) = − 2sin 2t (m / s) Tính quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t = 0( s ) đến thời điểm t= 3 (s) A 3 −1 B 3 C 3 +1 D 3 +2 Trả lời Cách Cách MTCT Quãng đường vật di chuyển là: 3  3   (1 − 2sin 2t ) dt =  t + cos 2t  = 3 Nhập  (1 − 2sin 2t ) dt 0 3 −1 Đáp án A Thử đáp án Ta câu A Đáp án A 2.7 Dạng Tích phân hàm ẩn Phương pháp giải nhanh: Nguyên tắc để giải toán dựa vào số lượng điều kiện cho, ta chọn hàm f ( x) cho phụ thuộc vào ẩn Cụ thể: ✓ Điều kiện giả thiết cho phương trình, ta chọn f ( x) = a ; ✓ Điều kiện giả thiết cho hai phương trình, ta chọn f ( x) = ax + b ; SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy ✓ Điều kiện giả thiết cho phương trình f ( x) hàm chẵn, ta chọn f ( x) = ax ; ✓ Điều kiện giả thiết cho hai phương trình f ( x) hàm chẵn, ta chọn f ( x) = ax + b ; ✓ Điều kiện giả thiết cho phương trình f ( x) hàm lẻ, ta chọn f ( x) = ax ; ✓ Điều kiện giả thiết cho hai phương trình f ( x) hàm lẻ, ta chọn f ( x) = ax3 + bx ; 1  Ví dụ Biết f ( x) hàm số liên tục  ;1 thỏa mãn 2    xf ( x)dx = 2 15 Giá trị I =  sin xf (sin x)dx là: 64  A I = 15 16 B I = 15 32 C I = D I = 16 Trả lời Cách (Cách giải thông thường) Cách (MTCT) Đặt x = sin t  dx = cos tdt Đặt f ( x) = a    x =  t = Đổi cận  x =  t =   1  15 15  15   a  xdx = a= : xdx =  64 64  1 64  2   2  Ta có  xf ( x)dx =  sin t.cos t f (sin x)dx Dùng MTCT ta tính a = SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp =   2 6 GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy  1 15 sin 2t f (t )dt =  sin x f ( x)dx =  2 2 64 Nhập I = 52 sin xdx (nhớ chuyển   máy tính chế độ Radian) 15 15   sin x f ( x)dx = = 64 32  Đáp án B Đáp án B e2 Ví dụ Cho hàm y = f ( x) liên tục thỏa mãn I1 =  e f (ln x) dx = ; x ln x  2 I =  f ( cos x ) tan xdx = Giá trị I =  A B f ( x) dx là: x D −2 C Trả lời Cách (Cách giải thông thường) e2 Xét I1 =  e Cách (MTCT) Chọn f ( x) = ax + b ta f (ln x) dx = x ln x f ( ln x ) = a ln x + b f ( cos x ) = a.cos x + b x Đặt t = ln x  dt = dx e2 Ta có I1 =  x = e  t = Đổi cận  x = e  t = e e2 e  I1 =  e 2 f (ln x) f (t ) f ( x) dx =  dt =  dx = x ln x t x 1  Xét I =  f ( cos x ) tan xdx = a ln x + b dx x ln x e2 1 = a  dx + b  dx = x x ln x e e  Ta có I =  ( a cos sx + b ) tan xdx 0 SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Đặt t = cos x  dt = − sin xdx  −   3 0 = a  sin xdx + b  tan xdx = dt = tan xdx t x =  t =  Đổi cận    x =  t = Lưu vào biến nhớ A  I =  f ( cos x ) tan xdx f (t ) f ( x) = − dt =  dx = t x 1 Lưu vào biến nhớ B Ta có  2 f ( x) f ( x) f ( x) dx =  dx +  dx = + = x x x 1 Lưu vào biến nhớ C Đáp án C Lưu vào biến nhớ D Ta thiết lập hệ phương trình hai aA + bB = Giải lênh aC + bD = ẩn  MODE 5, có nghiệm lẻ gán vào biến nhớ lại (trừ biến nhớ X) SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy Lưu giá trị b vào biến nhớ Y −2 x + Y dx = x Vậy I =  Đáp án C Ví dụ Cho f ( x) hàm số chẵn đoạn  −1;1 thỏa mãn f ( x)  1+ x dx = −1 Tính giá trị I =  f ( x)dx −1 A B C 12 D Trả lời Cách (Cách giải thông thường) Đặt t = − x  dt = − dx  x = −1  t =  x =  t = −1 Đổi cận  −1 f ( x) f (−t ) Ta có  dx = − 1 + 2−t dt + 2x −1 1 = 2t f (t ) x f ( x) dt = −1 + 2t −1 + 2x dx = SVTH: Lê Cao Tường Vy Cách (MTCT) Chọn f ( x) = ax Từ giả thiết ta có 4= f ( x) x2 dx = a −1 + 2x −1 + 2x dx x2 → a = 4  dx = 12 + 2x −1 Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp 1 GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy f ( x) x f ( x) 2.4 =  dx +  dx =  f ( x)dx + 2x + 2x −1 −1 −1 Suy f ( x) = 12 x I = 12  x dx = −1   f ( x)dx = −1 Đáp án B Đáp án B SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 56 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu đề tài, tơi làm vấn đề sau: - Liệt kê kiến thức chương tích phân chương trình Giải tích lớp 12 (SGK hành) - Đưa dạng tốn trắc nghiệm tích phân, qua trang bị phương pháp giải nhanh - So sánh cách giải thơng thường cách giải có hỗ trợ MTCT để thấy tính linh hoạt giải tốn trắc nghiệm tích phân Do thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến độc giả để khóa luận hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 57 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Văn Bình, Phương pháp giải nhanh ngun hàm - tích phân ứng dụng máy tính casio, https://sachhoc.com/giai-nhanh-nguyen-ham-tichphan-va-ung-dung-bang-may-tinh-casio [2].Nguyễn Tiến Đạt, (2020), 14 kỹ thuật giải nhanh tích phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Việt Đông, Tuyển chọn tập trắc nghiệm chuyên đề nguyên hàm – tích phân ứng dụng, https://toanmath.com/2017/01/tuyen-chon-bai-tap-tracnghiem-nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung-dang-viet-dong.html [4] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất, (2008), Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [5].Các trang Website Internet SVTH: Lê Cao Tường Vy Trang 58 ... hàm 1.2 Tích phân 1.3 Ứng dụng tích phân Chương Một số phương pháp giải nhanh tốn trắc nghiệm tích phân chương trình tốn thpt 2.1 Dạng Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm 2.2 Dạng Tích phân hàm... Thủy CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm Kiến thức tảng: Xem lại bảng nguyên hàm Phương pháp. .. Bích Thủy CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM VỀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 15 2.1 Dạng Tích phân áp dụng bảng nguyên hàm 15 2.2 Dạng Tích phân hàm hữu tỉ