Chương 5 phương trình vi phân

Chương 5 Phương trình vi phân Chương 5 Phương trình vi phân 1 Các khái niệm cơ bản 2 Phương trình vi phân cấp 1 3 Phương trình vi phân cấp 2 §1 Các khái niệm cơ bản 1 Các khái niệm chung về phương trì[.]

Chương Phương trình vi phân 1.Các khái niệm 2.Phương trình vi phân cấp 3.Phương trình vi phân cấp §1 Các khái niệm Các khái niệm chung phương trình vi phân Định nghĩa: Một phương trình mà đối tượng phải tìm hàm số hàm số phải tìm có mặt phương trình dạng đạo hàm vi phân cấp gọi phương trình vi phân Ví dụ 1: 𝑦′ = 𝑦2 + 𝑥 2, 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = 0, 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑦 = 𝑢, • Phương trình vi phân với hàm số phải tìm hàm số biến số gọi phương trình vi phân thường Ví dụ 2: 𝑦′ = 𝑦2 + 𝑥2, 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = 0, 𝑑2 𝑦 = −5𝑦 𝑑𝑥 • Phương trình vi phân với hàm số phải tìm hàm số nhiều biến số gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Ví dụ 3: 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢 +𝑦 𝜕𝑦 = 𝑢, 𝜕 𝑢 𝜕 𝑢 + = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Định nghĩa: Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm vi phân có mặt phương trình Phương trình vi phân cấp 𝑛 có dạng tổng quát 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ , … , 𝒚(𝒏) = 𝟎 đó, 𝐹 hàm số 𝑛 + 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 𝑛 biến số Ví dụ 3: +) 𝑦𝑦 ′ + 5𝑥 − 4𝑦 = ptvp thường cấp +) 𝑥𝑦 ′′ − 3𝑥 𝑦 = ptvp thường cấp Định nghĩa: Nghiệm phương trình vi phân 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ , … , 𝒚(𝒏) = 𝟎 hàm số 𝜑(𝑥), xác định khoảng (𝑎; 𝑏) đó, mà thay 𝑦 = 𝜑 𝑥 , 𝑦 ′ = 𝜑 ′ 𝑥 , … , 𝑦 𝑛 = 𝜑 𝑛 (𝑥) vào phương trình ta đồng thức: 𝑭 𝒙, 𝝋 𝒙 , 𝝋′ 𝒙 , … , 𝝋 𝒏 (𝒙) ≡ 𝟎 Giải ptvp có nghĩa tìm tất nghiệm pt Phương trình vi phân thường cấp a) Các dạng biểu diễn 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′ = 𝟎 Dạng tổng quát: Dạng giải đạo hàm: ′ 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚) hay 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒚) Dạng đối xứng: 𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 b) Nghiệm phương trình Nghiệm phương trình vi phân dạng 𝒚 = 𝝋(𝒙, 𝑪) (với 𝐶 số) gọi nghiệm tổng quát Nghiệm riêng nghiệm thu từ nghiệm tổng quát cách cho 𝐶 giá trị cụ thể Nghiệm phương trình dạng 𝚽 𝒙, 𝒚, 𝑪 = 𝟎 gọi tích phân tổng quát Cho 𝐶 giá trị cụ thể ta có tích phân riêng Ví dụ 4: Phương trình 𝑦 ′ = 𝑥 có nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 Ví dụ 5: Phương trình 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = có tích phân tổng quát 𝑥 + 𝑦 = 𝐶 Chú ý: Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp chưa vét hết tất nghiệm c) Bài tốn Cơsi (Cauchy) Bài tốn tìm nghiệm phương trình 𝒅𝒚 = 𝒇 𝒙, 𝒚 (1) 𝒅𝒙 thoản mãn điều kiện: 𝒚 = 𝒚𝟎 𝒙 = 𝒙𝟎 (điều kiện ban đầu) gọi tốn Cơsi Định lí: Giả sử hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) vế phải phương trình (1) xác định, liên tục lân cận 𝑉 điểm 𝑀0 𝑥0 ; 𝑦0 tồn số 𝑘 > cho: 𝑓 𝑥, 𝑦2 − 𝑓 𝑥, 𝑦1 ≤ 𝑘 𝑦2 − 𝑦1 , ∀ 𝑥, 𝑦2 , 𝑥, 𝑦1 ∈ 𝑉 Khi đó, khoảng 𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 +𝛿 , với 𝛿 đủ nhỏ, tồn nghiệm phương trình (1) thỏa mãn điều kiện 𝑦 = 𝑦0 𝑥 = 𝑥0 §2 Một số phương trình vi phân cấp thường gặp Phương trình phân li biến số Là phương trình dạng: 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒒 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (1) 𝑝 𝑥 , 𝑞(𝑥) hàm liên tục MXĐ chúng Cách giải: Lấy tích phân hai vế phương trình ta tích phân tổng quát: 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒒 𝒚 𝒅𝒚 = 𝑪 Ví dụ 1: Giải phương trình 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑑𝑦 = 𝑦 =0 Chú ý: Hai phương trình sau đưa dạng phân li biến số, là: 𝑴𝟏 𝒙 𝑴𝟐 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵𝟏 𝒙 𝑵𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 𝒅𝒚 = 𝒇𝟏 𝒙 𝒇𝟐 (𝒚) 𝒅𝒙 Ví dụ 2: Giải phương trình 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = Ví dụ 3: Giải phương trình 𝑑𝑦 𝑦ln𝑦 = 𝑑𝑥 sin𝑥 Ví dụ 4: Tìm nghiệm riêng phương trình 𝑦 𝑦′ + 𝑒𝑦 = 𝑥 thoản mãn điều kiện 𝑦 = 2 Một số phương trình đưa dạng phân li biến số a) Phương trình Là phương trình dạng: 𝑷 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑸 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 với 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦) hàm bậc Hàm 𝑴(𝒙, 𝒚) gọi hàm bậc 𝒔 𝑴 𝒕𝒙, 𝒕𝒚 = 𝒕𝒔 𝑴(𝒙, 𝒚), với ∀𝒕 > 𝟎 (2) Cách giải: Ta có: 𝒚 𝒚 𝟏, 𝑷 𝟏, 𝒅𝒚 𝑷 𝒙, 𝒚 𝒚 𝒙 𝒙 =− =− =− =𝒈 𝒚 𝒚 𝒅𝒙 𝑸 𝒙, 𝒚 𝒙 𝒙𝒔 𝑸 𝟏, 𝑸 𝟏, 𝒙 𝒙 𝒙𝒔 𝑷 Đặt: 𝒛 = 𝒚 𝒙 ⟹ 𝒚 = 𝒙𝒛 ⟹ 𝒚′ = 𝒛 + 𝒙𝒛′ (𝒛 hàm số biến 𝒙) Thay vào (3) ta phương trình phân ly biến số với 𝑧 hàm phải tìm 𝑧 + 𝑥𝑧 ′ = 𝑔 𝑧 𝒅𝒛 ⟺ 𝒙 =𝒈 𝒛 −𝒛 𝒅𝒙 𝟑 Ví dụ 4: Giải phương trình 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 = + 𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 Ví dụ 5: Giải phương trình 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 = Ví dụ 6: Tìm nghiệm phương trình 𝑑𝑦 𝑦 𝑥 − sin = 𝑦, 𝑑𝑥 𝑥 𝜋 thỏa mãn điều kiện 𝑦 = b) Phương trình dạng 𝒅𝒚 = 𝒇 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝒅𝒙 Cách giải: Đặt 𝒛 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 Khi đó, ta có: 𝒅𝒛 𝟒 ⟺ = 𝒂 + 𝒃𝒇(𝒛) 𝒅𝒙 Ví dụ 7: Giải phương trình 𝑑𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 Ví dụ 8: Giải phương trình 𝑑𝑦 = +1 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑦 (4) c) Phương trình dạng 𝒅𝒚 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 + 𝒄𝟏 =𝒇 𝒅𝒙 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 (𝟓) Trường hợp 1: 𝒂𝟏 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 𝒃𝟏 𝑎1 𝑏1 Khi đó: = = 𝑘 ta có: 𝑎2 𝑏2 𝒅𝒚 𝒌 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟏 =𝒇 = 𝒈 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 Phương trình có dạng (4) Trường hợp 2: 𝒂𝟏 𝒃𝟐 ≠ 𝒂𝟐 𝒃𝟏 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = Hệ pt có nghiệm 𝑥0 ; 𝑦0 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = Đổi biến 𝒙 = 𝒖 + 𝒙𝟎 , 𝒚 = 𝒗 + 𝒚𝟎 , phương trình trở thành 𝒅𝒗 𝒂𝟏 𝒖 + 𝒃𝟏 𝒗 =𝒇 𝒅𝒖 𝒂𝟐 𝒖 + 𝒃𝟐 𝒗 phương trình nhất, đưa phương trình phân li cách đặt 𝒗 = 𝒖𝒛 Ví dụ 9: Giải phương trình 𝑑𝑦 𝑥 − 𝑦 + = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑦 − 3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Là phương trình dạng 𝒅𝒚 +𝒑 𝒙 𝒚=𝒒 𝒙 𝒅𝒙 (𝟔) với 𝑝 𝑥 , 𝑞(𝑥) hàm số liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) • Nếu 𝒒(𝒙) ≡ 𝟎, (6) gọi phương trình tuyến tính cấp • Nếu 𝒒(𝒙) ≢ 𝟎, (6) gọi phương trình tuyến tính khơng cấp Xét phương trình tuyến tính nhất: 𝒅𝒚 +𝒑 𝒙 𝒚=𝟎 𝒅𝒙 phương trình có nghiệm tổng quát là: − 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 = 𝑪𝒆 Ví dụ 10: Giải phương trình 𝑑𝑦 𝑦 − =0 𝑑𝑥 𝑥 Ví dụ 11: Tìm nghiệm riêng phương trình 𝑑𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 = 𝑑𝑥 thỏa mãn điều kiện 𝑦 = 𝑥 = Giải phương trình tuyến tính khơng (6) phương pháp biến thiên số Bước 1: Giải phương trình tuyến tính liên kết 𝒅𝒚 +𝒑 𝒙 𝒚=𝟎 𝒅𝒙 nghiệm tổng quát 𝒚 = 𝑪𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 Bước 2: Tìm nghiệm phương trình (6) dạng: − 𝒚=𝑪 𝒙 𝒆 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 Định lí: Nếu hàm số 𝒑 𝒙 𝒒(𝒙) liên tục khoảng (𝒂; 𝒃) 𝒚𝟎 số bất kì, tồn nghiệm phương trình tuyến tính (6) thỏa mãn điều kiện 𝒚 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎 Nghiệm xác định theo cơng thức: 𝒙 𝒚= 𝒒 𝒖 𝒆 𝒙𝟎 𝒖 𝒙𝟎 𝒑 𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒖 + 𝒚𝟎 𝒆 𝒙 𝒙𝟎 𝒑 𝒕 𝒅𝒕 ... số gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Ví dụ 3: