Bo de thi hoc ki 2 mon toan lop 9 ha noi nam 2022

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN Thời gian làm 120 phút Bài I (2 điểm) Cho hai biểu thức: A = x x 1 B = với x > x ≠ + + x−4 x +2 x −2 x +2 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Rút gọn biểu thức B 3) Chứng minh: A > −1 , với x > x ≠ B Bài II (2,5 điểm) 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 3m Nếu tăng chiều dài thêm 2m giảm chiều rộng 1m diện tích mảnh đất khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng ban đầu mảnh đất 2) Một hình trụ có đường kính đáy 1,2m chiều cao 1,8m Tính thể tích hình trụ đó( kết làm trịn đến số thập phân thứ nhất, lấy π ≈ 3,14 ) Bài III (1,5 điểm) Cho phương trình x − x + m − = ( m tham số) a) Giải phương trình m = −5 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 = x2 Bài IV (1,5 điểm).Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O, R ) Các đường cao AD, BE , CF cắt H Kẻ đường kính AG Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh điểm B, C , E , F nằm đường tròn b) Chứng minh DH DA = DB.DC tứ giác BHCG hình bình hành c) Cho BC cố định, điểm A chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Tìm vị trí A để diện tích ∆AEH lớn Bài V (1,5 điểm).Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1 + + = a b c 1 + + a+b b+c c+b -HẾT - Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HƯỚNG DẪN Bài I (2 điểm) x x 1 B = với x > x ≠ + + x−4 x +2 x −2 x +2 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Chứng minh: > −1 , với x > x ≠ B Hướng dẫn 1) Thay x = (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: = A = 9+2 Vậy với x = A = b) Với x > x ≠ có: x 1 B= + + x−4 x −2 x +2 Cho hai biểu thức: A = B= B= B= B= x+ x +2+ x −2 ( ( x −2 x +2 x+2 x x −2 x ( )( ( x −2 )( x +2 x +2 )( ) x +2 ) ) ) x x −2 x với x > ; x ≠ x −2 c) Với x > x ≠ : A x x x x −2 = = : = B x +2 x −2 x +2 x Vậy B = x −2 x +2 x −2 x −2+ x +2 = +1 = x +2 x +2 Với x > ; x ≠ x > ; x + > Xét hiệu: A −= ( −1) B x x +2 x >0 x +2 A A ⇒ − ( −1) > ⇔ > −1 B B A Vậy > −1 với x > x ≠ B Bài II (2,5 điểm) 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: ⇒ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 3m Nếu tăng chiều dài thêm 2m giảm chiều rộng 1m diện tích mảnh đất khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng ban đầu mảnh đất 2) Một hình trụ có đường kính đáy 1,2m chiều cao 1,8m Tính thể tích hình trụ đó( kết làm trịn đến số thập phân thứ nhất, lấy π ≈ 3,14 ) Hướng dẫn 1) Gọi chiều dài ban đầu mảnh đất x (m), chiều rộng ban đầu y (m) ( x > y > ) Vì chiều dài lớn chiều rộng 3m nên ta có phương trình: x – y = ( 1) Chiều dài mảnh đất sau thay đổi kích thước : x + (m) Chiều rộng mảnh đất sau thay đổi kích thước là: y – (m) Vì diện tích mảnh đất khơng thay đổi nên ta có phương trình: (x + 2) ( y – 1) = xy ⇔ − x + y =2 (2) 3 x − y = x = x − y = Từ (1) (2) ta có hệ:  ( thỏa mãn điều kiện) ⇔ ⇔ y = y = − x + y =2 Vậy chiều dài ban đầu mảnh đất : 8m Chiều rộng ban đầu mảnh đất : 5m 1, 2) Bán kính hình trụ là= r = 0, (m) Thể tích hình trụ : V = π r h ≈ 3,14.(0, 6) 1,8 ≈ 2, 0(m3 ) Bài III (1,5 điểm) Cho phương trình x − x + m − = ( m tham số) a) Giải phương trình m = −5 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 = x2 Hướng dẫn a) Thay m = −5 vào phương trình ta có: x2 − x − = ⇔ x − 4x + 2x − = ⇔ ( x − )( x + ) = x = ⇔  x = −2 Vậy x = 4; x = −2 m = −5 b) phương trình x − x + m − = có ' =1 − m + = − m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ' > ⇔ m <  x1 + x2 = Theo Viet ta có:   x1.x2= m − 3  x1 =  + = x x   Theo x1 = x2 nên ta có hệ:  ⇔  x1 = x2 x =  2 15 Suy m = + = ( tm ) 4 15 Vậy m = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 = x2 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài IV (1,5 điểm).Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O, R ) Các đường cao AD, BE , CF cắt H Kẻ đường kính AG Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh điểm B, C , E , F nằm đường tròn b) Chứng minh DH DA = DB.DC tứ giác BHCG hình bình hành c) Cho BC cố định, điểm A chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Tìm vị trí A để diện tích ∆AEH lớn Hướng dẫn  = BFC  = 90 a) BE , CF đường cao ∆ABC ⇒ BEC   Xét tứ giác BCEF có BEC = BFC = 90 A ⇒ BCEF tứ giác nội tiếp (dhnb)   b) Xét tứ giác ABDE có BEA = BDA = 90 =  ⇒ ABDE tứ giác nội tiếp (dhnb) ⇒ HBD DAC Xét ∆ADC ∆BDH    ADC = BDH = 90 ⇒ ∆ADC ∽ ∆BDH ( g g )    DAC = DBH  DA DC DB.DC ⇒ = ⇒ DH DA = DB DH E F B H O C D I ABG = 90 B nằm đường trịn đường kính AG ⇒  ⇒ AB ⊥ BG mà AB ⊥ CH ⇒ BG  CH (từ vng góc đến song song) C nằm đường trịn đường kính AG ⇒  ACG = 90 ⇒ AC ⊥ CG mà AC ⊥ BH ⇒ CG  BH (từ vng góc đến song song)  BH  CG Xét tứ giác BHCG có  ⇒ BHCG hình bình hành (dhnb) CH  BG c) BHCG hình bình hành I trung điểm BC ⇒ I trung điểm HG Xét ∆AHG có I trung điểm HG O trung điểm AG ⇒ OI đường trung bình ∆AHG ⇒ AH = 2OI Do BC cố định ⇒ I cố định ⇒ AH cố định 1 Ta có S ∆AEH = AE.EH ≤ ( AE + EH 2= AH ) 4   Dấu ‘=’ xảy ⇔ AE = EH ⇒ HAE = 45 ⇒  ACB = 45 (do ∆ACD vng D ) Vậy diện tích ∆AEH lớn điểm A nằm cung lớn BC cho  ACB = 45 G 1 + + = a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A = + + a+b b+c c+b Hướng dẫn Bài V (1,5 điểm).Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Với số thực dương x, y ta có: ( x + y ) ≥ xy ⇔ Áp dụng vào: A= ( x + y) ≤ 1 ⇔ ≤ + x+ y x y xy 4 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤  +  +  +  +  + =  + + = a+b b+c c+b  a b b c  c a  a b c Suy ra: A ≤ ; dấu xảy a= b= c= Vậy max A= , a= b= c= -HẾT - Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN CẦU GIẤY PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức: A = ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN Thời gian làm 120 phút B = x −2 x x với x ≥ x ≠ + x +2 x−4 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh: B = x x −2 3x 3) Tìm x để A + B = x −2 Câu II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Trong kì thi tuyển sinh vào 10, hai trường A B có tất 750 học sinh dự thi Trong số học sinh trường A dự thi có 80% học sinh trúng tuyển, số học sinh trường B dự thi có 70% học sinh trúng tuyển Biết tổng số học sinh trúng tuyển hai trường 560 học sinh Tính số học sinh dự thi trường? Câu III (2,0 điểm)   x − y + y +1 =  Giải hệ phương trình sau   − y + =−5  x − y Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( m − 1) x − m + 2m (m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm Parabol ( P ) đường thẳng ( d ) m = 2; b) Tìm m để đường thẳng ( d ) Parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 đối Câu IV (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB điểm M thuộc nửa đường trịn (M khác A, B) Trên dây BM lấy điểm N (N khác B M), tia AN cắt nửa đường tròn (O) điểm thứ hai P Tia AM tia BP cắt Q 1) Chứng minh : Bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 2) Chứng minh : ∆MAB ∆MNQ đồng dạng 3) Chứng minh MO tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ  4) Dựng hình bình hành ANBC Chứng minh QB = QC.sin QPM Câu V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x − xy + y − x + + x − + 2021 x -HẾT Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN x x Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức: A = B với x ≥ x ≠ = + x +2 x−4 x −2 1) Tính giá trị biểu thức A x = x 2) Chứng minh: B = x −2 3x 3) Tìm x để A + B = x −2 Hướng dẫn x −2 1) Ta có : A = ĐKXĐ: x ≥ x ≠ Thay x = (thỏa mãn) vào biểu thức A ta có: = A 2 = = − 3− Kết luận: Với x = giá trị biểu thức A x x 2) Ta = có: B ĐKXĐ: x ≥ x ≠ + x +2 x−4 x + x +2 = B B= x ( ( ) )( x −2 ( ( x +2 ) x −2 +4 x )( x +2 ) )( Kết luận: B = ) ) x x −2 x x −2 3x ⇒ x −2 3) A + = B ⇔ x −2 x x +2 = x −2 x +2 = B ⇔ ( x với x ≥ x ≠ x + = x −2 x −2 3x x −2 ĐKXĐ: x ≥ x ≠ + x − 3x = x −2 ( )( x − −3 x − x −2 )=  x −1 =  x = ⇔ x = (t / m) ⇔ ⇔  −3 x − = 3 x = −2 ⇒ x ∈∅ Kết luận: Với x = thỏa mãn đề Câu II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Trong kì thi tuyển sinh vào 10, hai trường A B có tất 750 học sinh dự thi Trong số học sinh trường A dự thi có 80% học sinh trúng tuyển, số học sinh trường B dự thi có 70% học sinh trúng tuyển Biết tổng số học sinh trúng tuyển hai trường 560 học sinh Tính số học sinh dự thi trường? Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Gọi số học sinh dự tuyển trường A x (đơn vị: học sinh), (x; y∈ * , x;y< 560) số học sinh dự tuyển trường B y (đơn vị: học sinh) Vì tổng số học sinh dự thi hai trường 750 học sinh nên ta có phương trình x + y = 750 (1) Số học sinh trúng tuyển trường A 80%.x = x (học sinh) Số học sinh trúng tuyển trường B 70%.y = y (học sinh) 10 Vì tổng số học sinh trúng tuyển hai trường 560 học sinh nên ta có phương trình x+ y= 560 10 ⇔ 8x + 7y = 5600 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 750 x + y =  5600 8x + 7y = 5250 7x + 7y = ⇔ 5600 8x + 7y = 750 x + y = ⇔  x = 350  y = 400 (thỏa mãn điều kiện ẩn) ⇔  x = 350 Vậy số học sinh dự thi trường A 350 học sinh Số học sinh dự thi trường B 400 học sinh Câu III (2,0 điểm)   x − y + y +1 =  Giải hệ phương trình sau   − y + =−5  x − y Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( m − 1) x − m + 2m (m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm Parabol ( P ) đường thẳng ( d ) m = 2; b) Tìm m để đường thẳng ( d ) Parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 đối Hướng dẫn Điều kiện: x ≠ y; y ≥ −1 Đặt = a; y += b (điều kiện a ≠ 0; b ≥ 0) x− y Khi hệ phương trình cho có dạng 2a + b a + 3b 12 = = 6= 7 a = a 1(tm) ⇔ ⇔ ⇔  −5 a − 3b = −5 − 2a (tm) a − 3b = b = b =  = − y  x= −3 = a  x − y =  x=  x (tm) ⇒ ⇒ ⇔ ⇔ Với  = y +1 = = b  = y  y 3(tm)  y +1 = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  y = Xét phương trình hồnh độ điểm chung x = ( m − 1) x − m + 2m ⇔ x − ( m − 1) x + m − 2m = (1) a) Với m = phương trình (1) có dạng x = x − ( − 1) x + 22 − 2.2 =0 ⇔ x − x =0 ⇔ x ( x − ) =0 ⇔  x = - Với x = ⇒ y = 02 = ⇒ A ( 0;0 ) - Với x = ⇒ y = 22 = ⇒ B ( 2; ) Vậy m = ( P ) cắt ( d ) hai điểm phân biệt A ( 0;0 ) ; B ( 2; ) b) Tính ∆ ' = b '2 − ac =  − ( m − 1)  − ( m − 2m ) = m − 2m + − m + 2m = > Do ∆ ' > nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m Suy đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 với m  x1 + x2 = 2m − Khi theo hệ thức Viet ta có  m − 2m  x1 x= Để đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ đối ⇔ x1 + x2 = ⇔ 2m − = ⇔ m = 1(tm) Vậy m = đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ đối Câu IV (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB điểm M thuộc nửa đường trịn (M khác A, B) Trên dây BM lấy điểm N (N khác B M), tia AN cắt nửa đường tròn (O) điểm thứ hai P Tia AM tia BP cắt Q 1) Chứng minh : Bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 2) Chứng minh : ∆MAB ∆MNQ đồng dạng 3) Chứng minh MO tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ  4) Dựng hình bình hành ANBC Chứng minh QB = QC.sin QPM Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Q I M P N A O B C 1) Xét nửa đường tròn ( O; R ) ta có:  AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  = 900 hay NMQ  = 900 ⇒ BMQ  APD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  = 900 ⇒ APQ = 900 hay NPQ Xét tứ giác MNPQ ta có:  = 900 ; NPQ  = 900 NMQ  + NPQ  = 900 +900 =1800 ⇒ NMQ  ; NPQ  hai góc vị trí đối Mà NMQ Suy ra, tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn Vậy, điểm M , N , P, Q thuộc đường tròn 2) Xét tứ giác MNPQ nội tiếp đường trịn ta có:  = NPM  ( góc nội tiếp chắn cung MN ) MQN = Hay MQN APM Mà  APM =  ABM (Góc nội tiếp chắn cung AM ( O ) ) =  ⇒ MQN ABM Xét tam giác ∆MAB ∆MNQ ta có:   ABM = NMQ = 90o = MQN ABM ( cmt ) ⇒ ∆MAB  ∆MNQ ( g g ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Vậy với −1 < m ≤ 0; m ≠ −5 m có nghiệm phương trình A − B = Bài II (2,5 điểm) 1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một đội thủy lợi phải sửa chữa đoạn đê thời gian định Biết bớt người đội phải làm kéo dài thêm ngày Cịn thêm người đội hồn thành cơng việc trước ngày Hỏi đội có người kế hoạch dự định ngày? (Cho biết suất người nhau) 2) Một hộp sữa có dạng hình trụ tích 16π  cm3 Biết đường kính đáy hộp chiều cao hộp sữa Tính diện tích vật liệu cần dùng để tạo nên vỏ bên hộp sữa (Bỏ qua phần diện tích ghép nối) Hướng dẫn 1) Gọi số người đội thủy lợi là: x (người; x ∈ *,  x > ) Và số ngày dự định hồn thành cơng việc là: y (ngày; y > ) Vì bớt người đội phải làm kéo dài thêm ngày, nên ta có phương trình: xy (*) ( x − 3)( y + ) = Mặt khác, thêm người đội hồn thành cơng việc trước ngày, đó: xy (**) ( x + )( y − ) = Từ (*) (**) , ta có hệ phương trình: xy ( x − 3)( y + ) = 18 xy −y =  xy + x − y −= 2 x= x ⇔ ⇔ ⇔ (TM )  y − xy x+ y = xy  xy − x + 2= −=  y 10 ( x + )( y − ) = Vậy đội có người kế hoạch dự định 10 ngày 2) Vì đường kính đáy hộp chiều cao hộp sữa ⇒ h = 2R 2 Mà hộp sữa tích 16π  cm ⇒ V = π R h= π R R= 2π R = 16π ⇒ R= ( cm ) Diện tích vật liệu cần dùng để tạo nên vỏ bên hộp sữa là: Stp = 2π Rh + 2π R = 2π R.2 R + 2π R = 4π R + 2π R = 6π R = 6π 22 = 24π cm ( ) Bài III (2 điểm)  −3  x − − ( y − 1) =  1) Giải hệ phương trình:   − (1 − y ) =  x −  2) Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol ( P ) : y = − x đường thẳng ( d ) : y = ( − m) x + m − c) Chứng minh ( d ) ( P ) ln có điểm chung d) Tìm tất giá trị m để ( d ) ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Hướng dẫn    1) Ta có hệ phương trình:     ĐKXĐ: x ≠ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 − ( y − 1) = −3 x −1 − (1 − y ) = x −1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC   −8 −3 9 y = 18  x −1 − y =  x − − ( y − 1) =    Hệ cho ⇔  ⇔ ⇔  x − − (1 − y ) =  + 4y =  − (1 − y ) = 10   x −   x −1 y = y = y =    ⇔  x − = ⇔ 1 ⇔   x = (t / m)   x − =−1   x = (t / m)  x −1 =    Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) ( x; y ) = ( 0; ) 2) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P) là: x2 + ( − m ) x + m − = 1; b = − m ; c =− m Trong đó: a = a) Nhân thấy phương trình có a + b + c = nên phương trình ln có nghiệm nghiệm m − nên phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) ln có nghiệm hay ( d ) ( P ) ln có điểm chung Để ( d ) ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 ≠ m − ⇔ m ≠ b) Theo có: x1 + x2 = TH1: x1= 1; x2= m − = m − =  m (ko t / m) 2 ⇔ ( m − 3) =⇔ ⇔  Ta có: + ( m − 3) =  m − =−1  m =2 (t / m) TH2: x2= 1; x1= m − = m − =  m (ko t / m) ⇔ Ta có: m − + 12 = ⇔ m − =1 ⇔   m − =−1  m =2 (t / m) Kết luận: với m = thỏa mãn đề Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) , kẻ đường cao AH ( H ∈ BC ) Gọi hai điểm I K chân đường vng góc kẻ từ A đến hai tiếp tuyến B C đường tròn ( O ) 1) Chứng minh tứ giác AHBI nội tiếp xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBI 2) Chứng minh  AHK =  ABC AH = AI AK 3) Gọi M N trung điểm AI AK Chứng minh AH = AM + AN ba điểm A, O, H thẳng hàng Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC A M I N K O H B C 1) Chứng minh tứ giác AHBI nội tiếp xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBI Tứ giác AHBI có  AIB=  AHB= 90° (GT) ⇒ tứ giác AHBI nội tiếp đường trịn đường kính AB có tâm trung điểm AB 2) Chứng minh  AHK =  ABC AH = AI AK Tứ giác AHCK có  AHC=  AKC= 90° (GT) ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn  đường kính AC ⇒  AHK = ACK (hai góc nội tiếp chắn  ACK =  ABC (góc AK ); mà  nội tiếp góc tạo tia tiếp ⇒ AHK =  ABC =  ACK ( ) tuyến dây cung chắn  AC ) Xét ∆AIH ∆AHK có:  AIH =  ABC (hai góc nội tiếp chắn  ACK =  ABC (góc nội tiếp góc tạo AH );  AIH =  ACK =  ABC (1); tia tiếp tuyến dây cung chắn  AC ) ⇒  ( ) Tương tự  ABI =  ACB (góc nội tiếp góc AHI =  ABI (hai góc nội tiếp chắn  AI );  AIH =  ACK =  ABC ;  tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn  ACB =  AKH AB ) ⇒  ( )  (hai góc nội tiếp chắn  AHI = AKH (2); AH ) ⇒  AI AH Từ (1) (2), ta có ∆AIH  ∆AHK ⇒ = ⇔ AH = AI AK AH AK 3) Gọi M N trung điểm AI AK Chứng minh AH = AM + AN ba điểm A, O, H thẳng hàng Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC A M K N I O C H B = AM + AN mà AH = AI AK Nếu AH ( AI + AK ) = AI AK  AI AK  ⇒ ( AM + AN ) = AI AK ⇔  +  = AI AK ⇔   2 2 ⇔ AI + AI AK + AK= AI AK ⇔ AI − AI AK + AK= ⇔ ( AI − AK ) =0 ⇔ AI =AK ; =  ; AH chung mà ∆AIH  ∆AHK (ý 2)) ⇒ IAH HAK AHI =  AHK ; ⇒ ∆AHI = ∆AHK ( c.g c ) ⇒  2 Theo chứng minh trên, ta có  AHK =  ABC ; tương tự có  AHI =  ACB ⇒ ABC =  ACB =  AHI =  AHK ⇒ ∆ABC cân A có AH đường cao nên ( ) = OC ⇒ O thuộc trung trực BC ⇒ A, H , O thẳng hàng trung trực BC , mà OB Tìm giá trị nhỏ Bài V (0,5 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c =  a b2 c2  P 2020  + +  + = c a  3(a + b + c )  b Lời giải Cách : Biến đối tương đương Áp dụng Cosi số ta có : a2 b2 c2 a b2 c2 + b + + c + + a ≥ 2a + 2b + 2c ⇒ + + ≥ a + b + c = b c a b c a a b2 c2 + + ≥ 3(a + b + c ) Thật : Ta chứng minh b c a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC a2 b2 c2 − 2a + b + − 2b + c + − 2c + a ≥ 3(a + b + c ) − (a + b + c) b c a 2 (a − b) (b − c) (c − a ) ⇔ + + ≥ 3(a + b + c ) − (a + b + c) b c a 2 (a − b) (b − c) (c − a ) ⇔ + + ≥ 2(a + b + c − ab − bc − ca ) b c a 2 (a − b) (b − c) (c − a ) ⇔ + + ≥ (a − b) + (b − c) + (c − a ) b c a ( a − b) (b − c) (c − a ) 2 ⇔ − ( a − b) + − (b − c) + − (c − a ) ≥ b c a 2 (a − b) (1 − b) (b − c) (1 − c) (c − a ) (1 − a ) ⇔ + + ≥ (*) b c a 1 − a > 0;  a , b, c >  ⇒ < a, b, c < ⇒ 1 − b > Do đó, BDT (*) đúng! Do  a + b + c =  1 − c >  a b2 c2  a b2 c2 = P 2019  + +  + + + + Ta có: c a b c a 3(a + b + c )  b ⇔ P ≥ 2019.1 + 3(a + b + c ) + AM −GM 1 ≥ 2019 + 3(a + b + c ) ⋅ 2 2 3(a + b + c ) 3(a + b + c ) P ≥ 2019 + = 2021 Dấu xảy a= b= c= Cách 2: Sử dụng B.Đ.T Cosi cho số số a2 a2 a2 + 3ab + ≥ 3 ⋅ 3ab ⋅ = 3a ⇒ ≥ 3a − 3ab − b b b Tương tự với biến b c Cộng lại ta thu được: a b2 c2 ⇒ + + ≥ 3(a + b + c) − 3(ab + bc + ca ) − b c a  a b2 c2  ⇒  + +  ≥ − 3(2ab + 2bc + 2ca ) = − (a + b + c) − (a + b + c )  c a  b Áp dụng Cosi số, ta có : ⇒ AM −GM  a b2 c2  1 + + 3(a + b + c ) + +1 ≥  + + ≥ 2 2 2 3(a + b + c ) c a  3(a + b + c )  b (1) a2 a2 a2 +b ≥ ⋅ b = 2a ⇒ ≥ 2a − b Tương tự cho b c Áp dụng Cosi số, ta có b b b a b2 c2 a b2 c2 + + ≥ a +b + c ⇒ + + ≥1 (2) Cộng lại, ta có : b c a b c a Từ (1) (2) suy ra:  a b2 c2   a b2 c2  = ≥ 2018.1 + P 2018  + +  +  + +  + c a  b c a  3(a + b + c )  b Do đó, MinP = 2021 a= b= c= Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II MƠN: TỐN Năm học 2019-2020 Thời gian: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 23/5/2020 (Đề thi có 01 trang, học sinh làm giấy kiểm tra) Bài 1: (2 điểm): Giải phương trình hệ phương trình sau: UBND QUẬN LONG BIÊN TRƯỜNG THCS ÁI MỘ 2 x − y = 17 4 x + y = a) x4 – 5x + = b)  Bài 2: (2,5 điểm): a) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Hai tổ sản xuất trang ngày làm 5000 Để đáp ứng nhu cầu trang phòng chống dịch cúm Covid-19, ngày tổ I sản xuất vượt mức 20%, tổ II vượt mức 30%, hai tổ ngày sản xuất 6300 trang Hỏi ban đầu ngày tổ sản xuất trang? b) Hộp sữa đặc có đường Vinamilk có dạng hình trụ có đường kính đường đáy cm, 10 chiều cao 10 cm (Hình vẽ minh họa) Hỏi dung tích hộp sữa (kết làm trịn đến hàng đơn vị, lấy π =3,14) Bài 3: (1,5 điểm): Cho parabol ( P ) : y = x đường  2 −mx + (x ẩn, m tham số) thẳng d : y = a) Tìm tọa độ giao điểm d (P) m = b) Tìm giá trị m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa 2 2020 mãn điều kiện: x1 x2 + x1 x2 = Bài 4: (3,5 điểm): Cho đường tròn (O; R) Một đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A B Trên đường thẳng d lấy điểm C ngồi đường trịn cho CB < CA Kẻ hai tiếp tuyến CM CN với đường tròn ( M thuộc cung nhỏ AB ) Gọi H trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác OHCN nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng OH cắt tia CN K Chứng minh KN KC = KO.KH c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn ( O ) I Chứng minh điểm I tâm đường tròn nội tiếp ∆CMN d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt CM CN E F Xác định vị trí điểm C đường thẳng d cho diện tích ∆CEF nhỏ 1 + + = Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Bài 5: (0,5 điểm): Cho x, y, z > -Hết Chúc làm tốt! Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC TRƯỜNG THCS ÁI MỘ Năm học: 2019 - 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN I Mục tiêu Kiến thức: Nhằm đánh giá mức độ: - Giải phương trình bậc hai, phương trình trùng phương, giải hệ phương trình, giải tốn lập phương trình - Vị trí tương đối đường thẳng đường cong parabol - Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đẳng thức tích, xác định tâm đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác, cực trị hình học Kĩ năng: - Đánh giá kĩ tính tốn, giải phương trình, hệ phương trình… - Đánh giá mức độ thực thao tác vẽ hình, cứng minh kiến thức hình học, vận dụng hình học khơng gian vào sống Th¸i độ: Tích cực, nghiêm túc làm Năng lực: Tù häc, t­ logic, tÝnh to¸n, lËp luËn II MA TRẬN ĐỀ Các mức độ đánh giá Các đơn vị kiến thức Vận dụng cao Tổng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng TN TL TN TL TN TL TN TL Chủ đề Phương trình, hệ phương trình Nội dung kiến thức Số câu Số điểm % Chủ đề Mối quan hệ đường thẳng đường cong parabol Số câu Số điểm % Chủ đề Hình học khơng gian Giải hệ phương, phương trình trùng phương Giải tốn cách lập phương trình 1 10% Tìm tham số để đường thẳng d P tiếp xúc với P Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 20% 1 40% 10% Bài toán lien quan đến vi et 1 10% Tính diện tích, thể tích hình trụ, hính nón, hình cầu Số câu Số điểm 0,5 % 5% Chứng minh tứ Chủ đề Hình học giác nội tiếp phẳng Số câu Giải hệ phương, phương trình trùng phương 0,5 1,5 15% 5% Chứng minh hệ thức 1 0,5 5% Xác định tâm đường trịn nội tiếp tam giác, giới hạn hình học TÀI LIỆU TOÁN HỌC Số điểm % Chủ đề Bất đẳng thức Số câu Số điểm % Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ % 1 10% 10% 1,5 3,5 35% 15% Chứng minh bất đẳng thức 0,5 5% 3,5 35% 3,0 30% 3,5 35% 0,5 5% 11 10 100% HƯỚNG DẪN CHẤM a 1đ Bài 2đ b 1đ Biểu điểm Đáp án Ý Bài x4 – 5x + = Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ Khi (1) trở thành : t2 – 5t + = (2) Giải (2) : Có a = ; b = -5 ; c = ⇒ a + b + c = ⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện + Với t = ⇒ x2 = ⇒ x = x = -1; + Với t = ⇒ x2 = ⇒ x = x = -2 Vậy S = {±1; ±2} 0,25 0,25 0,25 0,25 y 10 − 3y = 2 x = 4 x − ⇔  x + y 17 x + y 17 = = 0,25 −7 −7 y = ⇔ 2 x − y = y =1 ⇔ x = a) 2đ Bài 2,5 đ 0,25 0,25 Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (4; 1) Gọi số trang ban đầu ngày tổ sản xuất x (chiếc) (x ∈N*, x < 5000) Số trang ban đầu ngày tổ sản xuất y (chiếc) (y ∈N*, x < 5000) Lập phương trình x + y = 5000 Số trang lúc sau ngày tổ sản xuất 1,2x (chiếc) Số trang lúc sau ngày tổ sản xuất 1,3y (chiếc) Theo đầu ta có phương trình 1,2x + 1,3y = 6300 5000 x + y = 6300 1, x + 1,3 y = Giải hệ phương trình  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5  x = 2000 (t / m) Được  y = 3000 (t / m)  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC b) 0,5 đ a) 1đ b) 0,5 đ Bài 2đ Số trang ban đầu ngày tổ sản xuất 2000 (chiếc) Số trang ban đầu ngày tổ sản xuất 3000 (chiếc) Bán kính đáy hộp sữa : = 3,5 ( cm ) Thể tích hộp sữa = V π= r h 3,14.3,52.8 ≈ 308 (cm3 ) Phương trình hồnh độ giao điểm đưa về: x + mx − = (*) Với m = ta có x + x – = ( a= 1; b = 1, c = -2) Ta có a + b + c = + + (-2) =  x1 = => y1 = x2 = -2 => y2 = Vậy với m = 1, tọa đội giao điểm d P (1; 1); (-2; 4) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Phương trình hồnh độ giao điểm đưa về: x + mx − = (*) ∆ = m2 + Để (d) cắt (p) điểm phân biệt  với m −m  x1 + x2 =  x1 x2 = −2 Theo hệ thức vi – et ta có  0,25 x12 x2 + x1 x22 = 2020 ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) = 2020 ⇒ −2.(−m) =2020 ⇔m= 1010 (t / m) Vậy m = 1010 0,25 Vẽ hình 0,25 0,25 0,25 0,25 1đ Bài 3,5 đ  = 900 Chứng minh OH ⊥ AB H => OHC  = 900 Chứng minh ON ⊥ CN N => ONC  + ONC  = 1800 => Tứ giác OHCN nội tiếp OHC Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1đ 1đ KN KC = Chứng minh: ∆KNO ∆KHC đồng dạng KH KO KH KO ⇒ KN KC = (đpcm)  (1) Chứng minh CI tia phân giác NCM 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh cung NI = cung MI  (2) Chứng minh: NI phân giác MNC Từ (1) (2): I tâm tròn nội tiếp ∆MNC 0,5 đ SCEF = OM CE mà OM = R nên SCEF CE 0,25 0,25 Có CE = CM + ME ≥ CM ME = OM = 2R Dấu xảy CM = ME = R ⇒ OC = R SCEF = R Áp dụng BĐT Ta có: Bài 0,5 đ 1 (với x, y > ) + ≥ x y x+ y 1 1  1 1  ≤  + +  ≤  + x + y + z  x y + z   x y 4z  Tương tự : 0,25 1 1  ≤  + + , x + y + z  x y 4z  1 1  ≤  + +  x + y + z  x y 2z  Cộng vế BĐT ta có đpcm Dấu “=” xảy x= y= z= Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 0,25 TÀI LIỆU TỐN HỌC UBND QUẬN THANH XN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn kiểm tra: TOÁN Ngày kiểm tra: 28/4/2021 Thời gian làm bài: 90 phút (Đề kiểm tra gồm 01 trang) x +3 B = x +2 x với x ≥ 0; x ≠ + − x +1 x −1 x −1 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B = x +2 x +1 3) Đặt M = A.B So sánh M với Bài II (2,5 điểm) 1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 52 mét Nếu tăng chiều dài thêm mét giảm chiều rộng mét diện tích mảnh vườn giảm 34 m2 Tính chiều dài chiều rộng ban đầu mảnh vườn 2) Người ta thiết kế đèn thả nhơm hình bên Phần chụp đèn hình nón có đường kính đáy 24 cm, độ dài đường sinh 30 cm Tính diện tích nhơm cần dùng để làm chụp đèn (Lấy = 3,14; làm tròn kết đến hàng đơn vị) Bài III (2,0 điểm)  + 2( y + 1) =  1) Giải hệ phương trình  x −  − ( y + 1) =  x − 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : y = mx − m + parabol ( P ) : y = x2 a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x,x, thỏa mãn x12 x2 + x1 x22 = Bài IV (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ Ax, By tiếp tuyến với nửa đường tròn A B Từ điểm C tia Ax , kẻ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn D Nối C với B cắt nửa đường tròn F Gọi E giao điểm OC AD 1) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp 2) Chứng minh CF.CB = CE.CO 3) Gọi K giao điểm CD với tia By Nối CB cắt AK N, DN cắt AB H Chứng minh N trung điểm DH Bài V (0,5 điểm) Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = 3a + 2ab + 3b + 3b + 2bc + 3c + 3c + 2ca + 3a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) I.1 A= x +3 x +2 Thay x = (tmđk) vào biểu thức A Tính A = I.2 B= B= x với x ≥ 0; x ≠ + − x +1 x −1 x −1 x ( x − 1) + 2( x + 1) − ( x − 1)( x + 1) B= x− x +2 x +2−4 ( x − 1)( x + 1) B= x+ x −2 ( x − 1)( x + 1) B= ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 1) B= x +2 x +1 Vậy B = x +2 (ĐPCM) x +1 I.3 = M x +3 x +2 = x + x +1 x +3 x +1 x +3 = −1 x +1 x +1 Ta có > 0; x + > với x thỏa mãn ĐKXĐ ⇒ > với x thỏa mãn ĐKXĐ x +1 ⇒ M − > với x thỏa mãn ĐKXĐ Xét hiệu M= −1 Suy M > với x thỏa mãn ĐKXĐ Bài II (2,5 điểm) I.1 Gọi chiều dài, chiều rộng ban đầu mảnh vườn hình chữ nhật x (m), y (m) (ĐK: x > y > 3) Vì chu vi mảnh vườn 52 m nên ta có phương trình: ( x + y ).2 = 52 ⇔ x + y = 26 (1) Diện tích ban đầu mảnh vườn hình chữ nhật là: xy (m2) Nếu tăng chiều dài mảnh vườn thêm 2m giảm chiều rộng 3m chiều dài chiều rộng là: x + (m) y – (m) Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Khi diện tích mảnh vườn giảm 34 m2 nên ta có phương trình: (x + 2)(y - 3) = xy – 34 (2) 26 x + y = ( x + 2)( y − 3) = xy − 34 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   x = 16(tm)  y = 10(tm) Giải hệ phương trình ta  Kết luận: Vậy chiều dài ban đầu mảnh vườn 16 mét, chiều rộng ban đầu 10 mét II.2 Bán kính đáy chụp đèn là: = r 24 = 12(cm) Diện tích nhơm cần dùng diện tích xung quanh chụp đèn S xq = π rl ≈ 3,14.12.30 ≈ 1130(cm ) Bài III (2,0 điểm) III.1   x − + 2( y + 1) = (ĐK: x ≠ )   − ( y + 1) =  x − 3a + 2b = Đặt = a; y + 1= b ta có  x−4  4a − b = a = Giải hệ phương trình được:  b =  = x =  Suy  x − ⇔  (tm) = y   y + =2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (5; 1) III.2a Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) ta có: x = mx − m + ⇔ x − mx + m − = (a =1 ≠ 0) (*) ∆= (m − 2) + > với m nên phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m => Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt với m III.2b m  x1 + x2 =  x1 x2= m − Theo Vi-ét có:  Theo đề ta có x12 x2 + x1 x22 = ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) = Suy m − 2m − =0 ⇒ m =−1; m =3 Vậy m ∈ {-1; 3} giá trị cần tìm Bài IV (3,0 điểm) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 1) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp Vì CA CD tiếp tuyến với (O) A D =  =° ⇒ CAO CDO 90 Xét tứ giác ACDO có:  + CDO = CAO 180°  ; CDO  đối Mà CAO => Tứ giác ACDO nội tiếp 2) Chứng minh CF.CB = CE.CO Chứng minh: CO vuông góc AD Chứng minh: CA2 = CE.CO (1) Chứng minh: CA2 = CF.CB (2) Từ (1) (2) ta có CF.CB = CE.CO 3) Chứng minh N trung điểm DH Ta có: CA // KB (cùng vng góc với AB) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ⇒ CN CA = (Định lý Talet) NB KB Mà CD = CA; KD = KB (T/c tt cắt nhau) ⇒ CN CD = NB DK => DN // KB (Talet đảo) => NH // KB Vì DN // KB ⇒ ND CN = (3) BK CB Vì NH // CA (cùng song song KB) ⇒ CN AH = (4) CB AB AH NH = (5) AB KB ND NH suy ND = NH Từ (3); (4); (5) ta có: = BK BK Vì NH // KB ⇒ => N trung điểm DH Bài V (0,5 điểm) Ta có 3a + 2ab + 3b = 2(a + b) + (a − b) ( a − b) ≥ ⇒ 2(a + b) + (a − b) ≥ 2(a + b) Vì ⇒ 2(a + b) + (a − b) ≥ 2(a + b) ⇒ 3a + 2ab + 3b ≥ 2(a + b) (1) Chứng minh tương tự có: 3b + 2bc + 3c ≥ 2(b + c) (2) 3c + 2ca + 3a ≥ 2(c + a ) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3a + 2ab + 3b + 3b + 2bc + 3c + 3c + 2ca + 3a ≥ 2.(a + b + b + c + c + a ) ⇒ P ≥ 2(a + b + c) ⇒ P ≥ 2.2 = a= b= c ⇔ a =b =c = a + b + c = Dấu “=” xảy  Vậy giá trị nhỏ P = a= b= c= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... x x ? ?2 x ( )( ( x ? ?2 )( x +2 x +2 )( ) x +2 ) ) ) x x ? ?2 x với x > ; x ≠ x ? ?2 c) Với x > x ≠ : A x x x x ? ?2 = = : = B x +2 x ? ?2 x +2 x Vậy B = x ? ?2 x +2 x ? ?2 x ? ?2+ x +2 = +1 = x +2 x +2 Với... = 9 +2 Vậy với x = A = b) Với x > x ≠ có: x 1 B= + + x−4 x ? ?2 x +2 Cho hai biểu thức: A = B= B= B= B= x+ x +2+ x ? ?2 ( ( x ? ?2 x +2 x +2 x x ? ?2 x ( )( ( x ? ?2 )( x +2 x +2 )( ) x +2 ) ) ) x x ? ?2 x... x x 2) Ta = có: B ĐKXĐ: x ≥ x ≠ + x +2 x−4 x + x +2 = B B= x ( ( ) )( x ? ?2 ( ( x +2 ) x ? ?2 +4 x )( x +2 ) )( Kết luận: B = ) ) x x ? ?2 x x ? ?2 3x ⇒ x ? ?2 3) A + = B ⇔ x ? ?2 x x +2 = x ? ?2 x +2 = B