Thông tin tài liệu
1 ĐỀ SỐ Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 1,5 điểm) Cho hai hàm số y = x2 (1) y = x + (2) a/ Vẽ đồ thị hai hàm số (1) (2) mặt phẳng tọa độ b/ Xác định tọa độ giao điểm hai hàm số x − y = Câu 2: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau phương pháp : 2 x + y = Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình ( ẩn x ) x − 2(m − 1) x + m = a/ Tính ∆ ' b/ Với giá trị m phương trình có nghiệm ? Câu 4: (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có nhiều dài lớn nhiều rộng 5m diện tích 150m2 Tính chiều dài chiều rộng mạnh đất Câu 5: (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Kẻ EF vng góc với AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a/ Tia CA tia phân giác góc BCF; b/ Tứ giác BCMF nội tiếp Câu 6: (1,5 điểm) Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5cm chiều cao h = 10cm a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ ; b/ Tính thể tích hình trụ ? HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Câu Đáp án Biểu điểm y = x+2 1,0 y = x2 a/ Cho xác điểm đặc biệt, vẽ xác đồ thị b/ Lập phương trình hồnh độ giao điểm y = x2 (1) y = x + (2) là: x2 = x + ⇔ x2 - x – = (*) Giải phương trình (*), ta x = -1 x = Tác giả: Nguyễn Công Lợi -2 -1 O B TÀI LIỆU TOÁN HỌC 0,25 + Với x = -1 suy y = 1; + Với x = suy y = Vậy, hai hàm số y = x2 (1) y = x + (2) có hai giao điểm ( -1; 1) ; (2; 4) 0,25 0,5 x= y + x − y = ⇔ 1 2( y + 3) + y = 2 x + y = 0,5 x= y + ⇔ 5 y = −5 x = ⇔ Vậy, hệ phương trình có nghiệm (2; -1) y = −1 a/ ∆ ' =(m − 1) − 1.m =−2m + 1 b/ Để phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ hay −2m + ≥ ⇒ m ≤ Gọi x (m) chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ( ĐK x > 0) Khi đó, chiều dài mảnh đất ( x + ) (m) Vì diện tích mảnh đất 150m2, ta có phương trình: x (x + ) = 150 ⇔ x + x − 150 = 0(*) Giải phương trình (*) x1 = 10 ( thỏa ĐK ) x2 = −15 ( loại ) 0,5 1,0 0.5 0,5 0,5 0,5 Vậy, Chiều rộng mảnh đất 10m, chiều dài mảnh đất 15m 0,5 C a/ Ta c/m tứ giác ECDF nội tiếp ( Vì ECD = EFD = 900 ) B E =D ( góc nội tiếp chắn Suy C cung EF ) (1) ( góc nội tiếp =D Mặt khác, C 1 0,25 M A F D O 0,25 chắn cung AB ) (2) =C Từ (1) (2) suy C 0,5 Do CA tia phân giác góc BCF b/ Ta có MF = MD ( MF trung tuyến ứng với cạnh huyền tam = 2D giác vuông), suy ∆MFD cân M MBF 0,5 = 2D ( từ câu a) Do BMF = BCF suy tứ giác Ta lại có BCF 0,5 BCMF nội tiếp a/ Diện tích xung quanh hình trụ: = S xq 2= π rh 2π 5.10 = 100π (cm ) b/ Thể tích hình trụ : = V π= r h π 5= 10 250π (cm3 ) Tác giả: Nguyễn Công Lợi 1,0 0,5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ SỐ Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (1,5điểm) a+ a a - a +1 a -1 -1 với a ≥ 0; a ≠ a +1 a) Rút gọn biểu thức P = b) Tính giá trị P a = + Bài (1,5 điểm) 17 4 x + y = Giải hệ phương trình : 2 x + y = Bài (1,5 điểm) Tìm m để phương trình x2- 5x - m + = có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 13 Bài (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình : Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20 km/h Do đến B trước xe khách 50 phút Tính vận tốc xe , biết quãng đường AB dài 100 km Bài (3,5điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm S nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Một đường thẳng qua S (không qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) hai điểm M N với M nằm S N Gọi H giao điểm SO AB; I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E a) Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh OI.OE = R2 c) Cho SO = 2R MN = R Tính diện tích tam giác ESM theo R Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Bài : (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức : a+ a a - a a ( a +1) a ( a -1) P = +1 -1 +1 -1 = a +1 a -1 a +1 a -1 = ( a +1)( a -1) = a -1 Vậy P = a - 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm b) Tính giá trị P a = + a = + = + +1 = ( ) +1 = +1 0,25 điểm 0,25 điểm P = a -1 = +1-1 = Bài : (1,5 điểm) Giải hệ phương trình : y 17 − x y 17 − x 17 = = 4 x + y = ⇔ ⇔ 1 2 x + 3(17 − x) = 2 x + y = 2 x + y = y 17 − x y 17 − x = = ⇔ ⇔ 2 x + 51 − 12 x = 10 x = 50 y 17 − x = x = ⇔ ⇔ x = y = −3 Vậy tập nghiệm hệ phương trình : ( ; -3 ) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài : (1,5 điểm) Phương trình : x2- 5x - m + = ( ) Ta có ∆ = 25 − 4(− m + 7) = 25 + 4m − 28 = 4m − 3 Phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 ⇔ ∆ = 4m − ≥ ⇔ m ≥ Với điều kiện m ≥ , ta có : x12 + x22 = x1 + x2 - x1x2 ( ( ⇔ x1 + x2 ) ) - x1x2 = 13 −b x1 + x2 = a = Theo hệ thức Viet ta có : x x =c =−m + a Do ta có : 25 - 2(- m + 7) = 13 ⇔ 2m = ⇔ m = ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy m = giá trị cần tìm Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Bài : ( điểm ) Gọi vận tốc xe khách x ( km/h) ĐK : x >0 Vận tốc xe du lịch : x + 20 (km/h) 100 Thời gian xe khách hết AB : ( h) x 100 Thời gian xe du lịch hết AB : ( h) x + 20 50 phút = 100 100 Theo đề ta có phương trình : − = x x + 20 Giải phương trình ta : x1 = 40 ( Nhận ) x2 = - 60 ( Loại ) Trả lời : Vận tốc xe khách 40 km/h Vận tốc xe du lịch 60 km/h 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài : (3,5 điểm) Vẽ hình ghi giả thiết , kết luận 0,5 điểm E A N I M S H O 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm B a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp đường trịn : Ta có SA = SB ( tính chất tiếp tuyến) Nên ∆ SAB cân S Do tia phân giác SO đường cao ⇒ SO ⊥ AB I trung điểm MN nên OI ⊥ MN 0,25 điểm Do SHE = SIE = 1V 0,25 điểm ⇒ Hai điểm H I nhìn đoạn SE góc vng nên tứ giác IHSE nội tiếp đường trịn đường kính SE Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 0,25 điểm TÀI LIỆU TOÁN HỌC b) ∆ SOI đồng dạng ∆ EOH ( g.g) 0,25 điểm 0,25 điểm OI OS = ⇒ OI.OE = OH.OS OH OE 0,25 điểm ⇒ mà OH.OS = OB2 = R2 ( hệ thức lượng tam giác vuông SOB) nên OI.OE = R 0,25 điểm R R2 3R ⇒ OE = = 2R ⇒ EI = OE − OI = OI R 15 Mặt khác SI = SO − OI = R 3( − 1) ⇒ SM =SI − MI = 2 SM.EI R 3( − 1) = Vậy SESM = c) Tính OI= 0,25 điểm 0,25 điểm ĐỀ SỐ Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) a/Gọi x1 ,x2 nghiệm phương trình 2x2 -5x + = 0.Khơng giải phương trình tính: x1 + x2 ; x1.x2 ; x12 + x22 3 x + y = b/Giải hệ phương trình sau: x − y = −1 Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trình x -2mx + m -1 =0 (1) với m tham số a/Giải phương trình (1) m= -1 b/Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 12 Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số y = - x2 có đồ thị (P) a/Vẽ đồ thị hàm số (P) b/Một đường thẳng (d) qua điểm A(1;5) song song đường thẳng y = 3x – 2.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)? Câu 4: (1,0 điểm) Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109.Tìm hai số Câu : (1,0 điểm) Tính diện tích hình quạt trịn có bán kính 6cm có số đo cung 720 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Câu 6:(3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, tia Cx nằm hai tia CA CB Vẽ đường trịn (O) có O thuộc cạnh AB, tiếp xúc với cạnh CB M tiếp xúc với tia Cx N Chứng minh rằng: a Tứ giác MONC nội tiếp đường tròn b AON = ACN c Tia AO tia phân giác MAN HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Điểm Nội dung Điểm −b = a c x1.x2 = = a 21 x12 + x22 = x + y = x = ⇔ b/ nghiệm hệ phương trình x − y = −1 y = a Thay m = −1 vào phương trình (1), ta pt: x + x = (2) x + = ⇔ x( x + 2) = ⇔x= x = −2 ⇔x= Vậy tập nghiệm phương trình (2) S = {-2;0} a/ x1 + x2 = Do đó: 2m = 12 ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm a.Vẽ đồ thị hàm số 0,25đ 0,5đ 1đ 0,5đ b Ta có: ∆ ' = (−m) − 1.(m − 1) = m − m + = > => Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Theo hệ thức Vi – ét, ta có: x1 + x2 = 2m , mà x1 + x2 = 12 (gt) 0,25đ b Lập luận tìm tọa độ giao điểm (d) (P) là: (-1;-1) ,(-2;-4) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: x ,x + Theo đề ta có phương trình: x(x + 1) = x + (x+1) + 109 Giải phương trình được: x = 11 Vậy hai số cần tìm là: 11 12 Tác giả: Nguyễn Công Lợi 1đ 0,5đ 1đ 1đ TÀI LIỆU TỐN HỌC Nêu cơng thức S = ΠR n 360 0,5đ 0,5đ = 7,2Π ≈ 22,608cm Hình vẽ: C M A O B N x = 900 (CN tiếp tuyến (O)) a/Ta có: CNO = 900 (CM tiếp tuyến (O) CMO = 900 + 900 = + CMO CMO hai góc vị trí Do đó: CNO 1800 , mà CNO, đối diện Suy ra, tứ giác MONC nội tiếp đường trịn đường kính OC (*) (đpcm) = 900 (gt) nên N, A thuộc đường = 900 (cm trên) CAO b/Vì CNO trịn đường kính OC 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 => Tứ giác ACON nội tiếp đường trịn đường kính OC (**) = ACN (hai góc nội tiếp chắn cung AN) (đpcm) => AON 0,25 c/Từ (*) (**) suy năm điểm A, C, M, O, N thuộc đường trịn đường kính OC 0,25 = ON Trong đường trịn đường kính OC có OM = ON => OM 0,25 = NAO (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ MAO Vậy tia AO tia phân giác MAN Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi (đpcm) 0,25 0,25 TÀI LIỆU TỐN HỌC ĐỀ SỐ Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài : (2 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau : 2x − 3y = a) 3x + 2y = x y −3 − = b) x + 3y = c) 3x2 -15x = d) x2 -10x + 24 = Bài : (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x hệ trục tọa độ x − + (P) câu b) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (D) y = phép tính Bài : (1,5 điểm) Cho phương trình : x2 - mx + m -1 = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Gọi x1 , x nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức M = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài : ( 1,0 điểm) Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh CD cố định ta hình trụ có diện tích xung quanh 96π cm2, biết CD= 12cm Hãy tính bán kính đường trịn đáy thể tích hình trụ Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có  > 900 Vẽ đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường trịn (O’) điểm thứ hai D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E 1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn 2) Gọi F giao điểm hai đường tròn (O) (O’) (F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng FA phân giác góc EFD 3) Gọi H giao điểm AB EF Chứng minh A tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF BH.AD = AH.BD Bài 6: (0,5 điểm) Cho x, y hai số thực thoả mãn x.y = Chứng minh: + x2 + y2 ≥ ( x+ y ) Đẳng thức xảy ? Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Bài Đáp án Điểm 0,25 đ y 21 = 2x − 3y = 6 x −= x ⇔ 9 ⇔ a) −1 6 x + y = y = 3x + 2y = b) Bài Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;-1) 0,25đ x y − = − y 18 = 2 x= 6 x 18 ⇔ ⇔ + 3y + 3y 4 x= 4 x= x + 3y = 0,25đ x = ⇔ Vậy hệ PT có nghiệm (3;-4) y = −4 c) 0,25đ 3x2 -15x = ⇔ 3x(x-5)=0 ⇔ x= x = 0,25đ Vây PT có hai nghiệm x1 = 0, x2 = 0,25đ d) ∆’ = 25 – 24 = 1>0, Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 6, x2 =4 0,25đ a Lập bảng giá trị 0,25đ Vẽ xác đồ thị 0,5 đ b Hoành độ giao điểm (P) (D) nghiệm phương trình x2 − x = + ⇔ x + x − 8= Bài Có ∆’ = 1+8 = => x1 = 2, x2 = - 0,25đ 0,25đ Thay x1 = vào hàm số y = x ta y = Thay x1 = -4 vào hàm số y = Bài 0,25đ x ta y = 4 Vậy tọa độ giao điểm (D) (P) (2 ;1) (-4 ;4 0,25đ a.Có ∆ = m2 – 4(m-1) = m2 - 4m + =(m-1)2 0,25đ Ta có (m-1)2 ≥ với m nên ∆ ≥ Vậy PT ln có nghiệm với m 0,25đ Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 C a) Tứ giác BEFI có: = 900 (gt) BIF E F A I O D Bài 3,5 điểm B 0.5 BEF = BEA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF 0.5 = AD , b) Vì AB ⊥ CD nên AC = AEC suy ACF Xét ∆ACF ∆AEC có góc A chung = AEC ACF Suy ra: ∆ACF AC AE ⇒ = AF AC ⇒ AE.AF = AC2 ~ với ∆AEC 0,5 0,5 = AEC , suy AC tiếp tuyến đường tròn ngoại c) Theo câu b) ta có ACF tiếp ∆CEF (1) = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy AC ⊥ CB (2) Từ Mặt khác ACB (1) (2) suy CB chứa đường kính đường trịn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định E thay đổi cung nhỏ BC a a a+c < < (1) b+a a+b+c a+b+c b b b+a < < (2) b+c a+b+c a+b+c c c+b c < < (3) c+a a+b+c a+b+c a b c Cộng vế (1), (2), (3), ta : < + + < 2, đpcm a+b b+c c+a 0.5 0.5 Ta có Bài 0,5 điểm Tác giả: Nguyễn Công Lợi 0,5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 ĐỀ SỐ Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) A- Trắc nghiệm : (Mỗi câu 0,25đ) Hãy khoanh tròn vào chữ đứng trước phương án câu sau: Câu 1- Điểm A(-2;-1) thuộc đồ thị hàm số ? A y = x2 B y = − x2 − x2 C y = x2 D y = Câu 2- Cho hàm số y = ax2 đồ thị parabol qua điểm M(-1;1) có hệ số a A B.-1 C.2 D.3 Câu 3- Phương trình bậc hai : 2x2 – x – =0 có hệ số a,b,c là: A ; 1; B 2; -1; -1 C 2; 1; -1 D 2; -1; Câu 4- Trong phương trình sau phương trình có nghiệm phân biệt A x − x + = B x2 + = C 3x2 – 5x – = D x2 + x + = Câu 5- Phương trình x2 – 4x + = có nghiệm: A x1 = B x= x= 2 C x1 = x2 = −2 D Vô nghiệm Câu 6- Gọi x1,x2 nghiệm phương trình 2x2 – 3x – = ta có : −3 − A x1 + x2 = ; x1.x2 = 2 x2 C x1 += − B x1 + x2 =; x1.x2 = 2 ; x1= x2 2 + x2 D x1= −3 ;= x1.x2 2 Câu 7- Cho đường trịn tâm O có bán kính 2cm đường trịn O’ có bán kính 3cm biết OO’ = 2cm vị trí hai đường trịn là: A Tiếp xúc B Tiếp xúc C Đựng D Cắt C Góc tù D Góc bẹt Câu 8- Góc nội tiếp chắn đường trịn A Góc vng B Góc nhọn = 400 cung trịn chứa Câu 9- Cho đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC cân A BAC điểm A có số đo : A 600 B 1200 C 1000 D 2800 Câu 10- Trong hình hình nội tiếp đường trịn A Hình thoi B Hình chữ nhật C Hình thang D Hình bình hành Câu 11- Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O), biết  = 600 số đo góc C : A 1200 Tác giả: Nguyễn Công Lợi B 900 C 600 D 300 TÀI LIỆU TỐN HỌC 19 Câu 12- Một bể nước hình trụ cao 2m, bán kính đáy 1m tích : A π (m3 ) B π (m3 ) C π (m3 ) D π (m3 ) B- Tự luận : (7đ) 16 4 x + y = Bài 1: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: −24 4 x − y = Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x : x − x + m − =0 (1) a) Giải phương trình (1) với m = -4 b) Với x1, x2 nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị m, biết x1 – x2 = Bài 3: (1,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng bé chiều dài 4m, biết diện tích 320m2 Tính chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nối tiếp đường tròn tâm (0) Vẽ hai đường cao BE CF a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn = b) Chứng minh AFE ACB c) Chứng minh AO ⊥ EF HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM A- Trắc nghiệm : (Mỗi câu 0,25đ) C A B C B B D A D 10 B 11 A 12 B B- Tự luận : (7đ) Bài Lời giải sơ lược Bài Giải phương trình: (1,0 điểm) 16 4 x + y = 10 y = 40 ⇔ −24 16 4 x − y = 4 x + y = y = y = ⇔ ⇔ x 16 − 28 16 4= 4 x + 7.4 = y = y = ⇔ ⇔ 4 x = −12 x = −3 Vậy hệ phương trình có1 nghiệm nhất: (x; y)= ( −3 ; 4) Bài a) Với m = -4 phương trình (1) có nghiệm x1 = -1; (2,0 điểm) x2 = Tác giả: Nguyễn Công Lợi Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5đ 0,5đ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 0,5đ x1 − x2 = x = ⇔ b) Ta có x1 + x2 = x2 = Theo Viet x1.x2 = m – hay 3.1 = m -1 ⇔m= 0,5đ Bài Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m); ( x > 4) (1,0 điểm) Thì chiều rộng hình chữ nhật x - (m) Ta có phương trình: x(x-4) = 320 ⇔ x2 – 4x + 320 = ⇒ x1 = 16 (TMĐK) x2 = -20 (loại) Vậy chiều dài 16(m); Chiều rộng 12 (m) Bài y (3,0 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ A x E F O B a) Ta có : = 1v( gt ) BFC = 1v BEC C ⇒ tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn đường kính BC b) Ta có : AF E + EF B= 1800 (kề bù) ACB + EF B= 1800 (Tứ giác BFEC nội tiếp) = ⇒ AFE ACB c) Kẻ tiếp tuyến xAy Ta có: = xAB ACB (cùng chắn AB ) AFE = ACB (cm trên) = (so le trong) ⇒ AFE xAB ⇒ xy // EF Mà xy ⊥ AO (t/c tiếp tuyến) ⇒ EF ⊥ AO (đpcm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 21 ĐỀ SỐ Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2điểm) Chọn phương án trả lời ghi vào kiểm tra = y f= ( x) 1/ Điểm sau nằm đồ thị hàm số A điểm M(-2;-1) B điểm N(-2;-2) x C điểm P(-2;2) D.điểm Q(-2;1) 2/ Cho phương trình (ẩn x): x2 – (m+1)x +m = Khi phương trình có nghiệm A x1 = 1; x2 = m B x1 = -1; x2 = - m C x1 = -1; x2 = m D x1 = 1; x2 = - m 3/ Diện tích hình trịn nội tiếp hình vng có cạnh cm là: A 4π ( cm2 ) B 16 π( cm2 ) C 64 π ( cm2 ) D 10 π ( cm2 ) 4/ Một hình nón có bán kính đáy cm, đường cao 21 cm thể tích là: A 63 π ( cm3 ) B 11π ( cm3 ) C 33π ( cm3 ) D 20 π ( cm3 ) Câu 2: ( 2,5 điểm ) 1/ Giải phương trình sau: a/ x2 - 3x + = b/ x4 + 6x2 - = 2/ Cho phương trình 3x2 - 5x + = Goi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức: A = x12x2 + x1x22 Câu 3: (1,5 điểm) Quãng đường Hải Dương – Thái Nguyên dài 150km Một ô tô từ Hải Dương đến Thái Nguyên nghỉ Thái Nguyên 30 phút, sau trở Hải Dương hết tất 10 Tính vận tốc ô tô lúc ( Biết vận tốc lúc nhanh vận tốc lúc 10km/h ) Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O); tia AO cắt đường tròn (O) D ( D khác A) Lấy M cung nhỏ AB ( M khác A, B ) Dây MD cắt dây BC I Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Chứng minh rằng: a/ MD phân giác góc BMC b/ MI song song BE c/ Gọi giao điểm dường trịn tâm D, bán kính DC với MC K (K khác C ) Chứng minh tứ giác DCKI nội tiếp Câu 5: (1,0 điểm) Giải phương trình: - x2 + = Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 2− x TÀI LIỆU TỐN HỌC 22 HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Câu Câu (2 điểm) Câu2 (2,5 điểm ) Phần Nội dung Điểm 1/ Chọn C 0.5 2/ Chọn A 0.5 3/ Chọn B 0.5 4/ Chọn A 0.5 1-a) PT có ∆ = ⇒ PT ln có nghiệm x1 = 0.25 3+ 3− ; x2 = 2 Vậy PT có hai nghiệm x1 = 0.5 3+ 3− ; x2 = 2 0,25 1-b) 2) Câu (1.5 điểm) x4 +6x2 - = (1) Đặt x2 = t ( ĐK t ≥ ) Phương trình trở thành: t2 + 6t -7 = (2) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt : t1 = ( TM ) ; t2 = -7 ( loại ) -Với t = t1 = ta có x2 = suy x = Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1 = ; x2 = -1 0.25 0.25 0.25 3x2 - 5x + = PT có = 13 suy PT hai nghiệm x1, x2 Ta có x1 + x2 = ; x1x2 = 3 5 Do A = x1x2(x1 + x2 ) = = 3 0.25 0.25 0.25 Gọi vận tốc lúc ô tô x km/h (đk x > 0) =>Thời gian từ Hải Dương đến Thái Nguyên 150 x Vận tốc ô tô lúc (x+10) km/h 0,25 150 =>Thời gian từ Thái Nguyên Hải Dương x + 10 Nghỉ Thái Nguyên 4giờ 30 phút = Tổng thời gian đi, thời gian thời gian nghỉ 10 nên ta 150 150 có phương trình: + + = 10 x x + 10 11x2 – 490 x – 3000 = Tác giả: Nguyễn Công Lợi 0,25 0,25 0,25 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 x = 50 Giải phương trình ta có x = − 60 11 Kết hợp với x > ta có vận tốc lúc tơ 50 km/h 0,25 A A E M Câu ( điểm ) O K B N C I 0,25 D a) Ta có O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC cân A = BD = CAD ⇒ DC ⇒ BAD = ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒ BMD CMD Vậy MD phân giác góc BMC b) = Ta có MD phân giác góc BMC ⇒ BMC 2 DMC (1) Mà ∆MEB cân M ( Vì theo giả thiết ME = MB ) = ⇒ BMC 2 MEB (2) ( Tính chất góc ngồi tam giác ) = Từ (1) (2) ⇒ DMC MEB Mà chúng vị trí đồng vị Nên suy : MI // EB c) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 + sd BD sd MB ) Ta có : DCK ( Góc nội tiếp chắn MBD = MCD = = sd MB + sdCD ( góc có đỉnh bên đường trịn) Có : DIC = CD Mà theo C/m : BD = (3) ⇒ DCK DIC Ta có DK = DC ( bán kính đường trịn tâm D) = (4) DCK ⇒ ∆DCK cân D ⇒ DKC 0,25 0,25 = Suy : Tứ giác DCKI nội tiếp Từ (3) (4) : ⇒ DKC DIC (đpcm) 0,25 0,25 Câu ( điểm ) Tác giả: Nguyễn Công Lợi - x2 + = ⇔ x2 - + 2− x ( ĐKXĐ x < 2) 2− x = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 24 ⇔ (x- ⇔ x- x+ ) - ( − x - )2 = 2 2− x = (1 ) 0.5 − x - = (2) Giải PT (1) ta x = ( TM ĐK ) Giải PT (2) ta x = 1− ( TM ĐK ) Vậy PT cho có hai nghiệm x = 1; x = 0.5 1− ĐỀ SỐ Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) (2.0 điểm): Cho hệ phương trình: x + y = (1) 2m (2) mx − y = a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Bài (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình: Một người từ A đến B dài 60 km với vận tốc xác định, từ B trở A người với vận tốc lớn vận tốc lúc 5km/h nên thời gian nhiều thời gian 60 phút Tính vận tốc lúc người Bài (1,5 điểm) Cho phương trình x2 - 6x + m = a) Giải phương trình với m = -7; b) Tính giá trị m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 = Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M vẽ đường trịn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S Cạnh BC cắt đường tròn E Chứng minh rằng: a) ABCD tứ giác nội tiếp b) CA.CM = CB.CE c) CA phân giác SCB d) ABES hình thang Bài (0,5 điểm) Cho x + y = 23 Tìm giá trị lớn biểu thức: A= x −7 + y − Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 25 HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM BÀI điểm 2 điểm 1,5 điểm CÂU HƯỚNG DẪN GIẢI Cho hệ … a) Giải hệ… x + y = (1) Thay m=1 hệ (2) x − y = x = (1) Tìm nghiệm y = −1 (2) b) Tìm giá trị m… x + y = (1) Biến đổi ( m + 1) x = + 2m (3) Hệ có nghiện ⇔(3) có nghiệm ⇔ m≠-1 Giải tốn Gọi vận tốc x km/h(x > 0) ⇒ vận tốc x + Thời gian 60/x , 60/(x+5) , đổi 60’=1h Lập luận để có pt 60/x – 60/(x + 5) =1 Giải pt x1= -20 < (loại); x2= 15 (thỏa mãn đk) TL: vận tốc lúc người 15 km/h Cho phương trình a) a)Giải phương trình với m = -7 Với m=-7 ta có x2 - 6x -7 = Có a-b+c=1+ - 7=0 ⇒x1= - 1; x2= ⇒kết luận S={-1; 7} b) Tính giá trị m ĐK để pt có nghiệm phân biệt ∆’=9-m>0⇔ m TÀI LIỆU TOÁN HỌC 27 3) Tìm giá trị x để P = − 15 Bài II: (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Một người tơ từ A đến B cách 90km Khi từ B trở A người tăng tốc độ 5km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 15 phút Tính tốc độ tơ lúc từ A đến B Bài III: (2,0 điểm) 108 63 x − y = 1) Giải hệ phương trình 81 − 84 = x y −1 2) Cho đường thẳng ( d )= :y x + Parabol ( P ) : y = x hệ trục tọa độ Oxy a) Vẽ parabol (P) đường thẳng (d) cho b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tìm điểm N trục hoành cho tam giác NAB cân N Bài IV: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định, BC = R A điểm di động cung lớn BC (A khác B, C) cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Kẻ đường kính AF đường trịn (O), AF cắt BC điểm N a) Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AE.AB = AD.AC c) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành d) Đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K (K khác O) Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng Bài V: (0,5 điểm) 1 + = Chứng minh hai m n 2 phương trình x + mx + n = x + nx + m = có phương trình có Cho hai số thực m n khác thỏa mãn nghiệm HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Bài Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Cho biểu= thức P I với x ≠ 4, x > − x−2 x x−4 Rút gọn biểu thức P a) (0,75 P = − x x −2 điểm) ( Tác giả: Nguyễn Công Lợi ĐIỂM ) ( x −2 )( x +2 ) 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 P = x ( x +2 x +2 )( x −2 Thu gọn ta P = x ) ( − x ( −1 x +2 x x −2 )( x +2 ) 0,25 ) 0,25 x ≠ 4, x > x ≠ 4, x > x > ⇒ x x +2 >0 x + > Chứng minh P < với b) Với x ≠ 4, x > ta có (0,75 điểm) −1 Mà −= < nên P x ( x +2 ( ) ) < với x ≠ 4, x > 0,25 05 −1 15 −1 −1 −1 −1 Thay P = vào P = ⇒ = 15 x x + 15 x x +2 Tìm giá trị x để P = c) (0,5 điểm) ( ) ( ) 0,25 Tính x = (kết hợp điều kiện thỏa mãn) Vậy x = để P = −1 15 0.25 điểm Gọi vận tốc ô tô lúc từ A đến B x (km/h), x > Vận tốc ô tô từ B trở A x + (km/h) 0,25 0,25 90 (h) x 90 Thời gian ô tô từ B trở A (h) x+5 Đổi 15 phút = h Thời gian thời gian 15 phút nên ta 90 90 phương trình − = x x+5 0,25 Giải phương trình x = 40 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc ô tô lúc từ A đến B 40km/h 0,5 0,25 Thời gian ô tô từ A đến B II điểm III 108 63 x − y = Giải hệ phương trình (1 81 − 84 = điểm) x y Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 0,25 0,25 29 ĐKXĐ: x, y ≠ 0,25 1 x = u 108u − 63v = Đặt ta thu hệ phương trình 81u − 84v = 1 = v y −1 Giải hệ ta u = ; v= 21 27 Từ suy x = 27; y = −21 −1 Cho đường thẳng ( d )= :y x + Parabol ( P ) : y = x hệ trục tọa độ Oxy a) Vẽ parabol (P) đường thẳng (d) cho (0,5 Học sinh tự vẽ điểm) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tìm điểm N trục hồnh cho tam giác NAB cân N Lập phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x = x = −4 x = − x+2 0,25 Giải phương trình ta Thu A ( 2; −1) ; B ( −4;4 ) Điểm N nằm trục hoành tọa độ N ( a;0 ) b) (0,5 Tam giác NAB cân N nên ta có NA = NB điểm) N ∉ AB ( a − )2 + 1= ⇔ − a + ≠ Giải a = − ( a + 4) + 42 0,25 Vậy tọa độ điểm N − ;0 IV 3,5 điểm a Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 1,0 TÀI LIỆU TỐN HỌC 30 0,25 Tứ giác BEDC có BEC = BDC = 90 Suy tứ giác BEDC nội tiếp (hai góc kề chắn cung BC) Chứng minh AE.AB = AD.AC = ACB chung AED ∆AED ∆ACB (g - g) có A ) (cùng bù với BED AE AC = Vì ∆AED ∆ACB ⇒ AD AB ⇒ AE.AB = AD.AC Hai tam giác b Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành c d Ta có BDC = ACF = 900 ⇒ CF // BD hay CF // BH (1) 0,75 1,0 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 Ta có ABF = AEC = 90 ⇒ BF // CE hay BF // CH (2) Từ (1) (2) ⇒ Tứ giác BHCF hình bình hành Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng 0,25 = Tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn đường kính AH ⇒ AKH 90 (1) 0,5 0,5 = Mà tam giác AKF nội tiếp đường trịn đường kính AF ⇒ AKF 90 (2) Từ (1) (2) suy ba điểm K, H, F thẳng hàng 0,5 1 + = Chứng minh m n 2 hai phương trình x + mx + n = x + nx + m = có Cho hai số thực m n khác thỏa mãn V 0,5 điểm phương trình có nghiệm Với m, n ≠ 1 + = ⇒ mn = 2(m + n) m n 2 Phương trình x + mx + n = (1) có ∆1= m − 4n Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 0,25 TÀI LIỆU TỐN HỌC 31 Phương trình x + nx + m = (2) có ∆ = n − 4m 2 ∆1 + ∆ =m + n − ( m + n ) ≥ 2mn − ( m + n ) (theo BĐT Cô - si) ∆1 + ∆ ≥ ( m + n ) − ( m + n ) =0 0,25 Vậy hai phương trình cho có phương trình có nghiệm Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... + y2 ≥ ⇔ + x + y2 ≥ x +y +2 0 ,25 đ ⇔ ( x2 +y2 )2 - 4( x2 +y2) +4 +3( x2 +y2 ) - ≥ 0 ,25 đ ⇔ [(x2 +y2) -2] 2 +3[x2 +y2 - 2xy] ≥ ⇔ [(x2 +y2) - 2] 2 + 3(x-y )2 ≥ Đẳng thức xảy khi: x2 + y = x = ±1... x1 + x2 = m x1.x2 = m-1 0 ,25 đ Có x 12 + x 22 = (x1 + x2 )2 - x1.x2 = m2 – 2m +2 = (m -1 )2 +1 ≥ ( (m -1 )2 ≥ với m) 0 ,25 đ Dấu ‘=’ xẩy m -1 =0 suy m =1 Vậy x 12 + x 22 có giá trị nhỏ m=1 0 ,25 đ 0 ,25 đ -... − A x1 + x2 = ; x1.x2 = 2 x2 C x1 += − B x1 + x2 =; x1.x2 = 2 ; x1= x2 2 + x2 D x1= −3 ;= x1.x2 2 Câu 7- Cho đường trịn tâm O có bán kính 2cm đường trịn O’ có bán kính 3cm biết OO’ = 2cm vị trí
Ngày đăng: 20/02/2023, 08:08
Xem thêm:
