De cuong hoc ki 2 mon toan lop 8 ha noi hay

ĐỀ CƯƠNG HỌC KỲ II NGHĨA TÂN – CẦU GIẤY MƠN: TỐN Bài 36 x −3  x − 11   + x − − Cho biểu thức Q = 1 − :  với x ≠ ; x ≠ −3 x +1   x − − x x+3  a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q biết x + x = c) Tìm x để Q = − x d) Tìm x để Q < e) Tìm điều kiện m để ln có giá trị x thỏa mãn Q = m Bài Cho biểu thức A = x2 + 2x  x + − x2  − + :   với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ −2 x2 − 4x +  x − x x2 − 2x  a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết x + = Bài c) Tìm x để A < d) Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên e) Tìm GTNN A với x > x + x +  x − 14  − 3x = B  − − Cho biểu thức: Với x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ −5 :  x + 4x − − x x +  x −1 a) Chứng minh B = x2 + x + x−2 b) Tính giá trị biểu thức B biết ( x + ) − x − 45 = c) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên −3 e) Tìm x để B < d) Tìm x để B = f) Tìm GTLN biểu thức M biết M = :B x−2 g) Với x > , tìm GTNN B Bài  2+ x 4x2 − x  x − 3x Cho biểu thức P =  Với x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ − − :  − x x − + x  2x − x a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P biết x − = c) Tìm x để P > d) Tìm GTNN P x > e) Tìm x thỏa mãn P = −8 Bài x+2 + Cho biểu thức M = − với x ≠ −3; x ≠ x+3 x + x−6 2− x x−4 x−2 b) Tìm x biết M = −3 a) Chứng minh M = c) Tính giá trị M biết x + x + 1= ( 3x − 5) d) Tìm giá trị tham số m để phương trình M = m có nghiệm Bài x2 + với x ≠ − − x − x − x + 2x + a) Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức P = b) Tính giá trị biểu thức P biết x + x − = c) So sánh P với d) Tìm giá trị nhỏ P Bài A Cho hai biểu thức= x x2 − x − với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ − B = x −1 1− x 2x +1 a) Tính giá trị biểu thức B x = b) Rút gọn M = A.B b) Tìm giá trị x để M < Bài Cho hai biểu thức A = x+2 x−2 16 x2 − x − − B = với x ≠ ±2 ; x ≠ −1 x − x + − x2 x +1 a) Tính giá trị A x − = b) Đặt P = A.B Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để P < Bài Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13 DẠNG 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Một ca-nơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ bến B bến A Tính quãng đường từ bến A đến bến B Biết vận tốc dòng nước 2km / h Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 45km / h Lúc người với vận tốc 40km / h nên thời gian nhiều thời gian 10 phút Tính quãng đường AB Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km / h Khi đến B người nghỉ 20 phút quay A với vận tốc trung bình 25km / h Tính quãng đường AB , biết thời gian 50 phút Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km / h Sau 30 phút, xe xuất phát từ B để đến A với vận tốc 60km / h Biết quãng đường AB dài 80km Hỏi sau kể từ xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau? Một ô tô từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30 km/h Trên quãng đường từ Đền Hùng Hà Nôi, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian ngắn thời Bài 14 gian 36 phút Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm ngày Do cải tiến kỹ thuật, anh làm 80 sản phẩm ngày Vì vậy, anh hồn thành kế hoạch sớm ngày cịn làm thêm 40 sản phẩm Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch Bài 15 Bài 16 Bài 17 Bài 18 Bài 19 Bài 20 Bài 21 Bài 22 Bài 23 Bài 24 Một tổ dự định dệt 28m vải Nhưng thực tế giờ, tổ dệt 4m vải Do vậy, tổ làm thời gian dự định mà thiếu 5m vải hồn thành kế hoạch Tính số vải tổ phải dệt theo kế hoạch Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm thời gian định Trước thực hiện, xí nghiệp giao thêm cho người 29 sản phẩm Do người làm thêm sản phẩm hoàn thành chậm dự kiến 30 phút Tính suất dự kiến Hai cơng nhân làm cơng việc ngày xong Biết làm xong cơng việc người thứ làm nhanh người thứ hai ngày Tính thời gian người làm xong cơng việc Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên lần chiều dài lên lần chu vi khu vườn 162 m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ bao nhiêu? Một đội xe tải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm quy định Vì đội có xe bị điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0, hàng Tính số xe đội lúc đầu Một hình chữ nhật có chu vi 78 cm Nếu giảm chiều dài cm tăng chiều rộng thêm cm hình chữ nhật trở thành hình vng Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu Hai giá sách có 140 sách, chuyển 10 từ giá sách thứ sang giá sách thứ hai số sách giá thứ số sách giá thứ hai Tìm số sách giá Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số nhỏ số cho 36 DẠNG 3: GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Giải phương trình sau: 1) x − = 2) x − = x + 3) x + = x − 4) − x =x + 5) x − = − x 6) −3 x =x − 7) − x = x + 8) x − + x − = 2x + 3x − 9) = +1 − x+3 x + 2x − 1− x 96 x − 3x − 11) + = + x − 16 x + x − x+2 − =2 x − x x − 2x x + 19 17 − = 15) 5x − x −1 − x 13) x −1 x 7x − − =2 x +3 x −3 9− x 2x x + = 1+ 12) 2x −1 2x +1 ( x − 1)( x + 1) 10) 14) x x 2x + + = 2x − 2x + x − 2x − Bài 25 Giải bất phương trình sau: 1) x + < ( x + 1) − 2) x − > ( x − 1) + x 3) + x ( x + 3) < ( x − 1)( x + ) 4) 2x − x +1 − x − > − x +1 >1 7) x+3 5) 9) x2 + 2x + ≥1 x3 + 11) ( x + 1) (3 x − 2) ≤ Bài 26 x 7x + 4x − − > −8 2x − 5x − x − − x + 12 > − 6) 2x −1 ≤2 8) x −3 2x +1 ≥1 10) x +2 12) ( x − 2)( x + 1) ≥ Giải phương trình sau: 1) x − = 2) x − = x + 3) x + = x − 4) − x =x + 5) x − = − x 6) −3 x =x − 7) − x = x + 8) x − + x − = 9) x +1 + x + + x + = 2021x Bài 28 DẠNG 4: HÌNH HỌC Cho tam giác ABC vuông A , AB = 6cm , AC = 8cm , đường cao AH , phân giác BD cắt I a) Chứng minh ∆ABH  ∆CBA b) Tính AD , DC c) Chứng minh: AB.BI = BD.HB d) Tính diện tích ∆BHI Cho góc xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 3cm , OB = 8cm Trên Bài 29 Oy lấy hai điểm C D cho OC = 4cm , OD = 6cm a) Chứng minh ∆OAD  ∆OCB b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh IA.ID = IB.IC c) Tính tỉ số diện tích ∆IAB ∆ICD Cho tam giác ABC , đường cao BH CE cắt H Chứng minh rằng: Bài 27 a) A E AB = AD AC b)  AED =  ACB c) Tính diện tích tam giác ABC biết AC = 6cm , BC = 5cm , CD = 3cm d) BE.BA + CD.CA = BC Bài 30 Cho tam giác MNP vuông M, đường cao MH, trung tuyến MD Biết MN = 6cm , MP = 8cm a) Tính NP, MH b) Chứng minh: ∆MHN ∽ ∆PMN c) Chứng minh: MH MP = MN PH d) Tính diện tích tam giác MHD Bài 31 Cho tam giác ABC vng A có AB > AC , M điểm tùy ý BC Qua M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt đoạn AB I cắt tia CA D Chứng minh rằng: a) ∆ABC ∽ ∆MDC b) BI BA = BM BC c) CI cắt BD K Chứng minh: BI BA + CI CK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M  = BDI  , từ suy AB tia phân giác MAK  d) MAI Bài 32 Bài 33 Cho hình vng ABCD điểm E cạnh BC kẻ tia Ax vng góc với AE cắt CD F Kẻ trung tuyến AI tam giác AFE kéo dài cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AK G Chứng minh rằng: a) AE = AF b) Tứ giác EGKF hình thoi c) Tam giác FIK đồng dạng tam giác FCE d) EK = BE + DK E chuyển động BC chu vi tam giác ECK không thay đổi  = 60° Tia Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm BC Tại O dựng góc xOy Ox cắt cạnh AB M , tia Oy cắt cạnh AC N a) Chứng minh tam giác BOM CNO đồng dạng b) Chứng minh BC = 4.BM CN  c) Chứng mỉnh  BOM ONM đồng dạng OM phân giác BMN d) Chứng minh ON = CN MN Bài 34 Cho tam giác  ABC vuông A đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh  AMH đồng dạng với  AHB AM AB = AH b) Chứng minh AM AB = AN AC c) Cho = AH 6= cm, BC 9cm Tính diện tích tam giác AMN d) Gọi P điểm đối xứng với H qua AB , đường thẳng qua B vng góc với BC cắt AP I Chứng minh MN , AH , CI đồng quy Bài 35 Cho tam giác ABC(AB < AC) có đường phân giác AD Hạ BH, CK vng góc với AD a) Chứng minh ∆BHD đồng dạng với ∆CKD b) Chứng minh AB AK = AC AH DH BH AB c) Chứng minh = = DK CK AC d) Qua trung điểm M cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh AC E , cắt tia BA F Chứng minh BF = CE Bài 36 Cho hình chữ nhật ABCD M hình chiếu A BD a) Chứng minh: ∆ABD đồng dạng với ∆MAD b) Nếu = AB 8 , = cm AD 6  cm , tính đoạn DM c) Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC BC thứ tự N P Chứng minh: AM = MN MP Bài 37 d) Lấy điểm E cạnh AB , F cạnh BC ; EF cắt BD K Chứng minh: AB BC BD + = BE BF BK Cho ∆ABC vuông A đường cao AH a) Chứng minh: ∆ABH ∽ ∆CAH AH = BH CH b) Cho = BH 4= cm, CH 9cm Tính AH , AB c) Gọi E điểm tùy ý AB Đường thẳng qua H vng góc với HE cắt AC F Chứng minh rằng: AE.CH = AH FC d) Tìm vị trí điểm E AB để diện tích ∆EHF nhỏ Bài 38 Cho ∆ABC vuông A ( AB < AC ) , D trung điểm BC Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt AC , AB E F a) Chứng minh: ∆AEF ∽ ∆DEC EA.EC = ED.FE  b) Chứng minh:  ADE = ECF c) Chứng minh: CA.CE + BA.BF = BC d) Trên tia đối tia CB lấy điểm K bất kì, đường thẳng d tùy ý qua K cắt FC , FB M N Chứng minh rằng: BK CK − không phụ thuộc vào vị trí K BN CM đường thẳng d Bài 39 DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN KHÁC Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hiểu thức Bài 41 x + 17 x + x + 10 (2 + x )(8 + x ) F= ; G= ; H= ; I= x +2 10 x − x − 30 x + 2x + x2 Tìm giá trị m để : m ( x − 1) + x a) Phương trình = có nghiệm lớn x−2 m ( x − 1) + x b) Phương trình = có nghiệm nhỏ x +1 Chứng minh với x phương trình: x + + − x =−4 x + 12 x − 10 vô nghiệm Bài 42 Tìm giá trị nguyên x để A = Bài 43 Chứng minh bất đẳng thức sau: Bài 40 10 x − x − có giá trị nguyên 2x − 1 1 a) P =( a + b )  +  ≥ với a, b > a b ∀a, b, c c) a + b ≥ với a + b = b) a + b + c ≥ ab + bc + ca với d) a + 5b − 4ab + 2a − 6b + ≥ ∀a, b e) Bài 44 Bài 45 Bài 46 a b2 c2 a b c + + ≥ + + với a, b, c ≠ b2 c2 a b c a Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + < b+c c+a a+b Cho a , b , c > thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức 1 A = a+b+c+ + + a b c Cho x > , y > , x + y = Tìm giá trị nhỏ S = x + y + + x −1 y −1 ĐỀ THI HỌC KÌ NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN Bài 4x x 2x x−2 + + B = với x ≠ ±1; x ≠ x x +1 − x x −1 a) Tính giá trị biểu thức A x = Cho hai biểu thức A = 3x x +1 c) Cho P = A.B Tìm tất giá trị m để phương trình P = m có nghiệm b) Chứng minh rằng: B = Bài Bài Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 50 km/h, sau 30 phút, ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 kkm/h Tính độ dài quãng đường AB biết hai xe đến B lúc Giải phương trình bất phương trình sau a) x ( x − ) = x − b) x+3 x x2 + 4x + + =2 x −1 x +1 x −1 c) ( x − 1) < ( x + 1) − d) x > −2 x Bài (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông A, ( AB < AC ), đường cao AH a) Chứng minh ∆BHA ∽ ∆BAC Từ suy BA2 = BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với CI K Chứng minh CH CB = CI CK  = BDC  c) Tia BK cắt tia HA D Chứng minh BHK d) Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho BM = BA Chứng minh = 90° BMD Bài Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x − x + + 2020 4x ĐỀ THI HỌC KÌ NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN Câu (2 điểm) Cho hai biểu thức A = a) Tính giá trị A x = x−2 − 5x x + + B = với x ≠ ±2 x +1 x − − x2 x + 2x x−2 c) Đặt P = A.B Tìm x để P ≤ (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình Hai lớp 8A 8B trường có tổng 95 học sinh Trong đợt quyên góp sách tặng em học sinh vùng lũ lụt học sinh lớp 8A ủng hộ quyển, học sinh lớp 8B ủng hộc Tính số học sinh lớp, biết hai lớp ủng hộ 379 (2 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: b) Chứng minh B = Câu Câu Câu a) ( x + 1) − ( x − 3) = x − b) x + x + 12 + + = x x − 3x − x c) x ( x + 1) − x ≥ ( x − ) d) x − 2x + + 5x − < 1+ 12 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) Kẻ đường cao BD Gọi I giao điểm AH BD a) Chứng minh : ∆ABD ∽ ∆HBI b) c) d) Chứng minh : AB = BH BC Tính AH BH = 9cm , HC = 16cm Chứng minh : ∆AID cân DA2 = DC.IH Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng Câu AH , phân giác (0,5 điểm) Cho x , y , z ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + x+ y−z y+z−x z+x− y x y z  HẾT  ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG HỌC KỲ II - MƠN: TỐN TRƯỜNG THCS NGHĨA TÂN – QUẬN CẦU GIẤY NĂM HỌC 2020-2021 Bài 36 x −3  x − 11   + x Cho biểu thức Q = − − 1 − :  với x ≠ ; x ≠ −3 x +1   x − − x x+3  a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q biết x + x = c) Tìm x để Q = − x d) Tìm x để Q < e) Tìm điều kiện m để ln có giá trị x thỏa mãn Q = m Lời giải a) Rút gọn Q Với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ −3 , ta có: 36 x −  x + − ( x − 11)  + x 36 x −3  x − 11   + x Q= − − = : + −   1 − :   x +   x − − x2 x +  x +1   x − ( x − 3)( x + 3) x +  x + − x + 11 ( + x )( x + 3) + 36 − ( x − 3)( x − 3) 12 x + x + + 36 − x + x − : : = x +1 x +1 ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) = 12 12 x + 36 12 ( x − 3)( x + 3) x − : = = x + ( x − 3)( x + 3) x + 12 ( x + 3) x +1 x −3 với x ≠ ; x ≠ −3 x +1 b) Tính giá trị Q biết x + x = Vậy Q = =  x 0= x x + x =0 ⇔ x ( x + 3) =0 ⇔  ⇔  x + =0  x =−3 Với x = −3 không thỏa mãn điều kiện 0−3 Với x = thỏa mãn điều kiện ⇒ Q = = −3 +1 Vậy Q = −3 x + x = c) Tìm x để Q = − x Với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ −3 , ta có: x −3 Q =− x ⇔ =− x ⇒ x − =− x ( x + 1) ⇔ x − =− x − x x +1 ⇔ x + x − = ⇔ x + 3x − x − =  x = −3 ( KTM ) x + = ⇔ x ( x + 3) − ( x + 3) =0 ⇔ ( x + 3)( x − 1) =0 ⇔  ⇔  x − =0  x = 1(TM ) Vậy x = Q = − x d) Tìm x để Q < Với x ≠ −1 ; x ≠ ; x ≠ −3 , ta có: Do x + y + z > x + y + z - Trường hợp b: Nếu x < Giả sử y ≥ Khi x + y < mà x < nên x + y + z < Do x + y + z > x + y + z Từ hai trường hợp ta có x + y + z > x + y + z Dấu “=” xảy x= y= z= Bài 44 Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + , y > , x + y = Tìm giá trị nhỏ S = x + y + Lời giải S = 3x + y + + x −1 y −1 + x −1 y −1 S = ( x − 1) ( y − 1) 7 + + + + ( x + y) + 4 x −1 y −1 Do x > , y > , x + y = nên x − > , y − > Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có S≥2 ( x − 1) ( y − 1) 7 +2 + + x −1 y −1 21 S ≥ + + + 2 2 S ≥ 28  ( x − 1) =  x −1   ( y − 1) Dấu xảy  = y −1  x + y =   ( x − 1)2 =  x − =±2 x =  x =    ⇔ ⇔  y − =±2 ⇔  y = ⇔ ( y − 1) = y = x + y = x + y = x + y = 6    Vậy GTNN S = 28 x= y= ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ THI HỌC KÌ NĂM HỌC 2018-2010 MƠN: TỐN Bài Cho hai biểu thức A = x−2 4x x 2x B = với x ≠ ±1; x ≠ + + x x +1 − x x −1 a) Tính giá trị biểu thức A x = 3x x +1 c) Cho P = A.B Tìm tất giá trị m để phương trình P = m có nghiệm b) Chứng minh rằng: B = Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x = Thay x = (TMĐK) vào biểu thức A , ta được: −2 A= = −2 Vậy A = −2 x = b) Chứng minh rằng: B = 3x x +1 B= x 4x 2x ĐKXĐ: x ≠ ±1 + + x +1 − x x −1 B= x ( x − 1) x ( x + 1) 2x − + ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) x2 − 4x − x2 − x + x B= ( x + 1)( x − 1) B= 3x − 3x ( x + 1)( x − 1) B= x ( x − 1) ( x + 1)( x − 1) 3x x +1 c) Cho P = A.B Tìm tất giá trị m để phương trình P = m có nghiệm B= Để P = m có nghiệm 3x = m có nghiệm x +1 3x =m ⇔ x =m ( x + 1) ⇔ x =mx + m ⇔ ( − m ) x =m x +1 Phương trình có nghiệm − m ≠ ⇔ m ≠ Ta có Bài Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 50 km/h, sau 30 phút, tơ xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 kkm/h Tính độ dài quãng đường AB biết hai xe đến B lúc Lời giải Gọi quãng đường AB x ( x > 0, km ) Vì vận tốc xe máy 50 km/h nên thời gian xe máy từ A đến B Vì vận tốc ô tô 60 km/h nên thời gian tơ từ A đến B Vì ô tô xuất phát sau xe máy 30 phút = x (h) 50 x (h) 60 ( h ) hai xe đến B lúc nên ta có phương trình: x x = + 50 60 ⇔ 6x x 150 = + 300 300 300 ⇔x= 150 ( tm ) Bài Vậy quãng đường AB dài 150 km Giải phương trình bất phương trình sau x+3 x x2 + 4x + + =2 x −1 x +1 x −1 a) x ( x − ) = x − b) c) ( x − 1) < ( x + 1) − d) x3 > −2 x Lời giải a) x ( x − ) = x − ⇔ 3x − x − x + = ⇔ 2x2 − 6x + = ⇔ ( x − 3x + ) = ⇔ x2 − x − x + = ⇔ x ( x − 2) − ( x − 2) = ⇔ ( x − )( x − 1) = x = ⇔ x = Vậy S = {1; 2} b) x+3 x x2 + x + + =2 x −1 x +1 x −1 ⇔ ( x + 3)( x + 1) + x ( x − 1) = x2 + 4x + x2 −1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ĐKXĐ: x ≠ ±1 Suy ra: x + x + + x − x = x + x + ⇔ x + 3x + − x − x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x2 − x + x − = 0 ⇔ ( x − )( x + 1) =  x = ( tm ) ⇔  x = −1( l ) ⇔x= Vậy S = {2} c) ( x − 1) < ( x + 1) − ⇔ 3x − < x + − ⇔ 3x − < x + ⇔ x + − 3x + > ⇔ x > −6 ⇔ x > −3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm { x | x > −3} d) x > −2 x ⇔ x3 + x > ⇔ x ( x2 + 2) > ⇔ x > (Vì x + > ) Bài (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông A, ( AB < AC ), đường cao AH a) Chứng minh ∆BHA ∽ ∆BAC Từ suy BA2 = BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng qua B vng góc với CI K Chứng minh CH CB = CI CK  = BDC  c) Tia BK cắt tia HA D Chứng minh BHK d) Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho BM = BA Chứng minh = 90° BMD Lời giải a) Chứng minh ∆BHA ∽ ∆BAC Từ suy BA2 = BH BC Xét ∆BHA ∆BAC có :  chung B  = BAC  (vì 90° ) BHA Suy ∆BHA ∽ ∆BAC (g – g) BH BA Suy = BA BC hay BA2 = BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng qua B vng góc với CI K Chứng minh CH CB = CI CK Xét ∆CHI ∆CKB có:  chung C  = CKB  (vì 90° ) CHI Suy ∆CHI ∽ ∆CKB (g – g) Suy CH CI hay CH CB = CI CK = CK CB  = BDC  c) Tia BK cắt tia HA D Chứng minh BHK Xét ∆BKC ∆BHD có:  chung B  (vì 90° )  = BKC BHD Suy ∆BKC ∽ ∆BHD (g – g) BK BC hay BK BD = BH BC = BH BD Xét ∆BHK ∆BDC có: Suy BK BC (cmt) = BH BD  chung Và B Suy  ∆BHK ∽ ∆BDC (c – g – c)  = BDC  Suy BHK d) Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho BM = BA Chứng minh = 90° BMD Vì BM = BA ⇒ BM = BA2 Mà BA2 = BH BC BH BC = BK BD (chứng minh trên) ⇒ BM = BK BD hay BM BD = BK BM BM BD  chung B = BK BM Suy  ∆BKM ∽ ∆BMD (g – g) = BKM = 90° Suy BMD Xét ∆BKM ∆BMD có : Bài Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x − x + + 2020 4x Lời giải Với x > ta có: + 2020 4x = 4x2 − x + + x + + 2019 4x = ( x − 1) + x + + 2019 4x Vì x > nên >0 4x M = x − 3x + Áp dụng bất đẳng thứ Cô – si cho hai số không âm x 1 ≥ x 4x 4x x+ ≥1 4x x+ có: 4x Mà ( x − 1) ≥ với x > Suy M ≥ + + 2019 ⇔ M ≥ 2020 ( x − 1)2 =  ⇒ x = (vì Vậy giá trị nhỏ M 2020 , dấu xảy  x = 4x  x >0) ĐỀ THI HỌC KÌ NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN Câu (2 điểm) Cho hai biểu thức A = a) Tính giá trị A x = x−2 − 5x 2x B = với x ≠ ±2 + + 2 x +1 x−2 4− x x+2 2x x−2 c) Đặt P = A.B Tìm x để P ≤ b) Chứng minh B = Lời giải a) Tính giá trị A x = Với x = (thỏa mãn x ≠ ±2 ), thay vào biểu thức A , ta được: −2 −3   −3 −3 −6 = ⋅ = A= : +  = : = 2 4 4 5 1   +1 2 Vậy với x = −6 A = b) Chứng minh B = 2x x−2 − 5x 2x Với x ≠ ±2 ,ta có: B = + + x−2 4− x x+2 5x − x B= + + x−2 x −4 x+2 5x − 2x B= + + x − ( x − )( x + ) x + B= 3( x + 2) 2x ( x − 2) 5x − + + ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) ( x + )( x − ) B= 3x + + x − + x − x ( x − )( x + ) B= 2x2 + 4x ( x − )( x + ) = B 2x ( x + 2) 2x = ( x − )( x + ) x − 2x x−2 c) Đặt P = A.B Tìm x để P ≤ Vậy B = x − 2x 2x Ta có: P =A.B = ⋅ = x +1 x − x +1 P ≤1⇒ 2x ≤1 x +1 ⇔ 2x −1 ≤ x +1 ⇔ 2x x2 + − ≤0 x2 + x2 + 2 x − x2 −1 ⇔ ≤0 x2 + ⇒ − x + x − ≤ (do x + > ∀ x ) ⇔ − ( x − x + 1) ≤ ⇔ − ( x − 1) ≤ (luôn đúng) Câu Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: với x ≠ ±2 P ≤ (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Hai lớp 8A 8B trường có tổng 95 học sinh Trong đợt quyên góp sách tặng em học sinh vùng lũ lụt học sinh lớp 8A ủng hộ quyển, học sinh lớp 8B ủng hộc Tính số học sinh lớp, biết hai lớp ủng hộ 379 Lời giải Gọi số học sinh lớp 8A x , (học sinh, x ∈ * , x < 95 ) Số học sinh lớp 8B 95 − x (học sinh) Số lớp 8A ủng hộ 5x Số lớp 8B ủng hộ ( 95 − x ) Theo cho, hai lớp ủng hộ 379 vở, nên ta có phương trình: x + ( 95 − x ) = 379 ⇔ x − x + 285 = 379 ⇔ 2x = 94 ⇔x= 47 (thỏa mãn điều kiện) Câu Vậy số học sinh lớp 8A 47 học sinh, số học sinh lớp 8B 48 học sinh (2 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x + 1) − ( x − 3) = x − b) x + x + 12 + + = x x − 3x − x c) x ( x + 1) − x ≥ ( x − ) d) + 5x x − 2x + − < 1+ 12 Lời giải a) ( x + 1) − ( x − 3) = x − ⇔ x + − 3x + − x + = ⇔ −2 x = −13 13 ⇔x= 13  Vậy tập nghiệm phương trình S =   2 b) x + x + 12 + + = x x − 3x − x −2 x − x + 12 ⇔ + + = x 3− x x (3 − x ) (1) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ Với x ≠ 0; x ≠ , ta có: (1) ⇔ ( − x ) x ( −2 x − 1) x + 12 + + = x (3 − x ) x (3 − x ) x (3 − x ) ⇒ − x − x − x + x + 12 = ⇔ − x − x + 21 =0 ⇔ ( x − 3)( x + ) = x − = ⇔ x + = x = ⇔  x = −7 Kết hợp với ĐKXĐ, ta có x = không thỏa mãn, x = −7 thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = c) x ( x + 1) − x ≥ ( x − ) {−7} ⇔ x2 + x − 2x ≥ x2 − 4x + ⇔ x2 + x − x − x2 + x − ≥ ⇔ 3x − ≥ ⇔ 3x ≥ ⇔ x≥  4 S x x ≥  Vậy tập nghiệm bất phương trình là:= 3  d) x − 2x + + 5x − < 1+ 12 ⇔ ( x − ) ( x + ) 24 (1 + x ) − < + 24 24 24 24 ⇔ ( x − ) − ( x + ) < 24 + (1 + x ) ⇔ x − 16 − x − − 24 − − 10 x < ⇔ −8 x − 48 < ⇔ −8 x < 48 ⇔ x>6 S Vậy tập nghiệm bất phương trình là= Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A { x x > 6} ( AB < AC ) Kẻ đường cao AH , phân giác BD Gọi I giao điểm AH BD a) Chứng minh : ∆ABD ∽ ∆HBI b) Chứng minh : AB = BH BC Tính AH BH = 9cm , HC = 16cm c) Chứng minh : ∆AID cân DA2 = DC.IH d) Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh : ∆ABD ∽ ∆HBI Xét ∆ABD ∆HBI có: = BHI =( 90° ) DBA   ( BD đường phân giác ∆ABC ) ABD = HBI ⇒ ∆ABD ∽ ∆HBI (g – g) b) Chứng minh : AB = BH BC Tính AH BH = 9cm , HC = 16cm Xét ∆ABH ∆ABC có: = BAC =( 90° ) BHA  ABH chung ⇒ ∆ABH ∽ ∆CBA (g – g) AB BH ⇒ = BC AB BH BC ⇒ AB = Ta có: BC =BH + HC =9 + 16 =25 ( cm ) Mà AB = BH BC (cmt) ⇒ AB = 9.25 = 225 ⇒ AB = 15 ( cm ) Xét ∆ABH vng H có: AH = AB − BH (Pytago) ⇒ AH = 152 − 92 = 144 12 ( cm ) ⇒ AH = c) Chứng minh : ∆AID cân DA2 = DC.IH  = DIA  (đối đỉnh) Ta có: BIH  = BDA  ( ∆ABD ∽ ∆HBI ) BIH =  ⇒ DIA BDA ⇒ ∆AID cân A Xét ∆BAH có: BI đường phân giác (gt) IA BA ⇒ = IH BH Xét ∆BAC có: BD đường phân giác (gt) DC BC ⇒ = DA BA AB BH AB BC Mà (cmt) hay = = BC AB BH AB IA DC ⇒ = IH DA ⇒ IA.DA = DC.IH Lại có: IA = DA ( ∆AID cân A ) ⇒ DA2 = DC.IH (đpcm) d) Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng Xét ∆BCK vng K có: KQ đường trung tuyến ( Q trung điểm BC ) ⇒ KQ = QB = QC = BC ⇒ ∆KQB cân Q =  ⇒ QKB QBK =  góc ngồi ∆KQB )  ( CQK ⇒ CQK 2CBK  ( BD đường phân giác ∆ABC ) Mà  ABC = 2CBK =  ⇒ CQK ABC Mặt khác: hai góc vị trí đồng vị ⇒ KQ // AB Ta có: KP ⊥ AC ( P hình chiếu K AC ) AB ⊥ AC ( ∆ABC vuông A ) ⇒ KP // AB Mà KQ // AB (cmt) ⇒ KP ≡ KQ ⇒ K , P , Q thẳng hàng Câu (0,5 điểm) Cho x , y , z ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + x+ y−z y+z−x z+x− y x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a , b ta có: a + b ≥ ab ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ a+b ≥ ab a+b 1 (*) + ≥ a b a+b Vì x , y , z ba cạnh tam giác nên x + y − z ; y + z − x ; z + x − y dương ⇔ Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 1 + ≥ = x + y − z y + z − x 2y y 1 + ≥ y+z−x z+x− y z 1 + ≥ x+ y−z z+x− y x ⇔ 2 2 2 + + ≥ + + x+ y−z y+z−x z+x− y x y z ⇔ 1 1 1 + + ≥ + + (điều phải chứng minh) x+ y−z y+z−x z+x− y x y z Dấu “=” xảy ⇔ x + y − z = y + z − x = z + x − y ⇔x= y= z  HẾT  ... > 4x2 ≥0 Vì x ≥ x > hay x − > ( x − 3) Vậy GTNN P x = ⇔ x = e) Tìm x thỏa mãn P = ? ?8 4x2 = ? ?8 Ta có ( x − 3) 4x2 = ? ?8 ( x − 3) x + x − 24 = (2 x + 2) = 28  x + = 28   x + =− 28 Bài  28 −... P= x2 + Điều ki? ??n: x ≠ − − x − x − x + 2x + 4 ( x − 2) x2 + x + x2 + P= − − ( x − 2) ( x2 + x + 4) ( x − 2) ( x2 + x + 4) ( x − 2) ( x2 + x + 4) P= x2 + x + − x2 − − x + ( x − 2) ( x2 + 2x +... − 20 21x = ⇔ ? ?20 24 x =6 ⇔x= − ( KTM ) 10 12 TH2: với −3 ≤ x < ? ?2 2 021 x ( ) ⇔ − ( x + 1) − ( x + ) + ( x + 3) = ⇔ − x − − x − + x + − 20 21x =0 ⇔ ? ?20 22 x =0 ⇔x= ( KTM ) TH3: với ? ?2 ≤ x < −1 20 21x