THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐỀ CƯƠNG MƠN TỐN HK2 NĂM HỌC: 2020 - 2021 I MỤC TIÊU Kiến thức: - Học sinh cần nắm lại phép biến đổi bậc hai, cách biến đổi đồng y ax + b y = ax , phương pháp giải phương biểu thức, dạng đồ thị hàm số = trình bậc hai ẩn phương trình quy bậc hai, cách làm toán giải cách lập phương trình, hệ phương trình - Học sinh cần nắm định nghĩa, tính chất loại góc với đường trịn, nắm định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, hiểu đường tròn nội, ngoại tiếp đa giác, có cơng thức tính độ dài diện tích hình học quen thuộc - Biết liên hệ công thức ứng dụng thực tế Kỹ năng: Học sinh cần có kỹ năng: - Biến đổi đồng biểu thức - Vẽ đồ thị hàm số tìm mối quan hệ chúng - Giải loại phương trình bậc hai, phương trình bậc cao loại phương trình đặc biệt khác - Có kỹ giải loại hệ phương trình giải điều kiện để hệ phương trình đáp ứng u cầu đề - Có kỹ áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai - Nắm biết cách giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình - Biết cách sử dụng cơng thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình, biết cách đưa vào hình thực tiễn - Biết áp dụng định nghĩa, định lý hình học tính chất để chứng minh yêu cầu theo tập giao II NỘI DUNG ÔN TẬP Dạng 1: Các toán rút gọn Bài 1: Cho hai biểu thức: A = x +4 x +1 B với x ≥ 0; x ≠ = − x + x −3 x +3 x −1 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh: B = x −1 3) Tìm tất giá trị x để Bài 2: Cho hai biểu thức: A = A x ≥ +5 B x +1 B = x +2 x +5 với x ≥ 0; x ≠ − x −1 x −1 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh: B = x +1 P AB + x đạt giá trị nhỏ 3) Tìm tất giá trị x để= Bài 3: Cho biểu thức P = x −1 x − với x > 0; x ≠ + x−4 x +2 x+3 Q = x −2 1) Tính giá trị biểu thức P x = 2) Rút gọn biểu thức Q 3) Tính giá trị x để Bài 4: Cho biểu thức A = P đạt giá trị nhỏ nhất? Q = B x +8 x x − 24 + với x ≥ 0; x ≠ x −9 x −3 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 2) Chứng minh biểu thức B = x +8 x +3 3) Tìm giá trị x để P = A.B có giá trị số nguyên Bài 5: Cho biểu thức A = x +2 B = x −5 20 − x với x ≥ 0; x ≠ 25 + x − 25 x +5 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B = x −5 A B x − 3) Tìm tất giá trị x để= Bài 6: 1) Tính giá trị biểu thức A = x +1 x −1 x = x +1 x −2 2) Cho biểu= thức P với x > 0; x ≠ + x + x −1 x+2 x a) Chứng minh: P = x +1 x 2P x + b) Tìm giá trị x để = Bài x 4 Tính giá trị biểu thức A x 36 x 2 x 16 x 2) Rút gọn biểu thức B với x 16; x : x x x 1) Cho biểu thức A 3) Với giá trị biểu thức A B nói Hãy tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B A1 số nguyên Dạng 2: Phương trình bậc hai ẩn Bài Cho phương trình x mx m 1 ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình: a) Có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Có hai nghiệm âm phân biệt c) Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương d) Có hai nghiệm dấu e) Có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x13 x23 1 Bài Bài 10 Cho phương trình x − x + m − =0 a) Giải phương trình với m = −11 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = 10 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương Cho phương trình ( m − 1) x − 2mx + m − = ( x ẩn) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = −2 Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tính x12 + x22 , x13 + x23 theo m d) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Bài 11 ( x ẩn) Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m − = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng: Phương trình có hai nghiệm phân biệt với m c) Chứng minh biểu thức M = x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) không phụ thuộc m d) Tìm hệ thức liên hệ độc lập hai nghiệm phương trình e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bài 12 (1) Cho phương trình x − x + m + = a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn đẳng thức x12 + x22 = ( x1 + x2 ) c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm m để phương trình có nghiệm dương e) Tìm m để nghiệm x1 ; x2 phương trình thoả mãn: x1 − x2 = Dạng 3: Quan hệ đường thẳng parabol Bài 13 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : y = − x đường thẳng d : y= x − cắt hai điểm A, B Tìm tọa độ giao điểm A, B tính diện tích ∆OAB (trong O gốc tọa độ, hồnh độ giao điểm A lớn hoành độ giao điểm B ) Bài 14 Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d := y mx + a)Chứng minh với giá trị m đường thẳng d ( P ) cắt hai điểm phân biệt b)Gọi A, B giao điểm d ( P ) Tính diện tích tam giác OAB theo m ( O gốc tọa độ) Bài 15 Cho hàm số ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = mx − m + Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A B có hồnh độ x1 x2 thỏa mãn: a) x1 + x2 = b) x1 = x2 Bài 16 Cho parabol ( P ) : y = − x đường thẳng ( d ) := y mx − a)Chứng minh ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A B với m b)Gọi x1 , x2 hồnh độ A B Tìm m để x12 x2 + x22 x1 = 2014 Bài 17 Cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng (d ) y = mx + m + a) Tìm m để ( P) (d ) cắt hai điểm phân biệt A B b) Gọi x1 x2 hoành độ A B Tìm m để x1 − x2 = c) Tìm m để ( P) (d ) cắt hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung Bài 18 Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng (d )= y mx + a) Vẽ ( P) (d ) m = b) Chứng minh với m đường thẳng (d ) ln qua điểm cố định cắt ( P) hai điểm phân biệt A , B c) Tìm m để tam giác AOB có diện tích ( đơn vị diện tích) Bài 19: Cho Parabol ( P ) : y = − x đường thẳng qua điểm M ( 0; −1) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng ( d ) CMR: ∀k đường thẳng ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A B b) Gọi hoành độ A, B x1 , x2 CMR: x1 − x2 ≥ c) CMR: ∆OAB vuông Dạng 4: Các tập hệ phương trình Bài 20: Giải hệ phương trình sau: 1 − = + = 3x − y = 10 3 x + y = x y x+ y x− y a) b) d) c) 1 − = x y 2 x − y = − = − = 3 x y x + y x − y 3 x − y = 3 x − − y − = −8 x + y = e) g) h) i) − x + y =−1 2 x + y = 2 x − + y − = Bài 21: y= x − + x 2y −5 = ( a + 1) x − y = Cho hệ phương trình a ax + y = a) Giải hệ phương trình với a = −2 b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y > Bài 22: a x − ay = Cho hệ phương trình ax + y = a) Chứng minh hệ ln có nghiệm với a b) Tìm a để hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0, y > Bài 23: 10 mx + y = Cho hệ phương trình 2 x − y = a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nhất, tìm nghiệm c) Tìm m để hệ phương trình vơ nghiệm Dạng 5: Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Bài 24: Một tơ từ Hà Nội đến Hải Phòng, đường dài 100 km , lúc vận tốc tăng thêm Bài 25: 10 km/h , thời gian lúc thời gian lúc 30 phút Tính vận tốc lúc Một tam giác vng có chu vi 30 m , cạnh huyền 13m Tính độ dài cạnh góc vng Bài 26: Một cano xi dịng 44 km , ngược dòng 27 km hết tất 3h 30' Biết vận tốc thực cano 20 km/h Tính vận tốc dịng nước quãng đường ô tô dừng lại 10 phút, để đến B hẹn xe phải tăng tốc thêm km/h Bài 27: Một ô tô quãng đường dài 150 km với thời gian định Sau Bài 28: quãng đường lại Tính vận tốc dự định tơ Một tô phải từ A đến B thời gian định Sau giờ, ô tơ dừng lại 15 phút, để đến B hẹn xe tăng tốc thêm 10 km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô biết quãng đường AB dài 90 km Bài 29 Một hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng gấp đơi giảm chiều dài 10 m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200 m Tính chiều rộng hình lúc đầu Bài 30 Bài 31 Bài 32 Bài 33 Bài 34 Hai vòi nước chảy vào bể đầy bể, vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian mà vịi chảy đầy bể Hai cơng nhân làm chung hồn thành công việc ngày Người thứ làm nửa cơng việc, sau người thứ hai làm nửa cơng việc cịn lại tồn cơng việc hoàn thành ngày Hỏi người làm riêng hồn thành cơng việc bao lâu? Một phịng họp có 100 người xếp ngồi dãy ghế Nếu có thêm 44 người phải kê thêm dãy ghế dãy ghế thêm người Hỏi lúc đầu phịng họp có dãy ghế? Hai người xe đạp khởi hành lúc chỗ Người thứ phía bắc, người thứ hai phía đơng Sau họ cách 60 km theo đường chim bay Biết vận tốc người thứ lớn vận tốc người thứ hai km/h Tính vận tốc người Một cơng nhân giao làm số sản phẩm thời gian định Khi làm nốt 30 sản phẩm cuối người nhận thấy giữ nguyên suất cũ chậm 30 phút, tăng suất thêm sản phẩm xong sớm so với dự định 30 phút Tính suất người công nhân lúc đầu Bài 35 Một bè nứa trơi tự ( trơi theo dịng nước) canô đồng thời rời bến A để xuôi dịng phía bến B Canơ xi dịng 96 km quay trở A Cả lẫn hết 14 Trên đường quay A cịn cách A 24km canơ gặp bè Tính vận tốc canơ vận tốc dịng nước Dạng 6: Các tốn hình tổng hợp Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Gọi M điểm khơng chứa A Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I , tia BI , CI cắt ( O ) BC N , P ( N ≠ B, P ≠ C ) Gọi D giao điểm MP AB a) Chứng minh AIDP tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ID // BC c) Gọi E giao điểm MN AC Chứng minh ba điểm I , D, E thẳng hàng Bài 37 Cho nửa đường trịn ( O ) có đường kính AB Lấy điểm C đoạn OA ( C ≠ A , C ) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm cung KB ( M ≠ K , B ) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM , BM H , D Đường thẳng BH cắt đường tròn điểm thứ hai N a) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA.CB = CH CD c) Chứng minh ba điểm A , N , D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH d) Khi M di động cung KB , chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 38 Cho đường tròn O điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn O ( B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I I C , O Đường thẳng AI cắt đường tròn O hai điểm D, E ( D nằm A E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn AB BD AE BE c) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO , cắt BC K Chứng minh HK //DC Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M , N điểm b) Chứng minh Bài 39 cung nhỏ AB, BC Hai dây AN , CM cắt I Dây MN cắt cạnh AB, BC điểm H , K a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn b) Chứng minh NB NK NM c) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Bài 40: Bài 41: Cho đường trịn ( O ) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm ) a) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp b) Gọi E giao điểm BC , AO Chứng minh BE ⊥ OA R = OA.OE c) Trên cung nhỏ BC đường tròn lấy điểm K ( K ∈ B, C ) Tiếp tuyến K đường tròn cắt AB , AC P , Q Chứng minh chu vi tam giác APQ không đổi K di chuyển cung nhỏ BC Bài 42 Cho nửa đường tròn ( O ) , đường kính AB = Trên nửa mặt phẳng bờ AB có nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn ( O ) ( A , B tiếp điểm) Qua M thuộc nửa đường tròn ( O ) vẽ tiếp tuyến thứ ba ( M tiếp điểm, M khác A B ) , tiếp tuyến cắt tia Ax C , cắt tia By D Bài 43 a) Chứng minh tứ giác OACM , OBDM nội tiếp b) OC cắt AM E , OD cắt BM F Tứ giác OEMF hình gì? Vì sao? c) Gọi I trung điểm OC K trung điểm OD Chứng minh tứ giác OIKM nội tiếp d) ChO AC + BD = 10 Tính diện tích tứ giác OIMK Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI C cắt By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P Chứng minh: Bài 44 a) Tứ giác CPKB nội tiếp b) AI BK = AC.CB c) ∆APB vuông d) Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn Dạng Hình học khơng gian tập thực tế Cho hình vẽ mẩu mát cắt từ khối mát dạng hình trụ có kích thước hình vẽ Tính khối lượng mẩu mát biết khối lượng riêng mát g / m3 Bài 45 Một trục lăn có dạng hình trụ, đường kính đường trịn đáy 42cm , chiều dài trục lăn m Sau lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo sân mặt phẳng mơt diện tích ? (Lấy π = Bài 46 Bài 47 22 ) Một vật thể hình học hình vẽ bên Phần nửa hình trụ, phần hình hộp chữ nhật với kích thước cho hình vẽ Tính thể tích vật thể hình học Một vật thể gồm phần có dạng hình trụ, phần cịn lại có dạng hình nón Các kích thước cho hình bên Hãy tính: a) Thể tích dụng cụ IỆU TỐN HỌC Bài 48 b) Diện tích mặt ngồi dụng cụ (khơng tính nắp đậy) Một xơ đựng nước hình vẽ Tính thể tích nước chứa đầy xơ Bài 49 Một xơ hình nón cụt làm tơn để nước có bán kính đáy 25cm 13cm, chiều cao 8cm a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) Bài 50 Hai hình cầu đồng tâm có bán kính R R Tính thể tích phần khơng gian giới hạn hai mặt cầu theo R Bài 51 Bài 52 Bài 53 Bài 54 Bài 55 Cho tam giác ABC vuông A , B= 50° , AB = a Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC quanh cạnh BC thu hình cầu Tính thể tích hình cầu theo a Khi quay hình vng xung quanh cạnh hình trụ có diện tích xung quanh diện tích hình trịn có đường kính a Tính thể tích hình trụ theo a R Cho đường tròn (O; R) điểm M cách O khoảng Qua M vẽ dây cung AB vng góc với OM Tính diện tích hình viên phân tạo dây AB cung nhỏ AB theo R Cho đường tròn (O; R) điểm M cho OM = R Từ M vẽ tiếp tuyến MA MB với đường tròn ( A , B tiếp điểm) Tính theo R diện tích giới hạn hai tiếp tuyến MA , MB cung nhỏ AB Cho hai hình trụ đồng trục có chiều cao a , bán kính hai hình trụ a 2a Tính thể tích khối nằm ngồi hình trụ nhỏ nằm hình trụ lớn HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: Cho hai biểu thức: A = x +1 x +4 = − B với x ≥ 0; x ≠ x + x −3 x +3 x −1 1) Tính giá trị biểu thức A x = x −1 2) Chứng minh: B = 3) Tìm tất giá trị x để x +4 x −1 1) Ta có: A = A x ≥ +5 B Lời giải ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ Thay x = (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có: + 3+ = = −1 −1 = A x +1 − = x + x −3 x +3 2)= Ta có: B = ( ) ( x +1 x +3 x +1− x −1 x +1− x + = = x +3 x −1 x +3 x −1 ( )( Vậy B = 3) Xét ) ( )( )( ) x −1 − x +3 x +3 = x +3 x −1 ) ( )( ) x −1 với x ≥ 0; x ≠ x −1 A x x +4 x ≥ +5 ⇒ ≥ +5 : B x −1 x −1 ⇔ x +4≥ x +5 ⇔ x−4 x +4≤0 ) Nhận xét: ( ⇔ ( x −2 ≤0 x −2 ) ≥ ∀x nên để thỏa mãn đề x − = ⇔ x = (thỏa mãn) Kết luận: Với x = thỏa mãn đề Bài 2: Cho hai biểu thức: A = x +1 B = x +2 x +5 với x ≥ 0; x ≠ − x −1 x −1 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh: B = x +1 P AB + x đạt giá trị nhỏ 3) Tìm tất giá trị x để= Lời giải x +1 x +2 1) Ta có: A = ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ Thay x = (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta có: +1 +1 = = +2 2+2 = A x +5 − = x −1 x −1 = Ta có: B = = ( ( − x −1 ( x +5 )( x +1 ) ( x + 5) x + 1)( x − 1) x +1 − ( )( Vậy B = ) ( )( ) ) ( )( x +1 ) với x ≥ 0; x ≠ x +1 P AB= + x 3) Xét= ( ( x −1 = x −1 x +1 x +1− x + x + − x − = = x +3 x −1 x +1 x −1 x = ) x −1 ) x +2 +4 x +2 =+ x Dấu “=” xảy x +1 4+ x+2 x x+2 x +4 = + x = x + x +1 x +2 x +2 4 =+ x 2+ −2≥ x +2 x +2 x +2= ⇔ x +2 ( x +2 ) ( ) x +2 x + = ⇔ x = (t / m) = 4⇔ x + =−2 ( L) Kết luận: Với x = thỏa mãn đề Bài 3: Cho biểu thức P = x+3 = Q x −2 x −1 x − + với x > 0; x ≠ x−4 x +2 1) Tính giá trị biểu thức P x = 2) Rút gọn biểu thức Q P đạt giá trị nhỏ nhất? Q 3) Tính giá trị x để Lời giải 1) x = 9(t / m) = P 2) với x > 0; x ≠ = Q ( ⇒Q= )( x −1 x+2 x ⇒Q= x−4 ) 9+3 = 12 −2 x −1 x − + x−4 x +2 x −2 +5 x −2 x−4 −2= x +2 D M K N H A C O B ACD= 90° Ta có: DC ⊥ AB ⇒ AMB= 90° ⇒ AMD= 90° Lại có: ACD = AMD Suy ra: Tứ giác ACMD có hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nên ACMD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA.CB = CH CD = CDB ( phụ với góc ABD ) Dễ thấy CAH Xét ∆CAH ∆CDB có: = CDB CAH = 90° ACH= DCB ⇒ ∆CAH ∆CDB (g – g) CA CH ⇒ = CD CB ⇒ CA.CB = CH CD (Điều phải chứng minh) c) Chứng minh ba điểm A , N , D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH ANB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa Do N nằm đường trịn đường kính AB nên đường tròn) ⇒ BN ⊥ AN Tam giác DAB có hai đường cao DC AM cắt H nên H trực tâm tam giác DAB ⇒ BN ⊥ AD Ta có: BN ⊥ AN BN ⊥ AD nên A , N , D thẳng hàng D x M E K N H A C O B Gọi E giao điểm tiếp tuyến N nửa đường tròn DH = 90° ⇒ ENH + HNO =° 90 Ta có: ENO = OBN (do ∆OBN cân O ) Lại có: HNO + OBN =° CHB 90 = NHE (hai góc đối đỉnh) CHB + HNO =° 90 ⇒ NHE = NHE ⇒ ΔENH cân E ⇒ EN = Từ suy ra: ENH EH (1) Tương tự, ΔNED cân E ⇒ ED = DN (2) Từ (1) (2) suy EH = ED ⇒ E trung điểm HD (đpcm) d) Khi M di động cung KB , chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định D E M K N H L A Gọi L giao điểm MN AB Kẻ tiếp tuyến LT với đường tròn ( O ) C O B = TMN (góc nội tiếp góc tiếp tuyến dây cung chắn cung Khi đó: LTN ) LN Xét ∆LTN ∆LMT có: = TMN LTN chung L ⇒ ∆LTN ∆LMT (g – g) ⇒ LT LN = LM LT ⇒ LM LN = LT (1) Mặt khác, xét ∆ENO ∆EMO có: ON = OM OE chung DH (trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) ⇒ ∆ENO = ∆EMO = ENO = 90° ⇒ EMO = 90° Hơn nữa, EC ⊥ AB nên ECO EN = EM = ⇒ điểm N , M , O , E , C nằm đường trịn đường kính OE ⇒ Tứ giác NCOM nội tiếp ⇒ LM LN = LC.LO ( 2) Từ (1) ( ) ⇒ LT = LC.LO ⇒ LT LO = LC LT Xét ∆LTO ∆LCT có: LT LO = LC LT chung L ⇒ ∆LTO ∆LCT (g – g) = LTO = 90° ⇒ LCT ⇒ TC ⊥ LO ⇒ T ∈ DC Mà T ∈ ( O ) nên T ≡ K Vậy đường thẳng MN qua điểm cố định giao điểm tiếp tuyến K ( O ) đường thẳng AB Bài 38 Cho đường tròn O điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn O ( B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I I C , O Đường thẳng AI cắt đường tròn O hai điểm D, E ( D nằm A E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn AB BD AE BE c) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO , cắt BC K Chứng minh HK //DC b) Chứng minh Lời giải B O A H D I d E K C a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường trịn ABO 90 (tính chất tiếp tuyến), lại có H trung điểm Tứ giác ABOH có: đoạn thẳng DE OH DE (quan hệ vng góc với đường kính dây) AHO 90 tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn đường kính AO bốn điểm A, H , O, B nằm đường tròn đường kính AO AB BD AE BE Xét ABD AEB có: b) Chứng minh chung; BAD ) ABD AEB (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn BD AB BD (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) AE BE c) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO , cắt BC K Chứng minh HK //DC (hai góc so le d //AO ), mà HAO HBO (hai góc nội tiếp AEK HAO Ta có ABD” AED g g , tứ giác ABOH nội tiếp) AEK HBO chắn OH tứ giác BHKE có hai đỉnh B, E nhìn cạnh HK góc nên tứ giác nội tiếp HEB (hai góc nội tiếp chắn HB DCB (hai góc nội tiếp ), lại có HEB HKI ) HKI DCB HEB mà hai góc vị trí đồng vị nên HK //DC chắn BD Bài 39 Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M , N điểm cung nhỏ AB, BC Hai dây AN , CM cắt I Dây MN cắt cạnh AB, BC điểm H , K a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn b) Chứng minh NB NK NM c) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Lời giải A M I H O B C K N a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường trịn MB (1) Vì M điểm AB MA NB NC (2) Vì N điểm BC góc có đỉnh nằm đường tròn NIC sd NC sd MA (3) NIC góc có đỉnh nằm đường trịn NKC sd NC sd MB (4) NKC NKC tứ giác CNKI có hai đỉnh K , I nhìn cạnh Từ (1); (3); (4) ta có NIC NC góc nên tứ giác nội tiếp bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn b) Chứng minh NB NK NM Xét NBK NMB có: chung; BNK sd NC sd NB (góc nội tiếp chắn NC (góc nội tiếp chắn NB ); NMB ); mà NBK 2 NMB NB NC NBK N điểm BC NB NK NB NK NM NM NB c) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Ta có: ) (5) sd NB (góc nội tiếp chắn MB sd MN sd MB MAI 2 NBK ” NMB sd NC (góc có đỉnh nằm đường trịn) (6) sd MA MIA MIA MIA cân M MI MA mà MA MB Từ (1); (2); (5); (6) ta có MAI MI MB MA (7) Chứng minh tương tự ta có NI NB NC (8) Từ (7) (8) ta có MN trung trực BI MN BI hay HK BI INC (hai góc nội tiếp chắn IC ) mà Do tứ giác CNKI nội tiếp nên IKC INC ABC (hai góc nội tiếp chắn ABC (mà hai góc vị trí AC ) IKC đồng vị) BH //KI ABC AMI BK //HI tứ Chứng minh tương tự, tứ giác AMHI nội tiếp AHI giác BHIK có cạnh đối song song nên hình bình hành, lại có HK BI nên hình bình hành BHIK có hai đường chéo vng góc nên hình thoi Bài 41 Cho đường tròn ( O ) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm ) a) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp b) Gọi E giao điểm BC , AO Chứng minh BE ⊥ OA R = OA.OE ≠ B, C ) Tiếp tuyến K đường tròn cắt AB , AC P , Q Chứng minh chu vi tam giác APQ không đổi K di chuyển cung nhỏ BC c) Trên cung nhỏ BC đường tròn lấy điểm K ( K Lời giải Chứng minh a)Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Ta có AB , AC tiếp tuyến với đường tròn ( O ) B C ⇒ OB ⊥ AB OC ⊥ AC ⇒ ABO =° 90 ACO= 90° Xét tứ giác ABOC có: + OCA = 900 + 900 = 1800 ABO mà góc ví trí đối nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BE ⊥ OA R = OA.OE Xét (O) có AB, AC tiếp tuyến đường trịn (O) B , C (gt) ⇒ AB = AC (t/c) Mà OB = OC = R ⇒ OA đường trung trực BC (t/c) ⇒ OA ⊥ BE ∆OBA vng B , có đường cao BE : OB2 = OE.OA ( hệ thức lượng tam giác vuông) Mà OB = R ⇒ R = OE.OA (cmt) c) Chứng minh chu vi tam giác APQ không đổi K di chuyển cung nhỏ BC Xét (O) có: +) AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) B , C (gt) ⇒ AB = AC (t/c) +) PB, PK tiếp tuyến đường tròn (O) B, K (gt) ⇒ PB = PK (t/c) +) QK, QC tiếp tuyến đường tròn (O) K , C (gt) ⇒ QK = QC (t/c) PQ Mà K ∈ PQ ⇒ PK + KQ = Nên chu vi tam giác APQ AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + KQ = AP + AQ + PB + QC = AB + AC = AB Không đổi Bài 42 Cho nửa đường trịn ( O ) , đường kính AB = Trên x y nửa mặt phẳng bờ AB có nửa đường trịn vẽ tiếp D tuyến Ax , By với nửa đường tròn ( O ) ( A , B tiếp điểm) Qua M thuộc nửa đường tròn ( O ) vẽ tiếp tuyến thứ ba ( M tiếp điểm, M khác A B ) , tiếp tuyến cắt tia Ax C , cắt tia By D a) Chứng minh tứ giác OACM , OBDM nội tiếp b) OC cắt AM E , OD cắt BM F Tứ giác OEMF hình gì? Vì sao? c) Gọi I trung điểm OC K trung điểm OD Chứng minh tứ giác OIKM nội tiếp d) ChO AC + BD = 10 Tính diện tích tứ giác OIMK Lời giải M C K E F I A O B a) Chứng minh tứ giác OACM , OBDM nội tiếp = 90o ; CMO = 90o ( Ax , MC tiếp tuyến nửa đường tròn ( O ) ) * Ta có CAO + CMO = 90o + 90o = 180o Tứ giác OACM có CAO Do tứ OACM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180o ) = 90o ; DMO = 90o ( By , MC tiếp tuyến nửa đường tròn ( O ) ) * Ta có DBO + DMO = 90o + 90o = 180o Tứ giác OBDM có DBO Do tứ giác OBDM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180o ) b) OC cắt AM E , OD cắt BM F Tứ giác OEMF hình gì? Vì sao? Tứ giác OEMF hình chữ nhật, vì: Ta có Ax , MC hai tiếp tuyến cắt C nửa đường tròn ( O ) ⇒ OC đường trung trực AM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ OC ⊥ AM E trung điểm AM = ⇒ MEO 90o = 90o Tương tự ta có MFO AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) Lại có = 90o ; MEO = 90o ; AMB = 90o nên hình chữ nhật Tứ giác OEMF có MFO c) Gọi I trung điểm OC K trung điểm OD Chứng minh tứ giác OIKM nội tiếp = 90o (tính chất góc) Theo câu b) có tứ giác OEMF hình chữ nhật ⇒ EOF Mặt khác ∆OMD vng M có MK trung tuyến ứng với cạnh huyền OD ⇒ MK =OK = KD = OD (tính chất hình chữ nhật áp dụng vào tam giác vuông) ⇒ ∆KMO cân K = (tính chất góc tam giác cân) ⇒ KMO KOM = IOM Chứng minh tương tự ta có ⇒ IMO =IMO + KMO =IOM + KOM =IOK =EOF =90o Do IMK + IOK = 90o + 90o = 180o Tứ giác OIKM có IMK Do tứ giác OIKM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180o ) 10 Tính diện tích tứ giác OIMK d) Cho AC + BD = Ta có Ax , MC tiếp tuyến cắt C nửa đường tròn ( O ) ⇒ AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm) Tương tự có BD = MD 10 nên có CD = MC + MD = 10 Do AC + BD = Ta có I trung điểm OC K trung điểm OD Nên IK đường trung bình ∆OCD 1 ⇒ IK // CD và= IK = CD = 10 2 Lại có OM ⊥ CD ( CD tiếp tuyến tiếp điểm M nửa đường tròn) ⇒ IK ⊥ OM (quan hệ từ vng góc đến song song) = OM IK = 4.5 = 20 (đvdt) Diện tích tứ giác OIMK SOIMK Bài 43 Cho nửa đường trịn ( O ) , đường kính AB = Trên nửa mặt phẳng bờ AB có nửa đường tròn Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P Chứng minh: a) Tứ giác CPKB nội tiếp b) AI BK = AC.CB c) ∆APB vuông d) Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn Lời giải a) Gọi O trung điểm IC Do P thuộc đường tròn đường kính IC = ⇒ IPC 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =° ⇒ CPK 90 + CBK = 90° + 90°= 180° Ta có CPK ⇒ CPKB tứ giác nội tiếp AIC + ACI = 90° b) Do ∆AIC vuông A ⇒ + BCK =180° ACI + ICK Có ⇒ ACI + 90° + BCK = 180° x y I z P K O (1) A C = ⇒ ACI + BCK 90° (2) AIC = BCK Từ (1) (2) ⇒ = CBK = 90° ; (cmt) AIC = BCK Xét ∆AIC ∆BCK có: CAI ⇒ ∆AIC ∽ ∆BCK (g - g) AI AC ⇒ = (2 cạnh tương ứng) BC BK ⇒ AI BK = AC.CB (đpcm) = 90° nên A ∈ ( O ) ⇒ AIC = APC (góc nội tiếp chắn AC ) c) Do CAI (3) (cmt) ⇒ AIC = BCK APC = BCK mà = (góc nội tiếp chắn BC ) CKB Do CPKB tứ giác nội tiếp ⇒ CPB + BKC =° 90 Có ∆BCK vng B ⇒ BCK (5) (4) B =° APC + BPC 90 hay APB= 90° ⇒ ∆APB vuông P (đpcm) Từ (3); (4); (5) ⇒ ( AI + BK ) AB mà A, B, I cố định d) Ta có: S AIKB = nên S AIKB lớn BK lớn AC.CB Vì AI BK = AC.CB (cmt) ⇒ BK = AI mà ( AC + BC ) AC.BC ≤ ( AC + BC ) ⇒ BK ≤ AB = AI AI Dấu “=” xảy AC = BC hay C trung điểm AB Vậy C trung điểm AB diện tích hình thang vng ABKI lớn Bài 44 Cho hình vẽ mẩu mát cắt từ khối mát dạng hình trụ có kích thước hình vẽ Tính khối lượng mẩu mát biết khối lượng riêng mát g / m Gọi h chiều cao khối mát R bán kính Ta có: Thể tích mẩu mát cắt : V= π R 30°h 360° = π R2h 12 3.π R h π R h gam = 12 Bài 45 Một trục lăn có dạng hình trụ, đường kính đường trịn đáy 42cm , chiều dài trục lăn m Sau lăn trọn 10 vịng trục lăn Khối lượng mẩu mát: m = D.V = tạo sân mặt phẳng mơt diện tích ? (Lấy π = 22 ) Lời giải vịng lăn trục lăn tương ứng diện tích xung quạnh hình trụ 22 42 = 200 26400 Khi lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo sân mặt phẳng mơt diện tích : Diện tích xung quanh hình trụ là:= S xq 2= π Rh ( ) 10.26400 = 264000 = 26, m Bài 46 Một vật thể hình học hình vẽ bên Phần nửa hình trụ, phần hình hộp chữ nhật với kích thước cho hình vẽ Tính thể tích vật thể hình học Lời giải Thể tích hình hộp chữ nhật: = V1 20.14.10 = 2800 (cm3 ) ( cm ) 2 1 14 Thể tích nửa hình trụ: V2 = πr h = π 20 =490π (cm3 ) 2 2 Thể tích hộp thư bưu điện: V= V1 + V2= 2800 + 490π ≈ 4338,6 (cm3 ) Bài 47 Một vật thể gồm phần có dạng hình trụ, phần cịn lại có dạng hình nón Các kích thước cho hình bên Hãy tính: a) Thể tích dụng cụ b) Diện tích mặt ngồi dụng cụ (khơng tính nắp đậy) Lời giải 1, a) Thể tích phần hình trụ là: V1 hr 0,7.. 0,343 2 (m3 ) Thể tích phần hình nón là: 1, 1 V1 hr 0,9.. 0,147 (m3 ) 3 Thể tích dụng cụ là: V V1 V2 0,343 0,147 0, 49 1,5386 (m3 ) b) Diện tích xung quanh phần hình trụ: S1 2rh 2.0,7.0,7 0,98 (m ) 2 Độ dài đường sinh hình nón: l 0,9 0,7 1,3 (m) Diện tích xung quanh phần hình nón: S rl .0,7 1,3 0,07 130 (m ) Diện tích mặt ngồi dụng cụ là: S S1 S 0,98 0,07 130 5,58 (m ) Bài 48 Một xơ đựng nước hình vẽ Tính thể tích nước chứa đầy xơ Lời giải Thể tích nước chứa đầy xơ là: V = Bài 49 1 r1r2 ) π h ( r12 + r22 += π 0,1( 0,12 + 0, 22 + 0,1.0, ) ≈ 0, 007 ( m3 ) 3 Một xơ hình nón cụt làm tơn để nước có bán kính đáy 25cm 13cm, chiều cao 8cm a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) Lời giải V = a) Dung tích xơ 1 r1r2 ) π h ( r12 + r22 += π ( 252 + 132 + 25.13) ≈ 9374 ( cm3 ) 3 b) Độ dài đường sinh xơ hình nón cụt là: l= ( r2 − r1 ) + h2 = (25 − 13) + 82 = 13 (cm) S xq π ( r1 + r2 ) l = π ( 25 + 13) 13 ≈ 1721, ( cm ) Diện tích tơn để làm xơ: = Bài 50 Hai hình cầu đồng tâm có bán kính R R Tính thể tích phần khơng gian giới hạn hai mặt cầu theo R Lời giải Thể tích phần không gian giới hạn hai mặt cầu là: 4 R 3 V = V1 − V2 = π ( R1 − R2 ) = π R − = π R 3 Bài 51 = 50° , AB = a Quay đường tròn ngoại tiếp tam giác Cho tam giác ABC vuông A , B ABC quanh cạnh BC thu hình cầu Tính thể tích hình cầu theo a Lời giải Vì ∆ABC vng A, nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm O cạnh BC = BC AB= cos B a cos 50° ≈ 0, 64a (đvđ) Xét ∆ABC vuông A: ⇒ OB = 0,32a (đvđ) Thể tích hình cầu là: V = Bài 52 4 = πR π ( 0,32a ) ≈ 0,14a (đvđ) 3 Khi quay hình vng xung quanh cạnh hình trụ có diện tích xung quanh diện tích hình trịn có đường kính a Tính thể tích hình trụ theo a Lời giải Gọi độ dài cạnh hình vng k (đvđd, k > 0) Khi quay hình vng xung quanh cạnh tạo thành hình trụ có bán kính đáy chiều cao độ dài k cạnh hình vng ban đầu a 2 S1 π= R π = πa * Diện tích hình trịn có đường kính a là:= 2 => Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành diện tích hình trịn có đường kính a nên S xq = π a Mặt khác, diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy chiều cao độ dài k là: = S xq 2= π Rh 2π k 2 π a ⇒= k a 2 ⇒ 2π = k2 1 = V π= R h π a = a π a (đvtt) Vậy thể tích hình trụ tạo thành là: 2 16 Bài 53 R Qua M vẽ dây cung AB vng góc với OM Tính diện tích hình viên phân tạo dây AB cung nhỏ AB theo R Lời giải Cho đường tròn (O; R) điểm M cách O khoảng A R O R M B Áp dụng tỉ số lượng giác ∆MAO vuông M , ta được: OM cos AOM = = ⇒ AOM = 600 AB Xét ∆OAB cân O (vì AO = BO = R ) có OM đường cao (vì OM ⊥ AB ) nên OM AOB= 2. AOM= 1200 AOB ⇒ đường phân giác Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác ∆MAO vuông M , ta được: R = AM OA.sin = AOM R= sin 600 Xét (O; R) , ta có OM ⊥ AB ⇒ M trung điểm AB (quan hệ vng góc đk dây) ⇒= AB 2= AM R Diện tích hình quạt trịn AOB là: S= qAOB π R n π R 600 π R = = 360 3600 1 R = OM AB = R R 2 Vậy diện tích hình viên phân tạo dây AB cung nhỏ AB là: Diện tích tam giác AOB= là: S AOB SvpAOB = SqAOB − S ∆AOB Bài 54 3R π 3 π R2 = − = − R ≈ 0, 09 R (đvdt) 6 Cho đường tròn (O; R) điểm M cho OM = R Từ M vẽ tiếp tuyến MA MB với đường tròn ( A , B tiếp điểm) Tính theo R diện tích giới hạn hai tiếp tuyến MA , MB cung nhỏ AB Lời giải = 900 MA tiếp tuyến (O; R) A nên MA ⊥ AO ⇒ MAO Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác AMO vuông A , ta được: AO R AMB = 600 (tính chất hai tiếp tuyến cắt AMO = = = ⇒ AMO = 300 ⇒ * sin MO R nhau) AMO = 300 ⇒ AOM = 600 (2 góc phụ nhau) ⇒ AOB = 1200 (tính chất hai tiếp tuyến Vì cắt nhau) = = AOM 2= R.sin 600 R * MA MO.sin Do MA MB hai tiếp tuyến với (O; R) nên MA = MB ⇒ ∆MAB cân, mà AMB = 600 ⇒ ∆AMB ⇒ AB = AM = R Vậy diện tích giới hạn hai tiếp tuyến MA , MB cung nhỏ AB là: π Rn π R 2120 S =S MAOB − SqAOB = MO AB − = R.R − = − R ≈ 0, 68R 360 360 3 (đvdt) Bài 55 Cho hai hình trụ đồng trục có chiều cao a , bán kính hai hình trụ a 2a Tính thể tích khối nằm ngồi hình trụ nhỏ nằm hình trụ lớn Lời giải Thể tích hình trụ nhỏ có chiều cao a, bán kính a : = S1 π= R h π= a a π a Thể tích hình trụ lớn có chiều cao a, bán kính 2a : = S π= R h π (2a= ) a 4π a Vậy thể tích khối nằm ngồi hình trụ nhỏ nằm hình trụ lớn là: S = S − S1 = 4π a − π a = 3π a (đvtt) HẾT ... = k y2 = x2 x2 PT (1) có x1.x2 =−1 ⇒ a.k =−1 Vậy OA ⊥ OB S AOB ⇒= 1 2 OA= OB x1 x2 (1 + x 12 )(1 += x 22 ) x1.x2 + x 12 + x 22 + x 12 x 22 2 1 x1.x2 + ( x1 + x2 ) − x1.x2 + x 12 x 22 = −1 + m − 2. (−1)... ( mx2 + 1) x2= BK OK= mx 22 + x2 ) ( 2 m ( xx2 − x 12 ) + ( x2 − x1 ) + 1 mx 12 + x1 ) − ( mx 22 + x2 ) ( 2 m ( x − x ) + ( x2 − x1 ) + ( mx + x1 ) − ( mx 22 + x2 ) x2 − x1 = 2 2 2 Ta có ( x2 − x1... trái dấu x1 < < x2 Giả sử A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) Do A, B ∈ ( P) nên = y1 x= x 22 ; y2 Ta có: OA = OB = x 12 + y 12 = x 22 + y 22 = x 12 + x14 = x 22 + x24 = x 12 (1 + x 12 ) x 22 (1 + x 22 ) Đường thẳng
Ngày đăng: 20/02/2023, 15:37
Xem thêm: