Luận văn một số phương pháp nghiên cứu sự phân nhánh

MỤC LỤC MỤC LỤC 3 Lời cảm ơn 4 Phần mở đầu 5 Phần nội dung chính 6 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM ẨN 7 1 1 Định lý Hàm ẩn 7 1 2 Ứng dụng của định lý hàm ẩn 18 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BỔ[.]

MỤC LỤC MỤC LỤC Lời cảm ơn Phần mở đầu Phần nội dung Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM ẨN 1.1 Định lý Hàm ẩn 1.2 Ứng dụng định lý hàm ẩn 18 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BỔ ĐỀ MORSE 22 2.1 Phép dựng Lyapunow-Schmidt 22 2.2 Phương pháp sử dụng Bổ đề Morse 26 Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẬC TÔPÔ 34 3.1 Sự phân nhánh địa phương 34 3.2 Sự phân nhánh toàn cục 54 Chương 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 60 4.1 Phương pháp biến phân 60 4.2 Ví dụ: 63 Phần kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Lời cảm ơn Lời luận văn này, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy dành nhiều thời gian q báu để hướng dẫn, đóng góp ý kiến cho luận văn tơi, xin cảm tạ đến thầy PGS TS Lê Hồn Hóa giúp đỡ, bổ túc kiến thức để luận văn tơi hồn tất Xin chân thành cảm tạ q Thầy, Cơ khoa Tốn-Tin học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tâm giảng dạy, truyền đạt kiến thức hỗ trợ tài liệu cho suốt thời gian học tập Tiếp đến xin chân thành cảm tạ q Thầy Cơ, Cán phịng Quản lý Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành chánh cho tơi suốt q trình học tập Sau cùng, xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho tham dự lớp Cao học Trường Đại học Sư Phạm, Thành phố Hồ Chí Minh Xin gửi lời tri ân tất bạn bè đồng nghiệp, bạn lớp Cao học Giải tích khóa 21, gia đình động viên quan tâm đến quãng thời gian học tập làm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012 Học viên Trần Hòa Hiệp Phần mở đầu Nhiều vấn đề Khoa học tự nhiên, Khoa học xã hội, Kinh tế học dẫn đến việc nghiên cứu phân nhánh nghiệm phương trình chứa tham số Về mặt toán học, vấn đề mơ tả phương trình dạng F(x, λ) = với λ tham số, đóng vai trị yếu tố tác động vào hệ thống xét Với λ ta ký hiệu S(λ) = {x : F(x, λ) = 0} ta cần nghiên cứu tính chất S(λ) mà λ thay đổi; đặc biệt ta muốn xét tồn điểm λ cho λ qua λ cấu trúc tập S(λ) có thay đổi hay hệ thơgns xét có biến động đột ngột Giá trị λ gọi điểm phân nhánh nghiệm phương trình Vì ý nghĩa quan trọng ứng dụng thực tế, toán xác định điểm phân nhánh nghiên cứu tập S(λ) λ gần λ λ xa λ quan tâm nghiên cứu từ kỷ XIX ngày cơng trình Liapunov,S chmit, Nekrasov, Krasnoselskii, Rabinowitz, Dancer, Tùy theo tính chất ánh xạ tham gia vào phương trình mà có nhiều phương pháp khác để nghiên cứu phân nhánh Phần nội dung Nội dung luận văn nói việc nghiên cứu nghiệm (x, y) phương trình f(x, y) = lân cận (x , y ) Bao gồm chương: Chương Định lý hàm ẩn trình bày tồn nghiệm x(t) f(x,y) = Các công cụ đắc lực để chứng minh định lý bao gồm kiến thức phép đồng đẳng cấu tuyến tính khả vi theo Fréchet Chương Trình bày phương pháp sử dụng bổ đề Morse Ta nghiên cứu toán lân cận Ω (0, λ ) ∈ X × A với A không gian tham biến, cách sử dụng phép dựng Lyapunow-Schmidt A hữu hạn chiều việc nghiên cứu địa phương phương trình f(x, λ) = quy việc nghiên cứu số hữu hạn phương trình với số hữu hạn ẩn nhờ vào bổ đề Morse Chương Phương pháp sử dụng bậc tôpô, chia làm hai phần Thứ nhất, phân nhánh địa phương nói điều kiện cần để (0, λ ) điểm phân nhánh f, giá trị riêng đơn tốn tử tuyến tính liên tục K, phân nhánh vô cực, giải pháp Đại số Banach Thứ nhì, phân nhánh tồn cục, nói tồn cục hàm ẩn, nghiệm mở rộng toàn cục, mở rộng toàn cục nón Chương Trình bày phương pháp biến phân, dùng để nghiên điểm phân nhánh phương trình f(x, λ) = điểm phân nhánh ϕ’(x) – λx = với ϕ ∈ C2 (Ω,  ) Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM ẨN 1.1 Định lý Hàm ẩn Nội dung chương trình bày dựa theo [1] PGS.TS Lê Hồn Hóa, trang 283-285; [7] L Nirenberg (bản Việt dịch), trang 74-77; [3] Jean Dieudonné, trang 127-131 Các không gian đề cập không gian Banach Định nghĩa 1.1 Ánh xạ f: X → Y đẳng cấu nếu: (I) f ánh xạ tuyến tính, liên tục (II) Ánh xạ f đảo (tức tồn ánh xạ tuyến tính liên tục g: Y → X cho g o f = I X f o g = I Y ) Tay ký hiệu: Isom(X, Y) = {f ∈  (X,Y) cho: NÓI CÁCH KHÁC Ánh xạ f : X → Y đẳng cấu, điều kiện cần đủ f phép đồng phơi, tuyến tính Định nghĩa 1.2 (Khả vi theo Fréchet) Cho Ω tập mở X, ánh xạ f : Ω → Y gọi khả vi (theo Fréchet) điểm x ∈ Ω, ∃A ∈ L(X, Y) cho: f ( x0 + u ) − f ( x0 ) − Au = o( u ) Y (1.1) có nghĩa ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀u ∈ X : u f ( x0 + u ) − f ( x0 ) − Au Y X (1.1) < δ thì: ≤ε u X Như (1.1) viết dạng quen thuộc sau: lim f ( x0 + u ) − ( f ( x0 ) − Au u →0 u Y =0 X Định nghĩa 1.3 Nếu f khả vi x ∈ Ω ta nói f khả vi Ω (hay f khả vi) Khi ánh xạ f’: Ω → L(X,Y) cho f’(x) ∈ L(Xy,Y) ∀x ∈ Ω, gọi đạo hàm (hay đạo ánh) f Bây giờ, f’ liên tục Ω ta gọi f khả vi liên tục hay thuộc lớp C1(Ω) Mệnh đề 1.1 (Tích phân giá trị trung bình) Giả sử f ∈ C1 tập lồi mở Ω, lấy x ∈ Ω hai điểm tùy ý x , x ∈ Ω ta có x = tx + (1 – t)x , (0 ≤ t ≤ 1) Khi f(x ) – f(x ) = d ∫ dt f [tx + (1 − t ) x ]dt = ∫ fx [tx + (1 − t ) x ]dt.( x − x ) (1.2) Chứng minh: Ta có: d ∫ dt f [tx + (1 − t ) x ]dt= f [tx1 + (1 − t ) x2 ] t =0 t =1 = f [1x1 + (1 − t ) x2 ] − f [ x1 + (1 − 0) x2 ] = f ( x1 ) − f ( x2 ) Mặt khác 1 d d ∫0 dt f [tx1 + (1 − t ) x2 ]dt = ∫0 dt f ( x)dt d d f ( x) x(t )dt dt dt =∫ = ∫ f [tx + (1 − t ) x ] dt.( x − x ) x 2 Vậy (1.2) kiểm chứng xong Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co nghiêm ngặt) Cho X không gian Banach, f : X → X Giả sử tồn k ∈ [0, 1) cho f ( x) − f ( y ) ≤ k x − y , ∀x, y ∈ X Khi X tồn x* điểm bất động f lim f n ( x) = x* , ∀x ∈ X x →∞ Chứng minh Xem [1], PGS TS Lê Hồn Hóa, trang 13-14 Định lý 1.2 (Định lý hàm ẩn) Cho X, Y, Z không gian Banach, Ω tập mở khơng gian X × Y, f : Ω → Z liên tục f có đạo hàm riêng Fréchet f x : Ω → L(X,Z) liên tục Giả sử điểm (x , y ) ∈ Ω ta có f(x , y ) = Ta muốn nghiên cứu nghiêm (x, y) phương trình: f(x, y) = 0, lân cận (x , y ) Muốn vậy, giả sử A = f x (x , y )1 ∈ Isom(X, Z) tức A đẳng cấu không gian X lên khơng gian Z Khi đó: (a) Tồn cầu mở B r (y ) = { y : y − y0 < r } Y ánh xạ u : B r (y ) → X cho u(y ) = x f(u(y), y) = (b) Trường hợp f ∈ C1 u(y) ∈ C1 u y ( y ) = − [ fx(u ( y ), y ) ] f y (u ( y ), y ) −1 (c) Trường hợp f ∈ CP với P > u(y)∈ CP Chứng minh (a) Giả sử x = y = Ta viết phương trình f(x, y) = với (x, y) ∈ Ω lân cận điểm (0, 0) dạng tương đương sau: Ax = Ax – f(x,y,):đặt = R(x, y) ⇔ ⇔ A-1Ax = A-1[Ax – f(x, y)] = A-1R(x, y) x = A-1Ax – A-1f(x,y) = A-1R(x, y): đặt= g(x,y) Bước Ta chứng minh với số r, δ > thích hợp điểm cố định y ∈ B r (0), ta ánh xạ: g(x, y) : B δ (0) → B δ (0) ánh xạ co nghiêm ngặt Thật vậy: • Vì A ∈ Isom(X, Z) nên A-1 ánh xạ tuyến tính liên tục, đó: ∀ε > ta có ε A−1 ≤ (1.3) • Cần chứng minh ∀x , x ∈ B δ (0) cho: R( x1 , y ) − R ( x2 , y ) ≤ ε x1 − x2 (1.4) Với x , x ∈ B δ (0) ≤ t ≤ x = tx + (1 – t)x (do không gian Banach X không gian lồi địa phương), ta có: R(x , y) – R(x , y) = [Ax – f(x ,y)] – [Ax – f(x ,y)] = Ax – Ax – [f(x ,y) – f(x , y)dt], (áp dụng (1.2)) 1  0  = A(x – x ) -  ∫ f x (tx1 + (1 − t ) x2 , y )dt  ( x1 − x2 )     =  A − ∫ f x ( x, y )dt  ( x1 − x2 )     =  f x (0, 0) − ∫ f x ( x, y )dt  ( x1 − x2 ) = ∫[ f x (0, 0) − f x ( x, y ) ]dt.( x1 − x2 ) Do đạo hàm f x liên tục nên ta chọn r, δ > cho x < δ , y < r f x (0, 0) − f x ( x, y ) ≤ ε (1.5) Ta xét: R( x1 , y ) − R ( x2 , y ) ∫[ f = x (0, 0) − f x ( x, y ) ]dt.( x1 − x2 ) = ∫[ f x (0, 0) − f x ( x, y ) ]dt x1 − x2 ≤ ∫ f x (0, 0) − f x ( x, y ) dt x1 − x2 ≤ ∫ ε dt x1 − x2 (do (1.5)) = ε x1 − x2 Như (1.4) kiểm chứng xong * Ta có: g ( x1 , y ) − g ( x2 , y ) = A−1R( x1 , y ) − A−1R( x2 , y ) = A−1 R( x1 , y ) − A−1R( x2 , y ) ≤ ε A−1 x1 − x2 ≤ (do (1.4)) x1 − x2 (1.6) Điều chứng tỏ g(x, y) ánh xạ co nghiêm ngặt theo biến x ∈ B δ (0) với y cố định thuộc B r (0) Bước Ta khẳng định g(x,y) ánh xạ từ B δ (0) → B δ (0) y ∈ B δ (0) Thật vậy: Lấy x ∈ B δ (0) ta chứng minh g(x,y) ∈ B δ (0) * Do g(x,y) liên tục (0, 0) (vì g ánh xạ co) nên ∀δ > 0, ∃r > : y < r ⇒ g (0, y ) − g (0, 0) ≤ δ ⇒ g (0, y ) − ≤ δ ⇒ g (0, y ) ≤ δ (1.7) * Ta có: g ( x, y ) = g ( x, y ) − g (0, y ) + g (0, y ) ≤ g ( x, y ) − g (0, y ) + g (0, y ) ≤ 1 x−0 + δ 2 ≤ 1 x + δ 2 (do (1.6) (1.7)) 1 δ (do x ∈ Bδ (0) ) < δ+ δ= 2 Vậy g ( x, y ) ∈ Bδ (0) hay g(x,y) ánh xạ từ Bδ (0) → Bδ (0) Bước Ta chứng minh có ánh xạ u: B r (y ) → X cho: u ( y0 ) = x0   f (u ( y ), y ) = Thật vậy: * Vì ánh xạ g(x, y) co nghiêm ngặt nên theo nguyên lý ánh xạ co phương trình: g(x, y) = x có nghiệm với y mà ta cố định cầu B r (0) Điều chứng tỏ x phụ thuộc theo biến y mà ta ký hiệu chúng là: u(y) = x Như ta có ánh xạ u : B r (0) → X chọn x = y = ta có kết u(0) = * Từ phương trình: g(x, y) = x ⇔ g (u ( y ), y ) = u( y) Mặt khác ta có: g ( x, y )= x − A−1 f ( x, y ) (1.8) ⇔ g (u ( y ), y ) =− u ( y ) A−1 (u ( y ), y ) (1.9) Thế từ (1.8) (1.9) cho ta: u= ( y ) u ( y ) − A−1 f (u ( y ), y ) ⇔ A−1 f (u ( y ), y ) = ⇔ f (u ( y ), y ) = (do A đồng phơi tuyến tính) -1 Bước Cần chứng minh u: B r (0) → X liên tục Thật vậy, ∀y1 , y2 ∈ Br (0) ta có: u ( y= ) − u ( y2 ) g (u ( y1 ), y1 ) − g (u ( y2 ), y2 ) = g (u ( y1 ), y1 ) − g (u ( y2 ), y1 ) + g (u ( y2 ), y1 ) − g (u ( y2 ), y2 ) ≤ g (u ( y1 ), y1 ) − g (u ( y2 ), y1 ) + g (u ( y2 ), y1 ) − g (u ( y2 ), y2 ) ≤ u ( y1 ) − u ( y2 ) + g (u ( y2 ), y1 ) − g (u ( y2 ), y2 ) Từ ta suy g ( y1 ) − u ( y2 ) ≤ g (u ( y2 ), y1 ) − g (u ( y2 ), y2 ) (1.10) Do g(x, y) liên tục theo biến y nên ta cho y → y vế phải (1.10) tiến hay →0 u ( y1 ) − u ( y2 )  y1 → y2 Điều chứng tỏ u liên tục (b) * Ta xét y + δy cho y + δ y ≤ r tiếp đến ta đặt: δ u := u ( y + δ y ) − u ( y ) Theo bước cho ta u: B r (0) → X liên tục nên = δ u : u ( y + δ y ) − u ( y )  →0 δ y →0 * Ngồi f: Ω ⊂ X × Y → Z ánh xạ thuộc lớp C1; tức f khả vi liên tục với (x, y)∈ Ω, cho nên: Với ε > cho trước tùy ý (như nêu (1.3)), theo Fréchet thì: f (u ( y ) + δ u, y + δ y ) − f (u ( y ), y ) − S ( y )δ y − T ( y )δ y ≤ ε ( δ y + δ u S ( y ) : đặt = f x (u ( y ), y ) T(y):đặt f y (u ( y ), y ) Ta xét vế phải (1.11): f (u ( y ) + δ u, y + δ y ) − f (u ( y ), y ) − S ( y )δ u − T ( y )δ y (1.11) ... tính chất ánh xạ tham gia vào phương trình mà có nhiều phương pháp khác để nghiên cứu phân nhánh Phần nội dung Nội dung luận văn nói việc nghiên cứu nghiệm (x, y) phương trình f(x, y) = lân cận... cục nón Chương Trình bày phương pháp biến phân, dùng để nghiên điểm phân nhánh phương trình f(x, λ) = điểm phân nhánh ϕ’(x) – λx = với ϕ ∈ C2 (Ω,  ) Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM... f(x, λ) = quy việc nghiên cứu số hữu hạn phương trình với số hữu hạn ẩn nhờ vào bổ đề Morse Chương Phương pháp sử dụng bậc tôpô, chia làm hai phần Thứ nhất, phân nhánh địa phương nói điều kiện