Phân nhánh chu kỳ kép, hằng số Feigenbaum trong hệ truyền động động cơ không đồng bộ xoay chiều ba pha

Bài viết trình bày việc phân tích hiện tượng phân nhánh chu kỳ kép xảy ra trong hệ IM. Điểm mới của bài báo là chứng minh sự tồn tại của hằng số Feigenbaum trong biểu đồ phân nhánh trạng thái của hệ IM và tính xác định của hiện tượng hỗn loạn tại các điểm, vùng tham số hỗn loạn.

Đỗ Hoàng Ngân Mi, Lê Tiến Dũng, Nguyễn Phùng Quang 48 PHÂN NHÁNH CHU KỲ KÉP, HẰNG SỐ FEIGENBAUM TRONG HỆ TRUYỀN ĐỘNG ĐỘNG CƠ KHÔNG ĐỒNG BỘ XOAY CHIỀU BA PHA PERIOD-DOUBLING BIFURCATION AND FEIGENBAUM CONSTANTS IN THREE-PHASE AC INDUCTION MOTOR DRIVES Đỗ Hoàng Ngân Mi1*, Lê Tiến Dũng2, Nguyễn Phùng Quang3 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật - Đại học Đà Nẵng Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tác giả liên hệ: dhnmi@ute.udn.vn (Nhận bài: 07/9/2020; Chấp nhận đăng: 22/12/2020) * Tóm tắt - Dựa lý thuyết hỗn loạn số Feigenbaum, biểu đồ phân nhánh, báo vào tìm hiểu hành vi hỗn loạn hệ động lực cụ thể - động không đồng rotor lồng sóc (IM) Bằng cách thay đổi tham số hệ để nhận diện trạng thái hỗn loạn đối tượng nguyên nhân gây trạng thái Trạng thái minh chứng qua biểu đồ phân nhánh chu kỳ kép, kết hợp với số Feigenbaum đánh dấu chuyển tiếp trạng thái Khi phân chia liên tiếp xảy trở nên dày đặc hệ rơi vào trạng thái hỗn loạn có tập hút Từ kết tính tốn mơ phỏng, báo xác định vùng tham số hỗn loạn đối tượng xảy phân nhánh Abstract - Based on chaos theory about Feigenbaum constant, bifurcation diagram, the study provides a numerical approach to understand better the dynamical behavior of a rotor field oriented control of induction motor (IM) The change that affects the dynamics and stability under small variations of parameters are the reason for the chaotic system This state is evidenced by the bifurcation diagram, combined with the Feigenbaum constant marking the transition between states When the successive division became dense, this drives fell into a chaotic state with an attraction From the results of calculations and simulations, the paper determines the chaotic parameter region of IM when bifurcation occurs Từ khóa - Động khơng đồng bộ; lý thuyết hỗn loạn; biểu đồ phân nhánh; số Feigenbaum; mũ Lyapunov; tập hút Key words - Induction motor (IM); Chaos theory; bifurcation diagram; Feigenbaum constants; Lyapunov exponents; strange attractors Đặt vấn đề Nếu nghiệm hệ động lực bị giam hãm miền giới hạn khơng gian trạng thái trạng thái ổn định lượng hay tiêu tán ma sát, hai trạng thái dao động tuần hoàn Tuy nhiên, thực tế tồn trạng thái phức tạp hai dạng gọi Chaos (hỗn loạn) Từ “Chaos” bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp 𝜒𝛼ώ𝛿𝜂𝜍 nghĩa “một trạng thái thiếu trật tự” rối loạn chuyển động bất thường tạm thời, tuân theo quy luật [1] Và theo từ điển Oxford, hỗn loạn “hành vi hệ thống tuân theo định luật xác định khó đốn trước nhiễu, đặc biệt nhạy cảm với thay đổi nhỏ tham số phụ thuộc vào biến độc lập” Về hỗn loạn có tính chất [2]: - Phi tuyến: Xảy hệ thống động lực phi tuyến hay hệ thống thể định mức độ phi tuyến - Tất định: Có thể dự đốn trước phương trình tất định đơn giản, xác định miền tham số tương ứng với nghiệm hỗn loạn Tức hỗn loạn tuân theo hay nhiều phương trình xác định, khơng có yếu tố ngẫu nhiên, xác suất - Nhạy cảm với điều kiện ban đầu: Những sai khác nhỏ đầu vào hệ thống, bị khuếch đại theo hàm mũ tạo nên khác lớn đầu - Khơng tuần hồn: Quỹ đạo khơng tuần hồn tn theo quy luật hay ngun tắc đó, ví dụ: có tập hút, … Có thể thấy hỗn loạn tuân theo quy tắc tốn học, biết xác điều kiện ban đầu dễ dàng xác định kết đầu Nhưng thay đổi dù nhỏ điều kiện ban đầu tạo thay đổi lớn kết đầu ra, dẫn đến dự đoán kết đầu lâu dài trở nên bất khả thi Chính điều mà thời gian dài hỗn loạn khó phát đơi bị nhầm lẫn với nhiễu Có nhiều phương pháp khác để xác định hỗn loạn: Đáp ứng thời gian, biểu đồ pha, phân tích phổ Fourier, đồ PoinCaré, biểu đồ phân nhánh, số mũ Lyapunov, … Trong đó, biểu đồ phân nhánh có mối liên hệ chặt chẽ với hỗn loạn [3], mô tả thay đổi quỹ đạo hệ vùng tham số hỗn loạn biểu đồ phân nhánh thu nhận điểm dày đặc đặc trưng cho hành vi phức tạp – hỗn loạn đối tượng Xét riêng nghiên cứu hệ truyền động điện sử dụng động không đồng (IM): Đầu tiên vào năm 1989 tượng hỗn loạn hệ thống biến tần PWM Kuroe Hayashi [4], điều kiện định gây rung động bất thường hệ thống Nghiên cứu sâu Nagy, Suto năm 1996 [5] qua thí nghiệm truyền động đơn giản sử dụng nguồn áp điều khiển dịng dung sai Sau đó, nghiên cứu mở rộng quan sát điểm phân nhánh Bazanella Reginatto năm 2000 [6] để nhận định tượng hỗn loạn đối tượng IM theo tham số, phân tích phân nhánh nút yên, Hopf sai số ước The University of Danang - University of Technology and Education (Do Hoang Ngan Mi) The University of Danang - University of Science and Technology (Le Tien Dung) Hanoi University of Science and Technology (Nguyen Phung Quang) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 5.2, 2021 tính số thời gian rotor Hay sử dụng tốc độ có tính chu kỳ sin để tạo chuyển động hỗn loạn Gao Chau năm 2003 [7] xem xét trạng thái làm việc hệ thống IM Và vào năm 2018 nghiên cứu phân tích dự đoán phân nhánh nút yên, Hopf, Bogdanov-Takens gây thay đổi momen tải Jain, Ghosh Maity nghiên cứu [8]; … Chính vậy, nhận định chắn, hệ truyền động động không đồng - đối tượng báo hướng đến hệ hỗn loạn điều kiện định Nguyên nhân tác động bên ngồi nhiệt độ, tuổi thọ, lỗi ước tính nguyên nhân môi trường khác, hay tham số đối tượng (điện trở; điện cảm; điện cảm tản hai phía rotor, stator; hỗ cảm, …) thay đổi ảnh hưởng đến chất lượng điều khiển RFOC đến vùng tham số định dẫn đến tượng hỗn loạn, ảnh hưởng đến chất lượng hệ thống hiệu suất Bài báo vào phân tích tượng phân nhánh chu kỳ kép xảy hệ IM Điểm báo chứng minh tồn số Feigenbaum biểu đồ phân nhánh trạng thái hệ IM tính xác định tượng hỗn loạn điểm, vùng tham số hỗn loạn Phân nhánh Hỗn loạn xảy hệ động lực phi tuyến, tuân theo định luật xác định có nhiều phương pháp khác để nhận định hỗn loạn có biểu đồ phân nhánh 49 Có thể phân phân nhánh thành hai loại: - Phân nhánh cục bộ: xảy tham số thay đổi làm cho điểm cân thay đổi bị giới hạn phạm vi lân cận Một số phân nhánh cục bản: nút yên, phân nhánh chuyển trạng thái, phân nhánh chu kỳ kép, phân nhánh Hopf - Phân nhánh toàn cục: xuất tập bất biến “va chạm” với hay với điểm cân hệ thống phá vỡ hình thái quỹ đạo Một số phân nhánh toàn cục: phân nhánh đường tròn giới hạn va chạm nút yên, phân nhánh đường tròn giới hạn va chạm với hay nhiều nút n, phân nhánh vơ hạn tuần hồn nút ổn định nút yên xuất đồng thời đường tròn giới, phân nhánh đường tròn giới hạn va chạm với đường tròn phi hyperbolic Phân nhánh chu kỳ kép số Feigenbaum 3.1 Phân nhánh chu kỳ kép Là phân nhánh mà giá trị định tham số phân nhánh hệ có hai giá trị phân nhánh, rẽ hai hướng khác Và đến giá trị định nằm vùng hỗn loạn, phân nhánh diễn liên tục làm cho hệ thống rơi vào vùng hỗn loạn Tỉ lệ điểm phân nhánh thỏa mãn số Feigenbaum a) b) Hình a) Dầm ổn định; b) Tải trọng tới hạn Từ phân nhánh [9] từ gốc Pháp xuất năm 1885 Henri Poincaré đặt ra, có nghĩa “sự tách đơi” xuất giá trị đặc biệt quỹ đạo pha hay thay đổi đột biến số lượng điểm cố định hệ động lực tham số hệ tiến qua giá trị tới hạn (giá trị phân nhánh) Phân nhánh khái niệm quan trọng việc nghiên cứu hệ động lực phi tuyến phụ thuộc vào nhiều tham số Mỗi tham số lại có giá trị phân nhánh riêng hệ có diễn biến vơ phức tạp Hình ví dụ cho tới hạn việc ổn định, uốn cong đàn hồi thẳng đứng chịu tải trọng đặt đầu, đầu găm chặt xuống Với tải trọng nhỏ, cân vị trí thẳng đứng (Hình 1a) Tăng dần tải trọng giá trị tới hạn (giá trị phân nhánh, điểm phân nhánh) bị uốn cong (Hình 1b) vượt giá trị tới hạn bị đứt gãy làm đơi hay cịn gọi phân nhánh đơi Phân nhánh đóng vai trị việc định tính (sự chuyển tiếp quỹ đạo) định lượng vùng tham số xảy tượng hỗn loạn Hình Phân nhánh chu kỳ kép điển hình [10] Phân làm hai dạng: + Phân nhánh chu kỳ kép siêu tới hạn (supercritical period doubling bifurcations) có đường trịn giới hạn ổn định điểm cân không ổn định Lúc từ giá trị ban đầu khác đường trịn hay ngồi đường trịn theo thời gian di chuyển quỹ đạo hệ đường tròn giới hạn Hình Phân nhánh chu kỳ kép siêu tới hạn điển hình Đỗ Hồng Ngân Mi, Lê Tiến Dũng, Nguyễn Phùng Quang 50 + Phân nhánh chu kỳ kép tới hạn (subcritical period doubling bifurcations) có đường trịn giới hạn không ổn định điểm cân ổn định Trong trường hợp từ giá trị ban đầu khác đường tròn theo thời gian di chuyển điểm cân Nếu giá trị ban đầu ngồi đường trịn theo thời gian di chuyển xa đường trịn giới hạn • 𝑖𝑠𝑑 , 𝑖𝑠𝑞 : Thành phần dòng điện stator hệ tọa độ dq • 𝜔𝑠 , 𝜔: Vận tốc mạch stator, rotor 𝐿 • 𝑇𝑟 = 𝑟 : số thời gian rotor • 𝑅𝑟 𝛹𝑟𝑞 ′ 𝛹𝑟𝑞 = 𝐿𝑚 𝛹𝑟𝑑 ′ , 𝛹𝑟𝑑 = 𝐿𝑚 Kết hợp với phương trình phương trình khí (có xét đến tổn hao ma sát): 𝑚𝑀 = 𝑚𝑤 + 𝑅𝜔 ω + 𝐽 𝑑𝜔 Hay 𝑑ω (4) 𝑑𝑡 = (𝑚𝑀 − 𝑚𝑤 − 𝑅𝜔 𝜔) 𝑑𝑡 (5) 𝐽 Với: • J: momen quán tính • 𝑚𝑀 , 𝑚𝑤 : momen tải, động • 𝑅𝜔 : hệ số ma sát Hệ phương trình IM xét hệ hệ tọa độ dq kết hợp với điều khiển PI cho tốc độ: Hình Phân nhánh chu kỳ kép tới hạn điển hình 𝑡 3.2 Hằng số Feigenbaum Năm 1978, Mitchell Jay Feigenbaum công bố số Feigenbaum tỉ lệ điểm phân nhánh “Định lượng lớp phi tuyến chuyển đổi” [11] Ở Hình số thứ δ đặc trưng cho tỷ lệ khoảng cách hai lần phân nhánh liên tiếp, tính cơng thức [11]: δ = lim δk k→∞ δk+1 = 4,669201609 … (1) Hằng số thứ hai α [11]: α = lim αk k→∞ αk+1 = 2,502907875 … (2) Hằng số Feigenbaum chứa đựng tính chất thứ hỗn loạn tất định, mơ tả chuyển đổi từ hệ động lực thông thường sang hỗn loạn với loạt phản ứng phân nhánh theo chu kỳ 𝑖𝑠𝑞 = k p (𝜔∗ − 𝜔) + k i ∫0 (𝜔∗ − 𝜔)𝑑𝑡 [13], [2]: 𝑑𝛹𝑟𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝛹𝑟𝑑 = 𝑑𝑡 𝑑(𝜔∗ −𝜔) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑞 { 𝑑𝑡 𝐿 𝛹 − 𝜔𝑟 𝛹𝑟𝑑 + 𝑚 𝑅𝑟 𝑖𝑠𝑞 𝐿𝑟 𝑟𝑞 𝐿𝑟 𝑅𝑟 𝐿 − 𝛹𝑟𝑑 + 𝜔𝑟 𝛹𝑟𝑞 + 𝑚 𝑅𝑟 𝑖𝑠𝑑 𝐿 𝐿 =− = 𝑅𝑟 𝑟 𝑟 𝑧𝑝 𝑅𝜔 = 𝐽 kp 𝑧𝑝 𝑅𝜔 𝐽 𝜔− 𝜔− 𝑧𝑝 𝐽 kp 𝑧𝑝 𝐽 (6) c c + k i (𝜔∗ − 𝜔) Đặt 𝑥1 = 𝛹𝑟𝑞 , 𝑥2 = 𝛹𝑟𝑑 , 𝑥3 = 𝜔∗ − 𝜔 = 𝜔𝑠𝑙 , 𝑥4 = 𝑖𝑠𝑞 , 𝑧𝑝 𝑅𝜔 𝑧𝑝 𝑅𝑟 𝐿𝑚 𝑘1 = = ,𝑘 = 𝑅 ,𝑘 = , 𝑘4 = , 𝑇𝑟 𝐿𝑟 𝐿𝑟 𝑟 𝐽 𝐽 ̂ 𝐿𝑚 𝛹 𝑘 𝑧 , 𝑘 = 𝑟𝑑 = 𝑖𝑠𝑑 , 𝑘 = 1, 𝐿𝑟 𝑝 𝐿𝑚 𝑘1 𝐿𝑚 𝑧𝑝 (𝑖𝑠𝑞 𝛹𝑟𝑑 − 𝑖𝑠𝑑 𝛹𝑟𝑞 ) − 𝑚𝑤 𝐿 𝑘5 = 𝑐= 𝑟 Phương trình (6) trở thành: 𝑑𝑥1 = −𝑘1 𝑥1 − 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 𝑑𝑥3 𝑑𝑡 𝑑𝑥4 { 𝑑𝑡 𝑘𝑘1 = 𝑘6 𝑘𝑘1 𝑘6 𝑥2 𝑥4 + 𝑘2 𝑥4 𝑥1 𝑥4 − 𝑘1 𝑥2 + 𝑘2 𝑘6 (7) = −𝑘4 𝑙 − 𝑘3 𝑥3 = −𝑘𝑝 𝑘4 𝑙 + (𝑘𝑖 − 𝑘𝑝 𝑘3 )𝑥3 Với 𝑙 = 𝑘5 (𝑥2 𝑥4 − 𝑘6 𝑥1 ) − 𝑚𝑤 − 𝑘3 𝑘4 𝜔∗ Điểm cân hệ (7) xác định: Hình Hằng số Feigenbaum 𝑥1 = Phân tích tính ổn định hệ truyền động động không đồng ba pha Từ [12] phương trình từ thơng stator động không đồng xoay chiều ba pha (IM): ′ 𝑑𝜓𝑟𝑑 { 𝑑𝑡 ′ 𝑑𝜓𝑟𝑞 𝑑𝑡 = = 𝑖 𝑇𝑟 𝑠𝑑 𝑇𝑟 − 𝑇𝑟 ′ ′ 𝜓𝑟𝑑 + (𝜔𝑠 − 𝜔)𝜓𝑟𝑞 ′ 𝑖𝑠𝑞 − (𝜔𝑠 − 𝜔)𝜓𝑟𝑑 − 𝑇𝑟 (3) ′ 𝜓𝑟𝑞 Với: • 𝛹𝑟𝑑 , 𝛹𝑟𝑞 : Thành phần từ thông stator trục d, q 𝑥2 = 𝑥2 𝑥4 𝑘6 − 𝑚𝑤 𝑘5 𝑘6 − 𝑘3 𝜔∗ 𝑘4 𝑘5 𝑘6 𝑚𝑤 𝑘 𝜔∗ 𝑘 𝑥 + + 𝑘5 𝑘6 𝑘4 𝑘5 𝑘6 𝑘1 𝑥4 𝑘𝑥4 + 𝑘6 𝑘6 (8) 𝑥3 = { 𝑎1 𝑥43 + 𝑎2 𝑥42 + 𝑎3 𝑥4 + 𝑎4 = 𝑎1 = 𝑘𝑘2 ; Với 𝑎3 = 𝑘𝑘2 𝑘6 ; 𝑎4 = − 𝑘1 = 13,67; 𝑘5 = 2,86; 𝑎2 = − 𝑘1 𝑘6 𝑚𝑤 𝑘5 𝑘2 = 1,56; k = 4; − 𝑘 𝑘1 𝑚𝑤 𝑘5 𝑘6 𝑘1 𝑘3 𝑘6 𝜔 ∗ 𝑘4 𝑘5 𝑘3 = 0,59; k p = 0,001; − 𝑘 𝑘1 𝑘3 𝜔∗ 𝑘4 𝑘5 𝑘6 ; tham số hệ: 𝑘4 = 1176; k i = 0,55; ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 5.2, 2021 ∗ ω = 181,1 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Xét: 𝑎1 𝑥43 + 𝑎2 𝑥42 + 𝑎3 𝑥4 + 𝑎4 = (9) - Nếu ∆> tương đương suy 5,6855 ≤ 𝑘 (loại tỉ lệ số rotor khó xảy ra); - Nếu ∆= 0, 𝑘 = 𝑘 = 5,6855 (loại tỉ lệ số rotor lớn khó xảy ra); - Nếu ∆< < 𝑘 < 5,6855 phương trình có nghiệm với 𝑥4 = √|∆| 3𝑎 ( √∇ + √∇2 + + √∇ − √∇2 + 1) − 𝑏 3𝑎 ; Vậy hệ (7) có điểm cân thực 𝐸1 với điều kiện 𝑘 < 5,6855 Từ ta xét tính ổn định điểm ổn định thông qua ma trận Jacobian giá trị riêng từ đa thức đặc trưng |𝜆𝐼 − 𝐽| = 𝑘𝑘 𝑥 𝑘𝑘 𝑥 −𝑘1 − 𝜆 − 𝑘2 − 𝑘6 | 𝑘𝑘1 𝑥4 𝑘6 | 𝑘 𝑘 u0 k p 𝑘4 𝑘5 u02 −𝑘1 − 𝜆 𝑘4 𝑘5 𝑥4 −k p 𝑘4 𝑘5 𝑥4 −𝑐3 − 𝜆 k i − k p 𝑘3 𝑘6 𝑘𝑘1 𝑥1 | 𝑘6 −𝑘4 𝑘5 𝑥2 | −k p 𝑘4 𝑘5 𝑥2 − 𝜆 =𝜆4 + 𝑎1 𝜆3 + 𝑎2 𝜆2 + 𝑎3 𝜆 + 𝑎4 (10) Chọn 𝑚𝑤 làm tham số phân nhánh - Trường hợp 𝑚𝑤 = 0: Hệ (7) có điểm cân bằng: 𝐸1 (−0,005421; 0,456379; 0; 0,022099) Từ xét tính ổn định điểm cân 𝐸1 thông qua giá trị riêng từ đa thức đặc trưng ma trận 𝐽𝐸1 : |𝜆𝐼 − 𝐽𝐸1 | = −𝜆4 − 29,464969𝜆3 − 1134,36873𝜆2 − 48907,803735𝜆 − 497064,742482 (11) Hệ có nghiệm thực có giá trị âm: 𝜆1 = −28,438207; 𝜆2 = −13,675171 nghiệm phức có phần thực dương: 𝜆3 = 6,324204 − 35,187257𝑖; 𝜆4 = 6,324204 + 35,187257𝑖 Vì 𝜆3 , 𝜆4 nghiệm phức liên hợp có phần thực dương nên điểm cân 𝐸1 không ổn định - Trường hợp 𝑚𝑤 = 0,3: Hệ (7) có điểm cân bằng: 𝐸2 (0,023306; 0,454721; 0; −0,095527) Xét tính ổn định điểm cân 𝐸2 thông qua giá trị riêng từ đa thức đặc trưng ma trận 𝐽𝐸2 : |𝜆𝐼 − 𝐽𝐸2 | = 𝜆4 + 29.4594𝜆3 + 1132𝜆2 +48735𝜆 + 49733 (12) Hệ có nghiệm: 𝜆5 = −28,343672; 𝜆6 = −13,767039; 𝜆7 = 6,325661 − 35,135716𝑖; 𝜆8 = 6,325661 + 35,135716𝑖 Vì 𝜆5 , 𝜆6 âm 𝜆7 , 𝜆8 nghiệm phức liên hợp có phần thực dương nên điểm cân 𝐸2 không ổn định Tương tự, tăng giá trị 𝑚𝑤 từ đến N.m thu điểm cân không ổn định 51 Kết hợp tính số mũ Lyapunov theo phương pháp Alan Wolf [14] để làm rõ hành vi hệ thống 𝑝𝑖 (𝑡) n→∞ 𝑡 𝑝𝑖 (0) 𝜆𝑖 = lim log (13) Khi 𝑚𝑤 = số mũ Lyapunov lớn 𝜆1 =0,161708 mang giá trị dương Và 𝑚𝑤 = 0,3 số mũ Lyapunov lớn 𝜆1 = 0,478019 mang giá trị dương Các giá trị khác tính tốn số thể rõ thơng qua mơ Hình 6b Tính tốn số Feigenbaum mô phân nhánh chu kỳ kép, hỗn loạn hệ truyền động điện sử dụng động IM Biểu đồ phân nhánh (Hình 6) mơ tả thay đổi quỹ đạo hệ thống tham số phân nhánh 𝑚𝑤 biến thiên, dễ dàng nhận thấy quỹ đạo liên tiếp từ đường cong kín chia nhỏ thành giá trị 0,238401 từ giá trị 0,390374 quỹ đạo phân làm đường cong móc vịng vào tạo thành đường cong kín, tiếp tục phân chia giá trị 0,422917; có vùng tham số hỗn loạn từ 0,466705 đến 0,600109 từ 1,457142 đến 1,983074 Trong vùng này, hệ IM mang đầy đủ tính chất hệ hỗn loạn, biến trạng thái có hành vi vơ phức tạp Xét Hình khoảng (0,238401; 0,422917) theo cơng thức (1) (2) ta có: δ11 = α11 = α12 = δ1 δ2 α1 α2 α1 α3 = = = 0,390374−0,238401 0,422917−0,390374 5,430162−4,917589 5,642592−5,437902 5,430162−4,917589 4,995968−4,805136 = 4,669913 (14) = 2,504142 (15) = 2,685991 (16) Và khoảng (2,120977; 2,272051) từ (1) (2) có được: δ22 = α21 = α22 = δ3 δ4 α4 α5 α4 α6 = = = 2,272051−2,162143 2,162143−2,120977 3,231081−2,479528 3,489728−3,240161 3,231081−2,479528 2,526043−2,247024 = 2,669873 (17) = 3,011427 (18) = 2,693554 (19) có giá trị xấp xỉ gần với số Feigenbaum (trung bình cộng khoảng cách chuyển tiếp trạng thái) Từ tỉ lệ lệ dễ dàng xác định giá trị chuyển tiếp tiếp theo, sau (trong vùng tham số hỗn loạn) khoảng cách δ α có giá trị nhỏ dần phân tách diễn liên túc khiến cho hệ có biểu vơ phức tạp thể qua xuất dày đặc điểm, tương ứng quỹ đạo xuất tập hút (Hình 13) Đồng thời tiến hành mơ giai đoạn chuyển tiếp trạng thái biểu đồ phân nhánh kết hợp biến thiên số mũ Lyapunov lớn để thấy rõ hành vi đối tượng Kết Hình thể rõ, vùng tham số hỗn loạn điểm xuất dày đặc, kèm theo thay đổi liên tục số mũ Lyapunov Biểu đồ pha đường cong kín (Hình 7) nên dao động dao động tuần hồn, đáp ứng thời gian thu dao động điều hòa biến trạng thái (Hình 8) Biểu đồ pha hai đường cong kín (Hình 9) nên dao động dao động tuần hồn với hai thành phần điều hòa thu đáp ứng thời biến trạng thái (Hình 10) Đỗ Hồng Ngân Mi, Lê Tiến Dũng, Nguyễn Phùng Quang 52 a) b) Hình a) Biểu đồ phân nhánh 𝑖𝑠𝑞 b) Sự biến thiên số mũ Lyapunov lớn 𝑚𝑤 có giá trị thay đổi từ đến - Trường hợp 𝑚𝑤 = a) b) Hình Biểu đồ pha a) 𝑖𝑠𝑞 𝜔𝑠𝑙 ; b) 𝑖𝑠𝑞 , 𝛹𝑟𝑑 𝛹𝑟𝑞 𝑚𝑤 = a) b) Hình Đáp ứng thời gian: a) 𝜔𝑠𝑙 , b) 𝑖𝑠𝑞 𝑚𝑤 = - Trường hợp 𝑚𝑤 =0,3 a) b) Hình Biểu đồ pha a) 𝑖𝑠𝑞 𝜔𝑠𝑙 ; b) 𝑖𝑠𝑞 , 𝛹𝑟𝑑 𝛹𝑟𝑞 𝑚𝑤 = 0,3 a) b) Hình 10 Đáp ứng thời gian: a) 𝜔𝑠𝑙 , b) 𝑖𝑠𝑞 𝑚𝑤 = 0,3 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 5.2, 2021 - Trường hợp 𝑚𝑤 =0,391 a) b) Hình 11 Biểu đồ pha a) 𝑖𝑠𝑞 𝜔𝑠𝑙 ; b) 𝑖𝑠𝑞 , 𝛹𝑟𝑑 𝛹𝑟𝑞 𝑚𝑤 = 0,391 a) b) Hình 12 Đáp ứng thời gian: a) 𝜔𝑠𝑙 , b) 𝑖𝑠𝑞 𝑚𝑤 = 0,391 Biểu đồ pha bốn đường cong kín (Hình 11) nên dao động dao động tuần hồn với bốn thành phần điều hịa thu đáp ứng thời biến trạng thái (Hình 10) - Trường hợp 𝑚𝑤 =1,5 Biểu đồ pha hệ IM thời điểm thu đường cong phân biệt tự đồng dạng có tập hút lạ (Hình 13) a) b) Hình 13 Biểu đồ pha a)𝑖𝑠𝑞 , 𝛹𝑟𝑞 𝛹𝑟𝑑 ; b) 𝑖𝑠𝑞 , 𝛹𝑟𝑞 𝜔𝑠𝑙 𝑚𝑤 = 1,5 a) b) Hình 14 Đáp ứng thời gian: a) 𝜔𝑠𝑙 , b) 𝑖𝑠𝑞 𝑚𝑤 = 1,5 Đáp ứng thời gian có hành vi vơ phức tạp biến trạng thái (Hình 14), dao động gần khơng tuần hồn có biên độ thay đổi lớn, tự trì Từ mơ biểu đồ phân nhánh, đáp ứng thời gian biểu đồ pha nhận thấy, đáp ứng thời gian biến trạng thái hệ IM dao động liên tục tuần hồn dao động trì liên tục khơng suy giảm Khi giá trị tham số phân nhánh 𝑚𝑤 vào vùng tham số hỗn loạn đáp ứng thời gian vô phức tạp, biểu đồ pha 53 mang hình dạng đặc biệt có tập hút lạ thể tính chất hỗn loạn Kết luận Nhờ vào tính tốn biết hệ động lực IM tồn tỷ lệ điểm phân nhánh xấp xỉ số Feigenbaum - đặc trưng cho trình chuyển đổi trạng thái, biểu qua phân đôi giá trị tới hạn Qua trình mơ nhận thấy hệ rơi vào vùng tham số hỗn loạn thay đổi tải, lúc đối tượng có hành vi vô phức tạp, sai lệch tốc độ giá trị đặt giá trị đo lớn, dao động tự trì khơng suy giảm Đây minh chứng hỗn loạn tượng xác định, khác hoàn toàn với nhiễu Và từ phân vùng tham số hỗn loạn dựa biểu đồ phân nhánh cho đối tượng giúp người điều khiển hiểu rõ đối tượng hành vi đối tượng trình làm việc dài hạn Đồng thời, thông qua biểu đồ phân nhánh chu kỳ kép kết hợp số Feigenbaum dự đốn kết quả, đánh giá lỗi có tính chu kỳ lặp lại tìm kiếm vùng tham số làm việc ổn định cho hệ truyền động chọn phương án đích cho tham số hệ thống TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Nagashima and Y Baba, Introduction to Chaos Institute of Physics Publishing, 1999 [2] Đ H N Mi, L T Dũng, and N P Quang, “Đặc điểm hỗn loạn hệ truyền động không đồng xoay chiều ba pha điều khiển tựa theo từ thông rotor”, Chuyên san Đo lường, Điều khiển Tự động hóa., vol 21, no 3, pp 3–9 [3] G Chen and J L.Moiola, “An Overview of Bifurcation, Chaos and Nonlinear Dynamics in Control Systems”, J Franklin Inst., vol 331, no 6, pp 819–858, 1994 [4] K Y and H S, “Analysis of bifurcation in power electronic induction motor drive systems”, IEEE, pp 923–930, 1989 [5] I Nagy and Z Suto, “Repetitive and chaotic processes in current controlled induction motor”, Proc IEEE Int Symp Ind Electron., vol 2, no 3, pp 946–951, 1996 [6] A S Bazanella and R Reginatto, Instability mechanisms in indirect field oriented control drives: Theory and experimental results, vol 15, no IFAC, 2002 [7] Y Gao and K T Chau, “Chaotification of induction motor drives under periodic speed command”, Electr Power Components Syst., vol 31, no 11, pp 1083–1099, 2003 [8] J K Jain, S Ghosh, and S Maity, “A Numerical Bifurcation Analysis of Indirect Vector-Controlled Induction Motor”, IEEE Trans Control Syst Technol., vol 26, no 1, pp 282–290, 2018 [9] N V Đạo, T K Chi, and N Dũng, Nhập môn động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn NXB Đại học Quốc Gia, 2005 [10] E Sander and J A Yorke, “Connecting period-doubling cascades to chaos”, Int J Bifurc Chaos, vol 22, no 2, pp 1–29, 2012 [11] M J Feigenbaum, “Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations”, J Stat Phys., vol 19, no 1, pp 25–52, 1978 [12] N P Quang and J.-A Dittrich, Vector Control of Three-Phase AC Machines - System Development in the Practice, 2nd ed Springer, 2015, ISBN 978-3-662-46915-6 [13] Đ H N Mi, L T Dũng, and N P Quang, “Điều khiển trượt thích nghi triệt tiêu trạng thái hỗn loạn hệ truyền động không đồng xoay chiều ba pha điều khiển tựa theo từ thông rotor”, Hội nghị - Triển lãm quốc tế lần thứ Điều khiển Tự động hóa (VCCA-2019), ISBN 978-604-95-0875-2 [14] A Wolf, J Swift, H Swinney, and J Vastano, “Determining Lyapunov exponents from a time series”, Phys D Nonlinear Phenom., pp 285–317, 1985  ... Điểm cân hệ (7) xác định: Hình Hằng số Feigenbaum