1 LỜI CÁM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Nguyễn Bích Huy, PGS TS Nguyễn Anh Tuấn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy Thầy đã tạo[.]
LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Bích Huy, PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Thầy tạo cho ý thức ham học hỏi lòng say mê nghiên cứu khoa học Thầy tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Ban lãnh đạo khoa Khoa Tốn Tin, Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tập thể q thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn giải tích khóa 22, thầy, cô giáo trang bị kiến thức, tạo kiện cho thời gian học tập Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2013 Học viên TƠ HỒNG THẬT LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: luận văn cá nhân thực hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Các kết giới thiệu luận văn chúng tơi tìm hiểu từ giảng, sách chuyên khảo báo khoa học trình bày lại theo cách hiểu với chứng minh chi tiết Học viên TƠ HỒNG THẬT MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ 1.1 Thứ tự sinh nón .5 1.2 Một số dạng nón tính chất chúng 1.2.1 Nón chuẩn .6 1.2.2 Nón qui 1.2.3 Nón hồn tồn qui 1.2.4 Nón sinh 1.2.5 Nón liên hợp 10 CHƯƠNG 2: KHƠNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH 13 2.1 Tính chất nón hàm dương 13 2.1.1 Trường hợp không gian Lp ( Ω, E ) 13 2.1.2 Khơng gian hàm khả tích HL 17 2.2 Tính chất thứ tự xích 20 2.2.1 Xích khơng gian Lp ( Ω, E ) 20 2.2.2 Xích hàm khả tích Bochner địa phương .29 2.2.3 Xích hàm khả tích HL khả tích HL địa phương 32 2.3 Tính chất đoạn cầu có thứ tự khơng gian hàm có thứ tự 35 CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC 38 3.1 Tính chất thứ tự xích 38 3.2 Tính chất thứ tự đoạn cầu .49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự hình thành thập niên 1940, phát triển mạnh mẽ năm 1950-1970 tiếp tục hoàn thiện ngày Lí thuyết tìm ứng dụng rộng rãi nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên, nghiên cứu mơ hình kinh tế-xã hội, Lí thuyết điều khiển, tối ưu …Trong Lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự, tính chất tơpơ khơng gian ánh xạ kết hợp với tính chất thứ tự chúng để đưa đến định lý sâu sắc tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm xây dựng nghiệm xấp xỉ cho lớp phương trình Khơng gian hàm liên tục không gian LP không gian sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân tích phân Do để ứng dụng có hiệu Lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự vào nghiên cứu phương trình vi phân tích phân ta cần nghiên cứu tính chất thứ tự không gian này, bao gồm việc ứng dụng kết tổng qt khơng gian có thứ tự vào khơng gian tìm tính chất thứ tự đặc thù chúng Luận văn trình bày cách có hệ thống chi tiết tính chất thứ tự khơng gian hàm liên tục, LP bao gồm ứng dụng kết tổng qt khơng gian có thứ tự vào không gian trường hợp riêng nêu tính chất thứ tự đặc thù chúng Luận văn gồm ba chương Chương giới thiệu khái niệm kết chuẩn bị không gian Banach có thứ tự Chương trình bày tính chất thứ tự khơng gian hàm khả tích khơng gian Lp , khơng gian hàm khả tích địa phương, khơng gian hàm khả tích HL Chương trình bày tính chất thứ tự khơng gian hàm liên tục CHƯƠNG 1: KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ 1.1 Thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Tập K không gian Banach thực X gọi nón nếu: a) K tập đóng, khác rỗng khác {0} b) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ c) K ∩ ( − K ) ={θ } Ví dụ 1.1.2 Cho X = n Ta= xét K {( x , , x ) : x ∈ , n i x= 1, , n} i ≥ 0, i K nón n Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x∈K Mỗi x ∈ K \ {θ } gọi dương Ví dụ 1.1.3 Ở ví dụ 2, thứ tự n sinh nón K định nghĩa sau: x x1 , , xn ) , y ( y1 , , yn ) , (= x ≤ y ⇔ yi − xi ≥ 0, ∀i =1, , n Mệnh đề 1.1.4 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón Khi đó: a) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z , λ x ≤ λ y, ∀z ∈ X , ∀λ ≥ ( ) b) ( xn ≤ yn , ∀n ∈ ∗ ) lim xn = x, lim yn = y ⇒ x ≤ y n→∞ n→∞ c) Nếu ( xn ) dãy tăng hội tụ tới x xn ≤ x, ∀n ∈ ∗ Chứng minh: a) x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ ( y + z ) − ( x + z ) ∈ K ⇒ x + z ≤ y + z , ∀z ∈ K x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ λ ( y − x ) ∈ K ⇒ λ y − λ x ∈ K ⇒ λ y ≤ λ x, ∀λ ≥ b) Từ xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K Do yn − xn → y − x ∈ K (do tính chất đóng K) Vậy x ≤ y c) Trước tiên ta chứng minh xn ≤ xn+ m , ∀m ∈ ∗ Thật vậy, ta có xn+ m − xn+ m−1 + xn+ m−1 − xn+ m−2 + + xn+1 − xn ∈ K () Điều dẫn đến xn+ m − xn ∈ K ⇔ xn ≤ xn+ m * Cho m → ∞ (*) áp dụng b) ta điều phải chứng minh 1.2 Một số dạng nón tính chất chúng 1.2.1 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Nón K gọi nón chuẩn tồn N > : ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y Mệnh đề 1.2.2 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón chuẩn Khi đó: a) Nếu u ≤ v đoạn u , v = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn b) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ∈ * = lim xn a= , lim zn a lim yn = a n→∞ n→∞ n→∞ c) Nếu ( xn ) đơn điệu có dãy hội tụ a lim xn = a Chứng minh: a) ∀x ∈ u , v ⇒ θ ≤ x − u ≤ v − u ⇒ x − u ≤ N u − v ⇒ x ≤ u + N u − v b) θ ≤ yn − xn ≤ zn − x n ⇒ yn − xn ≤ N zn − x n c) Coi ( xn ) tăng lim x nk = a Vì xn ≤ xnk (n cố định, K đủ lớn) nên xn ≤ a, ∀n ∈ * k →∞ Cho ε > , chọn k0 để xnk − a < ε N ta có: ∀n ≥ nk0 ⇒ a − xn ≤ xnk − a ⇒ a − xn ≤ N a − xnk < ε 0 Ví dụ 1.2.3 { } a) Nón K = f ∈ C ([ 0,1] , ) , f ≥ nón chuẩn C ([ 0,1] , ) b) Nón hàm khơng âm, có đạo hàm liên tục C1 ([ 0,1] , ) , khơng nón chuẩn C1 ([ 0,1] , ) Chứng minh: a) Lấy f , g ∈ K thỏa f ≤ g Suy sup f ( t ) ≤ sup g ( t ) hay f ≤ g t∈[ 0,1] t∈[ 0,1] b) Xét dãy f n= ( t ) t n , n ∈ * hàm f ( t ) = Ta có f n ≤ f , ∀n ∈ * max f n ( t ) + max f n' ( t ) = + n, f = Do không tồn fn = 0≤t ≤1 0≤t ≤1 N > cho bất đẳng thức f n ≤ N f với n ∈ * 1.2.2 Nón qui Định nghĩa 1.2.4 Nón K gọi qui dãy tăng, bị chặn hội tụ Ví dụ 1.2.5 a) Nón hàm không âm hầu khắp nơi L [ 0,1] nón qui L [ 0,1] b) Nón hàm không âm C ([ 0,1] , ) khơng nón qui Chứng minh: a) Giả sử ( f n ) dãy tăng, bị chặn g L [ 0,1] Ta coi f n ( t ) , g ( t ) hữu hạn t ∈ [ 0,1] Bằng cách xét dãy f n − f1 cần, ta coi f n ≥ Lấy t ∈ [ 0,1] tùy ý ≤ f1 ( t ) ≤ ≤ f n ( t ) ≤ ≤ g ( t ) Do ( f n ( t ) ) dãy số tăng, bị chặn nên hội tụ Lập hàm f : [ 0,1] → định f ( t ) = lim f n ( t ) Vì n→∞ ( fn ) dãy hàm đo được, không âm hầu khắp nơi, bị chặn g f ( t ) = lim f n ( t ) nên f hàm đo n→∞ được, không âm hầu khắp nơi, bị chặn g ∈ L [ 0,1] nên f ∈ L [ 0,1] Ta chứng minh f n → f L [ 0,1] Ta có f n ( t ) − f ( t ) → L [ 0,1] f n ( t ) − f ( t ) ≤ g ( t ) Do theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có lim n→∞ ∫ [0,1] fn − f d µ = Suy lim f n − f = n→∞ Vậy nón hàm khơng âm hầu khắp nơi L [ 0,1] nón qui b) Xét dãy ( f n ) C ([ 0,1] , ) , với f n ( t ) = − t n , ∀t ∈ [ 0,1] Ta có ( f n ) dãy hàm tăng, bị chặn C ([ 0,1] , ) = f ( t ) lim f n ( t ) , t ∈ [ 0,1] với hàm f : [ 0,1] → [ 0,1] định bởi: n→∞ 0 t = f0 ( t ) = 1 ≤ t < Ta có f ∉ C ([ 0,1] , ) nên dãy ( f n ) không hội tụ C ([ 0,1] , ) Vậy nón hàm khơng âm C ([ 0,1] , ) khơng nón qui Mệnh đề 1.2.6 Nón qui nón chuẩn Chứng minh: Giả sử K nón qui khơng nón chuẩn Khi ∀n ∈ * , ∃xn , yn : θ ≤ xn ≤ yn , xn > n yn Đặt un = ∞ Vì ∑ n =1 xn = , xn yn θ ≤ un ≤ , u= 1, < n xn n ∞ < ∞ nên tồn v = ∑ n =1 Dãy sn = u1 + + un tăng, bị chặn (bởi v) nên hội tụ Suy lim un = θ , điều dẫn đến mâu thuẫn 1.2.3 Nón hồn tồn qui Định nghĩa 1.2.7 Nón K gọi hồn tồn qui dãy tăng E mà bị chặn theo chuẩn hội tụ Mệnh đề 1.2.8 Nón hồn tồn qui nón qui 1.2.4 Nón sinh Định nghĩa 1.2.9 K gọi nón sinh X= K − K hay ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v Ví dụ 1.2.10 Nón hàm khơng âm Lp nón sinh Mệnh đề 1.2.11 Nếu K nón sinh tồn M > cho ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v , u ≤M x , v ≤M x Chứng minh : Đặt C = K ∩ B(θ ,1) − K ∩ B(θ ,1) , ta chứng minh tồn r > : C ⊃ B (θ , r ) ∞ Thật X = ∪ nC (do K nón sinh) n =1 ⇒ ∃n0 , ∃G mở : n0 C ⊃ G (do định lý Baire) 1 1 Vì C lồi, đối xứng nên C ⊃ C − C ⇒ C ⊃ G− G (mở, chứa θ ) 2 2n0 2n0 Ta chứng minh ( Ta xây dựng dãy ( xn ) thỏa : xn ∈ Thật , ) r r B⊂C B= B (θ ,1) Lấy a ∈ B 2 n r − C , a xk < n+1 ∑ n 2 k =1 r r B ⊂ n C nên ∀y ∈ n B, ∀ε > 0, ∃x ∈ n C : y − x < ε n 2 2 Ta có: r r a ∈ B ⇒ ∃x1 ∈ C : a − x1 < 2 r r a − x1 ∈ B ⇒ ∃x2 ∈ C : a − x1 − x2 < , 2 Vì xn ∈ 1 C nên ∃un , ∈ K : xn =− un , un , ≤ n n 2 Đặt u = ∞ un , v ∑= ∞ ∑v n 1= n = n , ta có a = u − v, u , v ≤ Vậy a ∈ C rx = u ' − v ' , với u ' , v ' ∈ K , u ' , v ' ≤ x ∀x ≠ , ta có 2 ⇒ x = u − v, u , v ∈ K , u , v ≤ M x với M = r Mệnh đề 1.2.12 Nếu nón K có int K ≠ φ K nón sinh Chứng minh: Giả sử e ∈ int K Do tồn r > cho B ( e, r ) ⊂ K Do với x ∈ X , x ≠ e + Đặt u= rx ∈K x 1 x 1 x u − v, u , v ∈ K e + x , v = e − x thì: x = 2 2 Vậy K nón sinh 1.2.5 Nón liên hợp Nếu K nón ta định nghĩa nón liên hợp K K *= {f ∈X * : f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K } K * có tính chất a), b) định nghĩa nón Có thể chứng minh : K * ∩ {− K *= } {θ } ⇔ K − K= X Mệnh đề 1.2.13 x0 ∈ K ⇔ f ( x0 ) ≥ 0, ∀f ∈ K * Chứng minh: ⇐) Giả sử trái lại : f ( x0 ) ≥ 0, ∀f ∈ K * , x0 ∉ K Do định lý tách tập lồi : ∃g ∈ X * : g ( x0 ) < g ( y ) , ∀y ∈ K Cố định x ∈ K , ta có g ( x0 ) < g ( tx ) , ∀t > ⇒ g ( x0 ) < g ( x ) t Cho t → ∞ ta có g ( x ) ≥ Vậy g ∈ K * 10 ... cứu tính chất thứ tự không gian này, bao gồm việc ứng dụng kết tổng qt khơng gian có thứ tự vào khơng gian tìm tính chất thứ tự đặc thù chúng Luận văn trình bày cách có hệ thống chi tiết tính chất. .. chi tiết tính chất thứ tự khơng gian hàm liên tục, LP bao gồm ứng dụng kết tổng qt khơng gian có thứ tự vào không gian trường hợp riêng nêu tính chất thứ tự đặc thù chúng Luận văn gồm ba chương... bị không gian Banach có thứ tự Chương trình bày tính chất thứ tự khơng gian hàm khả tích khơng gian Lp , khơng gian hàm khả tích địa phương, khơng gian hàm khả tích HL Chương trình bày tính chất