1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của Giáo sư Nguyễn Minh Chương Các kết quả viết chung với người hướng dẫn đã được sự nhất trí của người[.]
1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn khoa học Giáo sư Nguyễn Minh Chương Các kết viết chung với người hướng dẫn trí người hướng dẫn đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Tác giả Đào Văn Dương Lời cảm ơn Luận án thực hồn thành Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Giáo sư Nguyễn Minh Chương Thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học điều thật quý báu sống Sự động viên, tin tưởng Thầy động lực để tác giả hoàn thành luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Trong trình nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả ln nhận động viên, hướng dẫn Thầy Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt Bộ mơn Giải tích Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ Thầy Trong trình học tập hoàn thành luận án, tác giả nhận giúp đỡ, góp ý GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, TS Trần Đình Kế, TS Cung Thế Anh Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giáo anh chị em NCS, Cao học Xêmina "Tốn tử giả vi phân, sóng nhỏ trường thực, p-adic" Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện Tốn học, Xêmina Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, động viên, giúp đỡ tác giả nghiên cứu sống Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phịng đào tạo Sau đại học tồn thể cán bộ, công nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình thực luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, Cơ khoa Tốn Trường Đại học Quy Nhơn Thầy Viện Toán học tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, truyền đạt cho tác giả kiến thức tốn học hữu ích Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi mặt để tác giả yên tâm hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt cha mẹ, vợ trai người thân gia đình, giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình thực luận án Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Đào Văn Dương MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT Ký hiệu Diễn giải N : Tập hợp số tự nhiên Z : Tập hợp số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực Rn : Không gian véctơ n chiều trường R Qp : Trường số p-adic, với p số nguyên tố Qnp : Không gian véctơ n chiều trường Qp Ip : Tập hợp phần phân thức số p-adic Zp : Hình cầu đơn vị Qp Z∗p : Tập hợp phần tử Zp khác không Ipn : Tích Descartes n tập Ip Bγ (a), Bγ : Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ Sγ (a), Sγ : Mặt cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ |x|p : Chuẩn phần tử x Qnp Lq (Rn ), Lq (Qnp ) : Tập hàm khả tích bậc q Rn , Qnp Lqloc (Qnp ) : Tập hàm khả tích địa phương bậc q Qnp L1loc (Rn ) : Tập hàm khả tích địa phương Rn B`α,q (Rn ) : Không gian Besov Rn BM O(Rn ) : Không gian BMO Rn H ` (Rn ) : Không gian Hardy Rn V M O(Rn ) : Không gian VMO Rn α,q (Rn ) B`,k : Khơng gian Besov có trọng Rn BM Ok (Rn ) : Không gian BMO có trọng Rn α,β Fr,q (Qnp ) : Khơng gian Triebel-Lizorkin Qnp α K`,q (Qnp ) : Không gian Herz Qnp Mqλ (Qnp ) : Không gian Morrey Qnp α M K`,q (Qnp ) : Không gian Morrey-Herz Qnp D(Qnp ) : Tập hàm địa phương có giá compact Qnp D0 (Qnp ) : Tập phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Qnp ) Ff : Biến đổi Fourier hàm f trường số p-adic χ : Hàm đặc trưng cộng tính trường số p-adic Uψ : Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng Vψ : Tốn tử Cesàro có trọng [b, Uψ ] , [b, Vψ ] : Giao hoán tử toán tử Uψ , Vψ với hàm b MRA : Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution Analysis) BMO : Bounded Mean Oscillation VMO : Vanishing Mean Oscillation Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng ký hiệu MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18 1.1 Không gian Lebesgue 18 1.2 Tích chập biến đổi Fourier trường thực 20 1.3 Trường số p-adic 22 1.4 Độ đo tích phân trường số p-adic 25 1.5 Biến đổi Fourier tích chập p-adic 27 1.6 Các định lý nội suy 31 Chương TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM 34 2.1 34 Giới thiệu 2.2 Tốn tử tích phân sóng nhỏ không gian Besov, BMO Hardy 2.3 38 Tốn tử tích phân sóng nhỏ khơng gian Besov, BMO có trọng 48 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD CĨ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56 3.1 Giới thiệu 57 3.2 Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng không gian TriebelLizorkin trường p-adic 3.3 60 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng khơng gian MorreyHerz trường p-adic 3.4 69 Giao hốn tử tốn tử Hardy-Littlewood có trọng không gian Morrey-Herz trường p-adic 78 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG Lr (Qnp ) 4.1 Tốn tử tích phân Vladimirov sóng nhỏ p-adic 4.2 Cơ sở sóng nhỏ khơng điều kiện gồm hàm riêng tốn tử Dα không gian Lr (Qnp ) 4.3 87 88 96 Cơ sở Greedy không gian Lr (Qnp ) 110 Kết luận kiến nghị 116 Danh mục cơng trình cơng bố 118 Tài liệu tham khảo 119 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất phát triển mạnh Lý thuyết cơng cụ có hiệu lực để giải nhiều toán quan trọng Vật lý tốn nói riêng Khoa học, Cơng nghệ nói chung (xem cơng trình [8], [21], [22], [36], [49], [50], [51], ) Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyết toán tử (đặc biệt lý thuyết tốn tử tích phân kỳ dị CalderónZygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) lý thuyết khơng gian phiếm hàm, từ tìm đặc trưng không gian phiếm hm quan trng nh Hăolder, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]) Ngược lại, sử dụng lý thuyết tốn tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm phương trình lọc (xem [18], [19], [20]) Ngày phát triển lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết tốn tử giả vi phân lý thuyết không gian hàm làm cho tính khoa học tính ứng dụng chúng ngày cao Tốn tử tích phân sóng nhỏ phận quan trọng lý thuyết sóng nhỏ Sóng nhỏ, tốn tử tích phân sóng nhỏ công cụ hữu hiệu để giải nhiều toán quan trọng Toán học, Vật lý, Khoa học Công nghệ xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, địa chấn, nén liệu, sinh học, y học, thị trường chứng khốn Đã có nhiều nhà toán học Yves Meyer, Ingrid C Daubechies, David L Donoho, Ronald R Coifman, Nguyễn Minh Chương, P R Massopust, A Rieder, R S Pathak, G Strang (xem [8], [13], [14], [21], [23], [49], [52], [59], [64], [69], ) tham gia nghiên cứu công bố nhiều cơng trình lĩnh vực lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt tốn tử tích phân sóng nhỏ Năm 2004, Ram S Pathak [59] nghiên cứu tốn tử tích phân sóng dt R nhỏ xác định (Wψ φ)(b, a) = φ(t)ψ t−b a an , a số n Rn thực dương b ∈ R Nếu φ, ψ ∈ L2 (Rn ) đẳng thức Parseval R ˆ ˆ φ(ω)dω Từ biểu biến đổi Fourier ta có (Wψ φ)(b, a) = (2π)−n eiωb ψ(aω) Rn thức này, ta thấy toán tử tích phân sóng nhỏ tốn tử giả vi ˆ phân với biểu trưng σ(a, ω) = ψ(aω) Với nhận xét tinh tế này, Ram S Pathak sử dụng lý thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu tốn tử tích phân sóng nhỏ không gian phân bố Ngày nhu cầu thực tiễn ứng dụng, lý thuyết sóng nhỏ khơng phát triển trường số thực, phức mà chuyển sang nghiên cứu trường số p-adic, tổng quát trường địa phương, không gian siêu metric Năm 2002, tác giả [53] nghiên cứu kết ban đầu tốn tử tích phân sóng nhỏ trường p-adic mà ý tưởng nghiên cứu tương tự trường thực Tốn tử tích phân sóng nhỏ nhiều nhà tốn học ngồi nước nghiên cứu nhiều không gian hàm khác Lebesgue, 10 Sobolev (kể trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, khơng gian hàm suy rộng, (xem, chẳng hạn, [14], [59], [60], [61], [64]), nhà tốn học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận, cho tốn tử tích phân sóng nhỏ Tính bị chặn tốn tử tuyến tính, tuyến tính, khơng gian tuyến tính định chuẩn vấn đề quan trọng giải tích có nhiều ứng dụng Chẳng hạn, từ tính bị chặn tốn tử số trường hợp giải tính tồn tại, nhất, nghiệm phương trình, hay nói theo ngơn ngữ đại số, giải tính tồn ánh, đơn ánh, tốn tử Thậm chí Charles Fefferman [27] đưa chứng minh cho hội tụ điểm chuỗi Fourier không gian Lq [0, 2π] (q > 1) cách nghiên cứu tính bị chặn lớp tốn tử cực đại Đối với tốn tử tích phân sóng nhỏ, việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận ứng với tham biến thang bậc a nhỏ, số không gian hàm vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Giải tích điều hịa lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trường thực trường p-adic ngày nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Một toán tử quan trọng giải tích điều hịa tốn tử Hardy-Littlewood Năm 1920, G H Hardy [34] thiết lập bất đẳng thức tích phân (ngày gọi bất đẳng thức tích phân Hardy), từ đưa chứng minh đơn giản cho định lý chuỗi kép Hilbert Bất đẳng thức Hardy giữ vai trò quan trọng lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết không gian phiếm hàm (xem, chẳng hạn, [5], [24], [48]) Năm 1984,