MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 Chương 1 ÁNH XẠ BẢO GIÁC 8 1 1 Khái niệm ánh xạ bảo giác 8 1 1 1 Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm 8 1 1 2 Ý nghĩa hình học[.]
MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1 Khái niệm ánh xạ bảo giác 1.1.1 Ý nghĩa hình học argument đạo hàm 1.1.2 Ý nghĩa hình học môđun đạo hàm 10 1.1.3 Ánh xạ bảo giác 11 1.1.4 Ánh xạ bảo giác loại hai 12 1.2 Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 15 1.2.1 Ánh xạ hình trịn đơn vị lên 15 1.2.2 Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 18 Chương CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC 20 2.1 Ngun lí bảo tồn miền 20 2.2 Nguyên lí ánh xạ một-một 26 2.3 Nguyên lí đối xứng Riemann-Schwars 27 2.4 Tổng qt hóa ngun lí đối xứng 33 2.5 Nguyên lý thác triển giải tích Schwars 34 2.6 Nguyên lí đối xứng hàm điều hòa 36 2.7 Ứng dụng nguyên lí đối xứng 40 Chương ÁNH XẠ BẢO GIÁC TỪ CÁC MIỀN GIỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN 42 3.1 Miền giới hạn hyperbol 42 3.2 Miền giới hạn parabol 44 3.3 Miền giới hạn parabol ellip 50 3.4 Ánh xạ miền ellip lên nửa mặt phẳng 58 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền thành miền khác cơng việc hữu ích Nó giúp cho việc tính tốn số đại lượng hay khảo sát tính chất số miền cho trước trở nên linh hoạt dễ dàng Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền thành miền thực đơn giản ngồi việc nắm khái niệm, ta cần nắm vững nguyên lý q trình thực ánh xạ Chính vậy, luận văn này, sau nêu khái niệm điều kiện xác định ánh xạ bảo giác, tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể nguyên lý) Đồng thời, để người đọc thấy rõ vai trò nguyên lý xác định ánh xạ bảo giác biến miền thành miền khác, đưa số ví dụ minh họa Luận văn gồm bốn chương: - Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho chương sau - Chương nêu ý nghĩa hình học argument mơđun đạo hàm, từ đưa khái niệm ánh xạ bảo giác điều kiện để ánh xạ bảo giác tồn xác định - Chương phát biểu nguyên lý lý thuyết ánh xạ bảo giác chứng minh nguyên lý - Chương đưa số ví dụ ứng dụng nguyên lý để xây dựng ánh xạ bảo giác từ miền giới hạn đường: parabol, ellip, lên nửa mặt phẳng Cuối phần kết luận tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Các khái niệm 0.1.1 Một số khái niệm số phức - Cho số phức z = x + iy Trong mặt phẳng Oxy, ta xác định điểm M ( x, y ) gọi tọa vị số phức z JJJJG - Cho số phức z có tọa vị M Khi đó, độ dài OM gọi môđun số phức z , JJJJG ký hiệu z = OM = r - Trong mặt phẳng Oxy , cho số phức z có tọa vị M Khi argument số JJJJG phức z góc tạo nên hướng dương trục thực OM , nhận hướng ngược chiều kim đồng hồ làm hướng dương ( JJJGJJJJG ) Ký hiệu Argz = Ox,OM = ϕ + k 2π Đặc biệt, trị số Arg z ∈ ( −π , π ] gọi giá trị Argument, ký hiệu arg z Trường hợp z = Arg z không xác định - Cho số phức z1 , z2 * Arg ( z1.z2 ) = Argz1 + Argz2 + k 2π ⎛z ⎞ * Arg ⎜ ⎟ = Argz1 − Argz2 + k 2π ⎝ z2 ⎠ ( z2 ≠ ) 0.1.2 Dạng mũ dạng lượng giác số phức Mọi số phức z = x + iy biểu diễn dạng lượng giác z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) r = z , ϕ ∈ Argz Dạng mũ số phức z = reiϕ 0.1.3 Tập liên thông Tập X tập liên thông không tồn hai tập mở A, B cho X ∩ A ≠ φ, X ∩ B ≠ φ; X ∩ A ∩ B = φ; X ⊂ A ∪ B 0.1.4 Miền - Miền tập hợp X ^ có hai tính chất i Với điểm thuộc X ln tồn hình trịn đủ bé nhận điểm làm tâm nằm hoàn toàn X (tập mở) ii Có thể nối hai điểm thuộc X đường cong nằm hoàn toàn X (tập liên thơng) - Miền X có biên tập liên thông gọi miền đơn liên Ngược lại, miền X có biên khơng phải tập liên thơng miền đa liên 0.1.5 Một số khái niệm liên quan đến đường cong - Một đường cong có điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường cong đóng Đường cong khơng có điểm tự cắt gọi đường cong Jordan Đường cong Jordan đóng gọi chu tuyến - Giả sử ϕ ( t ) µ ( t ) hàm thực đoạn [ a, b ] đường thẳng thực Khi phương trình z = z ( t ) = ϕ ( t ) + i µ ( t ) , a ≤ t ≤ b biểu diễn tham số đường cong L = z ( [ a, b ] ) mặt phẳng phức ^ Đường cong L gọi trơn hàm ϕ ( t ) , µ ( t ) có đạo hàm liên tục đạo hàm khơng đồng thời khơng với t ∈ [ a, b ] Đường cong liên tục tạo số hữu hạn đường cong trơn gọi trơn khúc 0.1.6 Cung giải tích - Một cung đường cong gọi giải tích tọa độ chạy x, y hàm số tham số t khoảng a < t < b khai triển thành chuỗi lũy thừa lân cận điểm t - Ta lại gọi cung giải tích khơng có điểm bội mà x ', y ' triệt tiêu đồng thời 0.1.7 Hàm đơn trị Xét hàm số w = f ( z ) , giá trị đối số có giá trị hàm số hàm số gọi hàm đơn trị Ngược lại, với giá trị đối số ta nhận nhiều giá trị hàm số hàm số gọi hàm đa trị 0.1.8 Hàm đơn diệp Một hàm số f : D → D∗ gọi đơn trị đối một, hay đơn diệp, với hai điểm z1 , z2 ∈ D, z1 ≠ z2 ảnh f ( z1 ) ≠ f ( z2 ) 0.1.9 Hàm chỉnh hình (hàm giải tích) - Cho D tập mở khác rỗng ^ Hàm số f : D → ^ gọi khả vi phức ( ^ -khả vi) z0 ∈ D tồn hàm f1 : D → ^ liên tục z0 f ( z ) = f ( z0 ) + ( z − z0 ) f1 ( z ) , ∀z ∈ D - Cho D tập mở khác rỗng ^ Hàm số f : D → ^ gọi chỉnh hình D khả vi phức điểm thuộc D - Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 ∈ D , tồn lân cận mở U z0 nằm D cho hàm f U chỉnh hình U 0.1.10 Hàm điều hịa -Hàm v ( x, y ) gọi điều hòa miền đơn trị miền đó, có đạo hàm liên tục đến cấp hai thỏa mãn phương trình ∆v = ∂ 2v ∂ 2v + =0 ∂x ∂y - Phần thực, phần ảo hàm giải tích hàm điều hịa 0.1.11 Không điểm cực điểm - Điểm z = a gọi điểm không (hay không điểm) hàm f ( z ) lim f ( z ) = z →a - Điểm z = a gọi cực điểm ( ∞ -điểm) hàm f ( z ) lim f ( z ) = ∞ z →a 0.1.12 Yếu tố Ta quy ước yếu tố tập hợp gồm điểm hướng qua 0.2 Một số định lý sử dụng luận văn 0.2.1 Định lý (tính chất phép biến đổi tuyến tính) Mọi ánh xạ tuyến tính có tính chất biến vịng trịn thành vịng trịn (Coi đường thẳng đường trịn với bán kính vơ lớn) 0.2.2 Định lý Ánh xạ tuyến tính biến hình trịn đơn vị mặt phẳng z thành hình trịn đơn vị mặt phẳng w có dạng: w = eiθ z −α , đó: α < 1, θ số thực bất 1−α z kỳ 0.2.3 Định lý ( định lý tích phân Cauchy) Nếu hàm f giải tích miền đơn liên D ⊂ ^ tích phân theo chu tuyến đóng γ : I → D không, tức ∫γ f ( z )dz = 0.2.4 Định lý ( cơng thức tích phân Cauchy) Cho hàm f giải tích miền D γ chu tuyến D cho miền Dγ hữu hạn giới hạn γ nằm D Khi đó, ∀z0 ∈ Dγ ta có - Cơng thức tích phân Cauchy f ( z0 ) = f ( z) dz ∫ 2π i γ z − z0 - Cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm f n ( z0 ) = f ( z) n! dz ; n = 0,1, 2, ∫ 2π i γ ( z − z0 ) n +1 0.2.5 Định lý (cơng thức tích phân thứ hai Cauchy) Giả sử f giải tích miền D D∗ miền giới nội thuộc D với biên gồm số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo Khi D ⎧ f (ζ ) ⎪ f ( z ) , z ∈ D∗ dζ = ⎨ 2π i ∂D∫∗ ζ − z ⎪⎩0, z ∉ D∗ 0.2.6 Định lý Giả sử γ đường cong đóng Jordan đo f : γ → ^ hàm liên tục γ Khi tích phân F ( z) = f (ζ ) dζ 2π i ∫γ ζ − z xác định hàm chỉnh hình thành phần liên thông phần bù ^ \ γ 0.2.7 Định lý (bất đẳng thức Cauchy hệ số chuỗi lũy thừa) Nếu chuỗi lũy thừa f ( z ) = a0 + a1 z + + an z n + hội tụ hình trịn z < R biểu diễn hàm số f ( z ) có mơđun nhỏ M an ≤ M (n = 0,1, 2, ) Rn 0.2.8 Định lý (nguyên lý môđun cực đại) Môđun hàm số chỉnh hình miền mở G khơng đạt cực đại điểm miền này, ngoại trừ hàm đồng số 0.2.9 Định lý (tính hàm giải tích) Nếu hai hàm số f ( z ) ϕ ( z ) chỉnh hình miền G nhận giá trị tập hợp E gồm vô hạn điểm G , E có điểm giới hạn nằm bên G , hai hàm số khắp nơi G 0.2.10 Định lý 10 Nếu hàm số đơn trị khơng có điểm bất thường khác cực điểm mặt phẳng “mở rộng” hàm hữu tỷ 0.2.11 Định lý 11 (bổ đề Hay-nơ-Boren) A tập compắc từ phủ mở A trích phủ hữu hạn, tức có số hữu hạn số i1 ,i , ,i n cho A ⊂ U i1 ∪ U i2 ∪ ∪ U in , U ik ∈ {U} , k = 1, 2, , n với { U} phủ mở A 0.2.12 Định lý 12 (định lý thặng dư lôga) Nếu f ( z ) giải tích điểm chu tuyến Γ (đóng kín trơn khúc) khơng trừ điểm nào, tích phân phương trình f ( z ) = a chu tuyến Γ f '( z ) dz cho ta số nghiệm 2π i ∫Γ f ( z ) − a Chương ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1 Khái niệm ánh xạ bảo giác 1.1.1 Ý nghĩa hình học argument đạo hàm Giả sử hàm w = f ( z ) hàm số giải tích miền G Ta biểu diễn gía trị hàm số w = u + iv điểm mặt phẳng w Mỗi diểm z = x + iy mặt phẳng biến số độc lập z tương ứng với điểm w = u + iv mặt phẳng w (hình 1.1 1.2) Khi điểm z chuyển động mặt phẳng z theo đường cong C điểm tương ứng w chạy đường cong Γ mặt phẳng w , ảnh đường cong C y z0 +∆z C C’ w0+ ∆ w0 v z0 ϕ ψ w0 x Hình 1.1 Φ Ψ u Hình 1.2 Gọi z0 điểm miền G C đường cong cho trước có hướng xác định, C qua z0 có tiếp tuyến xác định z0 Giả sử f ' ( z0 ) ≠ Trên mặt phẳng w , ảnh C Γ qua điểm w0 = f ( z0 ) Nếu phương trình C z = z ( t ) (0 ≤ t ≤ 1) phương trình Γ w = f ( z ) = f ⎣⎡ z ( t ) ⎦⎤ = w ( t ) (0 ≤ t ≤ 1) Để giải thích ý nghĩa hình học đạo hàm f ' ( z0 ) , ta biểu diễn số phức f ' ( z0 ) dạng lượng giác f ' ( z0 ) = r (cos α + i sin α ) nêu ý nghĩa hình học argument α môđun r đạo hàm ... định ánh xạ bảo giác, tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể nguyên lý) Đồng thời, để người đọc thấy rõ vai trò nguyên lý xác định ánh xạ bảo giác biến... giác tồn xác định - Chương phát biểu nguyên lý lý thuyết ánh xạ bảo giác chứng minh nguyên lý - Chương đưa số ví dụ ứng dụng nguyên lý để xây dựng ánh xạ bảo giác từ miền giới hạn đường: parabol,... lại có độ co giãn khơng đổi gọi ánh xạ bảo giác loại II Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích gọi ánh xạ bảo giác loại I Cả hai loại ánh xạ cho hàm số có liên quan chặt