Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 305 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Chương 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ CÁC KỸ THUẬT XỬ LÝ Chương giới thiệu bạn đọc: - Các phương pháp giải phương trình vơ tỷ điển hình - Rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp giải tốn - Phân tích sai lầm giải khó khăn phương pháp - Phân tích ưu điểm nhược điểm phương pháp giải toán - Những góc nhìn cho dạng tốn cũ - Trải nghiệm số phương pháp giải toán kỹ thuật lạ như: Khép chặt miền nghiệm để đánh giá, truy ngược dấu biểu thức liên hợp… Một số dạng toán - Dạng toán = f (x) A PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA g(x) ≥ ( hoaëc f(x) ≥ ) g (x) ⇔ f(x) = g(x) Ví dụ Giải phương trình 2x − 1= x + 2x − Lời giải x≥ 2x − ≥ x ≥ ⇔x= 2x − 1= x + 2x − ⇔ ⇔ ⇔ x + 2x − = 2x − x = −2 x = x = - Kết luận Nghiệm phương trình cho x = - Lưu ý Các bạn để ý việc chọn f(x) = 2x − ≥ khiến giải toán cách đơn giản việc chọn f(x) = x + 2x − ≥ Bài tập tương tự 1) Giải phương trình − x= x + 3x + 2) Giải phương trình 2x + 3x − = 3) Giải phương trình 2x + 3= − x x + 2x + x3 + 2x − Lời giải x + 2x − ≥ x3 − 3x + 1= x3 + 2x − ⇔ 3 x − 3x + = x + 2x − x3 + 2x − ≥ x3 + 2x − ≥ ⇔ (Vô nghiệm) ⇔ 5x = x = - Kết luận Phương trình cho vơ nghiệm - Lưu ý Trong việc giải phương trình vơ tỷ việc tìm giá trị x để g(x) ≥ phức tạp, nên triển khai việc tìm nghiệm phương trình sau thử vào điều kiện để xét xem nghiệm vừa tìm có thỏa mãn điều kiện tốn hay khơng Chẳng hạn tốn ta cần thử xem x = có thỏa mãn điều kiện f(x) = x3 + 2x − ≥ không 6 109 cách thay trực tiếp giá trị cần tìm vào hàm f(x), ta thấy f = − < , nên giá trị x = không 125 5 nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình x3 − 3x + 1= Bài tập tương tự 1) Giải phương trình x3 + 2x = +1 2) Giải phương trình x + 1= x − 3x + 3) Giải phương trình x3 − 1= x3 + x − Ví dụ Giải phương trình x3 + x − 4= x (x + 2) + 3x x3 + x − 4= x3 − 3x + Lời giải x + x − ≥ x3 + x − ≥ ⇔ ⇔ 2 x + x − = x − 3x + x + 3x − = x3 − 3x + x3 + x − ≥ ⇔ −3 ± 29 (Vô nghiệm) x = - Kết luận Phương trình cho vơ nghiệm - Lưu ý Với tốn có nghiệm số phức tạp hơn, ta làm sau: f(x) = x3 + x − = (x + 3x − 5)(x − 2) + 11x − 14 −3 ± 29 −3 ± 29 = (x + 3z − 5)(x − 2) + g(x) ⇒ f = g nên f ( t ) luông đồng biến Từ (1) suy ( 3x + ) =2x + hay ( x + 1) ( 27x + 27x + ) = - Nhận xét: Phương pháp giúp bạn đọc tìm đẳng thức đẹp PT (1) II Phương trình vơ tỷ có thức dạng So sánh với PTVT có thức dạng f ( x ) với f ( x ) có bậc lớn ax + b , nhận thấy phương pháp tìm nhân tử cách đặt ẩn t = f ( x ) khó để thực Do đó, với PTVT dạng này, phương pháp biết trước nghiệm phổ biến hơn… - Ý tưởng tìm lời giải: Phương pháp biết trước nghiệm giúp tìm nhân tử PTVT qua nghiệm tìm Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 4x − 4x − − ( x + 1) 2x − = Phần nháp: Ta tìm nghiệm x = + CASIO Khi 2x − = + = + = x +1 Vật PTVT có nhân tử ( ) 2x − − x − Bước biến đổi PTVT: 4x − 4x − − ( x + 1) 2x − 1= 3x − 6x − − ( x + 1) = = ( ( )( − − x − 1)( 2x − − x − 2x ) 2x − + x + − ( x + 1) 2x − + 2x + ) ( ( ) 2x − − x − ) 2x − − x − Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Chắc bạn đọc nhận rằng: CASIO mộ trợ thủ đắc lực việc giải tốn Ví dụ 2: Giải phương trình x + 7x − + ( x − 3) 2x − x − = Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO để tìm nghiệm PTVT, PTVT lại có nghiệm hữu tỷ: 10 x = x = Nếu nghiệm vô tỷ ví dụ ta tìm ln nhân tử mà khơng cần nghiệm khác, cịn nghiệm hữu tỷ phải làm sau: Giả sử PTVT có nhân tử ) 2x − x − + ax + b Khi ấy, nhân tử chứa nghiệm x = 10 10a 2x − x − + ax + b = + +b 7 a + b = a = −3 Từ ta thấy a,b nghiệm hệ phương trình sau: 10a ⇔ b = + + b = x= 10 Khi x = ( Vậy nhân tử ( 2x − x − + ax + b = a + b Khi x = 2x − x − − 3x + ) Bước biến đổi PTVT theo nhân tử ta tìm được: x + 7x − + ( x − 3) 2x − x − 1= 7x − 17x + 10 + ( x − 3) = ( =− ) ( 2x − x −1 + 3x − 3) + ( x − 3) ( − x − − 3x + 3)( 2x − x − + x + 3) 2x − x − − 3x + ( 2x 2 ( 2x − x − − 3x + 2x − x − − 3x + ) ) Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm - Nhận xét: Những ví dụ cho PTVT có không hai nghiệm để bạn dọc dễ tiếp cận với ý tưởng giải PTVT phương pháp Vậy PTVT cho nhiều nghiệm sao? Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 7x + 6x + 26 + ( 5x − 32 ) x + 3x − = Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta tìm nghiệm PTVT Nhưng bạn sử dụng CASIO để 34 tìm kiếm thêm nghiệm nữa, bạn tìm nghiệm PTVT: x = − ; −5; ; Thực thì, bạn đọc cần nghiệm số nghiệm đó, làm tương tự ví dụ 2, ta đưa kết quả…Thật vậy, ta có cặp nhân tử tương ứng sau: 34 20 43 − ;5 ⇒ x + 3x − + 19 x + 19 34 11 − ; ⇒ x + 3x − + x − 7 34 − ; ⇒ x + 3x − + x − 5 4 −5; ⇒ x + 3x − + x − ( −5; ) ⇒ x + 3x − − ; ⇒ x + 3x − − 15 x − 11 11 Điều khiến PTVT có cách nhóm nhân tử với nhóm cặp nghiệm khác nhau: ) ( 7x + 6x + 26 + ( 5x − 32 ) x + 3x − 209 20 43 15 3 x + 3x − + x + x + 3x − − x − 13 19 19 11 11 11 = x + 3x − − x + 3x − + x − 7 1 4 = x + 3x − + x − x + − + x − 3 Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm… - Nhận xét: Nếu PTVT có nhiều cặp nghiệm hữu tỷ có nhiều cách phân tích thành nhân tử, chọn lấy cách biến đổi nó… =− ( ) Giờ bạn nhìn ví dụ sau, thấy cách giải đơn giản: Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x − 4x − + x x + x = + 13 Phần nháp: Ta tìm nghiệm x = 62 14 13 x + = + = +2 9 3 x Vậy nhân tử có x + x − + , từ ta được: x x − 4x − + x x + x= x − 2x − + x x + x − − 2 x x x = x2 + x − − x2 + x + + + x x2 + x − − 2 Từ ta (2 = x2 + x = x2 + x − x − )( x2 + x + x + ) Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x − 6x + + x − x + = Phần nháp: Dễ thấy phương trình có nghiệm x = x = a = −2 1 + a + b = Tương tự ví dụ 2, ta có hệ ⇔ b = 5 + 3a + b = ( Từ ta nhân tử Với ý: ( )( x − x + − 2x + x − 6x + + x − x + = )( ( = x − x + − 2x + ( = x − x + − 2x + ) x − x + − 2x + ( x − 1)( x − 3) + ( ) x − x + − 2x + ) x − x + + 2x − x )( ) x − x + + 2x − 1= x ( x − 1)( x − 3) , từ ta được: + ) ) ( x − x + − 2x + x − x + + 3x − x Lời giải: Dành cho bạn đọc tự giải… - Nhận xét: Đôi phải biến đổi nhân tử dạng phân số Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x + 3x − 7x − + ( 3x + 1) x − 7x + = Phần nháp: Ta thấy PTVT có nghiệm x = x − 7x + = Suy Suy nhân tử Chú ý ( ( −1 + 15 − 5 − = =2−x 2 ) x − 7x + + x − x − 7x + + x − )( ) x − 7x + − x + = ( x − ) ( x + x − 1) Do ta có: f ( x ) = x + 3x − 7x − + ( 3x + 1) x − 7x + = = ( x − 1) ( x + x − 1) + ( 3x + 1) ( ( x − 7x + + x − )( x − 7x + + x − ) ) x −1 x − 7x + − x + + ( 3x + 1) x−2 ( x − 7x + + x − ) x − 7x + 6x + x − 3x + + ) ( = ( = x − 7x + + x − ) (( x −1) ) ( x − 7x + + x − ( x − 1) x−2 x − 7x + + 2x − 2x − ) x−2 ( = x − 7x + + x − ) (( x −1) x − 7x + + ( x + 1)( x − ) ) x−2 ( x − 1)( x − )( x + 3) + x − ) ( ( x − 1) ( x − 1)( x − )( x + 3) + ( x + 1)( x − ) ) ( ( *) x−2 Đến đây, bạn đọc nhận nhân tử có chung x − !!! Điều chưa xác, đkxđ: −3 ≤ x ≤ x ≥ Vì phải xét trường hợp: TH1: x ≥ Từ (*) ta có: = ( ( x − 1)( x + 3) + x − ) ( ( x − 1) ( x − 1)( x + 3) + ( x + 1) x − ) TH2: x < Từ (*) ta có: f ( x ) =− ( ( x − 1)( x + 3) − − x ) (( x − 1) − ( x − 1)( x + 3) − ( x + 1) − x ) f ( x= ) Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Có lẽ bạn đọc thấy điều: TH2, nhân tử A= (( x − 1) ) − ( x − 1)( x + 3) − ( x + 1) − x phân tích tiếp cịn nghiệm x = − Thực A = ( − ( x − 1)( x + 3) − − x ( x + 3) )( ( x − 1)( x − )( x + 3) + x + 3) x +3 Sau đó, có TH trên…Nhưng lại phân tích A thành vậy? Các trường hợp cách làm thức, nhiều thức Vì vậy, đọc tiếp phần III để hiểu phương pháp làm dạng Phần III phần khó thường gặp đề thi đại học, cao đẳng… III Phương trình vơ tỷ có nhiều thức - Ý tưởng tìm lời giải: Phương pháp biết trước nghiệm giúp ích nhiều việc tìm nhân tử… Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5x − + x − + x − =0 45 − 17 32 x − x + Phần nháp: Bước tìm nghiệm PTVT Sử dụng CASIO ta nghiệm x = Để ý rằng: x − = ( x − 1)( x + 1) Vì vậy, coi PTVT chứa thức, x −1 = 45 − 17 Với x = 32 = x +1 13 − 17 −3 + 17 = 32 77 − 17 −1 + 17 = 32 Tuy nhiên, PTVT dạng thường khồn có nhân tử dạng dạng ( ) ( ( *) ) ( x − + ax + b x − + m x + + n , tức bao gồm dạng Để ý từ (*) , ta thấy để có nhân tử dạng ( − + x −1 − x +1 = )−− + ( ) x − + m x + + n ta lấy: = − để m, n số hữu tỷ ) x + + ax + b mà có Vậy nhân tử PTVT ( ) x − − x + + Bước biến đổi PTVT để có nhân tử đó: 5x − + x − + x − = 5x − + x − + x − x + ( ) = 8x − + x − − x − x − − x + + ( ) Để 8x − + x − có nhân tử x − − x + + , ta cần nhân liên hợp: (3 )( ) x − − x + + x − + x + + = 8x − + x − Do đó: 5x − + x − + x − = x −1 − x +1 +1 x −1 + x +1 +1 − x −1 x −1 − x +1 +1 = ( (3 )( x + + 1)( x −1 − x −1 + ) ( ) x + + 1) Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Chắc nhiều bạn thắc mắc: Tại lại nhân liên hợp x − − x + + với x − + x + + , mà lại (3 ) ( ( ) ) ( ) x − − x + − x − + x − − ??? ( )( ) Thực thì: x − − x + + x − − x + − 1= 10x − − x − (3 )( ) x − − x + + x − + x + − = 8x − 11 + x + Chúng khơng có thức dạng x − cần Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 4x + + − x − + x = (Đề thi thử ĐH lần chuyên Lam Sơn 2013) −36 + 19 Phần nháp: Bước tìm nghiệm x = CASIO 50 −1 + 19 + 19 −36 + 19 Khi + x = − x = thỏa mãn Suy x = 10 10 50 + x − − x − =0 ( ) Suy PTVT có nhân tử + x − − x − Do đó: 4x + + − x − + x = 4x + − + x + − x + x = 10x + − + x − + x + x − − x − ( ( ) ) Để nhân liên hợp + x − − x − với biểu thức để thu + x ta phải chọn: (3 )( ) + x − − x − + x + − x − = 10x + − x + Từ ta được: 4x + + − x − + x = + x − − x −1 + x + − x −1 − + x + x − − x −1 = ( (3 1+ x − )( − x − 1)( ) ( ) + x + − x −1 Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x + + + x − − x − − x = Phần nháp: Viết lại PTVT dạng sau: x + + 1+ x − 1− x − 1+ x 1− x = 24 Sử dụng CASIO, ta tìm nghiệm x = x = − 25 Giả sử nhân tử có dạng + x + a − x + b ( ) ) 1 + a + b = a = Khi ta hệ phương trình: ⇔ b = −3 + a + b = Từ ta nhận nhân tử ( 1+ x + 1− x − ) Từ ta được: x + + + x − − x − + x − x ( = x + − 1− x + 1+ x 1− 1− x ( = 12 − 5x − 12 − x + − − x Cần nhân liên hợp ( )( ) 1+1 + 1− x − ) ) + x + − x − với biểu thức để thu biểu thức chứa thức 1− x Ta lấy + x + − x − − + x + − x − = 12 − 5x − 12 − x ( ) )( ( Từ ta được: x + + + x − − x − + x − x = x + − − x + + x − − x = ( = − )( − x − 3)( ) ( 1+ x + 1− x − − 1+ x + 1− x − + 1− 1− x ( 1+ x + 1+ x + 1− x + ) )( 1+ x + 1− x − Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Bài tốn có nghiệm hữu tỷ Chúng thuộc nhân tử lại ( ) ( ) ) ) + x + − x − , nhân tử + x + − x + khơng có nghiệm Điều tạo điều kiện thuận lợi cho phươn pháp biết trước nghiệm Tuy nhiên, nhiều PTVT có nghiệm hữu tỷ, nghiệm lại thuộc nhân tử khác Để hiểu rõ hơn, bạn đọc xem ví dụ 4: Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 5x − 15 − + x + 12 − x + 15 − x = 24 Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta dễ dàng tìm nghiệm là: x = − x = 25 Nếu theo phương pháp trên, giả sử PTVT có nhân tử + x + a − x + b ( ) Thì ta có hệ phương trình: + 10 10 10 + a+b= a = 5 ⇔ 1 + a + b = b = − 10 + 10 5 15 Thật lẻ! Trong PTVT có hệ số ngun, nên việc phân tích PTVT để có nhân tử + 10 10 + 10 1− x − + x + khó khăn, khơng phải không thể! Thật vậy: 15 5x − 15 − + x + 12 − x + 15 − x + 10 10 + 10 = + x + 1− x − 15 + 10 15 − 10 10 1+ x + 1− x + + 2 Vậy điều cần gì? Chính tìm nhân tử có dạng ( ) + x + a − x + b vừa thỏa mãn nghiệm toán, vừa thỏa mãn a, b ∈ Để ý ta thấy: x = 10 10 thỏa mãn nhân tử + a+b= 5 Vậy, để a, b ∈ a = −2 b = Tóm lại, PTVT tồn nhân tử ( ) + x − − x Từ ta được: 5x − 15 − + x + 12 − x + 15 − x ( ) = 15 − 25x + ( −6 + 15 − x )( + x − − x ) = −5 ( + x − − x )( + x + − x ) + ( −6 + 15 = − ( + x − − x )( + x − − x + ) = 5x − 15 + 12 − x + + x −6 + 15 − x Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm… )( 1+ x − 1− x ( ) ) 24 nhân tử + x − − x nghiệm x = − nhân tử 25 5 + x − − x + Vậy trường hợp PTVT có nghiệm hữu tỷ sao… - Nhận xét: PTVT có nghiệm x = ( 1− x ) Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 3x − 10 + + x − − x + 4 − x = (Đề thi ĐH khối B năm 2011) Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta tìm thấy nghiệm x = 5 Tương tự ví dụ 4, ta thấy + x = − x = 5 Vì lý giá trị + x − x chứa , PTVT có hệ số nguyên, nên ta nghĩ đến nhân tử ( ) + x − 2 − x Khi đó, ta có: 3x − 10 + + x − − x + 4 − x ( ) = 3x − 10 − − x + + x + − x ( )( ) = − ( + x − 2 − x )( + x + 2 − x ) + ( = ( + x − 2 − x )( 2 − x − + x + 3) =−5x + + 2+ x − 2− x 3+ 2− x )( 2+ x − 2− x 3+ 2− x ) 2−x = Từ dễ dàng tìm nhân tử + x − 2 − x Tuy nhiên giả sử thay x = , ta thấy + x − x số hữu tỷ sao? Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2x − 5x − − x − − − x =0 Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy PTVT có nghiệm x = a) Phương pháp nhân liên hợp: Khi x = x − = − x = Do đó: 2x − 5x − − x − − − x - Nhận xét: PTVT có nghiệm hữu tỷ, thay x = ( = 2x − 5x − − = ( = ( + − )( ) − ( ) ( x − −1 − )− − + − + ) ) − x −1 − − + − + − + ệm x = + − + 5 2+x = 1 + 2x + − chứa nghiệm x = vô nghiệm Thành thử ta thấy x − +1 − x +1 1 + 2x + − không chứa nghiệm x = Vậy ta chứng minh vơ nghiệm: x − +1 − x +1 1 1 Ta thấy 2x + − + ≥ 2x + − + = 2x + >0 x − +1 − x +1 − x +1 − x +1 Vậy toán giải theo hướng đó… b) Phương pháp đạo hàm: xét hàm f ( x= ) 2x − 5x − − x − − − x 1 + x −2 4−x Giải phương trình f ' ( x ) = ta thấy có nghiệm x = 2, 021126 Do đó, ta phải xét khoảng miền cho x: 73 Nếu x ≥ ta có − ≥ 36 x−2 1 Khi f ' ( x= + > Vì vậy, f ( x ) đồng biến, suy x = nghiệm ) ( x − 2) + − x −2 4−x f ( x ) = Ta có f ' ( x ) = 4x − − Nếu < x < 73 Ta có 36 x − > − x > 73 55 73 1889 Suy f ( x ) < 2x − 5x − = ( x − ) x − + x − − − + + + + + + x −1 +1 x+2+2 x −1 x +1 ậy ệm Từ dễ dàng có lời giải hồn chỉnh cho tốn… − = x+2 +2 x −1 +1 b) Phương pháp đạo hàm: xét hàm số ( ) = − + ( + ) − −( − ) + 3x − 3x + Khi f ' ( x ) = − 1+ x −1 x + Vì ta thấy f ( x ) = có nghiệm x = f ' ( x ) = vô nghiệm nên ta cần chứng minh f ' ( x ) > f ' ( x ) < với x Để biết f ' ( x ) > hay f ' ( x ) < , ta thử gái trị x mà thỏa mãn đkxđ Ví dụ: Thay x = f ' ( = ) >0 Vậy ta cần chứng minh f ' ( x ) > với x > Ta thấy: 3x − 3x + 3x − 3x + Nếu < x ≤ f ' ( x ) = − 1+ > 1+ − 2 x −1 x + 2 3− 1− 3 − 1− = x+ > + >0 2 2 3x − 3x + 3x − 3x + Nếu x > f ' ( x ) = > 1+ − = 1− >0 1+ − x+2 x+2 x+2 x −1 x + Từ ta có đpcm Vậy, ta ln có f ' ( x ) > 0, suy f ( x ) đồng biến, suy x = nghiệm f ( x ) = Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Phương pháp đạo hàm giúp chứng minh phương trình có nghiệm Tuy nhiên, thường PTVT đa thức phức tạp, việc đạo hàm trở lên khó khăn, đặc biệt việc chứng minh f ' ( x ) > f ' ( x ) < Trong đó, phương pháp nhân liên hợp ưa chuộng hơn… Tuy nhiên, cố gắng phân tích nhân tử PTVT trên, ta có: x − + ( x + 1) x − − ( x − 1) x += x + + x −1 − x x + − x −1 + 3 Sẽ có nhiều bạn thắc mắc: PTVT có nghiệm x = có nhân tử )( ( ( ( ) ) ) x + + x − − ??? Thực PTVT cịn cách phân tích nữa: x − + ( x + 1) x − − ( x − 1) x + 2= ( )( x + − x −1 −1 Vẫn tồn đọng câu hỏi khó: có nhân tử ( x + + x −1 + x ) ) x + − x − − ??? Nếu bạn đọc muốn sâu vào việc phân tích nhân tử, đến với ví dụ sau: Ví dụ 8: Giải phương trình sau: x − 2x + ( x + 1) x − − ( x − 1) x − = Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta thấy PTVT có nghiệm x = x − = x + = a 3 Giả sử PTVT có nhân tử x + + a x − − − với a hữu tỷ Khi ta có: 2 x − 2x + ( x + 1) x − − ( x − 1) x − x + Khi x = ( −ax + a − x + ) x − + x − 2x + x a − 2ax + a (1) − − − + (− a 3 ần ứa nhân tử x + + a x − − − − + − + − + 2 − − − + + − − − − + + 3 =−a ( a + 3) x − − x + a − a + a x + ( ) 4 =− ( − ) − + + + − + ) −ax + a − x + x − 2x + x a − 2ax + a Suy = (*) với x ≥ 3 −a ( a + ) −x + a − a + a x + 4 Nếu x = từ (*) ta có a = −1 a =−5 ± Nhưng a hữu tỉ nên a = −1 Vậy nhân tử ( ) x + − x − − Từ (1) ( ) ta được: x − 2x + ( x + 1) x − − ( x − 1) x − x + =− ( x − 1) x − Và ( ( ) x +1 − x −1 −1 + x −1 −1 )( ) x + − x − − − x + − x − − 1= x − − Vậy là: x − 2x + ( x + 1) x − − ( x − 1) x − =− ( x − 1) x − =− ( ( ) ( x +1 − x −1 −1 + ) (( x − 1) x +1 − x −1 −1 )( x − + 1) ) x +1 − x −1 −1 − x +1 − x −1 −1 x −1 + x +1 + Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm… - Nhận xét: Phương pháp biết trước nghiệm cho lời giải dài… Tuy nhiên, việc sử dụng số phương, ta sáng tạo cách làm khác độc đáo hơn! Bạn đọc thử quan sát cách làm sau: Với x = x − = x + = Khi đơi khác biệt 15 x2 −1 Ta có x − 2x + ( x + 1) x − − ( x − 1) x − = + − 15 Giả sử PTVT có nhân tử a 3 x + + a x − − − (giống cách làm trên), ta giá trị nhân tử x = là: 2 a 3 + a − − 2 + − 15 = p + q + r với p, q, r hữu tỷ a 5+a 3− − 2 a Ta nhân liên hợp + a − − với biểu thức để thu đa thức chứa 2 a a 3 + a − − − + n − − 2 2 11 3 1 a + a + 3an − − a + n + a + an + ( n − a ) 15 = 4 2 2 Đồng với + − 15 ta được: 11 − + + + a + a + 3an − = − 4 = − ải hệ phương trình với nghiệm hữu tỉ, ta ( a, n ) = ( −1; −4 ) Chúng ta cần tìm a hữu tỷ để ậy nhân tử ( ) x + − x − − Đến bạn đọc tự giải quyết… Ví dụ 9: Giải phương trình sau: x − + ( x + 1) x − − ( x − 1) x + = Phần nháp: Đây tập ví dụ 7, bạn đọc tham khảo cách làm Ngồi ra, phương pháp số phương giúp ích cho tốn này: PTVT có nghiệm x = ả sử nhân tử PTVT x − + a x + − − 2a ( ) 15 Ta cho x = 8, x − = x + =10 Giá trị nhân tử ( + a 10 − − 2a ) Và x − + ( x + 1) x − − ( x − 1) x + = + − 10 Cần tìm a hữu tỷ để Ta có ( + − 10 = p + q + r 10 với p, q, r hữu tỷ + a 10 − − 2a + a 10 − − 2a )( − a 10 + n ) = − 10a − n − 2an + ( n − − 2a ) + ( an + a + 2a ) 10 Đồng với + − 10, ta − 10a − n − 2an n − − 2a an + a + 2a = = −7 3 Giải hệ phương trình với nghiệm hữu tỷ, ta ( a, n ) =1; − ; ( −1;8 ) 8 Vậy ta có cách phân tích với nhân tử ( ) x − + x + − ( ) x −1 − x + +1 - Nhận xét: Phương pháp phân tích thành nhân tử PTVT hệ số hữu tỷ có thức khó khăn PTVT có nghiệm hữu tỷ Vì vậy, bạn đọc gặp dạng này, sử dụng phương pháp nhân liên hợp đạo hàm để có lời giải nhanh chóng… Tuy nhiên, chưa xét tới việc PTVT vô nghiệm Bạn đọc đọc tiếp phần sau để hiểu thêm cách làm dạng này: IV Phương trình vơ tỷ vơ nghiệm - Lưu ý: Phương pháp đạo hàm sử dụng nhiều phương trình vơ tỷ vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 15x + 9x + + (10x + ) 2x + =0 Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy PTVT vô nghiệm - Ý tưởng 1: Như nói, ta sử dụng phương pháp đạo hàm: Xét hàm số f ( x= ) 15x + 9x + + (10x + ) 2x + 30x + 17 2x + Vì 30x + 16= ( 30x + 15 ) + ≥ 30x = + 15 15 2x + > 2x + Ta có f ' ( x = ) 30x + + 2x + + 1 30x + 17 ≥ 30x + + = 30x + 15 + >0 2x + 2x + 2x + 1 Vậy f ( x ) đồng biến − ; +∞ Suy f ( x ) ≥ f − = > 2 Điều chứng tỏ phương trình f ( x ) = vơ nghiệm Suy f ' ( x = ) 30x + + - Ý tưởng 2: Đây trường hợp nhỏ phương trình vơ tỷ có thức dạng theo ý tưởng ta có: t2 −1 Đặt = t 2x + ⇔ x = Khi phương trình vơ tỷ trở thành: 2 15x + 9x + + (10x + ) 2x + t2 −1 t2 −1 t2 −1 = 15 + + + 10 + 7t 1 = 15t + 20t − 12t + 8t + 1= 5t + 10t + 1)( 3t − 2t + 1) ( ) ( 4 Thế = t 2x + vào (*) ta 15x + 9x + + (10x + ) 2x += 1 5t + 10t + 1)( 3t − 2t + 1) ( ( *) ax + b Vậy )( ( ) ( 2x + 1) + 10 2x + + ( 2x + 1) − 2x + + = 5x + + 2x + 3x + − 2x + = ( ) )( Từ đó, ta biến đổi 15x + 9x + + (10x + ) 2x + = (5x + + ) )( 2x + + 2x − 2x + lời giải chi tiết - Ý tưởng 3: Ta tìm nhân tử phương pháp biết trước nghiệm… Tuy nhiên, điều kiện để sử dụng phương pháp PTVT phải có nghiệm Vậy ta lấy nghiệm đâu ra??? Cách tìm nhân tử sau gây cảm giác khó hiểu cho bạn đọc, thử tìm hiểu xem Ta cần tìm nghiệm phương trình 15x + 9x + + (10x + ) 2x + =0 (1) , tiếc, vơ nghiệm Vậy tìm nghiệm phương trình 15x + 9x + − (10x + ) 2x + =0 ( ) Giải phương trình CASIO, ta nghiệm x = 2−2 Từ ta được: 2x + = 9−4 5 = 1− = x+ 5 3 Vậy nhân tử PT ( ) 2x + − x − 5 Nhận xét PT (1) PT ( ) biến đổi từ PT (1) giả thiết tạm: 2x + giaû sử − 2x + 3 3 Vậy PT ( ) có nhân tử 2x + − x − PT (1) có nhân tử − 2x + − x − 5 5 Tức PT ( ) vay hệ số − 2x + có nghiệm, sau trả lại − 2x + cho PT (1) 3 3 Vì vậy, ta biến đổi PTVT theo nhân tử − 2x + − x − hay dễ nhìn 2x + + x + : 5 5 15x + 9x + + (10x + ) 2x + 16 3 + 2x + + x + (10x + ) 5 3 3 = 2x + + x + − 2x + + x + + 2x + + x + (10x + ) 5 5 3 = 2x + + x + 15x + 10 − 2x + 5 = 25x − 4x − = (5x + + ( 2x + )( 3x + − ) 2x + ) - Ý tưởng 4: Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh PTVT vô nghiệm: = + 2 2x + > 2x + Ta có 10x + 6= 10x + + ≥ 10x 15x + 9x + + (10x + ) 2x + + 2x + Vậy 15x + 9x + + (10x + ) 2x + = > 15x + 9x + + ( 2x + 1) + 2x + 1= 15x + 17x + + 2x + > Ta đpcm - Nhận xét: Ý tưởng cho ta cách làm tổng quát tập dạng này, việc sử dụng khó Ý tưởng áp dụng cho tập có thức dạng ax + b Ý tưởng áp dụng cho toán mà sau đổi dấu thức phương trình có a+b c nghiệm dạng d Ý tưởng khơng định hình cách làm tổng quát, yêu cầu ta phải tư để biểu thức đẹp Để hiểu ý tưởng trên, bạn đọc thử đến với tốn sau đây: Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 4x + 8x − 11 − ( 4x − ) x − = Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình vơ tỷ vô nghiệm Ta thử làm theo ý tưởng - Ý tưởng 1: Đạo hàm Xét hàm số f ( x )= 4x + 8x − 11 − ( 4x − ) x − Ta có f ' ( x ) = 8x + − ( 6x − ) = 8x + − ( 6x − ) + x −1 x −1 x −1 x −1 Theo BĐT Cauchuy ta có + + ≥ x −1 2 x −1 7x + 9= ( x − 1) + 16 ≥ 112 x − > 21 x − 4 = 8x + − 24 x − + x −1 x −1 x −1 x −1 suy f ' ( x ) = + + − x − ≥ 7x + − 21 x − > 7x + − 21 x − + 2 x −1 Vậy f ( x ) đồng biến [1; +∞ ) Vậy f ( x ) ≥ f (1) = 1> - Ý tưởng 2: Đặt ẩn phụ= t x −1 ⇔ x = t2 +1 ( ) Ta có: 4x + 8x − 11 − ( 4x − ) x − 1= ( t + 1) + ( t + 1) − 11 − 4 ( t + 1) − t = 4t − 16t + 16t + 8t + vô nghiệm Vậy ta sử Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình bậc 4: 4t − 16t + 16t + 8t + = dụng phương pháp nhóm thành tổng bình phương (xem thêm đọc thêm, trang ( ) ) Ta tìm được: 2 32 25 4t − 16t + 16t + 8t + 1= t − 2t − + t + + (1) 9 162 2 16 Hoặc 4t − 16t + 16t + 8t + 1= t − 2t − + t + + ( 2) 5 25 Hoặc nhiều cách phân tích thành tổng bình phương khác nhau… Sau đó, ta ngược= t x − vào PT (1) PT ( ) ta được: 4x + 8x − 11 − ( 4x − ) x − = 4t − 16t + 16t + 8t + 2 13 1 25 32 = x − − x −1 + x −1 + + >0 9 162 4x + 8x − 11 − ( 4x − ) x − = 4t − 16t + 16t + 8t + 2 1 16 = x − − x −1 + x −1 + + >0 5 25 Từ ta có nhiều cách phân tích thành tổng bình phương cho tốn - Ý tưởng 3: Phương pháp biết trước nghiệm Theo cách làm ví dụ thay giải phương trình 4x + 8x − 11 − ( 4x − ) x − = , ta giải phương trình 4x + 8x − 11 + ( 4x − ) x − = ( *) Nhưng tiếc, PT (*) không cho nghiệm, chứng tỏ ý tưởng giải phương trình phương pháp bị gạt bỏ… - Ý tưởng 4: Sử dụng bất đẳng thức: x −1+ x +3 Theo BĐT Cauchuy ta có: x − ≤ → x −1 ≤ Suy ra: 4x + 8x − 11 − ( 4x − ) x − 1= + − − ( − ) − + − ≥ + − − ậy ta có đpcm ( − ) + + − = + − > - Nhận xét: Tuy ý tưởng bị gạt bỏ với lý PT (*) khơng có nghiệm phương trình khơng có a+b c a+b c Nhưng giả sử PT (*) cho nghiệm vơ tỷ dạng , tốn có lời giải d d “đẹp” Bạn đọc thử sử dụng ý tưởng để giải toán sau: Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 10x − + 11 − x − + x = Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình vơ tỷ vơ nghiệm Phương trình vơ tỷ có thức khác nên cần phải ý… Ta không giải phương trình 10x − + 11 − x − + x = mà đổi dấu đồng thời hết tất hệ số đứng trước thức để phương trình mới: 10x − + 11 − x − + x = ( *) dạng Giải phương trình (*) CASIO, ta nghiệm x = −3 + 25 −2 + 1− x = Từ ta ⇒ 1− x − 1+ x + = 4+ 1+ x = Vậy nhân tử (*) ( 1− x − 1+ x + ) ( ) “Có vay, có trả”, phương trình 10x − + 11 − x − + x = có nhân tử − − x + + x + , tức đổi dấu đồng thời tất hệ số thức nhân tử ( ) − x − + x + , hệ số lại ( ) giữ nguyên… Từ đó, ta biến đổi 10x − + 11 − x − + x theo nhân tử − − x + + x + : ( 10x − + 11 − x − + x = 10x + 14 + 16 + x − 11 − − x + + x + ( )( + x + )( = − 1− x + 1+ x + ( = − 1− x + ) 1+ x − 7) ( − x + + x + −11 − − x + + x + 1− x + ) ) Vậy toán giải quyết! - Nhận xét: Hầu hết cách làm bà tập dựa nghiệm phương trình vơ tỷ Do đó, với CASIO phịng thi, hẳn nhiều bạn đọc thấy hữu ích nó… Một tập nhỏ cho bạn đọc: Thử giải ví dụ ý tưởng ý tưởng 4, sau so sánh cách làm với ý tưởng 3? Cũng có nhiều bạn đọc cho phương pháp nhóm nhân tử thật dài vơ vị, khơng việc “bình phương” hai vế phương trình để phương trình bậc dễ dàng hơn… Có thể bạn bạn giải phương trình vơ tỷ dễ ... 9a = 4b ( ( ) ) 3a − 5b ≥ 29 + 5 69 3x − 8x − ≥ ⇔x= + Với: ⇒ 0 4x + 21x − 33 = 4a − 25b = 3x − 8x − ≥ 3a − 5b ≥ 13 − 673 ⇔x= + Với: ⇒ 18 0 9x − 13x − 14 = 9a − 4b = 29 +... số: x = Bài Giải phương trình x − 9x + 24 − 6x − 59x + 1 49 =5 − x Đáp số:= x 5;= x - Dạng toán f (x) + g (x) = u (x) + v (x) 2x − 7x + Đáp số: x = ; x= − 19 (Trong f ( x ) g ( x ) = u ( x )... −3 ± 29 (Vô nghiệm) x = - Kết luận Phương trình cho vơ nghiệm - Lưu ý Với tốn có nghiệm số phức tạp hơn, ta làm sau: f(x) = x3 + x − = (x + 3x − 5)(x − 2) + 11x − 14 −3 ± 29 −3 ± 29