cac phuong phap giai phuong trinh vo ti hay

Phương pháp biến đổi tương đương.. Lí thuyết.[r]

Nguyen Thanh Yen_BDH

Phơng trình vô tØ I Phương pháp biến đổi tương đương

Lí thuyết

1 f x   g x   f x g x 0

2      

  2  g x f x g x

f x g x

 

   

  

3      

     

   

 2  

0 0

f x ;g x ;h x

f x g x h x

f x g x h x

   



   

 

  áp dụng

+) Giải phương trình sau a) x - 2x3=

b) x 4 1 x  2 x

c)

  

 x x

x d)

5

3

4x  x x II Phương pháp đổi biến

1 Phương trình dạng : af(x) + b f (x) + c = 0

Phương pháp

Đặt f (x)= t ( t0)

phương trình trë thµnh: at2 + bt + c = Tìm t cách giải phương trình bậc 2

¸p dụng

+) Giải phương trình sau x(x + 1) -

   x x

2 5x2 10x x2 2x     

2 Dạng acx b cx d acxb cx n (1) a, b, c, d, n các số, c > 0, d 

Phương pháp:Đặt acx b cx = t ( t  ) áp dụng

+) Giải phương trình sau

1 x1 3 x  x13 x 2

2 3 2 16

   

  

 x x x x

x

3 Phương trình dạng

x a 2 b2a x b  x a  b 2a x b cx d Trong a, b, c, d hằng số, a 

Phương pháp:Đặt : t = x b , ( t  )

pt trë thµnh: t a  t a c t 2bd

- Xét hai trường hợp :

+) t  a , PT trở thành 2t = ct2 + bc + d ct2 - 2t + bc + d = 0

+)  t  a PT trở thành: c t2 - 2a + bc + d= 0

áp dụng

+) Giải phương trình sau

6 23

6

6      

 x x x x

x

Đặt : x t , ( t  ) Khi x = t2 +9

Phương trình trở thành :  32  32 32      



 t  t t  6 3 32

   

 t t

t

TH1 : Với t  pt  t2 - 12t + 32 =  t = , t = TH2 : Với  t  pt  t2 =  t =

Vậy PT cho có n0 : x1 = 25 , x2 = 73 , x3 = 13 III Phương pháp đưa hệ ph¬ng tr×nh

Phương pháp : đổi biến để đưa hệ phương trình bản +) Giải phương trình sau

a) 25 10

  

 x x

§K :  10x 10 Đặt :

2

25 x u

10 x v

  

 

   

(u, v  )

Ta có hệ phương trình u v 32 2

u v 15

    

  



b) 1

    x x ĐK : x 

Đặt 2 x a x1b ( b  )

Trang 1

Nguyen Thanh Yen_BDH Ta có hệ phương trình: a b 13 2

a b

    

  



Từ ta có nghiệm : x1= ; x2= 1; x3 = 10 1 Phương trình dạng : x2 + xa a Với a  0

Phương pháp

Đặt y = xa ( y  ) y2= x + a

+) Kết hợp với đầu ta có hệ phương trình

2

x y a

y x a

   



  



 x2- y2+ y + x=0  (x + y)(x – y + 1) = 0



1

  

  

x y

x y

TH1: x = - y Suy phương trình có dạng

y2+ y - a = " Tìm y cách giải phương trình bậc hai"

TH2 : x = y - Suy phương trình có dạng

y2 - y + - a = "Tìm y cách giải phương trình bậc hai"

¸p dơng: Giải phương trình sau

1 x2 + x 2 2

  x2 + x3 3

IV Phương pháp đánh giá

Phương đánh giá thường sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hai vế để tìm nghiệm

áp dụng

+) Giải phương trình sau a) x 2 4 x = x2 - 6x + 11

b) 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2      

 

Ta có VT = 3(x 1)2 4 5(x 1)2 9 4 9 5

        VT =  x = -1

Ta có VP = - 2x - x2 = - (x + 1)2  VP =  x = -1 Vậy phương trình có nghiệm x = -1

c)

1

4 

 

 x

x x

x

V Phương pháp sử dụng nghiệm nhất

1 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng (a; b) D PT f(x)=0

hoặc f(x)=m =const có nghiệm (a; b) nghiệm nhất

2 Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến ) (a; b) hàm số y = g(x) nghịch biến (đồng biến) khoảng (a; b) PT f(x) = g(x) nếu có nghiệm nghiệm nhất.

3 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng (a; b) D PT f(u) = f(v)

 u = v

AD: Giải phương trình: 3x 2  x 3  (1) ĐK : x  -

C¸ch 1: Ta thấy x = nghiệm phương trình

+Xét x >   

x ; x12  VT >  phương trình khơng có

nghiệm x >

+Xét -1  x <  

x ; x12  VT <  phương trình khơng

có nghiệm -1  x <

Cách 2: đặt f x 3x 2  x 1

 

 2  

3

1

f x x 1;

2 x x



       

 

hàm số f(x) đồng biến [-1;+)  phương trỡnh (1): f(x) = có nghiệm [-1;+) nghiệm l nht

Mặt khác ta có: f(3) = VËy PT cã nghiÖm nhÊt x = Cách 3: Đa hệ phơng trình

Bài 1: Giải phơng trình sau: a 8x3 x 33 53 x3 (1)

HD: (1)  8x36x5x 3 53 x3

XÐt hµm sè  

3

f t  t t    

' 3

f t  t    t f t đồng biến R (1) f2x f 5x3 2x5x 3 x 1

T2: Gi¶i bÊt PT, BPT:

1 8x3 x 33 53 x3

2 2x 35 26 x 3 x 1 5 x 1 HD: §Ỉt f t   t3 5t

Bài 2: Tìm m để BPT    

3x 6 x 3x 6 x m  m1   x  3;6

Bµi 3:

1 Xác định m để x 1 4 xm có nghiệm đkx  1; 4

Nguyen Thanh Yen_BDH

Đặt        

 

1

1 1;

2

f x x x f x x

x x

 f x  m cã nghiÖm x  1; 4 

 1;4  

Max f x m

 

 4

f m m

   

2 Tìm m để PT x 2 4 x m có nghiệm HD: C1 đặt VT = f (x) – lập bảng biến thiên KL

C2: tìm GTLN, GTNN h/s đoạn [2;4] C3: SD BĐT Bunhia- Copski ta có

  

 

 

   

         

       

       

        

2

2;4

2;4

2 1

2

2 2)(4

2 2)(4 2,

y x x x x

Max y x x x

y x x x x

Min y x x x x

m[0; 2] th× PT cã nghiƯm

3 Xác định m để PT: x x  x12 m 5 x 4 x có nghiệm HD: Nhân vế với biểu thức liên hợp  5 x 4 x

Bµi 4:

1 Xác định m để BPT 4x 2 16 4 x m  x 2; 4

2 Xác định m để

2x  1 m x x

3 Xác định m để -4 2+x 4 x x2 2xm 18 x -2;4

4 Xác định m để      

4x 6 x x  2xm x  -4;6

5 Xác định m để 3x 7 x x2 4xm x -3;7

Các tập tự luyện

Gii cỏc phương trình sau

1

     x x x

2 x1 x14

3 3x4 x 3 4x9

4 6

  

 x x

x

5 x2 + 3x + = (x + 3) 1  x x1 x10  x2 x5 x3 7 x 2x

8 3x 6 x 3x6 x 3 x x 1  x x 2  x x 3

10 x 94 96 x x2 190x 9027

     

11 14

3

x x

x



  

 

12 x 2x1 x 2x1 

13 x2 x  x7 x 1

14 10 2x 2x3 1 15 x134 82 x

16 x 17 x2 x 17 x2   

 =

17 x3 + = 23 2x 1

18 x2 + x7 7 19 5 x3 1 2x2 2

  

20 x 2 10 x x2 12x 40

     

21 x2 – = 2x x2 2x 

22 x x2 4x 5

   

23 3x 1 4x2 13x 5

   

24 x3 2 3x 23  25 x 2 2x 2x2 x3

   

26 2x 1 x2 3 x

    

27 4x 7x2 7x

28



 