Chuyen de luy thua voi so mu tu nhien hay nhat

1 CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA A Lý thuyết: Khái niệm: a  a.a.a a (a  0, n  N ) nthuaso Quy ước: a1 = ; a0 = 1; 0n = ( n thuộc N*) a2 : bình phương a ( a ≠ 0) ; a3 : lập phương a ( a ≠ 0) Các tính chất: Với a, b ≠ ; m, n thuộc N am an  a mn ; a m : an  a mn ;(a m )n  a( m ) ;(a m )n  a m.n ;(a.b)n  a m a n n B Bài tập Bài 1: Tính gi{ trị c{c biểu thức sau a A  310.10  310.6 39.22 11.322.37  915 b B  (2.314 ) 2 3610.2515 c C  308 11.322.37  915 e E  (2.314 ) 212.14.126 d D  355.6 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  42 ) F    4 f 100.164 100.48 48.100 Lời giải a A  310.10  310.6 39.22 310.(10  6) 310.24   3 39.24 11.322.37  915 11.329  330 329 (11  3) 3.8    6 b B  (2.314 )2 4.328 4.328 3610.2515 (62 )10 (52 )15 620.530   8  612.522 c C  8 30 (6.5) 212.14.126 32.72.2.7.2.32.7 22.34.74    d D  5 35 2.3 2.3 7 11.322.37  915 2 e E  (2.314 ) 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  42 )   4 f F  100.164 100.48 48.100 Bài 2: Viết c{c tích sau dạng lũy thừa a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) 100 c z z z x ( z  0) (m1 )2 (m2 )3.(m3 )4 (m99 )100 (m  0) 100 b x x x d ( x  0) Lời giải a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) = (3y)3 b x1.x2 x100  x12 100  x5050 ( x  0) 100 c z z z x ( z  0)  z147 100  z (1001).34:2  z101.17 3 99 100 d (m ) (m ) (m ) (m ) (m  0)  m m m 1.2 2.3 99.10 m 99.100.101 Bài 3: Tính tổng sau a A      2 b B      2015 2016 Lời giải a A      2015  A   22  23   22016  A  A  A  22016 1 2016 b B       3B     1 2 2017  2B  2017 32017  1  B  Bài 4: Tính S = + + + + < + 8192 Lời giải: S  20  21   213  2S   22   214  S  214 1  16383 Bài 5: Viết tổng sau th|nh bình phương số tự nhiên a 13 b 13 + 23 c 13 + 23 +33 d 13 + 23 + 33 +43 e phát biểu dạng tổng quát ( không cần chứng minh ) Lời giải: a 13 = 12 ; b (1+2)2 ; c (1+2+3)2 ; d (1+2+3+4)2 e 13 + 23 + 33 +43 + 0)  a > b Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh a 1287 424 c 536 1124 b 818 2711 d 3260 8150 e 3500 7300 Lời giải : 1287  (27 )7  249   1287  424 a Có : 24 24 24   (2 )   818  332   818  2711 b 11 33  27    536  12512   536  1124 c 24 12  11  121   3260  2300  8100   3260  8150 d 50 200 100  81    3500  243100   3500  7300 e 300 100   343  Bài 2: Hãy so sánh a 1619 825 b 2711 818 e 7.213 216 f 5100 3500 b 6255 1257 d 523 6.522 g 230  330  430 3.2410 Lời giải a 1619  (24 )19  276 ;825  (23 )25  275  276  275  1619  825 b 2711  (33 )11;81  (34 )  332  333  332  2711  818 c 625  (5 )  20 ;125  (5 )   125  625 5 21 d  5.5  6.5  6.5  23 22 22 22 23 e 7.2  8.2  12    7.2 13 13 13 16 16 13 f 5300  (53 )100  125100 & 3500  (33 )100  243100  5300  3500 g 430  (2 ) 30  (2.2) 30  230.230  (23 )10 (2 )15  810.315  810.310.3  (8.3)10  2410.3 Vậy 230  330  430  3.2410 Bài 2: So sánh ( n 1)2 a 32n.(n+2) (n  N ) b 256n 16n+5 với n N Lời giải: 32 n ( n  2)  9n ( n  2)  9n 2 n ( n 1) n  n 1  a Ta có: n  2n   n  2n 2    ( n 1)2  9n.( n  2)  9( n 1)  32 n ( n  2) (n  N ) 9    b 256n = 162n suy toán trở thành so sánh 2n n + +) Nếu 2n > n +  n  +) Nếu 2n = n +  n  +) Nếu 2n < n +  n  Vậy: Nếu ≤ n < 256n > 162n Nếu n = 256n = 162n ; Nếu n > 256n < 162n Bài 3: Chứng minh rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải:  263  (29 )7  3127  63 27 63   (1); 28  528 (2)  527  263  528 63 9 7  (2 )  128   (5 )  625  527  1259 Dạng 2: Đƣa tích có thừa số giống Bài 1: Hãy so sánh a 2115 275 498 b 20152015 – 20152014 20152016 – 2015 2015 d d A  7245  7244 ; B  7244  7243 c 201510 + 20159 201610 - 20152015 e 7150 3775 Lời giải: a 21  ;27 49   21  27 49 15 b 15 15 15 16 15 20152015  20152014  20152014 (2015  1)  2014.20152014 20152016  20152015  2014.20152015  c 2015  2015  2015 (2015  1)  2016.2015 ;2016  2016.2016  10 9 10 d A= 7244 (72  1)  7244.71 B  7243 (72  1)  7243.71  A  B e Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150 3150 (2) mà 2150 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775 > 7150 Bài 2: Hãy so sánh a 3210 2350 b 231 321 c 430 3.2410 d 202303 303202 Lời giải : 210 a  2770 ;2350  3270  3210  2350 b  2.2  2.8 ;3  3.3  3.9   31 30 c 30 10 21 20 10 21 31  260  230.230 ;3.2410  3.(3.8)10  311.230  430  3.2410 202303  (2.101)303  2303.101303  2303.1013.101  8101.1013.101  8101.101101.1012.101 d 303202  (3.101)2.101  32.101.101 2.101  9101.1012.101  202303  303202 Bài 3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP Dạng 1: So sánh thông qua lũy thừa trung gian - Để so s{n h lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho: A < M < B hoặc: A >M>B Trong đó: A v| M ; M B so sánh trực tiếp Bài 1: Hãy so sánh b 19920 ;200315 a 2225 3151 c 291 536 Lời giải: 225 75 75 75 75 150 151 a  (2 )    (3 )   A B M b Ta có: 199  200  (8.25)  (2 )20  (2 )  20 20 20 3 20 60 40 200315  200015  (16.125)15  (24.53 )15  (24.53 )15  260.545  260.545  260.540  200315  19920 91 90 18 18 18 36 c   (2 )  32  25  A M B Bài 2: So sánh a 9920 910.1130 b 96142 100.2393 Lời giải: 9920  [(99) ]10  980110  (223 )10  2230 ; a 2230  (2.11)30  230.1130  810.1130  910.1130 96142  100042  10126  100.10124 ; b 100.2393  100.(233 )31  100.(104 )31  100.10124  96142  100.2393 Bài 3: So sánh a 199010 + 19909 199110 c 3339 ;1121 b 10750 7375 Lời giải: a 1990  1990  1990 (1990  1)  1991.1990  1991.1991  1991 10 9 b 107  108  (4.27) 50 50 50 9 10  2100.3150 ;7375  7275  (8.9)75  2225.3150  7375  10750 c Ta có:   (3 )  81 39 40 10 10 1121  1120  (112 )10  12110  12110  1120  1121  339 Bài 4: So sánh a 9920 999910 b 85 3.47 c 202303 303202 d 1010 48.505 Lời giải 2 10 10 20 10 a Ta thấy : 99 < 99.101 = 9999 => (99 ) < 9999 hay 99 < 9999 15 14 14 7 b Ta có: = = 2.2 < 3.2 = 3.4 => < 3.4 c Ta có: 202 303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 10 10 10 10 d Ta có : 10 = = 2 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Từ (*) v| (**) => 1010 < 48 505 Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải Với b|i n|y , học sinh lớp không định hướng c{ch l|m , gi{o viên gợi ý: chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) v| (2) => 527 < 263 < 52 Dạng 2: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian - Để so s{nh hai lũy thừa A v| B, ta tìm hai lũy thừa X y cho: A < X < Y < B A > X > Y > B Trong c{c lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp Bài 1: So sánh a 1720 3115 b 19920 10024 c 3111 1714 Lời giải: 20 20 80 75 15 15 15 a 17  16    (2 )  32  31 A X B Y  20020  220.10020  (23 )7 10020  107.10020  10024 20 b 199 c 31  32  ;17  16   31  17 11 11 55 14 56 11 14 Bài 2: So sánh a 111979 371321 b 10750 5175 c 3201 6119 Lời giải: 111979  111980  (113 )660  1331660 ; a 371321  371320  (372 )660  1369660  1331660  111979 b 107  150  (3.50) 50 201 c 50 50  925.5050  5025.5050  5075  5175  3200  (35 )40  24340 ;6119  6120  (63 )40  21640  3201  6119 Bài 3: Chứng minh : 21995 < 5863 Lời giải Có 210 =1024, 55 =3025  210 (211)24 > (211) 26 = 2270  21720.2270 < 21720 3172 < 5860 Vậy 21990 B 14 -A = 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101  2 100 100 Để dễ rút gọn ta viết tử dạng tích c{c số tự nhiên liên tiếp sau: -A = 1.2.3.4.5.6 98.99 3.4.5 100.101 101 101    2.3.4.5 .99.100 2.3.4 99.100 100 200 Vậy A < - BÀI 5: PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA A Phƣơng pháp +) xn = ( n thuộc N*) x = +) xn = an ( n thuộc N*) x = a +) ax = ( a ≠ 0)  không tồn x  vô nghiệm +) ax = ( a ≠ 1) x = +) ax = an ( a ≠ ; a ≠ ) x = n +) ax = bx ( a ≠ b ; a, b ≠ ) x = B Bài tập Bài 1: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: a 6x = 216 c (x-2)6 = (x-2)8 b 32x = 81 d 2.(2x-1)2 = 50 Lời giải: a 6x = 216    x  x 2x b 3  81  32 x  92  34  x   x  x   ( x  2)  x       c ( x  2)  ( x  2)  ( x  2)[(x-2)  1]      x  x    ( x  2)      x  Bài 2: Tìm x , biết: a (7 x  11)   200 x2 b  3.73  73.4 c x 3  32 x1 Lời giải a (7 x  11)   200  (7 x  11)  1000  10  x  11  10  x  3 x 2 b c 3  3.73  73.4  73 x2  73 (3  4)  73 x2  74  x  x 3  32 x 1  33.3x  32 x 1  3x 3  32 x 1  x   x   x  Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Bài 3: Tìm x, biết: a  x x 1  2x2  2x3  480 b x 1  5x  2.2x  8.2x c  x x 1  x 2.2x  4.2x Lời giải a 2x  2x1  2x2  2x3  480  2x (1   22  23 )  480  x.15  480  x  25  x  5x 1  5x  2.2 x  8.2 x  x (5  1)  x (2  8)  22.5 x  x 1.5 b 22.5x x 1.5    5x 1  x 1  x    x  5 c  x x 1  x 2.2x  4.2x  7.6x  7.2x  6x  2x  x  Bài 4: Tìm x thuộc N , biết a x  x d x2 c  25  26.2  2.3 b (2 x  1)  343 15 x  2x  96 x3 f e 720 :[41-(2x-5)]=2  2.52  52.3 Lời giải x  x15  x  x15  x    a x  b (2 x  1)  343   x  c  25  26.2  2.3   185(vonghiem) d x 3 x 2x2  2x  96  2x  32  x  x 3 e 720 :[41-(2x-5)]=2  x  14 f  2.52  52.3  x  Bài 5: Tìm x nguyên dương, biết x 1  3x2  3x3  594 x 1  3x2  3x3  594  3x (1    27)  594  x  a  x b (2  1)(3  1)  1394 x x Lời giải a  x b (2  1)(3  1)  1394  2.697  2.17.41  17.82 x x Nhận xét: 2x + lẻ x ≥ ; 2x + chẵn x = 0; 3x + chẵn x 2   17  x x4   82  x 1 Bài 6: Tìm x thuộc N , biết:  x  3x2  3x3  1080 Lời giải 3x  3x1  3x2  3x3  1080  3x (1    27)  1080  3x  27  x  16 Bài 7: Tìm x, biết: x.(6-x)2003 = (6-x)2003 Lời giải: x = x = Bài 8: Tìm x, biết: ( x-1)x+2 = (x-1)x+4 (1) Lời giải: Đặt x – = y suy ra: x + = y + ; x + = y + (1)  y y 3  y y 5 x  y 3  y  y     y y 3 ( y  1)        x   x  0;1; 2  y  1    y    x  Bài 9: Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n Lời giải : 2m  2n  2mn  2mn  2m  2n   2m.2n  2m  2n    2m (2n 1)  (2n 1)   (2m 1)(2n Vì: 2m 2n ≥ với m, n thuộc N 2m   2m  m   n  n  Nên : 2   2  n  Vậy m = n = Bài 10: Tìm x thuộc N, biết b x.5 x 1.5 x   100 .0 : 218     a 16 x  128 18chuso0 Lời giải a 16 x  128 => (2)     18chuso0 53 x3  1018 : 218  53 x3  5183 x3  18  x   x  0,1,2,3,4,5 Bài 11: Cho A = + 32 + 33 + < n < , n nguyên dương Vậy n = b) 243 > 3n  => 35 > 3n  32 => > n  , n nguyên dương Vậy n = 4; 3; Bài 14: Tìm số nguyên n lớn cho: n200 < 6300 Lời giải Ta có: n200 = (n2)100 ; 6300 = (63)100 = 216100 Để n200 < 6300  (n2)100 < 216100  n2 < 216 n Z (*) Số nguyên lớn thoã mãn (*) l| n = 14 Bài 15: Tìm c{c số ngun n thỗ mãn: 364 < n48 < 572 Lời giải Ta giải bất đẳng thức 364 < n48 n48 < 572 Ta có : n48 > 364  (n3)16 > (34)16  (n3)16 > 8116  n3 > 81 Vì n  Z nên n > (1) Mặt kh{c n48 < 572  (n2)24 < (53)24  (n2)24 < 12524 n2 < 125 n  Z => -11  n  11 (2) Từ (1) (2) => < n  11 Vậy n   5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 * Từ toán thay đổi câu hỏi để đƣợc tốn sau: Số1: Tìm tổng c{c số ngun n thoã mãn: 364 < n48 < 572 ( giải tương tự ta có c{c số ngun n thỗ mãn 5+6+7+8+9+10+11=56) Số2: Tìm tất c{c số ngun có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 5; 6; 7; 8; 9;) Số3: Tìm tất c{c số nguyên có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 10; 11) 18 BÀI 6: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA A PHƢƠNG PHÁP Nội dung tốn : Tìm x để VT (x) = VP , ta đ{nh gi{ sau : - Nếu x > x0 VT(x) > VP - Nếu x < x0 VT(x) < VP - Nếu x = x0 VT(x) = VP Kết luận x = x0 giá trị cần tìm Bài 1: Tìm STN x > , thỏa mãn : a 4x-1 + 4x = b 3x + 32x-1 = 2268 Lời giải : a Nhận thấy x > 4x-1 > 41-1 = 40 = ; 4x > 41 =  4x-1 + 4x > ( loại ) +) Nếu x = 4x-1 + 4x = 40 + 41 = = VP ( thỏa mãn ) Vậy x = thỏa mãn toán b Nhận thấy x = : VT = VP +) Nếu x > 3x + 32x-1 > 34 + 37 = 2268 ( Loại) +) Nếu ) < x < 3x + 32x-1 < 2268 = VP ( Loại ) Bài 2: Tìm STN x , thỏa mãn a 2x + 5x + 7x = 14 b 2x + x = 20 c 2x = 46 – 3x (1) Lời giải : a Nhận thấy +) Nếu x = 2x + 5x + 7x = ≠ 14 ( Loại ) +) Nếu x = thỏa mãn +) Nếu x > 2x + 5x + 7x > 14 ( Loại ) Vậy x = b Nhận thấy +) Nếu x = 2x + x = 20 ( thỏa mãn ) +) Nếu x > 2x + x > 24 + = 20 ( Loại ) +) Nếu < x < 2x + x < 24 + = 20 ( Loại ) Vậy x = c 2x = 46 – 3x  2x + 3x = 46 +) Nếu x ≥  2x ≥ 25 = 32 ; 3x ≥ 3.5 = 15  2x + 3x ≥ 47 > 46 ( Loại ) +) Nếu x ≤  2x ≤ 24 = 16 ; 3x ≤ 3.4 =12  2x + 3x ≤ 28 < 46 ( Loại ) 19 Vậy không tồn giá trị x thỏa mãn toán Bài 3: Tìm x thuộc N, biết: 3x + 3x+1 + 2x+2 = 388 (1) Lời giải : Nếu x < , VT(1) < VP (1)  Loại Nếu x > , VT > VP  Loại Nếu x =  VT = VP ( thỏa mãn ) Vậy x =4 Bài 4: Tìm x , y , z thuộc N , biết : x ≤ y ≤ z v| : 2x + 3y + 5z = 156 (1) Lời giải : Từ (1)  5z < 165  z ≤  z 0,1, 2,3 +) Nếu z =  x ≤ y ≤ 3, thay v|o (1) ta :   125  156    31(2) x y x y Ta có : 3y < 31 v| y ≤ +) Nếu y = 3, thay v|o (2) ta : 2x = 4 x = ( thỏa mãn) Vậy x = ; y = ; z = Cách khác : Ta có : 5z < 156  z ≤ +) z =  x ≤ y ≤ 2, thay v|o (1) : VT(1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 ( loại)  z = Thay vào (1) : 2x + 3y + 53 = 156  2x + 3y = 31 (*) ( x ≤ y ≤ 3) Nếu y ≤  x ≤  2x + 3y ≤ 22 + 32 = 13 < 31 ( loại) Vậy y =  2x + 33 = 31  2x =  x = Vậy x = ; y = ; z = Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : x2   32 y 1  5z  40(1) Lời giải: x Nhận thấy 2 2 x   40  x    x    x  y 1 +) Nếu x =0, (1) trở th|nh :   5z  40  32 y 1  5z  36(2) Ta có : VT (2) khơng chia hết cho ; VP(3) chia hết cho  Loại ( Hoặc xét tiếp ) y 1 +) Nếu x = , (1) trở th|nh :  3  5z  40  32 y 1  5z  32(3) Ta có : 32y+1 < 32  y    y  +) y = , (3) trở th|nh : 27 + 5z = 32  z  +) y=0 , (3) trở th|nh :   32   29(loai) z z Vậy x = y = z = Bài 6: ( khó ) Tìm c{c STN x, y, z thỏa mãn : 2x + 2y + 2z = 210 20 Lời giải : Vì x, y, z có vai trị nên khơng tính tổng qu{t, ta giả sử x ≤ y ≤ z Ta có : 210 = 1024 = 2x + 2y + 2z ≥ 3.2x  2x ≤ 210  x ≤ Ta có : 2x + 2y + 2z = 210  (1  x yx  2z  x )  210   y  x  z  x  210 x  2108  4(*) +) Nếu y > x  y – x >  y – x ≥ ; z –x ≥ VT(*) l| số lẻ, VP(*) l| số chẵn ( Loại)  y = x, thay vào (*) (*)    zx  210 x  2108 (**) Nếu z – x =  VT (**)  3;VP(**) l| số chẵn ( Loại)  z  x   (**)   2z  x  210 x   2z  x1  29 x (***)   VT (***)là sô le;VP(***) sô chan  Loai Nếu z – x –  z-x-1=0,(***)  2=29-x  x   y  8; z  BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm x thuộc N thỏa mãn : 5x + 5x+2 = 650 Lời giải : 5x + 5x+2 = 650  (1  )  650  x  x Bài 2: Tìm x thuộc N, biết : 2x = 46 – 3x Lời giải : +) Nếu x     32;3x  15   3x  47(loai) x x +) Nếu    16;3x  12  VT  28(loai) Vậy không tồn x x x 1 Bài 3: x  N , biêt:3  x  2x2  388 Lời giải : Đ{nh gi{ x < VT < VP ; Nếu x > VT > VP Vậy x = Bài 4: Tìm x, y thuộc N, biết rằng: x ≤ y ≤ z v|:    156(1) x y z Lời giải: Ta có: 5z ≤ 156 suy z ≤ +) Nếu z ≤ x ≤ y ≤ VT(1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 ( loại) suy z = Thay v|o (1) :    156    31(2)( x  y  3) x y x y Nếu y   x       13(loai)  y     x  x y 2 Bài 5: Tìm số nguyên dương x cho : 3x + 4x = 5x Lời giải : x 21 x x 3  4 3x + 4x = 5x        5  5 +) x = không thỏa mãn ; x = thỏa mãn x  3  3 Nếu x ≥ :       5 5 x 2 4 4  3  4 ;            5 5 5  5 Vậy x = giá trị cần tìm Bài 6: Tìm số nguyên x, y cho : 5x3 = 3y + 317 Lời giải: +) y = không thỏa mãn +) Neeys y = x = thỏa mãn +) Nếu y ≥ 3y chia hết cho , m| 317 chia dư v| 5x3 = 3y + 317 nên 5x3 chia dư Điều mâu thuẫn 5x3 chia dư , Vậy x = ; y = thỏa mãn toán BÀI 7: MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA Bài 1: Tìm c{c STN x, y, z kh{c 0, biết : x2 + y2 + z2 = 116 chia x, y, z cho 2, 3, thương v| số dư Lời giải : Theo đầu b|i, ta đặt x = 2m ; y = 3m ; z = 4m ( m thuộc N* ) Vì x2 + y2 + z2 = 116 nên : (2m)  (3m)  (4m)  116  29m  116  m   m  2 2 2 Vậy x = ; y = ; z = Bài 2: Tìm c{c số tự nhiên x, y biết a 2x + 124 = 5y b 2x + 80 = 3y Lời giải : a Nếu x ≥ 2x ln l| số chẵn  2x + 124 l| số chẵn Mặt kh{c 5y l| số lẻ với y thuộc N  2x + 124 ≠ 5y ( loại ) b Tương tự x = ; y = Bài 3: Tìm c{c số nguyên dương x , a , b , biết : 4x + 19 = 3a (1) 2x + = 3b Lời giải : Ta phải khử ẩn l| a, b x Theo đề b|i, ta có : 2x + = 3b suy 4x + 10 = 3b (2) (1) - (2) : = 3a – 3b (*) 22  a  b   VP(*)  VP 33 ; mà VT(*) = /3 Nếu b > theo (*)  b=1  VT(*)  VP(*)(loai)  b     b=2 +) Nếu b = suy = 3a – suy 3a = 15 ( loại) +) Nếu b = suy a = Vì 2x + = 3b suy x = Bài 4: Tìm x, y thuộc N*, thỏa mãn : 2x + 57 = y2 (1) Lời giải : Nếu x l| số lẻ, đặt x = 2k +   x k 1  4k Chia cho dư 3du1 VT(1) chia dư ; VP(1) chia dư 1 Loại x phải l| số chẵn Đặt x = 2k  (1)  2k  57  y  y  (2k )2  57  ( y  2k )( y  2k )  57  1.57  3.19 k  y  29  y    +) TH1 :   k k 2  28(khong  k )  y   57  y  2k   y  11  y  11   +) TH2 :   k k  y   19 2  k   x  Bài 5: Hai số tự nhiên x, y thỏa mãn : x2 – 2y2 = CMR : y l| số chẵn Lời giải : x2 – 2y2 =  x  y  2 Giả sử y l| số lẻ  y2 chia dư ; 2y2 chia dư ; 2y2 + chia dư ; mà x2 chia dư suy : y phải chẵn ( đpcm) Bài 6: Tìm c{c số nguyên dương a, b, c thỏa mãn : a3 + 3a2 + = 5b a + = 5c Lời giải: b  c  b  1(hoacb  5) b c b a3 + 3a2 + = 5b  a (a  3)    a     mà 5b chia hết 25 với b   c  2(loai)  c  1; a  2; b  Bài 7: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x ≤ y v| x2 + y2 = 202 (1) Lời giải: Ta có 202 l| số chẵn suy x, y phải tính chẵn lẻ Nếu x, y lẻ  VT dư ; VP dư  vô lý  x, y chẵn 2 Đặt x = 2x1 ; y = 2y2, thay v|o (1), được: x1  y1  10 du chia du 23 2 Suy x1 ; y1 phải chẵn ; Đặt x1 = 2x2 ; y1 = 2y2  x  y2  2 Ta có : x  y  x2  y2  y2   y2   y2   x      y  x  y  25  y  12 2    Từ x2  y2    2 Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 3x + 63 = y2 (1) Lời giải: k 1 Giả sử x l| số lẻ : x = 2k + ( k thuộc N )   x  3.9k Ta có chia dư  9k chia dư  3.9k chia dư  9k + 63 chia dư ; m| y2 chia dư Suy loại Vậy x l| số chẵn Đặt x =2k v| thay v|o (1), : 32k + 63 = y2  (3k )2  63  y  63  y  (3k )2  ( y  3k )( y  3k )  y  3k   y  32  +) TH1 :   k k  y   63 3  31(loai) k  y  12  y  12  y     (t / m) +) TH2 :   k k k   y   21     y  3k   y  y    (loai ) +) TH3 :    k k  y   3  k  Vậy x =4 ; y = 12 BÀI 7: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG A Chữ số tận tích - Chữ số tận tích chữ số tận tích c{c chữ số h|ng đơn vị - Tích c{c số lẻ ln l| số lẻ - Tích số chẵn v| số TN l| số chẵn - x0.a  y - x5.a  y0 ( với a chẵn ) - x5.a  y5 ( với a lẻ ) B Chữ số tận lũy thừa n - x0  y ( c{c STN tận n}ng lên lũy thừa bậc n chữ số tận ) n n n - x1  y1; x5  y5; x6  y6(n  N ) - x2 4k  y6(k  0); x2 k 1 *  y 2; x2 4k 2  y 4; x2 k 3  y8 24 k 1 4k  y1; x3 2k  y6; x4 4k  y1; x7 4k  y6; x8 2k  y1; x9 - x3 - x4 - x7 - x8 - x9 4k 2  y3; x3 k 1  y4 k 1  y7; x27 k 1  y8; x8 k 1  y9 k 3  y9; x3 4k 2 4k 2  y9; x2  y7 k 3 k 3  y 4; x8  y3  y2 Dạng : TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Bài 1: Tìm chữ số tận c{c số sau a 2152005 có : 2005 = 4.2501 + suy tận l| b 932005 = 934.501 + = [(93)4]501 93  tận l| tận l|  tận l| c 67102 có : 102 = 4.25 +  67102 =[ (67)4]25 672  tận tận  tận  42.991  (42 )99  tan cung 199 d tan cung e 2012 2013 503  [(2012) ] 2012  tan cung tan cung 1004 20072008  (20072 )1004  ( A9)1004  .1;13582008  (13582 )1004  A4  f 3456 g 16  (22 )1728  41728  6;5235  5232.53  (522 )16 A8  B4 A8  C6 A8  9 9 h Ta có: 99 l| số lẻ nên có tận l| 67 mule  4;81975  8.81974  (82 )987  4.8  i  Bài 2: Tìm chữ số tận c{c số sau a 2002 2005  20024 k 20023  .8 t / c8 t / c6 b 431999 671001 1999 Ta có : 43  434 k 433  7;671001  674 q 671   t / c t / c1 100 c 98.98 98 98 t / c7 tc1 t / c7  98147 100  98101.17  984k 1  984k.981  .8 Bài 3: Tìm chữ số tận : 99999 a Ta có : 99999 = 2k +1 ( số lẻ )  99999 203 b 207 201202  92k 1  92k.9 có tận l| 25 202203 Ta có : 201 chia dư 201  4k   2074k 1  2074k.207  .7 199200 c 198 Ta có : 199 = 4k + ; 1992 = ( 4k+3)2 = 16k2 + 24k + = 4q +  199200  (1992 )100  (4q  1)100  4n   1984n1  1984 n.198  Bài 4: Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số tận A Lời giải: 1004 A = (172) 1004   (32 )1004  1004 (172)1004   (32 )1004    91004       91004     Cho M = 1725 + 2424 – 1321 chia hết cho 10 1725  17.1724  17.(172 )12  17  7; 244  1321  1320.13  (132 )10 13  1.13  Bài 5: Chứng tỏ rằng: a A   5(n  N , n  2); b.B  2n a A    [(2 )] 2n b B  4n 2n-2 4n  10(n  N , n  1) n2  162     5 n1 n1   (24 )4   164   .6   .0 10 Bài 6: a Cho A = 9999932015 – 6666672013 , chứng minh A chia hết cho 10 b Tìm chữ số tận của: B = 2.4.6