Chuyen de luy thua voi so mu tu nhien

Chóng ®îc ®óc rót qua kinh nghiÖm thùc tÕ gi¶ng d¹y vÒ m«n sè häc cña m×nh. 6) TÝnh chÊt chia hÕt.[r]

Một số dạng toán luỹ thừa

chơng trình toán 6

-A- đặt vấn đề:

Các toán luỹ thừa thật đa dạng, phong phú hấp dẫn Thế nh-ng khơnh-ng em làm nhữnh-ng loại tốn thờnh-ng cha phân đợc dạnh-ng nên khơng có phơng pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc có cách giải cịn phức tạp cha tối u

Để giúp em giải đợc vấn đề khó khăn đó, tơi mạnh dạn đa " Một số dạng tốn luỹ thừa chơng trình tốn 6" phơng pháp giải Chúng đợc đúc rút qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy môn số học

B- Néi dung: I- lý thuyÕt:

Dựa vào số kiến thức sau: 1) Định nghĩa l thõa

2) C¸c phÐp tÝnh vỊ l thõa

3) Chữ số tận luỹ thừa 4) Khi hai luỹ thừa ? 5) Tính chất đẳng thức, bất đẳng thức 6) Tính chất chia hết

7) TÝnh chÊt cđa nh÷ng d·y to¸n cã quy lt 8) HƯ thèng ghi sè

II- Bµi tËp:

1 ViÕt biĨu thøc díi dạng luỹ thừa:

a) Phân tích số thừa số nguyên tố.

Bài 1: ViÕt biĨu thøc sau díi d¹ng mét l thõa ( b»ng nhiỊu c¸ch nÕu

cã)

a) 410 815 b) 82 253

Bµi gi¶i:

a) 410 815 = (22)10 (23)15 = 220 245 = 265 Ta thÊy 265 = (25)13 = 3213

265 = (213)5 = 81925 Vậy ta có cách viết là:

410 815 = 265 410 815 = 3213 410 815 = 81925

b) 82 253 = (23)2 (52)3 = 26 56 = 106 Ta thÊy 106 = (102)3 = 1003

106 = (103)2 = 10002 VËy ta cã c¸ch viÕt lµ:

82 253 = 106 82 253 = 1003 82 253 = 10002

b) Nhóm thừa số cách thích hợp.

Bài 2 Viết biểu thức sau dới dạng luỹ thõa ( 2a3x2y) ( 8a2x3y4) ( 16a3x3y3)

Bài giải:

= 28 a8 x8 y8 = (2axy)8

Bµi 3: Chøng tá r»ng tổng ( hiệu) sau số ph¬ng

a) 32 + 42 b) 132 -52

c) 13 + 23 + 33 + 43

Bµi gi¶i:

a) 32 + 42 = + 16 = 25 = 52 b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122

c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + + + 4)2 = 102

2- Tìm chữ số tận luỹ thừa

* Luỹ thừa có số tận đặc biệt ( x, y, N)

XOn = YO (n N *) X1n = Y1

X5n = Y5 (n N *) X6=Y6 (n N *)

Bài 1: Tìm chữ số tận cđa c¸c l thõa sau:

a) 42k ; 42k + 1.

b) 92k ; 92k + 1 ( k N)

Bài giải:

a) Ta cã: 42k = (42)k =

( 6)k= .6 42k + 1 = (42)k = 4= 4 b) T¬ng tù ta cã: 92k = 1

92k + 1 = 9

Bµi 2: Tìm chữ số tận luỹ thừa sau

a) 22005; 32006 b) 72007 ; 82007

Bài giải:

a) Ta có: 22005 = (24)501 = 6501 2

= 32006 = (34)501 32 = 1¿501 9=

¿

b) Ta cã: 72007 = (74)501 73 = ( 1 )501.3 = 3 82007 = (84)501 83 = (

¿ ¿

501 = 2

3 TÝnh giá trị biểu thức:

a) Tính theo quy tắc thực phép tính:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau 33 - 34 + 58 50 - 512 : 252

Bài giải:

33 - 34 + 58 50 - 512 : 252 = 35 - 35 + 58- 58 =

b) Sư dơng tÝnh chÊt phÐp tÝnh.

Bµi 1: TÝnh giá trị biểu thức sau cách hợp lý A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56

B = ! - ! - ! 82

Bài giải:

A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56

= ( 25: )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6 = 56 + 36 - 26

= 15625 + 729 - 64 = 16290 B = ! -8 ! - 7! 82

c) BiÓu thøc cã tÝnh quy lt.

Bµi 1: TÝnh tỉng A = + + 22+ + 2100 B = - 32 + 33 - - 3100

Bài giải: A = + + 22 + + 100

=> 2A = + 22 + 23 + + 2101

=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100) VËy A = 2101 -

B = - 32 - 33 - - 3100

=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101

B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101

VËy B = ( 3- 3101) : 4

Bµi 2: TÝnh tæng

a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301

Bài giải:

a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 25 A = 52 + 54+ + 5202

25 A - A = 5202 - VËy A = ( 5202 -1) : 24

b) T¬ng tù B =

304

+1 73+1

Bµi 3: TÝnh A =

7 + 72 +

1

73 + + 7100 B = −4

5 + 52 -

4

53 + + 5200

Bài giải:

A = +

1 72 +

1

73 + + 7100

7A = + +

1

72 + + 799

=> 7A - A = - 7100

A = (1−

7100) : B = −4

5 + 52 -

4

53 + + 5200 5B = -4 +

5 +

53 + + 5201 B+5B = -4 +

5200 B = (−4+

5200) :

Bµi 3: TÝnh A = 25

28

Bài giải:

Bin i mu s ta cú:

2530 + 2528 + 2526 + +252 +

= (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252) = (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1) = (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252)

VËy A =

1+252 = 626

d) Sư dơng hƯ thèng ghi sỉ - c¬ sè g

Bµi 1: TÝnh

A = 107 + 5.105+ 4.103+2.10 B = 12 108 + 17.107 + 5.104 +

Bài giải:

A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10

= 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100 = 60504020

B = 12.108 + 17 107 + 5.104 + = (10+2) 108+ ( 10 +7).107+5.104 + = 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 +

= 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100 = 1370050003

4 Tìm x

a) Đa số ( số mũ) Bài1: Tìm x N biÕt

a) 4x = 2x+1 b) 16 = (x -1)4

Bài giải:

a) 4x = 2x + (22)x = x + 22x = 2x+ 2x = x +1 2x- x =

x = b) 16 = ( x -1)4 24 = (x -1)4 2= x - x = 2+1

x =

Bài 2: Tìm x N biÕt a) x10 = 1x

b) x10 = x

c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 d) x2<5

Bài giải:

a) x10 = 1x x10 = 110 x = b) x10 = x

x10 - x = x.( x9 - 1) =

Ta cã: x = x9 -1 =0 Mà x9 -1 =

x =

VËy x = hc x =1 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3

V× hai luü thõa b»ng nhau, có số nhau, số mũ khác ( 0) Suy 2x - 15 = hc 2x - 15 =

+ NÕu 2x - 15 =

x = 15 : N ( lo¹i) + NÕu 2x - 15 =

2x = 15 + x =

d) Ta cã x2 <

vµ x2 => x2  { 0; ; ; ; } Mặt khác x2 số phơng nên

x2 { ; 1; } hay x2  { 02 ; 12 ; 22 } x  { 0; ; }

Dùa vµo bµi tËp SGK líp Bài 4: Tìm x N biết

a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 b) + + + + 99 = (x -2)2

Bài giải:

a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2 ( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2

552 = ( x +1) 2 55 = x +1 x = 55- x = 54

b) + + + + 99 = ( x -2)2 (992−1+1)

2

= ( x - 2)2 502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + x = 52

( Ta cã: + + 5+ + ( 2n+1) = n2)

Bµi 5: Tìm cặp x ; y N thoả m·n

73 = x2 - y2 Ta thÊy: 73 = x2 - y2

( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2

282 - 212 = x2 - y2 Vậy cặp x; y thoả mÃn là:

x = 28; y = 21

b) Sö dơng ch÷ sè tËn cïng cđa mét l thõa.

Bài 1: Tìm x ; y N* biết x2 = ! + ! + ! + + y!

Bài giải:

Ta thấy x2 số phơng

Có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Mµ:

+ NÕu y =

Ta cã x = ! = 12 ( TM) + NÕu y =

Ta cã: x2 = ! + ! + ! = = 32 ( TM) x =

+ NÕu y =

Ta cã: x2 = ! + ! + ! + ! = 33 ( lo¹i ) + NÕu y 

Ta cã:

x2 = ( ! + ! + ! + ! ) + ( 5! + 6! + y! ) = + = .3 ( lo¹i) VËy x = vµ y =

x = vµ y =

Bµi 2: T×m x  N* biÕt

A = 111 - 777 lµ sè chÝnh phơng x chữ số x chữ số

Bài giải:

+ Nếu x =

Ta cã: A = 11 - = = 22 (TM) + NÕu x >

Ta cã A = 111 - 777 = 34  2x ch÷ sè x chữ số mà 34 Suy A số phơng ( lo¹i)

VËy x =

c) Dïng tÝnh chất chia hết

Bài 1: Tìm x; y N biÕt: 35x + = 5y *)NÕu x = ta cã: 350 + = 2.5y 10 = 2.5y 5y =

y =1

*) NÕu x >0

+ NÕu y = ta cã: 35x + = 2.50 35x + = ( v« lý) + NÕu y > ta thÊy:

35x +  v× ( 35x ;  )

Mà 5y ( vô lý v× 35x + = 2.5y) VËy x = y =

Bài 2: Tìm a; b  Z biÕt

( 2a + 5b + ) (2a + a2 + a + b ) = 105

Bài giải:

*) Nếu a = ta cã:

( 2.0 + 5b + 1) (2101 + 02 + + b) = 105 (5b + 1) ( b + 1) = 105

Suy 5b + ; b +  Ư (105) mà ( 5b + 1) d Ta đợc 5b + = 21

b = ( TM) * NÕu a 

Ta thÊy ( 2a + 5b + 1) ( 2a + a2 + a + b) = 105 Là lẻ

Suy 2a + 5b + 2a + a2 + a + b lẽ (*) + Nếu a chẵn ( a 0 ) 2a + a2 +a + b lẻ

Suy b lỴ.Ta cã: 2a + 5b + chẵn ( vô lý) + Nếu a lỴ

VËy a = b =

5 So sánh số.

1) Tính:

Bài 1: So sánh luỹ thừa sau: 27 72

Bài giải:

Ta cã: 27 = 128 72 = 49 Vì 128 > 49

nên 27 > 72

2) Đa số ( số mũ)

Bài 1: So sánh luỹ thừa sau a) 95 vµ 273

b) 3200 vµ 2300

Bài giải:

a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 273 = (33 )3 = 39 Vì 310 > 39 nên 95 > 273 b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100

2300 = (23) 100 = 8100 Vì 9100 > 8100

nên 3200 > 2300 3) Dïng sè trung gian

Bµi 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714

Bài giải:

Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Tõ (1) vµ (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nªn 3111 < 1714

Bài 2: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân

Bài giải:

Muốn biết 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 1031

* So s¸nh 2100 víi 1030

Ta cã: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So s¸nh 2100 víi 1031

Ta cã: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 .5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53

= 231 6257 53 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:

231 5127 43 < 231 5127 53 Hay 2100 < 1031 ( **)

Tõ (*),( **) ta cã:

1031 < 2100 < 1031

Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt Sè cã 32 chữ số nhỏ

Nên 2100 có 31 chữ số cách viết hệ thập phân

Bài 3: So sánh A B biết a) A = 19

30

+5

1931+5 ; B = 1931

b)

18 −3

220−3 ; B =

220−3 222−3 c) A = 1+5+5

2

+ .+59

1+5+52+ .+58 ; B =

1+3+32+ +39 1+3+32+ +38

Bài giải:

A = 19

30

+5 1931

+5 Nªn 19A = 19 (19

30

+5) 1931+5 =

1931+95 1931

+5 = + 90 1931+5 B = 19

31

+5 1932+5

nªn 19B = 19 (19

31

+5)

1932

+5 =

1932+95

1932+5 = + 90 1932+5 V× 90

1931+5 > 90 1932+5 Suy + 90

1931+5 > + 90 1932+5 Hay 19A > 19B

Nªn A > B b) A =

18−3 220−3 nªn 22 A =

2

.(218−3) 222−3 =

220−12

220−3 = - 220−3

B =

20 −3 222−3 nªn 22.B =

2.

(220−3)

222−3 =

222−12

222−3 = 1- 222−3 V×

220−3 > 222−3 Suy -

220−3 < 1- 222−3 Hay 22 A < 22 B

Nªn A < B c) Ta cã: A = 1+5+5

2

+ .+59 1+5+52+ .+58 = 1+(5+52+ +59)

1+5+52+ +58 =

1+5(1+5+52+ +58) 1+5+52+ +58 =

1

1+5+52+ .+58+5>5(1) T¬ng tù B =

1+3+32+ +38+3<4(2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã

A =

1+5+52+ .+58 + > > >

1

1+3+32+ +38 + =B nªn A > B

6 Chøng minh:

Bµi 1: Cho A = + +32 + +311 Chøng minh:

a) A 13 b) A 40

Bài giải:

a) A = + + 32 + 33 + + 311

= 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + + (39+ 310+ 311) = ( 1+ +32) + 33 (1 +3 + 32) + +39 (1 + + 32) = 13 + 33 13 + + 39 13

= 13 ( 1+ 33 + + 39 ) ∶ 13 Hay A ∶ 13

b) A = + + 32 + 33 + + 311

= ( + + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) = ( + + 32+ 33) + 34 (1 + + 32+ 33) + 38(1 + + 32+ 33) = 40 + 34 40 + 38 40

= 40 ( + 34 + 38) ∶ 40 Hay A ∶ 40

2) Thêm bớt lợng thích hợp

Bài 1: Cho 10k - ∶ 19 ( k  N) Chøng minh:

a) 102k - ∶ 19 b) 103k - 19

Bài giải:

a) Ta cã:

102k - = ( 102k - 10k) + (10k - 1) = 10k ( 10k - 1) + ( 10k - 1)

= (10k - 1) ( 10k + 1) ∶ 19 v× 10k -1 ∶ 19 b) 103k - = (103k - 102k ) + (102k - 1) V× 10k - ∶ 19

102k - ∶ 19 ( theo c©u a )

3) Dùng chữ số tận luỹ thừa đặc biệt:

Bµi 1: Cho n N ; n > Chøng minh: 22n

+ cã tËn

Bài giải:

Vì n > nªn 2n ∶

Suy 2n = 4k ( k N *) Ta cã: 22n

+ = 24k + = (24)k + = 16 k + = 6 + = 7

C KÕt luËn

Bài viết đợc rút trình giảng dạy nghiên cứu toán Với cách phân dạng để giúp học sinh tiếp cận hình thành kỹ giải cách dễ hiểu, phù hợp với nội dung chơng trình Qua dạng rèn luyện cho học sinh khả t duy, sáng tạo, khái quát hoá, tơng tự hoá biết chuyển dạng khác v dng ó c hc

Sau điểm khảo sát chất lợng học sinh lớp năm học 2006-2007 Khảo sát chất lợng 45 em

Điểm dới §iĨm → §iĨm → 10

Đợt 11 26

Đợt 2 15 28

Mặc dầu giành nhiều thời gian để nghiên cứu đề tài mình, nhng chắn khơng tránh khỏi số chỗ cịn khiếm khuyết Rất mong góp ý bậc thầy giáo đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện