Thông tin tài liệu
1 CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biểu thức thuộc khoảng xác định nói Xét biểu thức A( x) +) Ta nói A( x) có giá trị lớn M, A( x) ≤ M ∀x có giá trị x0 cho A( x0 ) = M (Chỉ giá trị được) +) Ta nói A( x) có giá trị nhỏ m, A( x) ≥ m∀x có giá trị x0 cho A( x0 ) = m (Chỉ giá trị được) Như : a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần : - Chứng minh A ≥ k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần : - Chứng minh A ≤ k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến Ký hiệu: Min A giá trị nhỏ A Max A giá trị lớn A Ví dụ: Sai lầm A( x) = x − x + = x + ( x − 1) + ≥ ⇒ GTNN = ( Không dấu = ) 1 5 Đáp án : A( x) = x − + ≥ ⇒ GTNN = ⇔ x = 2 2 2 B Các dạng tốn Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai ax + bx + c Phương pháp: Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x) = x − x + 24 b B( x) = x − x + c C ( x)= x + x − Lời giải a A( x) = x − x + 24 = ( x − 2) + 20 ≥ 20∀x ⇒ A( x) = 20 ⇔ x = Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC b B( x) = x − x + = 2( x − x + 4) − = 2( x − 2) − ≥ −7 ⇒ minB = −7 ⇔ x = 13 −13 −1 c C ( x)= x + x − 1= x + − ≥ ⇔ x= 12 12 2 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a A( x) = −5 x − x + b B( x) =−3 x + x + Lời giải 1 2 9 −2 a A( x) =−5 x − x + =−5 x + x − =−5 x + + ≤ ⇔ x = 5 5 5 2 13 13 b B( x) =−3 x + x + =−3 x − + ≤ ⇔ x = 12 12 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN đa thức có bậc cao Phương pháp: Ta đưa dạng tổng bình phương Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x) = x − x3 + 10 x − x + b B( x) =x − 10 x + 26 x − 10 x + 30 c C ( x) = x − x3 + x − x + 2017 d D( x) = x − x + x + e E ( x) =x − x + x − 20 x + 22 f F ( x) = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) g G ( x) = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) − 2006 Lời giải a A( x) = x − x3 + 10 x − x + = ( x − x + x ) + ( x − x + 9) = ( x − x) + ( x − 3) ≥ 0∀x x − 3x = ⇒ A( x) = ⇔ ⇔ x =3 x − = x2 − 5x = b B( x) = x − 10 x3 + 26 x − 10 x + 30 = ( x − x) + ( x − 5) + ≥ ⇔ ⇔x= x − = c C ( x) = x ( x + 2) − x( x + 2) + ( x + 2) + 2015 = ( x + 2)( x − 1) + 2015 ≥ 2015 ⇔ x = d D( x) =x − x + + x + x + + =( x − 1) + ( x + 1) + ≥ ⇔ x =−1 e Ta có : E ( x) = x − x3 + x − 20 x + 22 = ( x − x3 + x ) + 5( x − x + 4) + = ( x − x) + 5( x − 2) + ≥ ⇔ x = x = f F ( x) = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) = ( x − x)( x − x + 12) = y − 36 ≥ −36 ⇔ y = ↔ x = x = g G ( x) = ( x + x − 6)( x + x + 6) − 2006 = ( x + x) − 2042 ≥ −2042 ⇔ x = −5 Dạng : Đa thức có từ biến trở lên Phương pháp: Đa số biểu thức có dạng F ( x; y ) = ax + by + cxy + dx + ey + h ( a.b.c ≠ )(1) Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC - Ta đưa dần biến vào đẳng thức ( a ± 2ab + b ) =( a ± b ) sau F ( x; y = ) mK [ x; y ] + nG [ y ] + r ( ) F ( x; y =) mK [ x; y ] + nH [ x ] + r ( 3) 2 2 Trong G [ y ] , H [ x ] biểu thức bậc biến, K [ x; y ] = px + qy + k biểu thức bậc hai biến x y Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển dạng (2) sau với a ≠ 0; 4ac − b ≠ Ta có 4a.F ( x; y ) = 4a x + 4abxy + 4acy + 4adx + 4aey + 4ah = 4a x + b y + d + 4abxy + 4adx + 2bdy ( 4ac − b ) y = + y ( 2ae − bd ) + 4ah − d ( 2ax + by + d ) 2ae − bd 2ae − bd + ( 4ac − b ) y + + 4ah − d − 4ac − b 4ac − b Vậy có (2) với b − 4ac 2ae − bd d ( 2ae − bd ) m = F ( x; y ) = 2ax + by + d ; n = − ; G ( y ) =+ y ; r = h − − 4a 4a 4ac − b 4a 4a ( 4ac − b ) +) Nếu a > 0; 4ac − b > ⇒ m > 0, n > ⇒ ( ) : F ( x; y ) ≥ r (*) +) Nếu a < 0; 4ac − b > ⇒ m < 0, n < ⇒ ( ) : F ( x; y ) ≤ r (**) +) Nếu m > 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n F ( x; y ) ≤ r < khơng có ( x; y ) thảo mãn F(x; y) = +) Nếu a > 0; 4ac − b < 0; r =0 ⇒ ( ) : F ( x; y ) phân tích tích hai nhân tử, giúp ta giải tốn khác Bài 1: Tìm giá trị nhỏ a A = x + y − xy − y + b B = x − y + y + Lời giải a) Ta có A( x) = x + y − xy − y + = ( x − xy + y ) + ( y − y + ) + = ( x − y ) + ( y − ) + 2 x − y = ⇒ A ≥ ∀x, y ∈ R ⇒ " = " ⇔ ⇔ x= y=2 y − = Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Vậy A =1 ⇔ x = y =2 b) B = x − y + y + = (x − xy + y ) + ( x + xy + y ) + y + = ( x − 2y) + ( x + y) 2 +5≥ x − y = ⇒x= y=0 x + y = Bài 2: Tìm giá trị nhỏ a A( x) = x + y − xy − x + b B( x) = x + xy + y − x − y c C ( x) = x + y + xy − x − y + 18 d D( x)= x + y + z − 2( x + y + z ) + e E ( x) = x + xy + 11 y − x − y + f F ( x) = x + y + z − xy + yz − xz + y + z + g G ( x) = x + y + z + xy − xz − yz − x − y h H ( x) = x + y − xy − x + y + Lời giải a Ta có : A( x) =2 x + y − xy − x + =( x − xy + y ) + ( x − x + 1) + =( x − y ) + ( x − 1) + ≥ ⇔ x =y =1 b B( x) = ( x − x + 1) + ( y − y + 1) + x( y − 1) − ( y − 1) − = ( x − 1) + ( y − 1) + ( x − 1)( y − 1) − y − 1 y − y + y −1 y −1 = ( x − 1) + 2( x − 1) .( y − 1) + − + ( y − 1) − = x − + − + y − y +1− 2 y −1 =0 x = y − 3( y − 1) x −1+ = x −1+ + − ≥ − ⇔ ⇔ 3 y =1 y − =0 2 2 c C ( x) = x + xy + y + y − x − y + 18 = ( x + y ) − 2( x + y )2 + + ( y + y + 9) + =2( x + y − 2) + ( y + 3) + ≥ ⇒ A =1 ⇔ y =−3; x =5 d D( x)= x + y + z − 2( x + y + z ) + 2= 2( x − x) + (3 y − y ) + (4 z − z ) + 1 1 1 1 = x − x + + y − y + + (2 z ) − z + + − − − 4 9 4 2 1 1 11 11 = x − + y − + z − + ≥ ⇒ ( x, y , z ) = 2 3 2 2 1 1 ; ; 2 4 e E ( x)= 2( x + xy + y ) + y − x − y + 6= 2( x + y ) − 4( x + y ) + + y + y + y −1 = x + 2= x = 2( x + y − 1) + 3( y + 1) + ≥ ⇔ ⇔ y + =0 y =−1 f F ( x) = x + y + z − xy + yz − xz + y + z + 2(kho) 3y + z 3y + z 2 F ( x) = x − x(3 y + z ) + + y + z + yz − + y + 4z + 2 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC y + z 10 25 = 2 x − + y + yz + z + z + y + z + 2 2 2 3y + z 2 2 1 = 2 x − + + + + y z y z + + z + z + +1 3 3 3y + z x − = x = 2 3y + z =2 x − + y + z + + ( x + 1) + ≥ ⇔ y + z + =0 ⇔ y =1 ⇒ A =1 2 3 3 z = −1 z + =0 g Ta có : G ( x)= x + y + z + xy − xz − yz − x − y= ( x − 1) + ( y − 2) + ( x + y − z ) − ≥ −5 ⇔ x= 1; y= 2; z= h.Ta có : H ( x) = x + y − xy − x + y + ⇒ H ( x) = (2 x) − 2.2 x y + y + y − x + y + = (2 x − y ) − 2(2 x − y ) + y + y + + 1= (2 x − y − 1) + 3( y + ⇒ A = −1 ⇔ x= ;y= ⇒ A = 3 3 8 y + 1)= (2 x − y − 1) + 3( y + ) + ≥ 3 Bài 3: Tìm GTLN biểu thức sau a A = −4 x − y +8 xy + 10 y + 12 b − x − y + xy + x + y Lời giải a Ta có: A= −4 x − y +8 xy + 10 y + 12 = −4 x + xy − y − y + 10 y − 25 + 37 = −4( x − y ) − ( y − 5) + 37 ≤ 37 x = ⇔ y = b A = − x − y + xy + x + y ⇒ A = −4 x − y + xy + x + y A= −4 x + x( y + 2) − ( y + 2) + ( y + 2) − y + y −2 = 2 x − y= x =−(2 x − y − 2) − 3( y − y ) + =−(2 x − y − 2) − 3( y − 2) + 16 ≤ 16 ⇒ A ≤ ⇔ ⇔ = y − = y Bài 4: Tìm GTNN biểu thức sau a A = x + y −12 xy + 24 x − 48 y + 82 b B = x + y + z + xy − yz − xz − x − y + Lời giải a A = x + y −12 xy + 24 x − 48 y + 82 = y − 12 y ( x + 4) + 4( x + 4) − 4( x + 4) + x + 24 x + 82 = [3 y − 2( x + 4)] Sưu tầm tổng hợp + ( x − 4) + ≥ 2∀x, y ∈ R ⇔ x= 4; y= 16 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 y 4 3 b B = z − ( x + y ) + x + − + ( y − 2) + ≥ 3 4 Bài 5: Tìm GTLN A = x + y + z − ( x + y + z ) Lời giải 1 1 −7 −7 1 − A = x − + y − + z − − ≥ ⇒ A≤ ⇔ x = ;y = ;z = 2 4 16 16 16 2 Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] Tìm GTNN A = x +2 y + xy + x − y + 2013 Lời giải −4; y = A= x +2 y + xy + x − y + 2013 = x + x( y + 1) + ( y + 1) + ( y − 3) + 2003 ≥ 2003 ⇔ x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm GTNN của: A =x − xy + y + x − 10 y + 17 Hướng dẫn 2 A = x − x ( y − 1) + y − 10 y + 17 = x − x ( y − 1) + ( y − 1) + y − 10 y + 17 − ( y − 1) = ( x − y + 1) + ( y 2 − y + 16 ) Bài 2: Tìm của: B = x − xy + y − x − y Hướng dẫn y + y2 + y + y2 B = x − x ( y + ) + y − y = x − 2.x + + y − y − − y −1 4 4B = ( x − y − 2) + y2 − 8y − y2 − y − Bài 3: Tìm của: C = x + xy + y − x − y Hướng dẫn y − y2 − y + y2 − y + C = x + x ( y − 3) + y − 3y = x + 2.x + + y − 3y − 4 4C = ( x + y − 3) + y − 12 y − y + y − 9 Bài 4: Tìm của: D = x − xy + y − 12 x + y + 45 Hướng dẫn ( D = x − x ( y + ) + y + y + 45 = x − x ( y + ) + ( y + ) + y + y + 45 − y + 12 y + 36 = ( x − y − 6) ) + 5y − 10 y + Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Bài 5: Tìm của: E = x − xy + y − x − 10 y + 20 Hướng dẫn y − y2 − y + y2 − y + E =x − x ( y − ) + 3y − 10 y + 20 =x − x + + 3y − 10 y + 20 − 4 4E = ( x − y + ) + (12 y 2 ) ( ) ( x − y + 2) + (11y − 40 y + 80 − y − y + = − 36 y + 76 ) − x + xy − y + x + 10 y − Bài 6: Tìm max của: F = Hướng dẫn − F =x − xy + y − x − 10 y + =x − x ( y + 1) + y − 10 y + − F = x − x ( y + 1) + ( y + 1) + y − 10 y + − ( y + 1) 2 Bài 7: Tìm của: G = ( x − ay ) + ( x − ay ) + x + 16 y − 8ay + x − y + 10 Hướng dẫn ( ) G = ( x − ay ) + ( x − ay ) + 9 + x + x + + 16 y − 8ay − y G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + 16 y − y ( a + 1) + ( a + 1) − ( a + 1) 2 ( x − ay + 3) + ( x + 1) + ( y − a − 1) − ( a + 1) G= 2 ≥ − ( a + 1) 2 − x + xy − y − x + y + 11 Bài 8: Tìm max của: H = Hướng dẫn − H = x − xy + y + x − y − 11 = x − x ( y − ) + y − y − 11 ( y − 2) y − y2 − y + − H = x − x + + y − y − 11 − 4 2 ( ⇒ −4 H =( x − y + ) + y − 16 y − 44 − y − y + ) Bài 9: Tìm của: I = x + xy + y − y + 11 Hướng dẫn I= (x ) + xy + y + y − y + 11 Bài 10: Tìm của: K = x + y − xy + x + y + 20 Hướng dẫn 2 K = x + y − xy + 12 x + 12 y + 80 = x − x ( y − 3) + ( y − 3) + y + 12 y + 80 − ( y − 3) K= ( x − y + 3) + 3y + 18 y + 71 Bài 11: Tìm của: M = x − xy + y − y + Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Hướng dẫn M= (x ) ) ( − xy + y + y − y + Bài 12: Tìm của: N =x − xy + y − x Hướng dẫn ( y + 1) y + ( y + 1) N = x − x ( y + 1) + y = x − x + + y2 − 4 2 2 ( ) N = ( x − y − 1) + y − y + y + Bài 13: Tìm của: A = x − xy + y − x + 1997 Hướng dẫn ( ) A =x − x ( y + 1) + 3y + 1997 =x − x ( y − 1) + ( y − 1) + 3y + 1997 − y + y + Bài 14: Tìm của: Q = x + y − xy + x − 10 y Hướng dẫn ( ) Q = x − x ( y − 1) + y − 10 y = x − x ( y − 1) + ( y − 1) + y − 10 y − y − y + Bài 15: Tìm của: R =x + y + xy − y Hướng dẫn R = x + y + xy − y = x + xy + y + y − y + − 1= ( x + y ) + ( y − 1) 2 − ≥ −1 Bài 16: Tìm của: A = x + y − xy − 16 y + 32 Hướng dẫn ) ( ( A = x + 5y − xy − 16 y + 32 = x − xy + y + y − 16 y + 32 ) Bài 17: Tìm của: B =x + y + z − xy − yz − z + 12 Hướng dẫn B= = (x ) ( ) ( ) − xy + y + y − yz + z + z − z + + ( x − y ) + ( y − 2z ) + ( z − 2) 2 +8≥8 Bài 18: Tìm của: C = x − 12 xy + y − x + Hướng dẫn ( ) ( ) C = x − 2.2 x.3y + y + x − x + = ( x − 3y ) + ( x − ) ≥ 2 − x − y + xy + x + y Bài 19: Tìm max của: D = Hướng dẫn Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC − D = x + y − xy − x − y = x − x ( y + ) + y − y y + ( y + 2) y2 + y + − D = x − x + + y2 − y − 4 2 Bài 20: Tìm của: E = x + y − xy + y − Hướng dẫn E= x − xy + y + y + y + − 4= ( x − y ) + ( y + 1) 2 − ≥ −4 Bài 21: Tìm GTNN A = a2 + ab + b − 3a − 3b + Hướng dẫn ( ) Ta có: P = a2 − 2ab + b + a2 + b + + 2ab − 4a − 4b = ( a − b) + 3( a + b − 2) ≥ Bài 22: Tìm của: G = x + xy + y − ( x + y ) + Hướng dẫn 4G = x + xy + y − 12 x − 12 y + 12 ( ) ( 4G = x + x ( y − 3) + ( y − 3) + y − 12 y + 12 − y − y + 4G= ( x + y − 3) ( x + y − 3) + 3y − y + 3= ) + ( y − 1) ≥ Bài 23: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x + y + z − x + y − z + 15 = Hướng dẫn (x ) ( ) ( ) − x + + y2 + 8y + + z − 6z + + ≥ Bài 24: Tìm của: A = x + y − xy − x + Hướng dẫn A = x − xy + y + x − x + + = ( x − y ) + ( x − 1) 2 +2≥2 Bài 25: Tìm của: B =x − xy + y + x − 10 y + 17 Hướng dẫn ( ) ( x − y + 1) + ( y B = x − x ( y − 1) + ( y − 1) + y − 10 y + 17 − y − y + = 2 − y + 16 ) Bài 26: Tìm của: D = x + xy + y − x − 22 y Hướng dẫn D =4 x + xy + 10 y − 16 x − 44 y =4 x + x ( y − ) + 10 y − 44 y D = x + 2.2 x ( y − ) + ( y − ) + 10 y − 44 y − y + y − 16 Bài 27: Tìm của: E = x + y − xy − x − 12 y + 2004 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Hướng dẫn E = x + 18 y − 12 xy − 12 x − 24 y + 4008 ( ) E = x − 12 x ( y + 1) + ( y + 1) + 18 y − 24 y + 4008 − y + y + 2 E= ( x − y − 1) + y − 42 y + 3999 Bài 28: Tìm của: F =x − xy + y − 12 x + 12 y + 45 Hướng dẫn ( ) ( x − y − 6) F =x − x ( y + ) + ( y + ) + y + 12 y + 45 − y + 12 y + 36 = 2 + 5y + ≥ Bài 29: Tìm GTNN biểu thức : a + ab + b − 3a − 3b + Hướng dẫn P= a + ab + b − 3a − 3b + = > 4P = ( a − b) + 3( a + b − 2) ≥ 2 Bài 30: Tìm của: A =x + y + 14 z − yz + zx − xy Hướng dẫn A =x − x ( y + 3z ) + y − 14 z ( ⇒ A = x − x ( y + 3z ) + ( y + 3z ) + y − 14 z2 − y + 12 yz + z2 ) ⇒ A = ( x − y − 3z ) + y − 12 yz − 23z2 Bài 31: Tìm của: B = x + y + z − xy + xz − x − y − z + 2000 Hướng dẫn B = x − x ( y − z + 1) + y + 3z − y − 8z + 2000 ( = x − x ( y − z + 1) + ( y − z + 1) + y + 3z − y − z + 2000 − y + z + − yz − z + y = ( x − y + z − 1) + ( y = ( x − y + z − 1) = ( x − y + z − 1) + ( y − z − ) + ( z 2 2 + z − y + yz + 1999 ) ) ( ) + y − y ( z + ) + ( z + ) + z − z + z + + 1999 2 − z + 1995 ) Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức có quan hệ ràng buộc biến Phương pháp : - Dồn biến từ điều kiền thay vào biểu thức - Biến đổi biểu thức thành thành phần có chứa điều kiện để thay - Sử dụng thêm số bất đẳng thức phụ : + a + b ≥ ab ( Dấu = a = b, với a, b không âm) Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 41 Tìm GTNN biểu thức sau D = 2010 x + 2680 ( x ∈ R) x2 + Lời giải 2010 x + 2680 335(6 x + 8) 335( x + x + − x − 1) 335( x + 3) ∈ = = = − 335 ≥ −335 ⇔ x = −3 x R ( ) x2 + x2 + x2 + x2 + x + 15 x + 16 Bài 5: Tìm GTNN = biểu thức sau A x ∈ R+ ) ( 3x D= Lời giải x + 15 x + 16 Ta có: A = ( x ∈ R+ ) = 3x ( x − 4) 3x + 23 23 23 ≥ ⇒ minA = ⇔ x= 3 xy + y ( y − x ) + Bài 6: Tìm GTLN biểu thức sau A = x2 y + y + x2 + ( x, y ∈ R ) Lời giải Ta có: A xy + y ( y − x ) + = ( x, y ∈ R ) x2 y + y + x2 + y4 +1 ( y + 1)( x + ) Vì y + ≠ ∀x nên chia tử mẫu cho y + ta được: A = Vì x ≥ ∀x ⇒ x + ≥ x +2 1 ≤ ⇔ x= 0; y ∈ R x +2 ∀x ⇒ A= Bài 7: Tìm GTLN biểu thức sau A = x2 x4 + x2 + Lời giải +) Xét x =0 ⇒ A =0 giá trị khơng phải giá trị lớn A với x ≠ ⇒ A > +) Xét x ≠ đặt P = ⇒ Amax ⇔ Pmin A x4 + x2 + 1 Ta có P = =x + + 1; x + ≥ ( Cosi ) ⇒ P ≥ + =3 ⇒ Pmin =3 ⇔ x =±1 x x x Bài 8: Tìm max của: M = 27 − 12 x x2 + Lời giải 27 − 12 x Nháp : a = = > a.x + 9a = 27 − 12 x = > a.x + 12 x + 9a − 27 = x +9 a = Có ∆ ' =36 − a ( 9a − 27) =0 = > a = −1 − ( x − 3) 27 − 12 x −4 x − 12 x − = −= 4 + = + +4≤4 Khi ta có : M x2 + x2 + x +9 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 42 27 − 12 x x − 12 x + 36 + 1= − = −1 Mặt khác= : M x2 + x +9 Bài 9: Tìm max của: P = ( x − 6) x2 + − ≥ −1 8x + 4x2 + Lời giải 8x + Nháp : a = 8x + = = > 4a.x + a = > a.x − x + a − = 4x + > a =4; a =−1 Có ∆ ' =16 − 4a ( a − 3) = − ( x − 1) 8x + −16 x + x − = − 4= = + +4≤4 Khi : P +4 4x2 + 4x2 + 4x + ( x + 1) 8x + x + 8x + = += 1 − = −1 − ≥ −1 Mặt khác : P 2 4x + 4x2 + 4x + Bài 10: Tìm max của: D = 2x +1 x2 + Lời giải −1 2x + Nháp : a = > a =1; a = = > a.x − x + 2a − = , có ∆ ' =1 − a ( 2a − 1) =0 = x +2 − ( x − 1) 2x + −x2 + 2x − − 1= + = +1 +1 ≤ Khi đó= : D x +2 x2 + x +1 x + 1 x + x + −1 + = − − ≥ Mặt khác = : D 2 2 x +2 2 2 x +2 ( Bài 11: Tìm max của: E = ) 2x +1 x2 Lời giải E= a >E= a2 + 2a + , Đặt == x x x Bài 12: Tìm max của: F = 2x −1 x2 + Lời giải 2x − Nháp : a = = > a.x − x + 2a + = , có ∆ ' = − a ( 2a + 1) = − 2a2 − a = > a = ; a = −1 x +2 x − 1 − x + x − − ( x − 2) 1 − = + = + + ≤ Khi đó= : F 2 2 x +2 2 x +2 x +2 2 2 ( Sưu tầm tổng hợp ) ( ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43 2x − x2 + 2x + + 1= − = −1 Mặt khác= : F x2 + x +2 ( x + 1) x2 + − ≥ −1 6x − x2 + Bài 13: Tìm max của: G = Lời giải 6x − Nháp : a = = > a.x − x + a + = , có : x +1 ∆ ' =9 − a ( a + 8) =− a2 − 8a + =0 => a =1; a =−9 − ( x − 3) 6x − − x2 + 6x − − 1= = + +1 ≤ Khi đó= :G +1 x2 + x2 + x +1 6x − 9x + 6x + + 9= − = −9 Mặt khác= :G x2 + x +1 ( 3x + 1) x2 + − ≥ −9 x + 27 Bài 14: Tìm max của: A = x − 3x3 + x − x + Lời giải Hạ phép chia ta : A = x + 3x + x + 512 Bài 15: Tìm max của: B = x +8 Lời giải ( ) Hạ phép chia ta : B = x − x + 64 = x − + 48 ≥ 48 x + 16 x3 + 56 x + 80 x + 356 x2 + x + Bài 16: Tìm max của: G = Lời giải ( ) Hạ phép chia ta được: G= x + x + + 256 256 , Đặt x + x + == t >G= 4t + t x + 2x + Sau sử dụng co si Bài 17: Tìm max của: I = −8 3x + Lời giải 8 Ta có : 3x + ≥ = > ≤ = 3x + 2 Bài 18: Tìm max của: B = 2x +1 x2 + Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 44 2x + −1 Nháp : a = = > a.x − x + 2a − = , có ∆ ' =1 − a ( 2a − 1) =0 = > a =1; a = x +2 ( x − 1) ≤ 2x + −x2 + 2x − B = − + = + = − Khi ; x2 + x2 + x +2 x + 1 x + x + ( x + 2) −1 + = − = − − ≥ Mặt khác= : B 2 2 x +2 2 x +2 2 2 x +2 ( Bài 19: Tìm max của: G = ) ( ( ) ) x2 y + x2 x2 − y + 2x4 + x4 y + y + Lời giải = Ta có : G x2y + x4 − x2y + x4 + = = x + x y2 + y2 + 2 x + + y2 x + y2 + ( Bài 20: Tìm max của: H = ) ( ) x4 + (x ) +1 Lời giải Đặt x + == t > x =− t 1= > x4 = t − 2t + , H = Đặt t − 2t + + 2 =1 − + 2 t t t a= 2a2 − 2a + = >H= t x − 16 x + 71 Bài 21: Tìm max của: I = x − x + 22 Lời giải Hạ phép chia ta : I= + 27 , mà x − x + 22 = x − x + 22 Bài 22: Tìm max của: P = ( x − 4) +6≥6 x2 x4 + Lời giải t Nháp : Đặt x == t > a =2 = > at − t + a == >a= ± t +1 ( ) x +1 x2 x4 + 2x2 + 1 −1 + = − = − − ≥ Khi = : P , Không xảy dấu 4 2 2 x + 2 x x + + ( ) ( ( ( ) ) ) 2 x2 −x4 + 2x2 − 1 − x − 1 − = + = + + ≤ Mặt khác = : P 4 2 x +1 2 x +1 x +1 ( Sưu tầm tổng hợp ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 45 Bài 23: Tìm max của: G = x4 + (x ) +1 Lời giải Đặt x + == t > x =− t 1= > x4 = t − 2t + Khi : G = 2 t − 2t + =1 − + , đặt = >G= a= 2a2 − 2a + t t t t Bài 24: Tìm P = ( x + 1) x2 + Lời giải 4x + > a =2; a =−1 Nháp : a =2 , có ∆ ' =4 − a ( 2a − ) =0 = = > a.x − x + 2a − = x +2 −2 ( x − 1) 4x + −2 x + x − − 2= + = + +2≤2 Khi đó= : P x2 + x2 + x +2 4x + x2 + 4x + = += 1 − − ≥ −1 Mặt khác : P x2 + x +2 x2 + Bài 25: Tìm max của: K = x +x+2 Lời giải Ta có : K = − x x +x+2 2 1± 2 −x Nháp : a =2 = > a.x + a.x + x + a = , có : ∆ =( a + 1) − 4a.2a =0 => a = x +x+2 Bài 26: Tìm max của: M = 4x +1 x2 + Lời giải 4x + Nháp : a = > a =−1; a = = > a.x − x + 3a − = , có ∆ ' =4 − a ( 3a − 1) =0 = x +3 Bài 27: Tìm max của: P = 12 x + 13 x2 + 2x + Lời giải 12 x + 13 Nháp : a =2 = > a.x + 2a.x + 3a − 12 x − 13 = , x + 2x + Có ∆ ' =( a − ) − a ( 3a − 13) =0 = > a =−4; a = x2 Bài 28: Tìm GTLN biểu thức: , GTLN đạt giá trị x x + x2 + Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 46 Lời giải 1 x2 = x2 + + ≥ Ta có : P( x) = = x x + x + P( x) = Bài 29: Tìm GTNN biểu thức: M x2 + x + x2 + 2x + ( x ≠ −1) Lời giải x + x + − ( x + 1) + 1 = 1− + Ta có : M = x + 2x +1 x + ( x + 1)2 1 3 Đặt = t , ta có: M = t − t + = t − + ≥ x +1 2 4 Bài 30: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = ( x + 1) x + x2 + x + Lời giải Ta có: B = ( x + 1) ( x + 1) = = x + x + x + x ( x + 1) + x + ( ( x + 1) = 2 x + ( x + 1) x + ) Do x + > = > B =2 ≤ , Dấu x=0 x +1 Bậc tử bậc mẫu Bài 1: Tìm GTN N biểu thức sau a A = c C = x2 − x + ( x ≠ 0) x2 x2 − x + ( x ≠ 1) ( x − 1) b B = x2 + 2x + x2 + d D = x − x + 2016 x2 Lời giải a A = 3( x − x + 3) ( x − 3) 2 2 x2 − x + ( 0) x ≠ = = + ≥ ⇔ x = ⇒ Amin = ⇔ x = 2 3x 3x 3 x x2 − x + x − x + x + x + x − x + ( x + 1) 3 b B = ( 1) x ≠ = = + = + ≥ ⇔x= −1 ( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4( x − 1) 4 2( x + x + 3) x + x + ( x + 2) x2 + c C = = + = + ≥ ⇔x= −2 2 2 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) d D = x − x + 2016 2016 x − x.2016 + 2016 ( x − 2016) 2015 2015 = = + ≥ = ⇔ x 2016 x2 2016 x x2 2016 2016 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a A = x + x + 19 3x + x + Sưu tầm tổng hợp b B = x2 + 2x + x2 + TÀI LIỆU TOÁN HỌC 47 Lời giải a A= x + x + 19 2(3 x + x + 7) + 5 = = 2+ 2 3x + x + 3x + x + 3x + x + 83 83 −1 60 −1 M = 3x + x + = x + + ≥ ⇔ x = ⇒ Amax = M ⇒ Amax = + =2 ⇔ x = 83 12 12 83 12 x + x + x − x + x + 2( x + 2) − − x + x + ( x − 1) = = = − ≤ ⇔ x =1 x2 + x2 + x2 + x2 + b B = Bài 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau a A = 3x + x + x2 + b B = x2 − x − x2 + x + Lời giải x + x + 2( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) a A = = + =2 + ≥ ⇔ x =−1 x +1 x +1 x +1 x +1 +) A = x + x + x + ( x − x + 1) ( x − 1) = − = − ≤ ⇔ x =1 x2 + x2 + x2 + x2 + b B = x − x − x − (2 x + x + 2) 3x = = −2≤= −2 ⇔ x x2 + x + x2 + x + x2 + x + +) Với x ≠ 0= ⇒A 3x = −2 −2 1 x + x +1 1+ + x x 1 1 1 3 −1 + = + + ≥ ⇒ A ≥ − =⇒ = ⇔x= −2 x x 2 x x Ta lại có: + x + x + 10 Bài 4: Tìm GTLN A = x + 2x + Lời giải A =3 + ⇒ 1 =3 + ⇒ Amax ⇔ ⇔ [( x + 1) + 2]min ⇔ ( x + 1) + =2 ⇔ x =−1 2 x + 2x + ( x + 1) + ( x + 1) + max 1 ≤ ⇔x= −1 ⇒ Amax = ⇔ x = −1 ( x + 1) + 2 x + x + 10 Bài 5: Tìm GTLN biểu thức sau A = x2 + 2x + ( x ∈ R) Lời giải x + x + 10 1 Ta có: A = =3 + ≤ + = ⇔ x =−1 x + 2x + 2 ( x + 1) + Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 48 Bài 6: Tìm max của: C = ( ) x2 + x + x +1 Lời giải C= + 2x 2x , Nháp : a =2 = > a.x + a − x = , có ∆ =4 − 4a2 =0 => a =±1 x +1 x +1 2x x2 + 2x + + 1 − 1= +2 +1 ≥ Khi đó= :C x2 + x +1 − ( x − 1) 2x −x2 + 2x − − 1 + 1= +2 = + +3≤3 Mặt khác= :C x2 + x2 + x +1 Bài 7: Tìm max của: N = x2 + x + x2 + Lời giải N= 1+ x x , Nháp : a= = a.x − x + a= , có : ∆ =1 − 4a2 =0 => a =± x +1 x +1 x 1 x2 + 2x + 1 + + 1= − + ≥ Khi ta có= : N 2 x2 + 2 x +1 ( ) x 1 − x + x − − ( x − 1) 3 N − +1= + = + + ≤ Mặt khác := 2 2 x +1 2 x +1 x +1 ( Bài 8: Tìm max của: Q = ) ( ) 3x − x + 17 x2 − x + Lời giải Ta có : Q= + 2 2 , mà x − x + = x − 1) + ≥ = > ≤ = ( x − 2x + x − 2x + 2 x − 16 x + 41 Bài 9: Tìm max của: R = x − x + 22 Lời giải Ta có : R= x − 16 x + 44 − 3 = 2− , x − x + 22 x − x + 22 3 −3 −1 > ≤ = = > ≥ Mà x − x + 22 = ( x − 4) + ≥ = 2 ( x − 4) + 6 ( x − 4) + x2 Bài 10: Tìm max của: P = x − x + 2010 Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 49 Hạ phép chia ta : P = + x − 2010 , x − x + 2010 2 x − 2010 Nháp : a = = > a.x − 2a.x + 2010a − x + 2010 = x − x + 2010 Có ∆ ' =( a + 1) − a ( 2010a + 2010 ) =0 = > a =−1; a = 2009 Làm tương tự Bài 11: Tìm max của: Q = 2x2 − 6x + x2 − 2x + Lời giải Hạ phép chia ta : Q= + Q =2 + − ( t + 1) t2 = −2 x + t , ta có : , Đặt x − = x − 2x + 2t − 2t + 1 = − + , Đặt = a = a2 − 2a + >Q= t t t t 2x2 + 4x + Bài 12: Tìm max của: A = x2 Lời giải A =2 + 4 + , Đặt = t= > A= 4t + 4t + x x x Bài 13: Tìm max của: H = 3x − x + 17 x − 3x + Lời giải Hạ phép chia ta : H= + 3x + x − 3x + 3x + Nháp : a =2 = > a.x − 3a.x − 3x + 5a − = , có : x − 3x + 13 ± 67 , ∆ =9 ( x + 1) − 4a ( 5a − ) =−11a2 + 26a + =0 => a = 11 Bài 14: Tìm max của: K = x2 − 4x + x2 Lời giải K =1 − 1 + , đặt =t => K =t − 4t + =( t − ) − ≥ −3 x x x 2x2 + 4x + Bài 15: Tìm max của: N = x + 2x + Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 50 Hạ phép chia ta : N= + , mà x + x + = x + 2x + Bài 16: Tìm max của: Q = ( x + 1) +3≥ x − x + 1999 x3 : x − 3x + x − 3x + x Lời giải x − x + 1999 1999 =1 − + , Thực phép tính ta : Q = x x x Đặt = t= >Q= 1999t − 2t + x Bài 17: Tìm max của: D = x2 + x + x2 + 2x + Lời giải D= + , mà x + x + = x + 2x + Bài 18: Tìm max của: F = ( x + 1) +3≥ x2 − 2x + x2 + 2x + Lời giải F= + −4 x x + 2x + 2 −4 x Nháp : a = = > a.x + 2a.x + 4a + 2a = , có ∆ ' =( a + ) − a.2a =0 = > a =2 ± 2 x + 2x + Bài 19: Tìm max của: H = x − xy + y x + xy + y Lời giải Với y = ta H = Với y ≠ Chia cá tử mẫu cho y ta được: x2 x − + x 2t − 2t + 6t + y y , đặt = t= > H =2 = 2− H= y t + 2t + t + 2t + x x + + y y Nháp : a = − 6t + = > at + 2at + 5a + 6t + = 0, t + 2t + 2 Có : ∆ ' =( a + 3) − a ( 5a + 1) =0 = > a =−1; a = , làm giống x2 + Bài 20: Tìm max của: J = x − x +1 Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 51 Ta có : J = + x x − x +1 2 x −1 Nháp : a =2 = > a.x − a.x − x + a = , có ∆ =( a + 1) − 4a.a =0 => a =1; a = x − x +1 −x2 + 2x − ( x − 1) ≤ x Khi : J = + − 1 + = + = 2− x − x +1 x − x +1 x − x +1 x x2 + 2x + J = + + ≥ Mặt khác : − = + x − x +1 3 3 x − x +1 ( Bài 21: Tìm max của: Q = ) y − xy x − xy + y Lời giải x x − 3t y t= > Q =2 ta được: Q = , đặt = y t − 3t + x x − + y y − Chia tử mẫu cho y 2 − 3t Nháp : a =2 = > at − 3at + 4a + 3t − = , có : = ∆ ( a − 1) − a ( a − = 5) t − 3t + => a = −1; a = Bài 22: Tìm max của: R = x2 − y x − xy + y Lời giải Chia tử mẫu cho y x2 −4 x t2 − y2 ta được: R = , Đặt = = > = t R y 3t − 4t + x2 x − + y y t2 − a 0, = = > 3at − 4at + 5a − t + = Nháp : 3t − 4t + Có ∆ ' =4a2 − ( 3a − 1)( 5a + ) =0 = > a =−1; a = 11 x − x + 23 Bài 23: Tìm max của: A = x − x + 10 Lời giải A= + 13 x − x + 10 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 52 Bài 24: Tìm max của: B = y2 x − 12 xy + y Lời giải Chia tử mẫu cho y ta được: B = x x − 12 + y y , Đặt x = t= > B =2 y 9t − 12t + 3y2 Bài 25: Tìm max của: D = −25 x + 20 xy − y Lời giải Chia tử mấu cho y ta được: D = −25 Bài 26: Tìm max của: E = x x + 20 − y y , Đặt x = t= >D= t −25t + 20t − 4x2 − x + ( x − 2) Lời giải 4t + 10t + 10 E = = + + , Đặt x − == t >x = t + 4t + , : t t2 t2 Đặt == a >E= 5a2 + 10a + t x + x − 14 Bài 27: Tìm max của: F = x − 2x +1 Lời giải t > x2 = t + 2t + , Khi : F = Đặt x − == Đặt t + 6t − 9 =1 + − 2 t t t == a >F= −9 a + a + t Bài 28: Tìm max của: G = 4x2 − x + x − 3x + Lời giải Hạ phép chia ta : G= + −1 x − 3x + 2 Bài 29: Tìm max của: H = x − xy + y x − xy + y Lời giải Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 53 Chia tử mẫu cho y x2 x − + x 3t − 2t + y y ta được: H = , Đặt = t= > H =2 y 9t − 6t + x2 x −6 +2 y y 3t − 2t + = > 9at − 6at + 2a − 3t + 2t − = 0, Nháp: a = 9t − 6t + 2 có : ∆ ' =( 3a − 1) − ( 9a − 3)( 2a − 1) =0 = > a = ;a = 3 Bài 30: Tìm max của: I = x + 22 x + 19 x2 + 4x + Lời giải I= + Đặt 6x + ( x + 2) , Đặt x + = t => I = + (t − 2) + t = 4+ − t t2 == a >I= −9 a + a + t x + 30 x − 9x2 + 6x + Bài 31: Tìm max của: K = Lời giải K= + Đặt 24 x − ( 3x + 1) , đặt 3x + == t > 3x =− t 1= > K =+ 3t − − 11 =+ − t t2 t = >K= −11a2 + 3a + a= t Bài 32: Tìm max của: M = x − xy + y 2 x − 10 xy + y Lời giải x2 = Với y = M = 2 2x Với y ≠ chia tử mẫu cho y x2 x −5 +2 y y ta được: M = , x x 2 − 10 + y y x t − 5t + Đặt = t= > M =2 y 2t − 10t + t − 5t + 2 = > 2at − 10at + 7a − t + 5t − , có= Nháp a = : ∆ 25 ( 2a − 1) − ( 2a − 1)( 7a − ) 2t − 10t + Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 17 ∆ =0 => a = ; a = 22 Bài 33: Tìm max của: N = 22 x − 58 xy + 73 y x − xy + y Lời giải Chia tử mấu cho y ta được: N = = 22 + N Đặt 30t − 15 (t − 2) 22 , Đặt t − = a = > N = 22 + x2 x − 58 + 73 x 22t − 58t + 73 y y , Đặt = t = > N = y t − 4t + x2 x −4 +4 y y2 30 ( a + ) − 15 a = 22 + 30a + 45 30 45 = 22 + + a a2 a = b= >N= 22 + 30b + 45b a Bài 34: Tìm max của: P = x + xy x2 + y Lời giải Chia tử mẫu cho y ta được: P = x2 x +6 x 8t + 6t 6t − y y , Đặt = = > = = t P 8+ 2 y t +1 t +1 x +1 y 6t − > a =1; a =−9 Nháp: a =2 = > at + a − 6t + = , có ∆ ' =9 − a ( a + 8) =0 = t +1 Bài 35: Tìm max của: Q = x − 3x + x2 − 2x + Lời giải Q= + Đặt −x + ( x − 1) t > x =+ t Khi : Q = + , Đặt x − == −t + 1 =1 − + 2 t t t = a= >Q= a2 − a + t Bài 36: Tìm max của: R = x + xy + y x − xy + y Lời giải Với y = R = Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 55 Với y ≠ Chia tử mẫu cho y Đặt x2 x + +1 y2 y ta được: R = , x x − +1 y2 y x t2 + t + 2t = t= > R =2 = 1+ y t − t +1 t − t +1 −2 2t Nháp : a =2 = > at − at + a − 2t = , có ∆ =( a + ) − 4a.a =0 => a =2; a = t − t +1 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Ngày đăng: 20/02/2023, 07:31
Xem thêm:
