Đang tải... (xem toàn văn)
DẠNG 4 TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG PHÁP GIẢI *Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số y f x xác định trên miền D R 1 Số thực M đượ[.]
DẠNG TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG PHÁP GIẢI *Các kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số y f x xác định miền D R Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y f x D f x M, x D x D, f x M 0 Số thực N gọi giá trị nhỏ hàm số y f x D f x m, x D x D, f x m 0 Một số kiến thức ta sử dụng tốn này: Tính bị chặn hàm số lượng giác Điều kiện có nghiệm phương trình bậc sin Bảng biến thiên hàm số lượng giác Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay II VÍ DỤ MINH HỌA cos 10 ) 2016 2017 B y 1; maxy 4033 D y 1; max y 4022 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y 2017 cos(8x A y 1; maxy 4033 C y 1; maxy 4022 Phân tích Ta có bước để giải toán sau: Bước 1: Chỉ f x M, x D Bước : Chỉ x D cho f x M Kết luận : max f x M D Tương tự với tìm giá trị nhỏ hàm số Lời giải Chọn B Cách 1: Hàm số xác định R Ta có 1 cos 8x 10 1, R 2017 10 2017 2017 cos 8x 2016 4033, R 2017 10 1 2017 cos 8x 2016 4033, R 2017 Ta có y 1 cos 8x 10 10 1 1 ; y 4033 cos 8x 2017 2017 Vậy y 1; maxy 4033 Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay Trong bốn phương án có hai giá trị max 4022; 4033 Chỉ có hai giá trị 1;-1 Lúc ta sử dụng chức SHIFT CALC để thử giá trị: Ví dụ ta nhập vào hình 2017 cos 8x 10 2016 4033 ta thấy phương trình 2017 có nghiệm Tương tự nhập 2017 cos 8x 10 2016 1 ta thấy phương trình có nghiệm 2017 Từ ta chọn B STUDY TIP Trong toán ta chọn thử hai giá trị 4033 giá trị lớn 1 giá trị nhỏ nên ta thử trước Nếu phương trình khơng có nghiệm trường hợp cịn lại Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y 2cos2 x sin x cos x A y 0; maxy B y 3;maxy C y 4; maxy D y 1 3;maxy Lời giải Chọn A Để sử dụng tính bị chặn hàm số STUDY TIP ta đưa trên, ta đưa y 2cos2 x sin x cos x theo sin u x cos u x Ta có y 2cos2 x sin x cos x 2cos x sin x cos x sin x * 1 cos x sin x cos x 3 2 Mặt khác 1 cos x 4, x R y 4, x R 3 Ta có tốn tổng qt: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y a sin u b cos u R Với a, b R;a b2 Lời giải tổng quát a b sin u cos u a b y a s inu+bcosu y 2 2 a b a b a Vì 2 a b b sin a b2 b 2 a b a R cho cos 2 a b y a b2 sin u.cos cos u.sin y a b sin u Vì 1 sin u a b2 y a b2 Ngồi ta mở rộng tốn sau: y a sin f x b cos f x c Ta có a b2 c y a b2 c Từ tốn tổng qt ta giải nhanh tốn ví dụ từ dịng (*) sau: Ta có y y STUDY TIP Ngồi cách nhớ cơng thức tốn tổng qt phía bên phải ta nhớ theo điều kiện có nghiệm phương trình bậc theo sin cos sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y a sin f x b cos f x c a sin f x b cos f x c y điều kiện có nghiệm a b c y Từ ta tìm min, max y sinx 2cos x Ví dụ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y cos x 2 A y ;maxy B y ; maxy 3 3 B y ; maxy D y ; maxy 2 2 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos x 0, x R sinx 2cos x sinx 2cos x y y cos x cos x s inx y cos x y y Ta sử dụng điều kiện STUDY TIP tổng quát Ta có 12 y y y 12 y y y 2 y2 Cách : sử dụng máy tính cầm tay 3y2 y sinx 2cos x 2 cos x phương trình có nghiệm Do số lớn phương án A;B;C;D nên ta không cần thử trường hợp max 2 Lúc A B Thử với y khơng có nghiệm Từ chọn B STUDY TIP a sinx b1 cos x c1 Nếu hàm số có dạng y ta tìm miền xác định hàm số a sinx b cos x c2 quy đồng mẫu số, đưa dạng phương trình STUDY TIP phía tiếp tực lời giải Tương tự ví dụ ta sử dụng SHIFT SOLVE: Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sinx cos x A y 1; maxy B y 0; maxy D y 1; maxy không tồn C y 1; maxy Lời giải Chọn B 0 s inx 0 s inx Cách : Ta có 1 y 0 cos x 1 cos x Vậy s inx x k2; k Z cos x Cách : sử dụng máy tính cầm tay STUDY TIP Nhiều độc giả không lưu ý đổi dấu bpt thứ hai hệ nhân vế với 1 dẫn đến chọn đáp án sai Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P cot a cot b tan a.tan b A y B y C y D Không tồn GTLN Lời giải Chọn B P cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b cot cot b b cot cot a cot b cot a.cot b tan a.tan b 2 a cot a cot 2 2 a.cot b tan a.tan b cot a.cotb.tan a.tan b cot a.cot b tan a.tan b 2 cot a cot b cot a Dấu xảy cot a.cot b tan a.tan b cot b ab k ,(k ) STUDY TIP: Với tốn tìm GTLN – GTNN hàm lượng giác ta đưa dạng y A2 ( x) B B Nhưng cần lưu ý xem dấu có xãy hay khơng Tiếp theo ta có ví dụ câu hỏi khác cho ví dụ sau Ví dụ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y 2cos2 x sin x.cos x đoạn 7 0, 12 A y 2; max y B y 0; max y 7 0, 12 7 0, 12 7 0, 12 C y 0; max y 7 0, 12 7 0, 12 D y 0; max y 7 0, 12 7 0, 12 7 0, 12 Lời giải Chọn B Từ ví dụ ta có y cos x Đặt u x 3 7 3 Từ đề ta xét x 0; u ; 12 3 3 Ta lập BBT hàm số y 2cos u ; 3 Từ bảng biến thiên ta thấy f (u) u x 3 3; max f (u) u 3 3; x0 Hay y 0; max y 7 0; 12 7 0; 12 STUDY TIP: Với toán tìm min, max hàm số lượng giác đoạn ta thường phải xét nhanh BBT để giải tốn Ở chương trình 11 ta chưa học đạo hàm nên chưa giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số sử dụng đạo hàm Sau học xong đạo hàm ta giải tốn nhanh chóng Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y sin x sin x 7 A y ; max y B y ; max y 4 C y 1; max y D y ; max y Lời giải Chọn A Đặt sin x u; u 1;1 Xét hàm số: y u u 1;1 Ta có: b 1;1 Từ có bảng biến thiên 2a max y u 1 1;1 1;1 Hay y sin x max y sin x 1 Ngoài phương pháp giải tốn tìm GTLN – GTNN hàm số lượng giác ta rút từ ví dụ ta cịn phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp coi phương pháp khó địi hỏi tính sang tạo kĩ thuật việc sử dụng bất đẳng thức Một số bất đẳng thức ta thường dung: 1.Bất đẳng thức AM – GM a Với hai số: ab Cho hai số thực a, b hai số dương, ta có ab dấu xảy a b b Với n số: Ta kết luận: f u Cho hai số thực x1 ; x2 ; x3 ; ; xn số dương n N * , ta có x1 x2 x3 xn n x1 x2 x3 xn dấu xảy x1 x2 x3 xn n Bất đẳng thức Bunyakovsky a Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường a b a b2 c d ac bd Dấu xảy c d b Bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai số Với hai số a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn ta có a a22 an2 b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn STUDY TIP Ta sử dụng tính chất tam thức bậc hai để giải tốn tìm max hàm lượng giác sau: Cho hàm số y ax bx c b dấu xảy x 4a 2a b + Nếu a ax bx c dấu xảy x 2a 4a + Nếu hàm số cho hàm bậc hai mà điều kiện x R ta phải lập BBT để tìm max a a a Dấu xẩy n với quy ước số bi b1 b2 bn + Nếu a ax bx c i 1, 2,3 tương đương c Hệ bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có a b c d 4abcd 1 2sin x Ví dụ Tìm giá trị lớn hàm số y cos x 2 22 11 A B C 2 Đáp án B Lời giải Chọn B D 1 5 2sin x y cos x sin x Ta có y cos x 2 sin x ta Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho số: 1; 1; cos x ; có: 1 22 1 cos x sin x 12 12 cos x sin x 2 4 2.1 Hay y 22 Dấu xảy cos2 x sin x x k , k STUDY TIP Trong tốn ta nhanh chóng nhận sử dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky có sin x cos x Ta cân hệ số sin x cos x để áp dụng tính chất sin x cos2 x Áp dụng Bunyakopvsky vế phải số, từ giải tốn 1 Ví dụ Cho hàm số y với x 0; Kết luận sau đúng? cos x cos x 2 A y x k , k T B y x 3 3 0; 0; 2 C y 0; 2 x k 2 , k 3 2 D y 0; 2 x 3 Lời giải Chọn D Cách 1: Ta thấy cos x 0, x R cos x 0, x 0; Suy cos x 2 hai số dương Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có cos x 1 cos x cos x cos x 1 cos x Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có cos x cos x cos x 1 cos x 2 y cos x 1 cos x STUDY TIP Trong toán ta nhanh chóng nhận sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta thấy mẫu số hai phân thức cộng lại số, nên ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM Ta giải tốn theo hướng khác sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu Với x, y hai số thực dương ta có Vậy y 0; 2 1 dấu xảy x y x y x y , dấu bàng xảy cos x x x 0; 3 2 Cách 2: Để ý đề hỏi tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng 0; 2 Trên hai ví dụ sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác mà khơng có liên hệ cho trước Ví dụ 10 ví dụ khó sử dụng bất đẳng thức kết hợp với lượng giác để giải Ví dụ 10 Cho x, y, z x y z Tìm giá trị lớn y tan x.tan y tan y.tan z tan z.tan x A ymax 2 B ymax 3 C ymax D ymax Lời giải Chọn D Ta có x yz x y z tan x y tan z 2 tan x tan y tan x.tan y tan z tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y Ta thấy tan x.tan z; tan y.tan z; tan x.tan y xuất hàm số đề cho thức, tương tự ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho số ta có: 1 tan x.tan y 1 tan y.tan z 1 tan z.tan x 12 12 12 1.tan x.tan z 1.tan y.tan z 1.tan x.tan y 3 tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y Vậy ymax ... mẫu số, đưa dạng phương trình STUDY TIP phía tiếp tực lời giải Tương tự ví dụ ta sử dụng SHIFT SOLVE: Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sinx cos x A y 1; maxy B y 0; maxy