Skkn sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm nhanh đáp án một số bài toán trắc nghiệm

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Phương pháp đặc biệt hóa tìm đáp án câu hỏi trắc nghiệm mơn tốn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Thời đại ngày nay, giáo dục đào tạo, người ta yêu cầu cao việc rèn óc thơng minh sáng tạo, tính động thích nghi với thay đổi nhanh đến chóng mặt, nên toán học, vốn coi “thể dục trí não”, “nữ hồng khoa học”, phải phát huy vai trị đó; tốn học khơng phải rèn óc thơng minh sáng tạo để phục vụ lĩnh vực cần đến khái niệm, cơng thức, định lý tốn học mà cịn rèn óc thông minh sáng tạo để phục vụ cho lĩnh vực “phi toán”[3] Giải toán hoạt động quan trọng tư duy, nhiên toán giải cách dễ dàng Do ngồi hệ thống kiến thức làm sở cho việc giải toán, cần vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp khác Với số tốn việc giải trực tiếp đơi gặp khó khăn, trường hợp nghĩ đến việc xét toán trường hợp đặc biệt, thực tế cho thấy trường hợp việc giải toán dễ dàng nhiều từ mấu chốt toán ban đầu tháo gỡ Sự thay đổi phương pháp kiểm tra đánh giá từ tự luận sang trắc nghiệm khách quan, đặc biệt kì thi THPT Quốc gia đem lại hứng khởi cho học sinh học tập, song địi hỏi học sinh phải thay đổi cách làm, thay đổi phương pháp tư đứng trước số lượng câu hỏi nhiều gấp nhiều lần gặp nhiều áp lực mặt thời gian Chẳng hạn, gặp toán kiểu như: , n N Tính: 1 1  A  n  1 !ln       2! 3! n!     C  n  1 !ln   1 1     2! 3! n!  *  kết sau đây? 1 1  B ln       2! 3! n!   D skkn Hoặc : (Đề khảo sát THPT QG Thanh Hóa 2018) Cho hàm số biệt có hồnh độ A có đồ cắt trục hồnh điểm phân Tính giá trị biểu thức B C D Ta nhận thấy việc tìm đáp án phương pháp tự luận thơng thường địi hỏi mức độ tư cao tốn nhiều thời gian Tuy nhiên, phương pháp đặc biệt hóa (chọn giá trị cụ thể tham số chọn hàm đặc trưng, ) học sinh lại dễ dàng loại trừ phương án sai khoảng thời gian ngắn Vì trình giảng dạy, đặc biệt ôn tập THPT Quốc gia hướng dẫn học sinh ‘‘Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm nhanh đáp án số tốn trắc nghiệm” đem lại hiệu cao học tập, thi cử 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu vai trị đặc biệt hóa dạy học tốn phương pháp tìm đáp án số tốn trắc nghiệm - Đề xuất thêm cho học sinh phương pháp giúp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu  Phương pháp đặc biệt hóa tốn học nói chung trắc nghiệm nói riêng  Các dạng tốn vận dụng phương pháp đặc biệt hóa  Tính hiệu kinh nghiệm áp dụng 1.4 Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu đặc biệt hóa, khái quát hóa lý luận dạy học mơn tốn - Các sách báo, viết khoa học toán phục vụ cho đề tài  Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua tiết giảng skkn dạy kết khảo sát, kiểm tra đánh giá lực học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Theo G.Polya: “ Đặc biệt hóa chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho” Điều có nghĩa mệnh đề trường hợp tổng qt trường hợp cụ thể, trường hợp riêng, mệnh đề sai trường hợp cụ thể mệnh đề tổng quát sai Đặc biệt hóa chuyển từ chung, tổng quát riêng, cụ thể Chẳng hạn, tốn có cơng thức có chứa tham số, biến số ta đặc biệt hóa giá trị cụ thể phù hợp theo u cầu tốn lúc ta kiểm tra kết đáp án, nhằm đưa lựa chọn Hoặc cần tìm hàm số ta đặc biệt hóa hàm đơn giản quen thuộc dựa vào liệu toán để giải trường hợp riêng nhằm loại bỏ phương án sai, tìm phương án cách nhanh hơn, dễ dàng Từ có sở khoa học trên, hạn chế số phương án (chỉ có lựa chọn) dạng toán trắc nghiệm mà nhiều toán trắc nghiệm, người ta sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để lựa chon đáp án cho toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước đưa phương pháp đặc biệt hóa, bắt gặp tốn trắc nghiệm có dạng đa số học sinh cảm thấy lúng túng, e ngại q phức tạp nên thường chọn ngẫu nhiên đáp án mà khơng có sở loại trừ nào, cố gắng giải phương pháp tự luận thường không tìm đáp án đúng, tìm lời giải nhiều thời gian, làm ảnh hưởng chung đến kết kiểm tra Tuy nhiên, sau giáo viên hướng dẫn việc tìm đáp án trắc nghiệm phương pháp đặc biệt hóa em học sinh chuyển từ trạng thái lúng túng, e ngại sang trạng thái thích thú, hưng phấn em giải tỏ skkn rào cản khó khăn, cảm thấy điều thú vị từ tự tin giải kiểu toán cách đầy say mê hứng thú 2.3 Phương pháp đặc biệt hóa tìm đáp án câu hỏi trắc nghiệm mơn tốn Các tốn sử dụng phương pháp đặc biệt hóa đa dạng phong phú Do vậy, để trình học tập học sinh tiếp nhận kiến thức cách dễ dàng khoa học, bước đầu tơi nêu giải số ví dụ cụ thể hai phương pháp tự luận thơng thường đặc biệt hóa Từ giúp học sinh dễ dàng nhận dạng, đồng thời thấy tính hiệu phương pháp với cách giải thơng thường biết cách vận dụng vào q trình học tập, thi cử Ví dụ 1: Tính tổng A B C D Đáp án B Phương pháp thông thường: +) Cho a  ta có +) Cho ta có skkn Từ Nhận xét : Với cách giải rõ ràng việc tư để đưa tích phân đòi hỏi học sinh phải học sinh khá, giỏi việc chọn chọn cận từ đến a sau chọn a = 1, a = kết hợp để đưa tổng S phải q trình tư sáng tạo cao mà học sinh làm Tuy nhiên phương pháp sau lại đơn giản mà học sinh trung bình tìm đáp án Phương pháp đặc biệt hóa: Chọn thay vào tổng S đáp án A, B, C, D Nhận thấy, có B nhận kết , nên ta lựa chọn đáp án B Ví dụ 2: Cho dãy số xác định Khi bằng: A B C D Đáp án A Phương pháp thơng thường: Ta có Lại có skkn Đặt cấp số nhân với Vậy Phương pháp đặc biệt hóa: Với từ liệu đề ta có: Trong đáp án, phương pháp đặc biệt hóa (quy lớn nhỏ) ta thay số: 2016 số 1; 2017 số 2; 2018 số 3; 2019 số ta nhận bảng kết sau: Chỉ có đáp án A có kết Ví dụ 3: Tính tổng S  Vậy đáp án A 1 1      theo 2!2017! 4!2015! 6!2013! 2016!3! 2018! ta A S  22018  2019! B S  22018  2017! C S  22018 2017! D S  22018 2017 Đáp án A Phương pháp thông thường: 1 2019! Các số hạng S có dạng 2k ! 2019  2k !  2019! 2k ! 2019  2k !  2019! C2019      2k 2016 2018 Do  2019! S  C2019  C2019   C2019  C2019 2k Nhận thấy C2019 hệ số x 2k khai triến  x  1 2019 skkn Vì xét P  x    x  1 P  x    x  1 Từ ta có: 2019 2019 theo cơng thức khai triển nhị thức Newton ta có 2019 2019  C2019  C2019 x  C2019 x   C2019 x 2019 P  1  C2019  C2019  C2019   C2019 2018 2019 P  1  C2019  C2019  C2019   C2019  C2019 2019! S   C 2019 C 2019 C 2019   C 2018 2019 P  1  P  1 22018  2018  2 S 2019! Phương pháp đặc biệt hóa: Cho thay vào S ta A ; B , thay vào đáp ta được: ; C ; D Vậy đáp án cần chọn A Ví dụ 4: (Đề khảo sát THPT QG Thanh hóa 2018) Cho hàm số biệt có hồnh độ A có đồ cắt trục hồnh điểm phân Tính giá trị biểu thức B C D Đáp án C Phương pháp thông thường: Từ giả thiết ta có Suy skkn Phương pháp đặc biệt hóa: Chọn có phân biệt có nghiệm Khi đó : Và nhận thấy thay vào đáp án A, B, D không cho kết nên ta lựa chọn đáp án C Ví dụ 5: Tính tích phân I  xn x x3 xn  x    2! 3! n! 1 1  A  n  1 !ln       2! 3! n!     C  n  1 !ln   1 1     2! 3! n!  dx , n N *  ta kết 1 1  B ln       2! 3! n!   D Đáp án D Phương pháp thơng thường: + Vì kết có xuất ln, nên ta nghĩ đến ý tưởng dùng công thức Để xuất công thức ta coi mẫu là: x x3 xn x x3 xn 1 f  x   f n  x    x      f n  x    x      f  x 2! 3! n! 2! 3!  n  1 ! n1 + Vậy I   n ! f n  x   f n 1  x   fn  x   f  x  dx  n !  1  n dx f x   n 0  skkn  1    n ! x  n !ln f n  x   n !1  ln        2! 3! n!     Phương pháp đặc biệt hóa: Cho ta Khi thay vào đáp ta được: A ; B ; C D Vậy đáp án cần chọn D 10 skkn Ví dụ 6: Cho dãy số  un  u1  xác định  un 1  3un  2, n  2 2 Tính tổng S  u1  u2  u3   u2011 ? A 32011 B 32011  C 32011  2012 D 32011  2011 Đáp án C Phương pháp thông thường: 2 2 + Ta có un 1  3un   un 1    un  1 n 1 n 1 n 1 Đặt  un  1; v1   1  3vn   v1q  2.3  un  2.3  + Ta có S  u12  u22  u32   u2011   30  31   32010    2011  2.30  32011  2011  32011  2012 1 Phương pháp đặc biệt hóa: Ta có thay vào tổng S Tiếp tục thay 2011 thay 2012 vào đáp án ta được: A ; B ; C ; C Vậy đáp án C  C2017  C2017   Ví dụ 7: Tính tổng S  C2017 22017  2017 A B 22018  2018 C 2017 C2017 2018 22018  2017 D 22017  2018 Đáp án B Phương pháp thông thường: 2017 2017  C2017 x  C2017 x2   C2017 x Xét f (x)  (1 x)2017  C2017   (1 x) 1 2017 2017  dx   C2017  C2017 x  C2017 x2   C2017 x dx   2017 1  (1 x)2018 1 2017 2018   C2017 x  C2017 x2  C2017 x3   C2017 x  2018 2018  0 22018   S 2018 11 skkn Phương pháp đặc biệt hóa: Cho ta được: A ; , thay vào đáp được: B ; C ; D Vậy đáp án cần chọn B Nhận xét: Những ví dụ phần so sánh cho ta thấy hiệu phương pháp đặc biệt hóa thực với phong phú dạng toán Trong điều kiện giới hạn SKKN nên ví dụ sau sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm đáp án Ví dụ 8: (Trích đề thi thử Chuyên ĐHSP lần - 2017) Cho hai số phức thỏa mãn: A B Khi C bằng: D Phương pháp đặc biệt hóa: Ta chọn giá trị điều kiện ban đầu thỏa mãn Thay vào đề Vậy đáp án cần chọn B Nhận xét: Trong nhiều toán phức tạp, việc đưa trường hợp đặc biệt giúp giải đơn giản dễ dàng Ví dụ 9: Cho hai số phức thức thỏa mãn: Tính giá trị biểu ? A B C D Phương pháp đặc biệt hóa: Chọn , thỏa mãn yêu cầu đề 12 skkn Thay vào ta tính Nhận xét: Những giá trị Vậy đáp án cần chọn C không thỏa mãn giá trị ban đầu nhiên giá trị môđun làm ta liên tưởng đến số phức lượng giác đặc biệt như: , , , Với phương pháp ta nên kết hợp với máy tính có chức tính tốn số phức, máy tính tính giá trị đặc biệt nhanh tiết kiệm thời gian Ví dụ 10: Gọi điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đơi khác Số đo góc A tam giác ABC bằng: A B C D Phương pháp đặc biệt hóa: Lựa chọn điểm biểu diễn trường hợp đặc biệt số ảo, số thực… Ở ta chọn thỏa mãn yêu cầu đề thấy tam giác ABC vuông cân A nên chọn đáp án A Nhận xét: Với loại tốn tính giá trị so sánh giá trị, đôi khi, biến đổi phương án kết hợp ước lượng việc giải tốn nhanh Bạn khơng phải đặt bút thực biến đổi ước lượng đáp số Ví dụ 11: Cho tứ diện có tất cạnh điểm thuộc miền tứ diện Gọi khoảng từ đến mặt Khi bằng: A B C D Phương pháp đặc biệt hóa: 13 skkn Đặc biệt hóa điểm M tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta dễ dàng suy được: , nên Lựa chon đáp án B Ví dụ 12: Cho hàm số có hai cực trị là: A B C D Phương pháp đặc biệt hóa: Do đề với nên ta chọn cho giá trị đặc biệt để kết đáp án khác Ví dụ ta chọn đáp án D Với ta đáp án A Nên Vậy đáp án B Nhận xét : Với trắc nghiệm, kỹ loại trừ phương quan trọng, giúp tìm đáp án nhanh Khi chưa giải kết cụ thể, thí sinh sử dụng phương pháp để chọn đáp án Ví dụ 13: Cho , đẳng thức sau đúng ? A B C D Phương pháp đặc biệt hóa: 14 skkn Ta nhận thấy lựa chọn A, B, D tỉ số ngun (vì ) Vì chọn ta tính , phải số ; nhận thấy không nguyên nên đáp A, B, D bị loại nên đáp án C Ví dụ 14: Cho hình chóp Biết có đáy tam giác vuông Gọi lên Khi hình chiến vng góc bằng: A B C D Phương pháp đặc biệt hóa: Đặc biệt hóa cách chọn Suy trung điểm ( tam giác SAB cân A) Suy Kiểm tra đáp án thay đáp án A ta nhận có Vậy lựa chọn A Ví dụ 15: Cho A Tính B   C D 15 skkn Phương pháp đặc biệt hóa: Bài tốn có điều kiện nên chọn hàm Khi Suy Vậy đáp án cần chọn C 16 skkn Ví dụ 16: Cho hàm số chẵn có đạo hàm đoạn Biết Tính A B C  ? D Phương pháp đặc biệt hóa: Vì hàm số chẵn có hai kiện tốn nên ta chọn Khi đó: Vậy đáp án cần chọn A Ví dụ 17: Cho hàm số Tính liên tục Biết  ? A B C D Phương pháp đặc biệt hóa: Vì hàm số có hai điều kiện tốn nên ta chọn Khi đó: Vậy đáp án cần chọn D 17 skkn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trên số ví dụ minh họa, tơi sử dụng thể thành công áp dụng linh hoạt kinh nghiệm dạy cho học sinh lớp11, 12 Qua tiết sử dụng giải pháp SKKN cho thấy:  Phương pháp đặc biệt hóa phù hợp cho tất đối tượng học sinh Giúp học sinh chủ động, tích cực xây dựng kiến thức, phát hiện, chiếm lĩnh đơn vị kiến thức, điều đáng kể em hiểu mà nhận biết dạng hướng giải tốn, có khả giải hồn chỉnh tốn vận dụng cao  Thơng qua hoạt động học sinh bị hút vào công việc học tập, tạo cho học sinh lịng ham học, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo, khơi dậy khả tiềm ẩn học sinh  Việc sử dụng phương pháp phương tiện dạy học hợp lí tăng tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo niềm tin vào khả học sinh  Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích mơn tốn hơn, u sống hơn, đặc biệt việc tìm tịi phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm tiếp cận tốt với kỳ thi THPTQG Kiểm chứng kết thực hiện: Đối với tất lớp thân dạy áp dụng tương tự phương pháp đặc biệt hóa học khối 11, kết mơn tốn đạt hiệu cao kỳ thi khảo sát chất lượng Trường, Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Kỳ thi THPTQG Bộ GD&ĐT tổ chức Đồng thời với việc áp dụng linh hoạt phương pháp dạy học tích cực kỹ thuật dạy học tích cực vào tiết dạy tốn có hiệu quả, nên lớp dạy: 11A4, 12A6, 12A8 Trường THPT Sầm Sơn năm học 2017-2018 học sinh khối 12 năm học trước kết tốt Tỉ lệ học sinh giỏi tăng cao, học sinh yếu giảm nhiều: + Kém : Giảm từ 8% 0% + Yếu: Giảm từ 17% 3% + Khá: tăng từ 19,14% đến 30% + Giỏi: Tăng từ 4,53% đến 12,33% Xưa học sinh chủ yếu giải toán trắc nghiệm theo phương pháp tự luận chính, suy nghĩ tìm tịi, sáng tạo Với phương pháp đặc biệt hóa tốn em thấy có hứng thú, chủ động hơn, tích cực suy nghĩ để từ tự tìm nhiều phương án khác hay hơn, hiệu hơn, tiết kiệm thời gian có tiến hơn, kết học tập thi cử tốt hơn, học sinh giỏi tăng nhiều Qua thống kê phân tích, nhận thấy với phương pháp giảng dạy giúp cho học sinh không đạt yêu cầu giảm, số học sinh khá, giỏi tăng lên Đặc biệt số học sinh yếu, theo có tiến 18 skkn KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Thời đại ngày thời đại bùng nổ thơng tin,thời đại trí tuệ phải coi trọng tư duy, tư sáng tạo, mà đó, quy nạp suy diễn, khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự đóng vai trị quan trọng việc hướng dẫn học sinh tìm tịi phát kết tốn học Tơi sử dụng linh họat phương pháp dạy nói chung, đặc biệt hóa nói riêng, phương pháp dạy học tích cực kỹ thuật dạy học tích cực tiết dạy toán, cho đối tượng học sinh thấy có hiệu cao Các em có cảm giác phấn khởi, tích cực sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan tự luận cách hợp lý Nhờ kinh nghiệm trên, em nhìn nhận, giải tốn nhanh, linh hoạt độc đáo Trong q trình giảng dạy tốn trường phổ thông, giáo viên sử dụng phương pháp dạy học kết hợp với khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự hóa phương pháp dạy học tích cực, giảng dạy có hiệu Phát huy tính tích cực, tự giác khả sáng tạo học sinh THPT, hướng tới tăng cường tham gia hợp tác tích cực học sinh, tạo điều kiện phân hóa trình độ người học, đáp ứng phong cách học, phát huy khả tối đa người học, đảm bảo tối đa cho người học sâu thoải mái, đồng thời hình thành kỹ tìm kiếm, thu thập, xử lý thơng tin, giải vấn đề, chuẩn bị hành trang cho học sinh đối diện với thử thách sống, góp phần đào tạo nguồn lực theo yêu cầu phát triển kinh tế xã hội Kinh nghiệm tìm đáp án toán trắc nghiệm phương pháp đặc biệt hóa giúp tơi đồng nghiệp, học sinh có thêm phương pháp dạy, học tích cực đơn giản, hiệu Tuy nhiên, có nhiều vấn đề cần hồn thiện nữa, xin mạnh dạn đưa để đồng nghiệp tham khảo, đồng thời giúp tơi điểm cần hồn chỉnh, cần lược bỏ, bổ sung 3.2 Kiến nghị Với nhà trường: Tạo điều kiện thời gian kinh phí để tổ chuyên mơn tổ chức nhiều hoạt động trải nghiệm SKKN thành công Với Sở GD-ĐT: Cần có nhiều buổi sinh hoạt chuyên đề ứng dụng thành công SKKN trường tỉnh để trường có hội trao đổi học tập lẫn nhau, nâng cao chất lượng giáo dục toàn tỉnh Mặc dù nỗ lực, cố gắng song trình làm việc chắn khơng tránh khỏi thiếu sót hình thức nội dung Tác giả mong Hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để SKKN hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! 19 skkn Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2018 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Lê Ngọc Nội Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Dương Quốc Nam 20 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tốn học suy luận có lí, G Polya, Nxb Giáo dục, 1995 [2] Một số đề thi thử THPTQG, 2017 2018 [3] Nên học Toán cho tốt, GS.TSKH.NGND Nguyễn Cảnh Toàn, www.sachtoan24h.com 21 skkn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Dương Quốc Nam Chức vụ đơn vị cơng tác: Thư kí hội đồng, trường THPT Sầm Sơn, Thành phố Sầm Sơn, tỉnh Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Tính hữu dụng cơng thức tính diện tích tam giác giải số dạng Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2009 -2010 Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2011 -2012 Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2013 -2014 tốn hình học Thay đổi số chiều hệ trục tọa độ Đề-Các giúp giải nhanh số toán diện tích cực trị hình học Vận dụng phương pháp chuẩn hóa để chứng minh bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh khá, giỏi 22 skkn ... ‘? ?Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm nhanh đáp án số toán trắc nghiệm? ?? đem lại hiệu cao học tập, thi cử 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu vai trị đặc biệt hóa dạy học tốn phương pháp tìm. .. chế số phương án (chỉ có lựa chọn) dạng toán trắc nghiệm mà nhiều tốn trắc nghiệm, người ta sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để lựa chon đáp án cho toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng... pháp tìm đáp án số toán trắc nghiệm - Đề xuất thêm cho học sinh phương pháp giúp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu  Phương pháp đặc biệt hóa tốn học nói chung trắc nghiệm nói