Skkn hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đặc biệt hóa và khái quát hóa trong giải toán hình học lớp 9

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Dạy tốn khơng nhằm cung cấp kiến thức cho học sinh mà cịn có phương pháp tư duy, kỹ năng, phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức cho người học Trong dạy học tốn trường phổ thơng việc giải tốn hoạt động quan trọng, toán giải cách dễ dàng Trong thực tế, tổ chức cho em học toán thường giáo viên dựa tập có sẵn sách giáo khoa, sách tập học sinh rèn luyện kỹ giải toán, chưa xây dựng toán tương tự, chưa giúp cho học sinh thấy trường hợp đặc biệt trường hợp khái quát từ tốn cho, từ học sinh gặp nhiều khó khăn việc phân tích tìm lời giải cho tốn Vì học sinh giải xong tốn cụ thể việc khắc sâu ghi nhớ, sáng tạo không cải thiện nhiều, gặp tốn khó bị lúng túng dẫn đến em ngại học tốn Chính gặp khó khăn người giáo viên cần định hướng cho học sinh cách tiếp cận tốn thơng qua việc nhận xét trường hợp đặc biệt, trường hợp tổng quát hay tương tự, từ dễ dàng việc tìm lời giải Để giúp cho em có kỹ phân tích tìm lời giải cho tốn cách nhanh chóng, giáo viên cần rèn cho học sinh thói quen đặt câu hỏi trả lời câu hỏi: Bài toán gặp lần chưa? Bài tốn có phải trường hợp đặc biệt khơng? Bài tốn khái quát thành toán tổng quát khơng? Có thể chia tốn thành tốn nhỏ nào? Cịn cách giải khác hay khơng? Khi có thói quen em tìm lời giải tốn ghi nhớ lâu hơn, tạo hứng thú học tập toán Hình học lớp phần khó quan trọng chương trình tốn THCS, đồng thời có nhiều nội dung vận dụng phương pháp tư khái qt hay đặc biệt hóa Chính chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp khái quát hóa đặc biệt hóa giải tốn hình học lớp 9” để nhằm giúp cho học sinh nắm tổng quát kiến thức, mạch kiến thức chương trình, có kỹ phân tích dạng tập, cách trình bày tốn cho người học tiếp cận xong vận dụng cách hiệu thực tế, nâng cao hiệu dạy học 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu vai trị khái qt hóa, đặc biệt hóa giải tốn hình học lớp - Đề xuất số biện pháp nhằm rèn luyện khả khái quát hóa, đặc biệt hóa cho học sinh lớp việc giải toán hình học - Thơng qua việc nghiên cứu để góp phần nâng cao chất lượng, hiệu dạy học mơn tốn nhà trường, giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu tham khảo skkn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Lý thuyết phương pháp khái quát hóa đặc biệt hóa giảng dạy toán đại trà bồi dường học sinh giỏi - Các tập vận dụng phương pháp khái quát hóa đặc biệt hóa mơn hình học THCS, chủ yếu hình học - Các phương pháp hướng dẫn tư cho học sịnh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp quan sát: Thực trạng công tác đạo, công tác bồi dưỡng học sinh, trình học tập, chất lượng học tập học sinh đại trà khá, giỏi Phương pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu: sử dụng sách, tài liệu tham khảo, tập, đề thi có liên quan đến đề tài Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: nghiên cứu chất lượng học sinh; nghiên cứu công tác đạo nhà trường, học hỏi đồng nghiệp trình bồi dưỡng học sinh đại trà khá, giỏi Phương pháp tổng kết kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: Trong tốn học, khái qt hóa, đặc biệt hóa, phương pháp suy nghĩ sáng tạo nguồn gốc nhiều phát minh toán học sơ cấp toán học cao cấp Khái quát hóa, đặc biệt hóa vận dụng để mị mẫm dự đốn kết tốn, tìm phương hướng giải tốn, để mở rộng, đào sâu hệ thống hóa kiến thức Khi giải tốn, phương pháp chung đưa toán đơn giản cho giải tốn giải tốn cho Khi phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa,có nhiều tác dụng Trong lịch sử tốn học, có tốn mà suốt hàng chục năm, chí hàng trăm năm hệ nhà tốn học giới với bao cơng sức giải số trường hợp đặc biệt Từ kiến thức tốn cho vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để hình thành tri thức mới, đề xuất giải tốn Trên sở đào sâu hiểu rõ khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức Từ tạo cho hiểu rõ chất quy luật kiện toán học, xác lập mối liên hệ thống tri thức mà tiếp nhận Khái quát hóa đặc biệt hóa thao tác tư quan trọng trình dạy học tốn trường phổ thơng Đây phương pháp giúp mị mẫm,dự đốn để tìm lời giải cho tốn, mở rộng, đào sâu, hệ skkn thống hóa kiến thức góp phần quan trọng việc hình thành phẩm chất trí tuệ cho học sinh Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết vô quan trọng việc học tốn Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo toán học, trước tập tơi cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lí Phát cách giải tương tự khái quát đường lối chung Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hóa tốn thành tốn tổng quát xây dựng toán tương tự 2.2 Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm giảng dạy trường THCS, nhận thấy việc rèn kỹ khái quát hóa, đặc biệt hóa hay tương tự chưa quan tâm rèn luyê mức cho học sinh Vì khả xử lí tốn khó học sinh cịn hạn chế, em thường lúng túng, thiếu định hướng bế tắc gặp toán lạ Kết khảo sát đánh giá học sinh Trước viết đề tài , khảo sát chủ đề 20 học sinh lớp học sinh giỏi cấp huyện, kết sau: Điểm Tổng số HS 20  4,9 SL %  6,4 SL % 20 40 6,5  SL % 15  10 SL % 0 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện: 2.3.1Kế hoạch thời gian nghiên cứu Chủ đề áp dụng trường THCS Nguyễn Du thời gian từ đầu năm học 2019 - 2020 tiếp năm học sau với tinh thần rút học kinh nghiệm có sửa chữa, bổ sung cho phù hợp với đối tượng giai đoạn cụ thể: * Năm 2018 – 2019 : Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu tài liệu xây dựng đề cương * Năm học 2019 – 2020 : Thực nghiệm so sánh kết 2.3.2 Giải pháp thực Phần 1: Đặc biệt hóa 1) Đặc biệt hóa gì? skkn Đặc biệt hóa suy luận chuyển từ việc khảo sát tập hợp đối tượng sang mọt tập hợp đối tượng nhỏ chứa tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa có tác dụng kiểm nghiệm lại kết trường hợp riêng tìm kết khác Nói riêng giải tốn, việc xét trường hợp đặc biệt toán nhiều giúp ta giải toán giúp ta tim thấy phương hướng giải tốn 2) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho ABCD hình vng, I điểm thuộc cạnh AB, tia DI CB cắt K, kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI Đường thẳng cắt đường thẳng BC L Chứng minh không đổi I di chuyển cạnh AB [1] Phân tích: Đây tốn đơn giản học sinh dễ dàng bị phương hướng khơng xác định cần giá trị khơng đổi A Vậy giáo viên định hướng để học sinh đưa điểm I đến vài vị trí đặc biệt để nhận biết kết Chẳng hạn I trùng với B BDL tam giác vng cân, học sinh phát nghĩ đến hướng chứng minh DI = DL để sau dùng hệ thức cạnh đường cao D tam giác vng Giải Xét có ; AD = DC, ( Cùng phụ  = ( Cạnh góc vng - góc nhọn kề)  DI = DL Xét K B I C ) L vuông D có đường cao DC nên Mà DL = DI nên DC không đổi nên ta suy ĐPCM Khai thác: Như việc giải toán xong cách thức đưa điểm I đến vị trí đặc biệt đóng vai trị tìm đáp số tốn, từ định hướng cách giải Tuy tốn đơn giản phương pháp sử dụng nhiều tốn có đối tượng di chuyển rõ ràng tạo hiệu lớn kể với tốn khó Ví dụ 2: Chứng minh tổng khảng cách từ điểm M bên tam giác đều, kể M cạnh tam giác, đến ba cạnh tam giác khôn đổi [2] skkn Phân tích: Giải tốn khơng đơn giản ta khơng biết tổng khoảng cách gì? Để tính ta lấy trường hợp riêng TH1: *Ta xét trường hợp đặc biệt M trùng với ba đỉnh tam giác cho ( M trùng với A ) Khi ấy, ba khoảng cách từ M đến ba cạnh có hai khoảng cách khoảng cách chiều cao tam giác (h 2a) Đây điều dự đoán điều gợi cho ta trường hợp khác A B H C Hình 2a Vấn đề chứng minh cho tổng số đo khoảng cách từ điểm đến cạnh tam giác không đổi đường cao Khó khăn liên hệ tổng ba khoảng cách với đường cao Để giải ta tiếp tục xét trường hợp riêng thứ hai sau: TH2: *Ta xét trường hợp đặc biệt khác M nằm cạnh tam giác ( M thuộc cạnh AB ) (h 2b) Lúc có khoảng cách từ M đến cạnh ( M cách AB khoảng ) cách vẽ thêm đường phụ MN//BC Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác ABC MH + MK Mặt khác MK lại bẳng chiều cao tam giác AMN Ta suy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác ABC chiều cao tam giác ABC ( có giá trị khơng đổi) A K M B N C Hình 2b Từ trường hợp đặc biệt ta bước vào lời giải tổng quát toán sau: Giải H skkn Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC BC N N’ Kẻ , , Khi ta có ANN’ tam giác Xét tam giác ANN’ có ML+MK =AO( đường caoc tam giác ANN’) Mặt khác MH // Đường cao AI tam giác ABC nên MH =IO ( tính chất đoạn chắn) MH + MK +ML = AO+IO = AI =>MH+MK+ML có giá trị khơng đổi chiều cao tam giác ABC A K O L N' N M I B C H Khai thác: Vậy ta giải trường hợp tổng quát nhờ vào trường hợp đặc biệt Sau hồn thành tốn, GV hỏi HS cách chứng minh khác để tăng khả tư cho em Ví dụ HS sử dụng diện tích tam giác để chứng minh kết luận tốn Từ đó, vận dụng tương tự hóa ta cịn xây dựng tốn tương tự: đối tượng thương tự tam giác ( đa giác đều, tứ diện đều…) kết tốn phát biểu với đối tượng đó? Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD có , điểm M N chạy cạnh BC CD tương ứng cho Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN thuộc đường thẳng cố định [3] Phân tích Bài tốn chứng minh điểm thuộc đường thẳng cố định ln cần suy đốn kết cách vẽ xác hình xét trường hợp đặc biệt Ở ta thấy xét vị trí đặc biệt M N trùng với điểm C A D O M B C(N) skkn Khi trở thành tam giác vuông ANC AMC dễ dạng nhận tâm O đường ngoại tiếp tam giác ANM thuộc cạnh huyển AC Từ HS đặt câu hỏi: trường hợp tổng qt O có thuộc cạnh AC hay khơng? Và phương pháp vẽ hình HS khẳng định suy đốn O thuộc AC Tiếp theo cần chứng minh nào? Khai thác TH đặc biệt nhận thấy tam giác Từ dẫn dến việc chứng minh A,C,O thẳng hàng cách sử dụng Giải A D Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN Ta có mà OM=ON O Nên OMN tam giác Tứ giác MCNO có :  MCNO tứ giác nội tiếp  M B C N Lại có , suy A,O,C thẳng hàng Vậy O thuộc đường thẳng AC cố định Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD , từ điểm I thuộc cạnh AB, hạ đường vng góc IN với cạnh CD đường vng góc IM với đường chéo AC Chứng minh có giá trị khơng đổi M di chuyển cạnh AB [3] Phân tích Nhìn kết luận tốn cần chứng A minh tam giác đồng dạng để lập tỉ số Nhưng vấn đề đoạn thẳng bị giấu để gây khó khăn thêm cho học sinh Vì để dễ nhận biết ta đưa trường hợp đặc biệt I trùng với B, N trùng với C Hình vẽ đặc biệt giúp nhận biết hai tam giác D đồng dạng MAB MBC hay MAB MIN, tức A cần chứng minh thêm hay chứng minh tứ giác MIBN nội tiếp Giải D skkn IB M C N I B M N C Tứ giác MIBC có tg nội tiếp Tứ giác MBCN có tg nội tiếp Tứ giác NIBC có tg nội tiếp  điểm M,I,B,C,N thuộc đường tròn  Xét  có (chứng minh trên), đồng dạng => Do AB khơng đổi nên ta có ĐPCM Khai thác: Vậy qua vị trí đặc biệt điểm di động mà tính chất nhìn rõ hơn, qua giúp tìm đường lối giải tốn dễ dàng Bây xét ví dụ mà đặc biệt hóa tạo kết cho tốn Ví dụ 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp tích hai đường chéo tổng tích hai cạnh đối diện ( định lý Ptoleme) [4] Chứng minh A Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử , đoạn thẳng AC lấy điểm M cho D B O  đồng dạng M  AB.CD=BD.AM (1)  đồng dạng C  BC.AD=BD.CM (2) Cộng (1) (2) theo vế ta có AB.CD+AD.BC = BD.(BM+CM)  AB.CD+AD.BC = BD.AC ( ĐPCM) Đặc biệt hóa định lý Ptoleme ta có số kết sau: - Nếu ABCD hình chữ nhật ta có AB = CD , AD = BC AC = BD Khi AB.CD+AD.BC = BD.AC trở thành AB2 + BC2 =AC2 Đây định lý Pitago Vậy định lý Pitago coi trường hợp riêng định lý Ptoleme - Nếu ABCD hình vng AB = BC = CD = DA = ; AC = BD = 2R Khi với P điểm đường cung nhỏ CD ta có : PA.BC +AB.PC = PB.AC  DA+DC = - Áp dụng định lý Ptoleme kết , M điểm thuộc cung AB ta chứng minh MA – MD = Như ta thấy phương pháp đặc biệt hóa khơng có ích trng giải tốn mà cịn giúp cho người học chủ động tìm mới, tăng khả sáng tạo skkn Một ý quan trọng đặc biệt hóa toán ta cần phải thận trọng Chúng ta tốn sau Ví dụ 6: Tính cạnh huyền tam giác vuông biết đường cao tương ứng với cạnh huyền h bán kính đường trịn nội tiếp r [5] Phân tích: Xét tam giác ABC vuông A (h 4) Gị BC = x Đặt AC = b, AB = c Cần tính theo h r Ta có hệ phương trình : Từ (3) ta có : b + c = x + 2r Bình phương hai vế ta : b2 + c2 + 2bc = x2 + 4r2 + 4xr (4) Từ (1), (2) (4) ta có: x2 + 2hx = x2 + 4r2 + 4xr h r B x= A C H D ĐẶc biệt hóa tốn : Với h = 5, r = ta có Tính cạnh huyền tam giác vuông biết đường cao tương ứng với cạnh huyền bán kính đường trịn nội tiếp Giải tốn ta x = =8 Chớ vội lòng với đặc biệt hóa Ta thử hỏi có tồn mọt tam giác thỏa mãn điều kiện hay không? Để trả lời câu hỏi tiếp tục tính cạnh tam giác vng đó: Từ (1): b2 + c2 = 82 = 64 Từ (2): bc = 5.6 = 40 Suy ra: (b – c)2 = b2 + c2 – 2bc = 64 -80 = -16 (Vơ lý) Như khơng có tam giác vuông thỏa mãn giả thiết cạnh huyền bán kính đường trịn nội tiếp Như khí thay chữ số để đặc biệt hóa toán, cần lưu ý kiểm tra xem số thay vào có thỏa mãn quan hệ ràng buộc yếu tố tốn hay khong, hình nêu tốn có tồn hay khơng? Phần 2: Khái qt hóa 1) Khái qt hóa gì? Theo G Pơlya, “Khái qt hóa chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng việc nghiên cứu tập lớn hơn, bao gồm tập hợp ban đầu” Trong “Phương pháp dạy học mơn Tốn”, tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy nêu rõ: “Khái quát hóa chuyển từ tập hợp đối tượng skkn sang tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầubằng cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát” Chẳng hạn, khái quát hóa, chuyển từ việc nghiêncứu tam giác sang nghiên cứu tứ giác, đa giác với số cạnh Từ hệ thức lượng tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng tam giác thường Chúng ta chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng cho n số tùy ý, 2) Các ví dụ Ví dụ 6: Từ ví dụ ta nêu tốn tổng qt “ Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M đa giác cho trước, kể M cạnh đa giác đều, đến tất cạnh tam giác khơng đổi” [4] Tiếp tục mở rộng hình học khơng gian có tốn : “ Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm bên tứ diện tới tất mặt đường cao tứ diện” Cách tìm kiếm lời giải cho tốn tiến hành tương tự tán giải tam giác cách trước hết xét trường hợp đặc biệt Ví dụ *: Cho tam giác ABC vng A có AB 90o), thiết lập toán tương tự ta có: VD 8.1: Cho tam giác ABC có Â