Trac nghiem toan 12 bai toan mat cau ngoai tiep hinh chop co canh ben vuong goc

BÀI TOÁN MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xét khối chóp S ABC có  SA ABC Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC  Dựng tâm Dựng trục đư[.]

BÀI TỐN MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC ĐÁY A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xét khối chóp S ABC có SA   ABC  Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC  Dựng tâm Dựng trục đường tròn ngoại tiếp d tam giác ABC , d / / SA Trong mặt phẳng  SA; d  , dựng đường trung trực  SA Tâm I mặt cầu giao điểm d   Tính bán kính R mặt cầu Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi E trung điểm SA Xét AOI vuông O  SA  R  AI  OA  OI  OA  AE  OB      Ta có 2 2 2 với OA  Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy Khi đó: RS ABC SA2   Rd2  Tổng quát: Cho khối chóp S A1 A2 An có SA  AA1 A2 Gọi Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác AA1 A2 An bán kính mặt cầu ngoại tiếp R khối chóp S A1 A2 An tính theo R công thức: SA2  Rd2 B BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB  a, AC  a ABC  Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng  600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R  a B R  a C R  Lời giải a D R  a  Ta có SB;  ABC   SBA  600  SA  tan 600 AB  a Tam giác ABC vuông A  AB2  AC  BC  BC  2a  Hình chóp S ABC có chiều cao h  a 3; bán kính Rday  BC a  Bán kính a 3  R  a2 mặt cầu cần tính  a Chọn D Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có diện tích a Cạnh bên SA vng góc với đáy Diện tích tam giác SBC 2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R  a 57 B R  a C R  5a Lời giải  Đặt AB  x   SABC  x2  a  x  2a Gọi H trung điểm BC  AH  BC mà SA  BC Suy  BC   SAH   BC  SH  SSBC  SH BC  2a 2 SH 2a  2a  SH  2a  SA  SH  AH  a  Hình chóp S ABC có chiều cao h  SA  a; bán kính Rday  2a 3  Bán kính mặt cầu cần tính Chọn A R  2a  a a 57   D R  a 34 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA  2a SA vng góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD tam giác Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B 3a3 C 6a3 D 2a3 Lời giải  BD  x SB  SA2  AB2  x2  2a  Đặt AB  x  x  x 2a Tam giác SBD  SB  BD  x  a 2  Hình chóp S.ABCD có chiều cao h  a 2; bán kính Rday  a R  a2  Bán kính mặt cầu cần tính a    a Vậy thể tích khối cầu 4  a  V    6a   Chọn C Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, cạnh a, SA vng góc với đáy SAB  SC tạo với mặt phẳng  góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a D 2a Lời giải     SA  BC  CB   SAB   SC;  SAB   SC; SB  CSB  AB  BC Ta có  Tam giác SBC vuông B  tan CSB   BC  SB  a SB Tam giác SAB vuông A  SA  SB2  AB2  a Vậy h  SA  a 2; Rd  BD AB a nên R  a   2 Chọn A Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB  a, ACB  30 Cạnh ABC  bên SA vng góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng  45 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A a B a C a D a Lời giải     Ta có SA   ABC   SB;( ABC )  SB; AB  SBA  450 Tam giác SAB vng A , có SBA  450  SA  AB  a Tam giác ABC vuông A , có sin ACB  AB  AC  2a AC Suy bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC RABC  AC  a Vậy bán kính mặt cầu cần tính R R ABC SA2 a2 a   a   4 Chọn B Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Cạnh bên SA vng góc SCD  ABCD  với mặt phẳng đáy Góc hai mặt phẳng   45 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A a2 B a Diện tích tam giác SAB a2 C a Lời giải     Vì CD   SAD    SCD  ;  ABCD   SD; AD  SDA  450 Tam giác SAD vuông A, có SDA  450  SA  AD  x Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABCD RABCD  Bán kính mặt cầu Mà Vậy RS ABCD  SSAB  R  RABCD  SA2 x  a x a    x  a 2 2 x2  a2 Chọn C AC x  2 D 2a Ví dụ 7: Cho mặt cầu  S  có bán kính R  qua điểm A cố định Xét điểm B, C, D thuộc  S  cho AB, AC, AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C D Lời giải Vì A, B, C, D thuộc  S    S  ngoại tiếp tứ diện ABCD Tứ diện ABCD có chiều cao h  AD; đáy tam giác ABC Đặt AB  a, AC  b, AD  c  h  c Rday  BC a  b2  2  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD  a  b2 R     c2 a  b2  c    a  b2  c  12     Ta có 12  a  b2  c  3  abc 2  abc   VABCD  abc  Chọn C Bài toán tổng quát: Tứ diện ABCD, AB, AC, AD đơi vng góc AB  a, AC  b, AD  c bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R  a  b2  c2 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD  60 cạnh bên SA  SB  SD, BSD  90 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD A R  6a B R  6a C R  3a D R  2a Lời giải  S ABD Vì SA  SB  SD ABD cạnh a  hình chóp tam giác Mặt khác BSD  900  SB  SD  SA, SB, SD đơi vng góc Áp dụng công thức giải nhanh, ta RS ABD  a SA2  SB  SD a R Chọn A Ví dụ 9: Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi vng góc với Gọi C điểm cố định Oz, đặt OC  1, điểm A, B thay đổi Ox, Oy cho OA  OB  OC Giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OACB A Rmin  B Rmin  C Rmin  D Rmin  Lời giải Đặt OA  a, OB  b với a, b  suy OA  OB  OC  a  b  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OACB ( OA, OB, OC đôi vng góc) R OA2  OB  OC a  b2  1 2   a  1  a    2a  2a  2 2 2 3 3 Dễ thấy a  a    a      a  a    R   2 4 2  2 Dấu xảy a  b  Vậy giá trị bé cần tìm Chọn A Ví dụ 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ', cạnh AB  AC  a, BC  a 3, AA '  2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB ' C 'C A R  a B R  a D R  a C R  a Lời giải Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB ' C 'C tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A ' ABC h2 Sử dụng cơng thức tính nhanh, ta R  r    RABC  Ta có cos BAC   RABC  A ' A2  AB  AC  BC a  a  3a     BAC  1200 2 AB AC 2a BC 2sin BAC  a  a Khi R  2.sin1200  RABC   A ' A2  a Chọn D Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân B, AB  a Góc hai mặt phẳng  A ' BC   ABC  600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 5 a B 5 a C 3 a D 3 a Lời giải   AA '  BC  A ' BC    AA ' B 'B  A ' B  BC   AA ' B ' B     AB  BC  ABC    AA ' B 'B  AB Ta có      A ' BC  ;  ABC   A ' B; AB  A ' BA  600  AA '  AB.tan 600  a Tam giác ABC vuông cân B, có RABC  Suy bán kính mặt cầu R  R  ABC AC a  2 A ' A2 a  4  a  5 a3 Vậy thể tích khối cầu cần tính V   R3      3   Chọn B Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông , AB  BC  a Biết góc hai mặt phẳng  ACC '  AB ' C ' 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' A a B a C a D Lời giải Kẻ B ' H  A ' C '  H  A ' C ' , kẻ HK  AC '  K  AC '  B ' H  AC '  AC '   B ' HK   HK  AC ' Ta có B ' H   ACC '   Khi  ACC ' ;  AB ' C '   HK ; B ' K   B ' KH  600 Tam giác A ' B ' C ' vuông cân B '  B ' H  Tam giác sin B ' HK  B ' HK vuông A'C ' a  2 H, có BH a  B'K  B'K Tam giác AB ' C ' vuông B ', có B ' K đường cao  1 1      AB '  a 2 2 B'K AB ' B ' C ' AB ' 2a Tam giác AA ' B vuông A ', có AA '  AB '2  A ' B '2  a   a2  a a Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R  R ABC  a  a2 a AA '2     Chọn C   4   ... tính nhanh, ta R  r    RABC  Ta có cos BAC   RABC  A '' A2  AB  AC  BC a  a  3a     BAC  120 0 2 AB AC 2a BC 2sin BAC  a  a Khi R  2.sin1200  RABC   A '' A2  a Chọn D Ví... kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD  a  b2 R     c2 a  b2  c    a  b2  c  12     Ta có 12  a  b2  c  3  abc 2  abc   VABCD  abc  Chọn C Bài toán tổng quát: Tứ diện... A2 a  4  a  5 a3 Vậy thể tích khối cầu cần tính V   R3      3   Chọn B Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC A '' B '' C '' có đáy ABC tam giác vng , AB  BC  a Biết góc hai mặt