Mot so bai toan ve mat cau ngoai tiep chon loc toan 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP 1 Bài toán 1 Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi là nội tiếp mặt cầu đó Một hình chóp nộ[.]

MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Bài tốn Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện  H  gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện  H  hình đa diện  H  gọi nội tiếp mặt cầu Một hình chóp nội tiếp mặt cầu đáy đa giác nội tiếp đường tròn Thậy ta có Giả sử tồn mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình chóp S A1 A2 An , tức ta có OH   A1 A2 An  Kẻ ta có HOA1 HOA2 HOA3  HOAn  HA1 HA2 HA3  HAn hay đa giác A1 A2 An nội tiếp OS OA1 OA  OAn Ngược lại giả sử hình chóp S A1 A2 An có đáy A1 A2 An đa giác nội tiếp đường tròn  C  Gọi  trục đường tròn  C  gọi O giao điểm  với mặt phẳng trung trực cạnh bên, chẳng hạn SA1 Khi OS OA1 OA2  OAn Vậy hình chóp S A1 A2 An có mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu tâm O bán kính R SO S α I O A4 H A1 A3 A2 Bài tốn Một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng với đáy đa giác nội tiếp đường trịn Thật Nếu hình lăng trụ  H  có mặt cầu ngoại tiếp mặt bên hình bình hành có đường trịn ngoại tiếp nên phải hình chữ nhật Vậy  H  lăng trụ đứng Mặt khác,  H  có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải đa giác có đường trịn ngoại tiếp Ngược lại, cho  H  lăng trụ đứng có  đường tròn  C   C  ngoại tiếp đa giác đáy Gọi I I  tâm hai đường trịn II  trục hai đường trịn Vì thế, gọi O trung điểm (C') I' O (C) I đoạn thẳng II  O cách tất đỉnh hình lăng trụ cho Vậy hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp Phương pháp xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ    Cho hình lăng trụ đứng A1 A2 An A1 A2 An có đáy A1 A2 An đa giác nội tiếp A A A A A  An ta làm Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ n sau: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp O, O dựng trục OO ' hai đáy hai đáy Bước 2: Dựng trung điểm I đoạn OO ' I tâm mặt cầu ngoại tiếp    R  OA12  OI hình lăng trụ A1 A2 An A1 A2 An bán kính Bài tập áp dụng    Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có độ dài cạnh đáy a chiều cao 2a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC ABC  Lời giải C A O B I C' A' O' B' Gọi O, O trọng tâm tam giác ABC ABC  Do ABC ABC  lăng trụ tam giác nên O, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABC  Dựng trục OO hai đáy gọi I trung điểm OO Khi I tâm mặt cầu bán kính mặt cầu R IA Ta có OA  a 3 ; OI a Xét tam giác vuông IOA ta có 2 a 3 2a R  OA  OI    a    2 32 3 a V  R  27 Vậy thể tích khối cầu Bài 2: Cho hình lăng trụ lục giác có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Bài làm F' E' A' B' O' C' D' I F A B O E D C Gọi O , O tâm lục giác ABCDEF ABC DEF  Ta có: OA OB OC OD OE OF a OO trục mặt phẳng  ABCDEF   ABCDEF    Trong mặt phẳng  AA , OO  , dựng đường trung trực d cạnh AA d cắt OO I  I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính R IA 2 Xét tam giác OIA vuông O có: IA  OI  OA 2a 2 Khi diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là: S 4 R 16 a Phương pháp xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 4.1 Sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S A1 A2 An (thỏa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực sau: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng đường thẳng  trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp mặt bên (dễ xác định) khối chóp Khi đó: Tâm I mặt cầu giao điểm hai trục  d Bán kính R IA1 IS Bài tập áp dụng  Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABC 60 Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài làm S G I D A H O B C Gọi H trung điểm cạnh AB Vì SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy nên SH   ABCD  Gọi O, G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SAB CH  AB  CH  SH  CH   SAB  Ta có  Từ O kẻ đường thẳng 1   ABC   1 //SH Trong mặt phẳng  1 ; SH  từ G kẻ đường thẳng  //CH   1 I Do  //CH     SAB  Vì I  1  IA IB IC  1 Vì I    IA IB IS   Từ  1 ,   có I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Các tam giác ABC SAB cạnh a nên SG  a a GI OH  3a 3a a 15   2 36  SG  GI R  SI Bán kính mặt cầu Do diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:  5 a S 4 R  Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Bài làm S I G D A H K O B C Gọi H trung điểm cạnh AB Vì SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy nên SH   ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB O tâm hình vng ABCD Từ O kẻ đường thẳng 1   ABCD   1 // SH Ta có 1 trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Trong mặt phẳng  SAB  từ G kẻ đường thẳng    SAB    // HO Ta có  trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Gọi I 1   ta có IA IB IC ID IS hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD R SI  SG  GI Ta có GI HO  a a SG  SH  3 2, a 3a a 21 R SI  SG  GI    Vậy 2 21 V   R3  a 54 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Bài 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , mặt bên SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho biết ASB 120 Bài làm Gọi H trung điểm AB ,  SAB    ABC  , tam giác ABC tam giác SAB cân S nên SH   ABC  CH   SAB  Gọi I J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SAB Dựng đường thẳng Ix //SH Jy //CH Ix   ABC  Jy   SAB  nên Ix trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Jy trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Khi Ix  Jy O O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA.SB AB AB R  SJ     SAB  3 OJ IH  .SA.SB.sin120 Ta có 4  15  5 15 1 15 V  R      R SO    3 54 12 nên   Vậy 4.2 Sử dụng trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S A1 A2 An (thỏa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực sau: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng đường thẳng  trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực    cạnh bên Khi đó: Tâm I mặt cầu giao điểm hai trục  d Bán kính R IA1 IS Bài 6: Cho khối tứ diện OABC với OA , OB , OC đơi vng góc OA OB OC 6 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Lời giải A N I C O M B Gọi M trung điểm BC , tam giác OBC vuông O nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Qua M dựng đường thẳng d song song với OA d trục đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC Gọi  đường trung trực cạnh OA I giao điểm  d Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 1 OM  BC  OB  OC 3 ON IM  OA 3 2 Ta có ; Tam giác OMI vuông M nên  IM  OM  IM    32 3 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC R 3 Bài 7: Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC , biết cạnh đáy có độ dài a , cạnh bên SA a Lời giải S H I C A O N M B Gọi H trung điểm SA Trong mặt phẳng  SAO  kẻ đường thẳng qua H vng góc với SA cắt SO I Khi IS IA IB IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Ta có: AM  a 6a a AO  SO  SA2  OA2  ; ; SI SH SH SA 6a  SI    SO Do SHI ∽ SOA ta có: SA SO Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ngoại tiếp hình chóp S ABC R 6a Bài 8: Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SA 2a Biết tam giác ABC cân A có BC 2a , chóp S ABC cos ACB  , tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình Lời giải S d N I C A O M B Gọi M , N trung điểm BC SA ; O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC cân A nên O  AM Qua O dựng  trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC   // SA  Trong  SAM  , kẻ đường thẳng qua N vng góc với SA cắt  I Khi IS IA IB IC nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Xét tam giác vng AMC có cos ACM  MC AC  AB  AC 3a Mặt khác Mà S ABC S ABC  1 1  CA.CB.sin ACB  3a 2.2a    4a 2 2  3 AB AC.BC  OA  a 4.OA Tứ giác NAOI hình chữ nhật nên Suy bán kính mặt cầu R AI  NA2  AO  97a 97a 97 a S 4 R  Vậy diện tích mặt cầu Bài 9: Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông cân B , AB a Mặt phẳng  SBC  hợp với mặt đáy góc 60 Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải S C A 600 B Ta có: BC  SBC    ABC   BC  SA  BC   SAB   BC  AB  Mặt khác Do  60   SBC  ,  ABC    AB, SB  SBA  Xét tam giác vuông SAB ta có SA  AB.tan ABS  SA a Do ABC tam giác vuông cân B nên AC 2a Xét SAC tam giác vuông A nên SC a 10  AC  SA   BC  SB Ta có:  bốn điểm S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SC Vậy bán kính mặt cầu R a 10 10 V   R3  a 3 V S ABC Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp Nhận xét: Nhiều ta phải mở rộng hình chóp để hình lăng trụ dễ việc xác định tâm bán kính mặt cầu tiếp đơn giản Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng cân A, AB 1 Góc gữa AC mặt phẳng  ABC  60 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C  ABBA Lời giải C' A' H' B' I 600 C A H B    Ta có ABC ABC  lăng trụ đứng nên AA   ABC    A C ,  ABC    A C , AC   ACA 60 Xét tam giác vng AAC ta có tan ACA  AA  AA  AC tan ACA  AA  AC Nhận thấy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C  ABBA mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC ABC  Gọi H , K trung điểm cạnh BC , BC  Do tam giác ABC vuông cân A nên HK trục hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC ABC  Gọi I trung điểm HK I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC ABC  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C  ABBA R IB  IH  HB  2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C  ABBA S 4 R 5 Một số toán khác 10 Bài 11: Ba tia Ox, Oy, Oz đôi vng góc với nnhau C điểm cố định tia Oz cho OC 1 Hai điểm A, B thay đổi hai tia Ox, Oy cho OA  OB OC Tìm giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Lời giải Đặt OA a, OB b  a  b 1 ,  a, b   0;1  Gọi H , K trung điểm cạnh AB, OC Do tam giác OAB vuông O nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Qua H dựng đường thẳng C 1   OAB   1 //OC đường thẳng 1 trục đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB Gọi  đường trung trực OC I 1   I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K I B O OABC a  b2 R  IH  OH  R   Ta có H A 1 1 1    a  b     a  b      R  8 8 Rmin  Vậy giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 12: Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp hình cầu có bán kính Tính thể tích V khối chóp tích lớn S I D A O C B Gọi  S  mặt cầu có tâm I bán kính R 9 Xét hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a   a 9  11 a2 AC a  81  OA   2 2  OI  IA  OA Ta có a2 9  81  Mặt khác ta lại có SO SI  IO 2 a2  V  a   81       Thể tích khối chóp S ABCD a2 3a  a 81  2 Đặt a t ,  a 9 nên  t 162  t  f  t  3t  t   81    2 Xét hàm số , với  t 162 ta có 324  3t f  t  3   t t t 12 81   81    ; f  t  0 12 t 108   t  t 81      12   9  t 108     t 0   t 144   t 144 Ta có bảng biến thiên t f  t   144 576  162 f  t Từ bảng biến thiên ta có Vmax 576 t 144 hay a 12 Vậy thể tích lớn nh ất khối chóp nội tiếp hình cầu cầu có bán kính V 576 Bài 13: Cho lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, đáy tứ giác ABCD với A , B , C , D di động Gọi I giao hai đường chéo AC BD tứ giác Cho biết IA.IC IB.ID h Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho 12 Lời giải C B I r A K D C B D A Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi  K ; r  đường tròn ngoại 2 tiếp ABCD Khi IA.IC IB.ID r  IK (theo phương tích 2 2 2 đường tròn) Suy r  IK h  r h  IK Gọi  O, R  mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có h2 5 h h  h  IK  h  R  Rmin  4 Vậy I tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B với AB BC a AD 2a Cạnh bên SA a vng góc với mặt phẳng đáy R OA2  OK r   ABCD  Gọi E trung điểm cạnh AD Xác định bán kính mc ngoại tiếp hình chóp S CDE Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên  SAD  nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Mặt phẳng    qua A vng góc với cạnh SA, SB, SC M , N , P Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S MNP biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  13 13 Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên  SAD  nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Gọi M , N trung điểm cạnh BC , CD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với độ dài đường chéo 2a , cạnh SA có độ dài 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD ? Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vng cân A , AB  AC a , AA  2a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABAC Bài 7: Một khối đa diện H tạo thành cách từ khối lập phương cạnh , ta bỏ khối lập phương cạnh “góc” hình vẽ C B D C' B' A' D' Gọi S khối cầu tích lớn chứa H tiếp xúc         với mặt phẳng  A B C D  ,  BCC B   DCC D  Tính bán kính S Bài 8: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm Δ ABC 2SH=BC,  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc 60 Biết có điểm O nằm đường cao SH cho d  O ; AB  d  O ; AC  d  O;  SBC   1 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 14 15 ... cắt SO I Khi IS IA IB IC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Ta có: AM  a 6a a AO  SO  SA2  OA2  ; ; SI SH SH SA 6a  SI    SO Do SHI ∽ SOA ta có: SA SO. .. hình chóp SA.SB AB AB R  SJ     SAB  3 OJ IH  .SA.SB.sin120 Ta có 4  15  5 15 1 15 V  R      R ? ?SO    3 54 12 nên   Vậy 4.2 Sử dụng trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp... Xét hàm số , với  t 162 ta có 324  3t f  t  3   t t t 12 81   81    ; f  t  0 12 t 108   t  t 81      12   9  t 108     t 0   t 144   t 144 Ta có