Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TOÁN MẶT CẦU CỦA HÌNH CHÓP CÓ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xét khối chóp S ABC có SA SB SC Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC (Hình chóp đều là một tr[.]
BÀI TỐN MẶT CẦU CỦA HÌNH CHĨP CĨ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xét khối chóp S ABC có SA SB SC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC (Hình chóp trường hợp đặc biệt dạng toán này) Dựng tâm Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có SO ABC Trong mặt phẳng SAO dựng đường trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Tính bán kính R mặt cầu Gọi E trung điểm AB Hai tam giác vuông SOA SEI đồng dạng Suy SO SA SE.SA SA2 R SI SE SI SO 2SO Vậy R SA2 2SH Tổng quát: S A1 SA2 SAn Cho khối chóp S A1 A2 An có có chiều cao SO h bán kính mặt cầu ngoại tiếp R khối chóp S A1 A2 An tính theo công thức: R 2SO 2h B BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC có AB a, SA a A 5 a 75 B 15 a 25 C Lời giải 3 a 25 D 3 a 75 SO ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC a a 3 Gọi M trung điểm BC OA AM Tam giác SAO vuông O SO SA2 OA2 Vậy SA a 2; SO a 15 a 15 a 15 15 a3 R V 25 Chọn B Mở rộng với tốn hình chóp tam giác Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, với giả thiết Cạnh bên SA b R 3.b2 3b a Cạnh bên SA hợp với đáy góc R a 3.sin 2 Mặt bên tạo với mặt đáy góc R Góc SAB R 3.a cos .cos 3 Góc ASB R 3.a 3 sin sin 2 tan 12 tan a Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB a Các cạnh bên SA SB SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 450 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A a B a C a D a Lời giải Gọi O trung điểm BC O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SO ABC SA; ABC SA; OA SAO 450 BC AB 2a Tam giác ABC vuông cân A Tam giác SAO vuông cân O SO OA BC a R a Vậy SO a; SA OA a Chọn D Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy 1, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A 25 12 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD B 25 24 C 5 12 D 5 24 Lời giải Gọi O tâm tam giác ABC, M trung điểm BC SO ABC ; OA 2 3 AM ; OM OA 3 OH SBC Kẻ OH SM H SM Ta có d A; ABC 3.OH OH Tam giác SMO 6 :3 12 vng M có 1 SO 2 OH SO OM Vậy SO 15 ; SA SO OA2 R 6 12 Diện tích mặt cầu cần tính S 4 R 25 Chọn A 12 Ví dụ 4: Cho ba tia Sx, Sy, Sz không đồng phẳng xSy 1200 ; ySz 600 ; zSx 900 Trên tia Sx, Sy, Sz lấy điểm A, B, C cho SA SB SC a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện a A R B R a C R a D R a Lời giải Tam giác SAB có Ab SA2 SB2 2SA.SB.cos ASB a AC SA a Tam giác SAC vuông cân S Suy AC BC AB2 ABC vuông C SO ABC Gọi O trung điểm AB Tam giác SAO vuông O SO SA2 OA2 a Vậy SO ; SA a R a SA2 a Chọn B 2SO Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A 4 a B 2 a 8 a C D 8 a 27 Lời giải SO ABCD Gọi O tâm hình vng ABCD Do SB; ABCD SB; OB SBO 600 OB SB a SB Tam giác SBO vng O, có cos SBO a SO SO OB.tan SBO Suy bán kính mặt cầu cần tính R SB a 2SO a 6 a : 3 4 a 8 a3 Vậy diện tích khối cầu cần tính V R3 Chọn D 3 27 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có AC 2a, mặt bên SBC tạo với mặt đáy ABCD góc 450 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C Lời giải a D a Gọi M trung điểm BC OM BC BC SMO Do SBC ; ABCD SM ; MO SMO 450 AB a Vì ABCD hình vng có AC 2a Tam giác SMO vuông cân O SO OM Tam giác O SA SO OA2 Vậy SA SAO a 2 vuông a a a ; SO R a Chọn C 2 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, khoảng cách hai đường thẳng SB AD 3a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R a 12 B R a C R a 12 D R a Lời giải Ta có AD / / BC AD / / SBC d SB; AD d A; SBC SO ABCD Gọi O tâm hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC; kẻ OH SM H SM OH SBC d A; SBC 2.OH OH Tam giác SMO a vng, có 1 SO a 2 OH SO OM Vậy SO a 3; SA SO OA2 a R R a Chọn D Ví dụ 8: Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính 9, tính thể tích V khối chóp tích lớn A V 144 B V 576 C V 576 Lời giải D V 144 Xét mặt cầu S ngoại tiếp hình chóp S.ABCD SO ABCD Gọi O tâm hình vng ABCD Bán kính mặt cầu S R SA2 SA2 18h (*) 2h Đặt AB x VS ABCD SO.S ABCD h.x Tam SAO vuông giác O SA2 SO OA2 h2 x2 Thay vào (*), ta h2 x2 18h x 36h 2h2 casio Do V 36h 2h2 12h2 h3 Vmax 576 Chọn B h 3 ... 12 vng M có 1 SO 2 OH SO OM Vậy SO 15 ; SA SO OA2 R 6 12 Diện tích mặt cầu cần tính S 4 R 25 Chọn A 12 Ví dụ 4: Cho ba tia Sx, Sy, Sz không đồng phẳng xSy 120 0... 2 Mặt bên tạo với mặt đáy góc R Góc SAB R 3.a cos .cos 3 Góc ASB R 3.a 3 sin sin 2 tan 12 tan a Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông... có cạnh đáy 1, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A 25 12 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD B 25 24 C 5 12 D 5 24 Lời giải Gọi O tâm tam giác ABC, M trung điểm BC SO