Toán 7. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN pptx

A. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Chú ý: ( ) b b b a a a f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx + = + ∫ ∫ ∫ Bài 1 Tính I= 2 2 2 1 x dx x 7x 12− + ∫ Giải: ( ) ( ) 2 2 x 7x 12 A B f (x) 1 1 x 7x 12 x 3 x 4 x 3 x 4 − = = + = + + − + − − − − Xét : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x 4 B x 3 7x 12 A B x 3 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 − + − − = + = − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) A 9 A B x 4A 3B B 16 x 3 x 4 = − + + − −  = ⇔  = − −  Vậy: ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 9 16 1 1 I 1 dx dx 9 dx 16 dx x 3 x 4 x 3 x 4 x 9ln x 3 16ln x 4 1 25ln 2 16ln 3   = − + = − +  ÷ − − − −   = − − + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2 Tính I= 1 2 0 4x 11 x 5x 6 + + + ∫ Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 A x 2 B x 3 4x 11 A B f (x) x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 A 3 3 1 9 f (x)dx dx dx I 3ln x 2 ln x 3 ln B 1 x 2 x 3 2 + + + + = = + = + + + + + + =  ⇔ ⇔ = + ⇒ = + + + =  = + +  ∫ ∫ ∫ Bài 3 2 0 I cos x cos 2x cos3xdx π = ∫ Giải: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 f (x) cos2x cos4x cos2x cos4x cos 2x cos 2x cos6x cos2x 1 cos4x 2 2 4 = + = + = + + + 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 I cos6xdx cos4xdx cos2xdx dx sin 6x sin 4x sin 2x 4 4 6 4 2 2 8 π π π π π   π π   ÷ = + + = + + + =  ÷  ÷    ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 4 tính 2 0 sinx I dx cos x sinx π = + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 A B cos x A B sinx sinx sinx cos x f (x) A B cos x sinx cos x sinx cos x sinx 1 A 1 sinx cos x 1 2 I 1 dx x ln cos x s inx 1 2 cos x sinx 2 4 B 2 π π − + + −   = = + =  ÷ + + +    = −  − π    ⇔ ⇔ = − + = − + + =   ÷ +    = −   ∫ II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 1 + Chọn 1 2 1 2 a (t ) & b (t ) t ; t x (t) dx '(t)dt = ϕ = ϕ ⇔  = ϕ ⇔  = ϕ  + f (x)dx g(t)dt = + 2 1 t b a t f (x)dx g(t)dt= ∫ ∫ + 2 1 x x sin t t (0; ) 2 π − ⇔ = ∈ + 2 1 x 1 x t (0; ) sin t 2 π − = ∈ Bài 5 Tính 2 2 2 2 0 x I dx 1 x = − ∫ Giải: Đặt x sin t 0 t< 2 π = ≤ x 0 t 0 dx= cos tdt 2 x t 2 4 = ⇔ =   ⇒  π = ⇒ =   ( ) 2 2 2 x sin tcos tdt 1 dx 1 cos2t dt cos t 2 1 x = = − − ( ) 4 4 0 0 1 1 1 1 I 1 cos2t dt t sin 2t 2 2 2 8 4 π π π   = − = − = −  ÷   ∫ Bài 6 2 2 2 3 dx I x x 1 = − ∫ Đặt 1 x 0<t< sin t 2 π = 2 1 x 2 sin t t 2 6 cos t dx dt sin t 2 3 x sin t t 2 3 3 π  = ⇒ = ⇒ =   = −  π  = ⇒ = ⇒ =   2 2 2 cos t dx cos t sin t dt dt dt cos t 1 1 x x 1 1 sin t sin t − = = − = − − − 6 3 6 3 I dt t 6 π π π π π = − = = ∫ Dạng 2: Dặt t (x) = ϕ (a) dx '(t)dt (b) α = ϕ  = ϕ  β = ϕ  b a f (x)dx g(t)dt β α ⇔ = ∫ ∫ Bài 7 6 2 0 cos x I dx sin x 5sin x 6 π = + + ∫ Đặt sin x t = x 0 t 0 dt cos xdx 1 x t 6 2 = ⇒ =   =  π = ⇒ =   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 2 0 0 dt dt 1 1 I dt t 5t 6 t 2 t 3 t 3 t 2 t 3 10 I ln t 3 ln t 2 ln ln t 2 9   = = = − =  ÷ − + − − − −   − = − − − = = − ∫ ∫ ∫ Bài 8 ( ) e 2 1 dx I x 1 ln x = + ∫ Đặt ln x t = 1 2 0 x 1 t 0 dx dt dt I x e t 1 x 1 t = ⇒ =  = ⇒ =  = ⇒ = +  ∫ Đặt t tan u = 2 t 0 u 0 1 dt du cos u t 1 u 4 = ⇒ =   =  π = ⇒ =   4 4 2 4 2 0 0 0 1 du cos u I du u 1 tan u 4 π π π π = = = = + ∫ ∫ . III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Chú ý: Từ b b b a a a d(u.v) udv vdu udv u.v vdu = + ⇔ = − ∫ ∫ b b a a b b a a I f (x)dx g(x)h(x)dx u g(x) du g '(x)dx I= uv vdu dv h(x)dx v = = = ⇒ =  ⇒ −  = ⇒  ∫ ∫ ∫ Bài 9 2 0 x cos xdx π ∫ Dạng b b a a P(x)sin xdx P(x)cosxdx       ∫ ∫ Đặt: u x du=dx cos xdx v v=sinx = = ( ) 2 2 2 0 0 0 I xsin x sin xdx x sin x cos x 1 2 π π π π = − = + = − ∫ Bài 10 1 x 0 xe dx ∫ Dạng b x a P(x)e dx α ∫ Đặt x x u x du dx e dx v v e = = = = ( ) 1 1 1 x x x x 0 0 0 I xe e dx xe e 1 = − = − = ∫ Bài 11 2 2x 0 I e sin3xdx π = ∫ Dạng b b x x a a e sin xdx e cos xdx α α   β β     ∫ ∫ Đặt 2x 2x u sin 3x du 3cos3xdx 1 dv e dx v e 2 = = = = Vậy 2 2 2 2x 2x 2x 0 0 0 1 3 1 3 I sin3xe e cos3xdx sin 3xe J(*) 2 2 2 2 π π π = − = − ∫ Xét 2 2x 0 J e cos3xdx π = ∫ Đặt 2x 2x u cos3x du 3sin 3xdx 1 dv e dx v e 2 = = − = = Vậy 2 2 2 2x 2x 2x 0 0 0 1 3 1 3 J cos3xe e sin3xdx cos3xe I(**) 2 2 2 2 π π π     = + = +  ÷  ÷     ∫ Thay (**) vào (*) Ta có 2 2 2x 2x 0 0 2 2x 2x 0 1 3 1 3 I sin 3xe sin3xe I 2 2 2 2 13 1 3 3 2e I sin 3xe sin 3xe I 4 2 4 13 π π π         = − + ⇔  ÷  ÷           −   = − ⇔ =  ÷   Bài 12 e 1 x ln xdx ∫ Dạng b a P(x)ln xdx ∫ Đặt 2 1 u ln x du dx x 1 dv xdx v x 2 = = = = e e e 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 I x ln x x dx x ln x x 2 2 2 6     = − = −  ÷  ÷     ∫ Câu lạc bộ Gia sư thủ khoa . A. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Chú ý: ( ) b b b a a a f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx + = + ∫ ∫ ∫ Bài 1 Tính I= 2 2 2 1 x dx x 7x 12− + ∫ Giải: ( ) ( ) 2 2 x 7x 12. =   =  π = ⇒ =   4 4 2 4 2 0 0 0 1 du cos u I du u 1 tan u 4 π π π π = = = = + ∫ ∫ . III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Chú ý: Từ b b b a a a d(u.v) udv vdu udv u.v vdu = + ⇔ = − ∫ ∫ b b a a b b a a I. + −   = = + =  ÷ + + +    = −  − π    ⇔ ⇔ = − + = − + + =   ÷ +    = −   ∫ II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 1 + Chọn 1 2 1 2 a (t ) & b (t ) t ; t x (t) dx '(t)dt = ϕ