ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NÂNG CAO LỚP CAO HỌC LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THÔNG KÊ TOÁN KHÓA 27 CHƯƠNG 5 – KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài 1 Xét hai vectơ Các biểu thức dưới đây có thể là tích vô hướng trong không? Giải th.
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NÂNG CAO LỚP: CAO HỌC LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THƠNG KÊ TỐN KHĨA 27 CHƯƠNG – KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài Xét hai u = ( u1 , u2 , u3 ) , v = ( v1 , v2 , v3 ) Ỵ ¡ vectơ Các biểu thức tích vơ hướng ¡ khơng? Giải thích? a) c) u, v := u v + u v 1 b) u, v := 2u1v1 + u2 v2 + 4u3v3 d) u, v := u v + u v + u v 2 2 2 1 2 3 u, v := u1v1 - u2 v2 + u3 v3 Giải Thỏa mãn tính chất sau: TVH 1: u v, w u, w v, w TVH : u, v w u, v u , w TVH : u, v v, u TVH : u, u 0, u , u 0 u ,với , với u, v, w V u, v := u v + u v a) Biểu thức khơng thể tích vơ hướng thoả tính chất TVH1, TVH2, TVH3, khơng thỏa tính chất TVH4 Xét u = ( 0,1,0) 3 Khi u, u = u, v := u12 v12 + u22 v22 + u32 v32 b) Biểu thức tích vơ hướng Xét u ¹ q khơng thể tích vơ hướng khơng thỏa tính chất (TVH1) u = ( 1,2,3) , v = ( 0;1;1) , w = ( 1,0,1) u v 1,3, ïï u + v, w = 1 + + =17ü ý Þ u + v, w ¹ u, v + v, w ïï u, w + v, w = 10 +1 =11 þ Khi đó: Khi đó: 2 2 c) Biểu thức u, v := 2u1v1 + u2 v2 + 4u3v3 tích vơ hướng thỏa mãn tính chất tích vơ hướng Với a, b Ỵ ¡ với u, v, w Î V au + bv, w = ( au + bv ) w +( au + bv ) w + ( au + bv ) w 1 2 3 = a ( u w + u w + 4u w ) + b ( 2v w + v w + 4v w 2 3 1 2 3 ) = a u, w + b v, w TVH1: TVH2: u, av + bw = 2u1 ( a v1 + bw1 ) + u2 ( av2 + bw2 ) + 4u3 ( av3 + bw3 ) = 2au v + 2bu w + au v + bu w + 4au v + 4bu w 1 1 2 2 3 = a ( u v + u v + u v ) + b ( u w + u w + 4u w 1 2 3 1 2 3 ) = a u, v + b u, w TVH3: u, v = 2u1v1 + u2 v2 + 4u3v3 = 2v1u1 + v2 u2 + 4v3u3 = v, u TVH4: u, u = 2u1u1 + u2u2 + 4u3u3 = 2u12 + u22 + 4u32 ³ u, u = Û 2u12 + u22 + 4u32 = Û u1 = u2 = u3 = Þ u = q u, v := u1v1 - u2 v2 + u3 v3 d) Biểu thức TVH4 tích vơ hướng Xét u = ( 0,1,0) Khi đó: khơng thể tích vơ hướng khơng thỏa mãn tính chất u, u =- < Bài Với giá trị λ ánh xạ xác định tích vơ hướng khơng gian R3 a) b) x, y x1 y1 10 x2 y2 x1 y2 λx3 y3 x2 y3 x3 y2 x, y 2 x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y 3x3 y3 λx2 y3 λx3 y2 ⟨ x , y ⟩ =2 x y1 +7 x y +7 x y +8 x y −3 x y 3+ λ x y + λ x y Giải a) x, y x1 y1 10 x2 y x1 y2 λx3 y3 x2 y3 x3 y2 ⟨ x , y ⟩ =x1 y 1+ 10 x y 2+ x y 2+ λx3 y 3−x y3 −x y 2 x 0,1,0 Với y (1, 0, 0) x, y 0 x, y y , x y , x 6 Ta có: Vậy ánh xạ cho khơng phải tích vơ hướng λ b) x, y 2 x1 y1 x1 y2 x2 y1 8x2 y2 3x3 y3 λx2 y3 λx3 y2 ⟨ x , y ⟩ =2 x y1 +7 x y +7 x y +8 x y −3 x y 3+ λ x y + λ x y Với x 0,0,1 Ta có: x, x Vậy ánh xạ cho tích vơ hướng λ Bài Cho V M m , n , với A, B V , ta định nghĩa: , : V x V A, B Tr BT A Chứng minh V không gian Euclide Giải * Chứng minh V không gian véc-tơ (Ta dễ dàng kiểm tra tiên đề không gian véc-tơ) * Chứng minh tích vơ hướng V Với A, B, C V giả sử a11 a12 a a A 21 22 am1 am1 a1n b11 b12 a2 n b b B 21 22 amn bm1 bm1 , ta có: i) T A B, C Tr A B C Tr AT C B T C Tr AT C Tr BT C A, C B, C b1n b2 n , bmn , A, B C Tr AT B C Tr AT B AT C ii ) Tr AT B Tr AT C A, B A, C m A, B Tr AT B aij bij , j=1, n iii ) i 1 nên m B, A Tr B T A bij aij , j=1, n aij bij bij aij i 1 A, B B, A m A, A Tr AT A aij 0, j=1, n iv) A, A 0 i 1 m a ij 0, j=1, n aij 0, i=1, m, j=1, n i 1 Vậy V không gian Euclide Bài Cho không gian vector a) Với Mn R A aij M n R gồm ma trận vuông cấp n trường số thực , tính vết Tr AAT theo aij Qua chứng minh Tr A nTr AAT b) Chứng minh ánh xạ Mn R A, B Tr ABT xác định tích vơ hướng khơng gian Giải a) * Tính vết Ta có: Tr AAT A M n R nên : a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A an1 an ann a112 a122 a12n AAT * a11 a T A 12 a1n a21 an1 a22 an a2 n ann * 2 an1 an ann 2 Tr AAT a112 a12n a21 a22n an21 ann n n n n n n n a12j a22 j anj2 a12j a22 j anj2 aij2 aij2 j 1 j 1 j 1 j 1 j 1 i 1 i , j 1 Do đó: Tr A nTr AAT *Chứng minh Ta viết lại đẳng thức chứng minh có dạng: Tr A nTr AA T n n 2 aii n aij2 * i , j 1 i 1 Ta chứng minh bất đẳng thức * n n n n i , j 1 i 1 i , j 1 i j i 1 aij2 aii2 aij2 aii2 1 Ta có: Mặt khác, theo bất đẳng thức cauchy-Schwarz, ta có: 2 1.a11 1.a22 1.ann 12 12 12 a112 a22 ann 2 a11 a22 ann n a112 a22 ann n Tr A n aii2 i 1 3 n Tr A n aij2 Tr A nTr AAT 1, i , j 1 Từ b) Xét ánh xạ: , : M n R M n R R A, B Tr ABT Ta chứng minh , A, B, C M n R tích vơ hướng Mn R , R , ta có: i ) A B, C Tr A B C T Tr AC T BC T Tr AC T Tr BC T Tr AC T Tr BC T A, C B, C T ii ) A, B C Tr A B C Tr A B T C T Tr AB T AC T Tr ABT Tr AC T A, B A, C T T iii ) A, B Tr ABT Tr AB T Tr B T AT Tr BAT B , A n iv) A, A Tr AAT aij2 0; A, A 0 i , j 1 n a ij 0 aij 0 A 0 i , j 1 ( A ma trận khơng) , Vậy tích vơ hướng Mn R Bài Chứng minh tích vơ hướng V thỏa: u, v = 0, " v Ỵ V Û u = Giải u, v 0, v V Giả sử , ta chứng minh u Thật vậy, v V Ta có Do u, u v u , u u, v u, u v 0, u, v 0 nên u , u 0 u Giả sử u Ta chứng minh u, v 0 , v 0, v V , v , v , v , v Thật vậy: v V ta có: 0, v 0, v V Bài Với tích vơ hướng Euclide ¡ , tìm hai vectơ có chuẩn trực giao với vectơ sau u = ( 2,1, - 4,0) , v = ( - 1, - 1,2,2) , w = ( 3,2,5, 4) Giải Gọi vectơ cần tìm Ta có: vectơ x trực giao với vec tơ u,v,w ïìï x ^ u ï Þ ùớ x ^ v ị ùù ùợù x ^ w ïìï < x, u >= ïï í < x, v >= ïï ïỵï < x , w >= ìï 2x + x - 4x = ïï ïí - x - x + x + x = ïï ï 3x + x + x + x = Suy ta có hệ phương trình sau ïỵ (1) ỉ2 ỉ ỉ - 0÷ - - 2÷ - - 2ử ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ A = ỗ- - 2ữ đ đ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç 11 10 0 11 è ø è ø è ø Ma trận hệ số hệ 1 3 4 x 1=2t −x 1−x 2+2 x +2 x =0 ⟹ x 2=4 t −x 2+ x =0 Suy (1)⟺ x 3=2t −x +2 x 4=0 x =t { { ìï ïï x =- 34 t 11 ìï - x - x + x + x = ïïï ïï ï x = 4t - x +4x = Û íï ( 1) Û ïí ïï ïï t 11 x + x = ïïỵ ïï x =11 ïï ïï x = t ỵ 1 ,t Ỵ ¡ 2 4 ổ 34 ữ ị x =ỗ t,4t, t, t ữ ỗ ỗ ố 11 ø 11 ÷ ỉ 34 ỉ 11 ữ ỗ ỗ tữ + t + t + t = Û t = ± ( ) ( ) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ 11 ứ ỗ 11 ứ ố ố 57 2 x =1 Û Mà æ æ - 34 44 - 11 ö 34 - 44 - 11 ö −2 ữ x1 = ỗ , , , ữ , x2 = ỗ , , , ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ x 1= , , , , x 1= ,− ,− , ỗ 57 57 57 57 ứ ỗ ố è ø 57 57 57 57 Vậy hai ‖x‖=1 ⟺ √ ( t )2 + ( t )2 + ( t )2+ (t )2 ⟺t=± ( ) ( ) vec tơ cần tìm Bài Trong ¡ xét tích vơ hướng Euclide Hãy áp dụng q trình Gram-Smidt để biến sở { u , u , u } thành sở trực chuẩn: a) u1 = ( 1;1;1) , u2 = ( - 1;1;0) ; u3 = ( 1;2;1) b) u1 = ( 1;0;0) , u2 = ( 3;7;- 2) , u3 = ( 0;4;1) Giải u ,u ,u } a) Áp dụng q trình trực giao hố Gram-Smidt để biến sở { thành sở trực chuẩn Đặt v1 = u1 = (1,1,1) v =u 2 u ,v v v2 1,1, v u2 , v1 0 v1 3 1,1,1 1,1, u3 , v1 4 v1 v =u u ,v 3 v- v u ,v v v 3 u3 , v2 1 v2 2 2 1 1 1,1,1 1,1, , , 6 3 v3 1, 2,1 Chuẩn 2 hóa sở trực {v ,v ,v } giao ta sở trực chuẩn sở trực chuẩn ïìï ỉ ïü 1 ưỉ - 1 ưỉ 1 - 2ư ïý , , ữ ,ỗ , ,0ữ ,ỗ , , ữ ữ ữ ữ ớỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ïỵï ç è 3 øè 2 ứố 6 ứùùỵ b) t v = u = (1,0,0) v =u u ,v 2 v u2 , v1 3 v v1 1 v2 3,7, 1 1, 0, 3,7, 3, 0,0 0, 7, u3 , v1 0 v1 1 u ,v v =u 3 v Đặt v- u ,v v v3 0, 4,1 Chuẩn 2 v u3 , v2 26 2 v2 53 26 1, 0, 0, 7, 0, 4,1 53 hóa sở trực giao 182 52 30 105 , 0, 0, , 53 53 53 53 {v ,v ,v } ta ìï ü ỉ 53 - 53 ưỉ ïï 53 53 ữ ữ ù ( 1,0,0) ,ỗ ỗ ữ ữ ỗ 0, , , ỗ 0, , ý ữ ữ ỗ ỗ ùù ùù ữỗ 53 ữ ỗ 53 53 ứố 53 ứ ố ợ ỵ Bi Xét tích vơ hướng Eulide tìm sở trực giao sở trực chuẩn không gian U trường hợp: a) U u1 , u2 , u3 với u1 1,1,0,0 u2 1,1,1,1 u3 0, 1,0,1 , , b) U u1 , u2 , u3 với u1 1, 2, 2, 1 u2 1,1, 5,3 u3 3, 2,8, , , U x1 , x2 , x3 , x4 c) x1 x2 x4 0 x2 x3 x4 0 Giải a) Xây dựng sở trực giao B Đặt v1 u1 1,1,0,0 v2 u2 v3 u3 u2 , v1 v1 u3 , v1 v1 v1 1,1,1,0 v1 u3 , v2 v2 1,1,0,0 0,0,1,0 v2 0, 1,0,1 1 1 1,1,0,0 0,0,1,0 , ,0,1 2 1 1 B v1 1,1,0,0 , v2 0,0,1,0 , v3 , ,0,1 2 Vậy sở trực giao Đơn vị hóa vector trực giao B Ta có: w1 v1 1 1,1,0,0 , ,0,0 v1 2 w2 v2 0,0,1,0 0,0,1,0 v2 w3 v3 1 1 6 , ,0,1 , ,0, v3 2 6 1 P w1 , ,0,0 ; w 0,0,1,0 , w , ,0, 6 2 Cơ sở trực chuẩn b) Đặt v1 u1 1;2;2; 1 v2 u2 λv1 , λ1 u2 , v1 v1 1 v2 2;3; 3;2 u3 , v2 v3 u3 λ1v2 λ v3 , λ v2 1 v3 5;5;5; 1;2; 2; 1 ; 2;3; 3; ; 5;5;5; sở trực giao U 1 u1 , u2 , u3 1; 2; 2; 1 ; 2;3; 3; ; 5;5;5; 10 26 10 sở trực chuẩn U c) Xét hệ phương trình: Suy x1 a x a b x1 x2 x4 0 x1 x2 x4 0 a, b x a x x x x x x4 b u 1,1,1,0 , u 0,1,0,1 v1 u1; e1 Đặt v2 u2 sở U v1 3 , , ,0 v1 3 u2 , v1 v1 v 15 15 15 15 v1 , , ,1 ; e2 , , , v2 15 15 15 3 Vậy sở trực giao U v1 , v2 sở trực chuẩn U e1 , e2 Bài Xét tích vơ hướng Euclide R Hãy bổ sung chúng để sở trực giao R4 a) u1 1,1,1,1 , u2 1, 0, 1, b) u1 0, 0,1,1 , u2 1,1,1, 1 Giải a) Ta bổ sung véctơ u3 0, 0,1, u4 0, 0, 0,1 u ,u ,u ,u để hệ sở R Xây v ,v ,v ,v dựng sở trực giao Đặt v1 u1 1,1,1,1 v2 u2 u2 , v1 v1 u2 1, 0, 1, v1 , v1 10 v3 u2 Chọn lại u3 , v1 u ,v 1 v1 v2 0, 0,1,0 1,1,1,1 1, 0, 1, 1, 1,1, 1 v1 , v1 v2 , v2 4 v '3 1, 1,1, 1 v4 u4 0, 0, 0,1 Chọn lại v '4 0, 1, 0,1 Vậy ta bổ sung véctơ R4 b) Ta bổ sung véctơ u ,v u4 , v1 u ,u v1 v2 v3 v1 , v1 v2 , v2 v3 , v3 1 1,1,1,1 1, 0, 1, 1, 1,1, 1 0, 1, 0,1 4 u3 0, 0,1, , u4 0, 0, 0,1 u3 0,1, 0, v ,v ,v' ,v' hệ sở trực giao u4 0, 0, 0,1 u ,u ,u ,u để hệ sở R v ,v ,v ,v Xây dựng sở trực giao Đặt v1 u1 0, 0,1,1 v2 u2 v3 u3 Chọn lại u3 , v1 u ,v 1 v1 v2 0,1, 0, 0, 0,1,1 1,1,1, 1 1,3, 1,1 v1 , v1 v2 , v2 4 v '3 1,3, 1,1 v4 u4u4 Chọn lại u2 , v1 v1 u2 1,1,1, 1 v1 , v1 u ,v u4 , v1 u ,u 1 1 v1 v2 v3 0, 0, 0,1 0, 0,1,1 1,1,1, 1 1,3, 1,1 2, 0, 1,1 v1 , v1 v2 , v2 v3 , v3 12 v '4 2, 0, 1,1 Vậy ta bổ sung véctơ R4 u3 0,1, 0,0 , u4 0, 0, 0,1 v ,v ,v ' ,v ' hệ sở trực giao Bài 10 Xét tích vơ hướng Euclide Hãy tìm hình chiếu trực giao vectơ x lên không gian U với x 1; 1;1;0 ,U u1 , u2 , u3 ; u1 1,1,0,0 , u2 1,1,1,1 , u3 0, 1,0,1 a) 11 x x x4 0 x 1,0,1, ,U x1 , x2 , x3 , x4 x2 x3 x4 0 b) Giải a) Đặt v1 u1 1,1,0,0 v2 u2 Ta có: v3' u3 Chọn u3 , v2 v2 u2 , v1 v1 v1 1,1,1,1 v2 u3 , v1 v1 v1 0, 1,0,1 0,0,1,1 1 1,1,0,0 1, 1, 1,1 2 v3 1, 1, 1,1 Suy sở trực giao e1 1,1,0,0 0,0,1,1 U : v1 1,1,0,0 , v2 0,0,1,1 , v3 1, 1, 1,1 v v1 1 v 1 1 1 1 , ,0,0 ; e2 0,0, , ; e3 , , , v1 2 v2 v3 2 2 2 Suy sở trực chuẩn U : 1 1 1 1 W e1 , ,0,0 , e2 0,0, , , e3 , , , 2 2 Hình chiếu trực giao vectơ x lên không gian U prw x x, e1 e1 x, e2 e2 x, e3 e3 1 1 1 1 1 3 1 0 , ,0,0 , 0,0, , , , , , , 2 2 2 2 2 4 4 2 b) Đặt x1 b x1 x2 x4 0 x2 a b U u1 0,1,0,1 , u2 1,1,1,0 x2 x3 x4 0 x3 b x4 a v1 u1 0,1,0,1 v2' u2 u2 , v1 v1 Ta có: v1 1,1,1,0 1 0,1,0,1 1, ,1, v2 2,1, 2, 1 2 12 Suy sở trực giao e1 U : v1 0,1,0,1 , v2 2,1, 2, 1 v1 1 v 0, ,0, ; e2 , , , v1 v2 10 10 10 2 10 Suy sở trực chuẩn U : W e1 0, ,0, , , , , e2 2 10 10 10 10 Hình chiếu trực giao vectơ x lên không gian U prw x x, e1 e1 x, e2 e2 1 2 4 ,0, , , , 0, , , , 2 2 10 10 10 10 10 5 5 Bài 11 Xét không gian Euclide R với tích vơ hướng tắc Chứng minh với số thực n n n x n xi2 i x , x , , x Chứng minh i 1 i 1 n Giải Xét khơng gian R với tích vơ hướng Euclide n Với x = ( x , x , , x ) lấy tùy ý, ta chọn y = (1,1, ,1) n Þ n < x, y >= x + x + + x = å x n i i=1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt cho tích vơ hướng hai vectơ ta được: 2 với tích vơ hướng tắc n n n n n 2 x x x n xi2 i i i i 1 i 1 i 1 i 1 suy i 1 Bài 12.Xét không gian Euclide ¡ a) Cho P mặt phẳng ¡ xác định phương trình x1 - x2 + x3 = p phép chiếu trực giao ¡ xuống P Hãy viết ma trận biểu diễn p sở tắc 13 ) ( ) ( ) Chứng minh { } b) Cho vectơ ( sở ¡ Xét xem B có phải sở trực chuẩn không Nếu B sở trực chuẩn sử dụng q trình trực chuẩn hố Gram – Schmidt để xây dựng từ B sở trực chuẩn u = 1,0,1 , u = 2,1,0 , u = 1,1,1 B = u ,u ,u B ' = { e1 , e2 , e3 } Giải a) Ta thực qua bước sau: 1- Tìm sở P 2- Sử dụng trình Gram- Smidt để tìm sở trực chuẩn P 3- Tìm hình chiếu vectơ sở tắc lên mặt phẳng P , từ xác định Bước : Tìm sở P ïìï x1 = 2a - b ïï í x2 = a ïï ïïỵ x3 = b Û P xác định x1 x2 x3 0 Þ B v1 2,1, , v2 1, 0,1 sở P Bước : Tìm sở trực chuẩn P u1 v1 2,1, Đặt ; u2 v2 u1 ; l =- u ,v 1' u 1' 2 = a, b Ỵ ¡ u2 , ,1 , 5 chọn u3 1,2,5 Þ Þ 2,1, , 1, 2,5 sở trực giao P æ2 ÷ ỉ ựü ïì ÷ ùý ị B = ùớ u = ỗ ; ;0ữ, u = ỗ ; ; ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç ïỵï è 5 ø è 30 30 30 ứùỵ ù l mt c s trc chun ca P Bước 3: Tìm hình chiếu vectơ sở tắc lên mặt phẳng P ỉ5 1 ỉ ổ ữ ỗ ỗ ; ;0ữ , , =ỗ ; ;- ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ è 5 ø 30 è 30 30 30 ø è6 ø ỉ æ æ ÷ ÷ 1 1ử ỗ ỗ pr ( e ) = e , u u + e , u u = ; ;0ữ+ , , =ỗ ; ; ữ ữ ữ ỗ ç ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç è 5 ø 30 è 30 30 30 ø è3 3ø ỉ2 ỉ 1 5ư ổ ữ ỗ pr ( e ) = e , u u + e , u u = ỗ ; ;0ữ + , , =ỗ - ; ; ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 5 ứ 30 è 30 30 30 ø è 6 ø pr ( e ) = e , u u + e , u u = P 1 P 2 1 2 P 3 1 2 1 2 14 B ổ5 ỗ ỗ ỗ ỗ ç ç [ p]B = ççç ç ç ç ç ç ç ç è Vậy : 1ư - ÷ ÷ 6÷ ÷ ÷ ÷ 1 ÷ ÷ ÷ ÷ 3 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ b) Chứng minh B ¡ u = ( 1;0;1) , u2 = ( 2;1;0) u = ( 1;1;1) Với vectơ Xét ma trận A lập vectơ u1 , u2 , u3 Ta có det A = 1 1 = 2¹ Do u1 , u2 , u3 vectơ độc lập tuyến tính Vậy B sở ¡ *Xét tính trực chuẩn B u ;u = ¹ Ta có nên B sở trực chuẩn *Xây dựng sở trực chuẩn B1 : a =u = ( 1;0;1) Đặt 1 u ,a l = - 21 = =- Þ a2 = - a1 + u2 = ( 1;1; - 1) a Ta có : a2 =l 1a1 +u2 với Ta có a3 = l a1 +l a2 + u3 với : l =- u3 , a1 a1 =- = - 1; l =- u3 , a a2 =- −1 ⇒ a' 3=−a1− a 2+u 3= ( 1;−2 ;−1 ) 3 a = ( 1; - 2; - 1) Do a1 , a2 trực giao với l a3 , với l Ỵ ¡ nên ta chọn Đặt : e1 = a1 = ( 1;0;1) a1 e2 = a2 = ( 1;1; - 1) a2 15 a =( 1;- 2;- 1) a e = 3 Vậy ta có sở trực chuẩn B1 cần xây dựng : 1 ïì ïü B = ïí e = ( 1;0;1) , e = ( 1;1;- 1) , e =( 1;- 2;- 1) ïý ïỵï ùùỵ 1 Bi 13 Trong khơng gian Euclide R4 với tích vơ hướng tắc cho vector u1 (2,1, 2, 4), u ( 2,1, 1, 6), u3 ( 2,3, 4, 8) Gọi W u1 , u2 , u3 không gian R4 sinh vởi vector u1 ,u , u3 W không gian R trực giao với W a) Tìm sở không gian W W b) Cho ¿ ( 5,5 ,−3,1 ) ϵ R Tìm hình chiếu trực giao prW(u) u lên W tính khoảng cách từ u đến W d u, W Giải a) Lập ma trận A ma trận vectơ dịng hệ {u1,u2,u3} ỉ2 - ỉ ỉ - 4ử - 4ử ữ ữ ữ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ A =ỗ 1 ® ® ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 0ứ ố- - - 8ø è0 - - 4ø è0 0 r(A) = < nên hệ {u1,u2,u3} phụ thuộc tuyến tính, sở W B = {u1,u2} ìï x = a - 5b ïï ïï x = 6a + 2b Û ïí ;a,b Ỵ ¡ ìï x , u = ìï - x + x - x - x = ïï x3 = 4a ï ïï x = (x , x , x , x ) Î W Û í Û ï ïï x, u = íïï - x + x - x - x = ïïỵ x4 = 2b î î Gọi ^ 1 4 2 W ^ = {(a - 5b,6 a + 2b,4a,2b) | a, b Î ¡ } =< (1,6, 4,0),(- 5,2,0,2) > Hệ B ' ={(1,6, 4,0),(- 5,2,0,2)} độc lập tuyến tính nên sở W ^ b) Tìm sở trực chuẩn W Đặt v = u = ( 2;1;- 2;4) 1 Ta có v = u +l v ; cho v ^ v Ta suy : Với 2 l =- u2 , v1 || v1 ||2 u2 , v1 =- 25; || u1 ||2 = 25 Þ l = Þ v = (0,2, - 3, - 2) Ta có v = 5; v = 17 16 ìï ü ỉ - - 2ư ỉ ùù - 4ử ữ ỗ B = ùớ e = ỗ ; ; ; ữ , e = 0; ; ; ữ ữ ý ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ùợù ố5 5 ứ ố 17 17 17 ứùùỵ Vy c s trc chun ca W * Tìm prw (u) Ta có Vậy u, e = 5; u, e = 17 prW (u) = u, e1 e1 + u, e2 e2 = (2,3, - 5,2) Suy d (u, W ) = u - pr (u) = (3,2,2, - 1) = 18 = Bài 14 Cho w A Mn K , chứng minh rằng: T a) A trực giao A trực giao 1 b) A trực giao A trực giao c) A, B trực giao AB trực giao A 1 A d) A trực giao Giải T T T T T T T T T A A A A I A A A AA I n n a) Ta có: A trực giao trực giao b) Ta có: A trực giao AT A AAT I n 1 AT A AT 1 1 AAT I n 1 1 1 T 1 1 T A A A A A 1 T A A 1 A trực giao T T T T c) Vì A, B trực giao nên ta có: A A AA B B BB I n Do đó, ta có: 17 I n I n AB T AB BT AT AB BT AT A B B T BB T B B T B BB T I n T AB AB AB BT AT A BB T AT A AT A AT AT A AAT I n Vậy, AB trực giao d) Vì A trực giao nên ta có: A 1 AT A I n AT A I n 1 AT A 1 A 1 A Bài 17 Tính góc u = 3t - v 2t t không gian đa thức P với tích vơ hướng f , g = ò f ( t ) g ( t ) dt - Giải = Theo đề u, v = ò( 3t - 1) ( 2t + t - 1) dt - Trong không gian đa thức P3 ta có: - Þ Pu P= Tương tự Þ Pv P= Pv P2 =< v, v >= ò (2t + t - 1) dt = - 8 Góc hai vecto u v là: u, v cos j = = u v 8 = Bài 18 Chứng minh Þ j » 41 48' x, y Pu P =< u , u >= ò (3t - 1) dt = 1 2 x y x y 4 18 Giải , : V V R, x, y V ta có: Xét tích vơ hướng VP x y, x y x y, x y 1 x y, x y x y, x y 4 1 x, x y , x x, y y , y x, x y , x x, y y , y 4 1 x, y x, y 4 x, y VT Bài 19 Cho V1, V2 hai không gian không gian Euclide V Chứng minh ( V + V ) = V Ç V ( V Ç V ) = V + V ^ ^ ^ ^ ^ ^ Giải V +V ) = V Ç V a) Ta chứng minh ( ^ ^ V +V ) Ì V Ç V Chứng minh ( ^ ^ "x Ỵ ( V +V ) , "y Î V +V ^ 2 ^ ^ ta có = Ta xét " v Ỵ V , " v Ỵ V ta có 1 2 ìï áx, v đ=áx , v + qđ= q v + q Ỵ V + V ìï x ^ v ìï x Ỵ V ïí ùớ ùớ x ẻ V ầ V hay " x ẻ ( V + V ) ị x ẻ V ầ V ùợù ỏx, v ủ=ỏx , v + qđ= q v + qỴ V + V ùùợ x ^ v ùợù x ẻ V ^ 1 1 ^ ^ 2 2 ^ ^ 2 V +V ) Ì V Ç V Vậy ( (1) ^ ^ ^ V +V ) É V Ç V Chứng minh ( ^ ^ ^ ìï x ^ v ( " v Ỵ V ) ìï x Ỵ V ỡù ỏx, v ủ= x ẻ V ầ V Û ïí Û íï Û ïí Þ áx , v đ+áx , v đ= Þ áx , v + v ủ= ùợù x ẻ V ùù x ^ v ( " v ẻ V ) ùùợ ỏx, v ủ= ợ ị ỏx, yủ= 0, " y = v + v ẻ V + V ị x Î ( V + V ) ^ ^ ^ 1 1 2 1 ^ 2 2 ^ 2 V +V ) É V Ç V V +V ) = V Ç V Vậy ( (2) Từ (1) (2) ta có ( ^ ^ ^ ^ V Ç V ) = V +V b) Ta chứng minh ( ^ ^ V ÇV ) Ì V +V Chứng minh ( ^ ^ ^ ^ 19 ^ ^ ^ ^ "x ẻ ( V ầ V ) ,"y Î ( V Ç V ) ^ ta có = Ta xét " v Ỵ V , " v Ỵ V ta có ỡù y ẻ V Do y ẻ ( V ầ V ) ùớ ùùợ y ẻ V m = nên 1 2 2 ìï x Ỵ V ïí Û x Ỵ ( V ầV ùùợ x ẻ V ^ ^ ^ ^ ) ị x ẻ V1^ + V2 ^ ( V1^ Ç V2 ^ ) Ì ( V1^ + V2 ^ ) V ÇV ) Ì V +V Vậy ( (1) ^ ^ ^ V ÇV ) É V +V Chứng minh ( ^ x Ỵ ( V +V ^ ^ ^ ^ ïì áx , v ủ= 0, " v ẻ V ) ị x = x + x ( " x Ỵ V , " x ẻ V ) ị ùớ ^ ^ 2 y V1 y V1 V2 y V2 nên từ ta có Ta có Do 1 ïïỵ áx , v đ= 0, " v Ỵ V 2 ìï áx , = ïí ïïỵ áx , = áx, yñ=áx + x , yñ=áx , yñ+áx , yủ= + = ị x ẻ ( V Ç V ) 2 ^ V ÇV ) É V +V Vậy ( (2) ^ ^ ^ V ÇV ) = V +V Từ (1) (2) ta có ( ^ ^ ^ Bài 20 Xét không gian V R cho hệ phương trình 2 x1 x2 3x3 x4 0 3x1 x2 x4 0 3x x x x 0 Tìm hệ phương trình xác định V Giải *Tìm sở không gian V 2 x1 x2 3x3 x4 0 3x1 x2 x4 0 3x x x x 0 20 ... v2 26 2 v2 ? ?53 26 1, 0, 0, 7, 0, 4,1 53 hóa sở trực giao 182 52 30 1 05 , 0, 0, , 53 53 53 53 {v ,v ,v } ta ìï ü ỉ 53 - 53 ưỉ ïï 53 53 ữ ữ ù ( 1,0,0)... ỗ 11 ứ ç 11 ø è è 57 2 x =1 Û Mà æ æ - 34 44 - 11 ö 34 - 44 - 11 ö −2 ữ x1 = ỗ , , , ữ , x2 = ỗ , , , ữ ữ ỗ ỗ ữ ÷ x 1= , , , , x 1= ,− ,− ,− ç 57 57 57 57 ø ç è è ø 57 57 57 57 Vậy hai ‖x‖=1 ⟺... , λ v2 1 v3 5; 5 ;5; 1;2; 2; 1 ; 2;3; 3; ; 5; 5 ;5; sở trực giao U 1 u1 , u2 , u3 1; 2; 2; 1 ; 2;3; 3; ; 5; 5 ;5; 10 26 10 sở